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Aula 1
8º Ano
Polígonos
Márcia Roberto
Competências e Habilidades
Ao final da aula teremos aprendido:
 Aplicar conhecimentos sobre elementos e propriedades dos
polígonos, número de diagonais, medida do ângulo internos e soma
dos ângulos internos .
 Analisar figuras geométricas para identificar os triângulos e suas
propriedades.
 Classificar os triângulos quanto aos ângulos e lados.
 Identificar quadriláteros , sua diagonal e propriedades.
 Reconhecer os tipos de quadriláteros entre paralelogramos e
trapézios não paralelogramos.
 Classificar os quadriláteros quanto aos ângulos e lados.
Vamos relembrar: ponto reta e
plano
Representamos um
ponto graficamente
dessa forma:
Um ponto é nomeado
por letras maiúsculas
do nosso alfabeto.
A B
Ponto A Ponto B
Exemplos: uma
estrela, um grão de
areia, um furo de
agulha, ...
Reta é formada por
infinitos pontos que
estão alinhados.
Graficamente
representamos uma
reta assim:
Nomeamos uma reta
por letras minúsculas
do nosso alfabeto.
Reta r
Reta s
Exemplos: fio esticado,
lados de um quadro, ...
Plano é formado
por infinitos pontos.
Um plano pode ser
representado dessa
forma.
Um plano é indicado
por letras minúsculas
do alfabeto grego
como α (alfa), β (Beta)
Plano α Planoβ
Exemplos: a lousa
digital, a superfície de
uma mesa, ...
s
r
α β
Segmentos de Retas e
SemirretasSegmento de Reta
O segmento de reta é limitado por
dois pontos da reta. Observe:
A parte entre os pontos A e B é
chamado de segmento de reta.
Veja mais segmentos de reta:
Semirreta
A semirreta possui origem, mas é
ilimitada no outro sentido, isso é,
possui início, mas não tem fim.A B
G H
R
S
G
Matemática
PEJA II
BLOCO I
1) Ao ver os fios de um balanço, as varetas coloridas, as arestas de uma caixa de
sapatos, podemos dizer que é:
a) Semirreta
b) Segmento de reta
c) Plano
d) Ponto
VAMOS EXERCITAR!!!
Continuação
Matemática
PEJA II
BLOCO I
2) Observe a figura abaixo:
A
B A linha que vai do ponto A até o ponto B e
chamada de ................................
Matemática
PEJA II
BLOCO I
.
5) Agora vamos fazer uma pergunta complexa. Se prepare!
Quantas semirretas possui essa figura?
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
A
B
C
D
E
F
G
H
OI
8
Polígonos
Definição
Os polígonos são formados por segmentos de retas fechados. O encontro dos
segmentos é denominado vértice do polígono, e os segmentos de retas recebem o
nome de arestas.
As figuras a seguir são polígonos
As figuras a seguir não são polígonos
Polígonos
Elementos de um polígono
A
E B
CD
No polígono ABCDE ao lado temos
que:
•Os segmentos
são os lados do polígono;
•Os pontos A, B, C, D, E são os
vértices do polígono;
•Os segmentos
são as diagonais do polígono;
• são os ângulos
do polígono;
, , , ,AB BC CD DE EA
, , , ,AC AD BD BE CE
ˆ ˆˆ ˆ ˆABC, BCD,CDE, DEA, EAB
Definição
Os polígonos são formados por segmentos de retas fechados. O
encontro dos segmentos é denominado vértice do polígono, e os
segmentos de retas recebem o nome de arestas.
CLASSIFICAÇÃO QUANTO AOS ÂNGULOS:
Polígono convexo
Polígono côncavo
Todos os seus ângulos são convexos, menores que
1800 .
Tem pelo menos um ângulo côncavo, maior que
1800
(unindo quaisquer dos seus pontos, o segmento de reta
obtido está sempre contido no polígono)
(pelo menos dois dos seus pontos que unidos, formam
um segmento de reta que não está contido no polígono)
Ângulo
côncavo
Polígonos
Ângulo interno:
Ângulo formado pelas semi-retas com origem comum
num vértice do polígono e que contém dois lados
consecutivos do polígono.
(os ângulos assinalados a verde são os ângulos internos)
Ângulo externo:
Ângulo formado por um lado com o prolongamento de um lado consecutivo
(os ângulos assinalados a amarelo são os ângulos externos)
Polígonos
Nomenclatura dos polígonos
Número de Diagonais de um Polígono
Convexo
2
)3.(nn
d
 Seja n o número de vértices;
 Cada vértice faz ligação com todos os outros n vértices, menos com seus
adjacentes e ele próprio, ou seja, com (n – 3) vértices;
 Como há n vértices, então podemos fazer n.(n – 3) ligações;
 Porém, estaremos contabilizando duas vezes a mesma ligação, isto é,
diagonal. Por exemplo: A diagonal de vai do vértice A até o C é a mesma
que vai do C até o A.
 Portanto:
A
C
Diagonal de um polígono é um segmento de reta que tem por extremidades
dois vértices não consecutivos do polígono.
Soma dos Ângulos Internos de
um Triângulo:
Soma dos ângulos internos de um triângulo é
sempre 180º
http://www2.mat.ufrgs.br/edumatec/atividades_diversas/teoremas_geometria/Objetos/GeometriaPlana.swf
Soma dos ângulos interno de um
polígono convexo
Todo polígono convexo pode ser decomposto em triângulos quando
traçamos as diagonais que partem de um único vértice.
Então, a soma dos ângulos internos depende do número de lados;
A quantidade de triângulos será sempre o números de lados menos 2;
Portanto:
O polígono tem 4
lados (que será o n)
e traçando a
diagonal dividi o
polígono em 2
triângulos
4 lados
2 triângulos (4 – 2)
O polígono tem 5 lados
(que será o n) e
traçando a diagonal
dividi o polígono em 3
triângulos
5 lados
3 triângulos (5 – 2)
O polígono tem 6 lados
(que será o n) e traçando a
diagonal dividi o polígono
em 4 triângulos
6 lados
4 triângulos (6 – 2)
S= 4 x 180º = 720º
º1802nS
Medida dos Ângulos Internos de Polígonos
Regulares Polígonos regulares tem todos os lados e ângulos de mesma
medidas;
 Então, a medida de seu ângulo interno é a soma deles dividida pelo
número de lados:
n
S
ai
n
n
ai
1802
ou
Quanto mede o ângulo interno do
pentágono regular, cuja a soma dos
ângulos internos é 540º?
Resposta:
O heptágono possui 5 lados.
R: O ângulo interno mede 108º
5
900
ia
º108ia
Quanto mede o ângulo interno
do dodecágono ?
Resposta:
O dodecágono possui 12
lados.
12
180212
ia
150
12
1800
12
18010
ia
R: O ângulo interno mede
150º
Para exercitar
Polígono N.º de lados Exemplo N.º de triângulos
em que ficou
dividido
Soma dos
ângulos
internos de
um polígono
Triângulo 3 1
Quadrilátero 4
Pentágono 5
Hexágono 6
Heptágono …
... ... ... ... ...
Decágono ...
Pentadecágono
Polígono de n lados … n-2
7
10
n
2
3
4
5
8
Complete o quadro abaixo, utilizando o seu caderno
Triângulos
Triângulo é um polígono que tem três lados por três linhas rectas
que concorrem, duas a duas, em três pontos diferentes formando
três lados e três ângulos internos que somam 180°.
Os elementos de um triângulo são lados, vértices e ângulos internos.
A, B e C são os vértices.
e são os lados.
são os ângulos internos.
Classificação dos triângulos
Os triângulos podem ser classificados quanto à medida dos
seus lados e quanto à medida dos seus ângulos.
Classificação segundo a medida dos seus lados
Equilátero  Tem
os três lados com a
mesma medida.
Isósceles  Tem
dois lados com a
mesma medida.
Escaleno  Tem os
três lados com
medidas diferentes.
BCABAC ABAC BCABAC
Classificação segundo a medida
dos seus ângulos
Acutângulo  Os
três ângulos são
agudos, isto é,
medem menos de
90º.
Retângulo  Tem
um ângulo reto, isto
é, um ângulo que
mede 90º.
Obtusângulo  Tem
um ângulo obtuso,
isto é, um ângulo
que mede mais de
90º.
CAˆBBCˆACBˆA º90BCˆA º90BCˆA
Vamos exercitar?Faça no seu
caderno
Quadriláteros
Um quadrilátero é um polígono com quatro lados.
Exemplos
Elementos de um Quadrilátero
Vértices: A, B, C e D.
Lados: , CB,CD e DA
Diagonais: AC e BD
Ângulos internos ou ângulos do quadrilátero : ABCD: Â,^B,^C e ^D
Tipos de Quadriláteros
Existem quadriláteros convexos(não são atravessados pelo prolongamento
dos seus lados) e quadriláteros côncavos(são atravessados pelo
prolongamento de alguns dos seus lados).
Paralelogramos >> quatro
lados paralelos dois a dois
Trapézios>> dois lados paralelos e
dois não paralelos
Entre os Convexos podemos formar dois grupos: os paralelogramos e os
trapézios.
Quadrilátero
convexo
Quadrilátero
côncavo
Paralelogramos-ângulos e lados
São quadriláteros que têm os lados opostos paralelos e de mesma
medida.
Alguns paralelogramos têm nomes especiais:
Paralelogramo
obliquângulo
Ângulos e lados opostos
geometricamente iguais
Losango
Quatro lados geometricamente
iguais. Ângulos agudos e obtusos
opostos geometricamente iguais.
Retângulo Quatro ângulos retos. Lados
opostos geometricamente iguais.
Quadrado Quatro ângulos retos. Quatro lados
geometricamente iguais.
Paralelogramos- Propriedades
1-Os lados opostos de um paralelogramo têm o mesmo
comprimento.
A
D C
B
BCADeABDC
2-Os ângulos opostos de um paralelogramo têm a mesma medida.
A
D C
B
CBˆACDˆA
BCˆDBAˆD
e
3-As diagonais de um paralelogramo dividem-se ao meio.
A
D C
B
Paralelogramos- Diagonais
Entre os paralelogramos têm-se:
Quadrado Diagonais perpendiculares e com
o mesmo comprimento.
Retângulo Diagonais com o mesmo
comprimento.
Losango
Diagonais perpendiculares.
Paralelogramo
obliquângulo
Diagonais com comprimentos
diferentes.
Trapézios- ângulos e lados
São quadriláteros que têm dois lados paralelos e dois lados não
paralelos.
 Alguns trapézios têm nomes especiais por causa de suas
características:
 Trapézios escaleno são os trapézios que têm os lados não
paralelos diferentes.
 Trapézios isósceles  são os trapézios que têm os lados não
paralelos de mesma medida.
 Trapézios retângulos  são os trapézios que têm dois ângulos
retos.
Agora vamos ver o que
aprendemos? Utilize o seu
caderno1-Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras (V) ou falsas(F),
justifique as erradas:
a)Todo quadrado é um losango.( )
b)Todo quadrado é um retângulo. ( )
c)Todo retângulo é um paralelogramo. ( )
d)Todo losango é retângulo. ( )
2- Considere as seguintes afirmativas:
- Um quadrilátero convexo é um retângulo se os lados são opostos.
- Um quadrilátero que tem duas diagonais perpendiculares é um quadrado.
- Todo retângulo é um paralelogramo.
-Todo paralelogramo é um quadrilátero.
Marque a alternativa correta.
A)Só uma verdadeira
B)Duas são verdadeiras e duas são falsas.
C)Todas são verdadeiras.
D)Todas são falsas.
VOCÊ ENCONTRARÁ ESSES
DESCRITORES TAMBÉM:
 Educopédia : 8º ano aulas 11 e 21
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  • 2. Competências e Habilidades Ao final da aula teremos aprendido:  Aplicar conhecimentos sobre elementos e propriedades dos polígonos, número de diagonais, medida do ângulo internos e soma dos ângulos internos .  Analisar figuras geométricas para identificar os triângulos e suas propriedades.  Classificar os triângulos quanto aos ângulos e lados.  Identificar quadriláteros , sua diagonal e propriedades.  Reconhecer os tipos de quadriláteros entre paralelogramos e trapézios não paralelogramos.  Classificar os quadriláteros quanto aos ângulos e lados.
  • 3. Vamos relembrar: ponto reta e plano Representamos um ponto graficamente dessa forma: Um ponto é nomeado por letras maiúsculas do nosso alfabeto. A B Ponto A Ponto B Exemplos: uma estrela, um grão de areia, um furo de agulha, ... Reta é formada por infinitos pontos que estão alinhados. Graficamente representamos uma reta assim: Nomeamos uma reta por letras minúsculas do nosso alfabeto. Reta r Reta s Exemplos: fio esticado, lados de um quadro, ... Plano é formado por infinitos pontos. Um plano pode ser representado dessa forma. Um plano é indicado por letras minúsculas do alfabeto grego como α (alfa), β (Beta) Plano α Planoβ Exemplos: a lousa digital, a superfície de uma mesa, ... s r α β
  • 4. Segmentos de Retas e SemirretasSegmento de Reta O segmento de reta é limitado por dois pontos da reta. Observe: A parte entre os pontos A e B é chamado de segmento de reta. Veja mais segmentos de reta: Semirreta A semirreta possui origem, mas é ilimitada no outro sentido, isso é, possui início, mas não tem fim.A B G H R S G
  • 5. Matemática PEJA II BLOCO I 1) Ao ver os fios de um balanço, as varetas coloridas, as arestas de uma caixa de sapatos, podemos dizer que é: a) Semirreta b) Segmento de reta c) Plano d) Ponto VAMOS EXERCITAR!!!
  • 6. Continuação Matemática PEJA II BLOCO I 2) Observe a figura abaixo: A B A linha que vai do ponto A até o ponto B e chamada de ................................
  • 7. Matemática PEJA II BLOCO I . 5) Agora vamos fazer uma pergunta complexa. Se prepare! Quantas semirretas possui essa figura? a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 A B C D E F G H OI
  • 8. 8 Polígonos Definição Os polígonos são formados por segmentos de retas fechados. O encontro dos segmentos é denominado vértice do polígono, e os segmentos de retas recebem o nome de arestas. As figuras a seguir são polígonos As figuras a seguir não são polígonos
  • 9. Polígonos Elementos de um polígono A E B CD No polígono ABCDE ao lado temos que: •Os segmentos são os lados do polígono; •Os pontos A, B, C, D, E são os vértices do polígono; •Os segmentos são as diagonais do polígono; • são os ângulos do polígono; , , , ,AB BC CD DE EA , , , ,AC AD BD BE CE ˆ ˆˆ ˆ ˆABC, BCD,CDE, DEA, EAB Definição Os polígonos são formados por segmentos de retas fechados. O encontro dos segmentos é denominado vértice do polígono, e os segmentos de retas recebem o nome de arestas.
  • 10. CLASSIFICAÇÃO QUANTO AOS ÂNGULOS: Polígono convexo Polígono côncavo Todos os seus ângulos são convexos, menores que 1800 . Tem pelo menos um ângulo côncavo, maior que 1800 (unindo quaisquer dos seus pontos, o segmento de reta obtido está sempre contido no polígono) (pelo menos dois dos seus pontos que unidos, formam um segmento de reta que não está contido no polígono) Ângulo côncavo Polígonos
  • 11. Ângulo interno: Ângulo formado pelas semi-retas com origem comum num vértice do polígono e que contém dois lados consecutivos do polígono. (os ângulos assinalados a verde são os ângulos internos) Ângulo externo: Ângulo formado por um lado com o prolongamento de um lado consecutivo (os ângulos assinalados a amarelo são os ângulos externos) Polígonos
  • 13. Número de Diagonais de um Polígono Convexo 2 )3.(nn d  Seja n o número de vértices;  Cada vértice faz ligação com todos os outros n vértices, menos com seus adjacentes e ele próprio, ou seja, com (n – 3) vértices;  Como há n vértices, então podemos fazer n.(n – 3) ligações;  Porém, estaremos contabilizando duas vezes a mesma ligação, isto é, diagonal. Por exemplo: A diagonal de vai do vértice A até o C é a mesma que vai do C até o A.  Portanto: A C Diagonal de um polígono é um segmento de reta que tem por extremidades dois vértices não consecutivos do polígono.
  • 14. Soma dos Ângulos Internos de um Triângulo: Soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180º http://www2.mat.ufrgs.br/edumatec/atividades_diversas/teoremas_geometria/Objetos/GeometriaPlana.swf
  • 15. Soma dos ângulos interno de um polígono convexo Todo polígono convexo pode ser decomposto em triângulos quando traçamos as diagonais que partem de um único vértice. Então, a soma dos ângulos internos depende do número de lados; A quantidade de triângulos será sempre o números de lados menos 2; Portanto: O polígono tem 4 lados (que será o n) e traçando a diagonal dividi o polígono em 2 triângulos 4 lados 2 triângulos (4 – 2) O polígono tem 5 lados (que será o n) e traçando a diagonal dividi o polígono em 3 triângulos 5 lados 3 triângulos (5 – 2) O polígono tem 6 lados (que será o n) e traçando a diagonal dividi o polígono em 4 triângulos 6 lados 4 triângulos (6 – 2) S= 4 x 180º = 720º º1802nS
  • 16. Medida dos Ângulos Internos de Polígonos Regulares Polígonos regulares tem todos os lados e ângulos de mesma medidas;  Então, a medida de seu ângulo interno é a soma deles dividida pelo número de lados: n S ai n n ai 1802 ou Quanto mede o ângulo interno do pentágono regular, cuja a soma dos ângulos internos é 540º? Resposta: O heptágono possui 5 lados. R: O ângulo interno mede 108º 5 900 ia º108ia Quanto mede o ângulo interno do dodecágono ? Resposta: O dodecágono possui 12 lados. 12 180212 ia 150 12 1800 12 18010 ia R: O ângulo interno mede 150º
  • 17. Para exercitar Polígono N.º de lados Exemplo N.º de triângulos em que ficou dividido Soma dos ângulos internos de um polígono Triângulo 3 1 Quadrilátero 4 Pentágono 5 Hexágono 6 Heptágono … ... ... ... ... ... Decágono ... Pentadecágono Polígono de n lados … n-2 7 10 n 2 3 4 5 8 Complete o quadro abaixo, utilizando o seu caderno
  • 18. Triângulos Triângulo é um polígono que tem três lados por três linhas rectas que concorrem, duas a duas, em três pontos diferentes formando três lados e três ângulos internos que somam 180°. Os elementos de um triângulo são lados, vértices e ângulos internos. A, B e C são os vértices. e são os lados. são os ângulos internos.
  • 19. Classificação dos triângulos Os triângulos podem ser classificados quanto à medida dos seus lados e quanto à medida dos seus ângulos. Classificação segundo a medida dos seus lados Equilátero  Tem os três lados com a mesma medida. Isósceles  Tem dois lados com a mesma medida. Escaleno  Tem os três lados com medidas diferentes. BCABAC ABAC BCABAC
  • 20. Classificação segundo a medida dos seus ângulos Acutângulo  Os três ângulos são agudos, isto é, medem menos de 90º. Retângulo  Tem um ângulo reto, isto é, um ângulo que mede 90º. Obtusângulo  Tem um ângulo obtuso, isto é, um ângulo que mede mais de 90º. CAˆBBCˆACBˆA º90BCˆA º90BCˆA
  • 22. Quadriláteros Um quadrilátero é um polígono com quatro lados. Exemplos Elementos de um Quadrilátero Vértices: A, B, C e D. Lados: , CB,CD e DA Diagonais: AC e BD Ângulos internos ou ângulos do quadrilátero : ABCD: Â,^B,^C e ^D
  • 23. Tipos de Quadriláteros Existem quadriláteros convexos(não são atravessados pelo prolongamento dos seus lados) e quadriláteros côncavos(são atravessados pelo prolongamento de alguns dos seus lados). Paralelogramos >> quatro lados paralelos dois a dois Trapézios>> dois lados paralelos e dois não paralelos Entre os Convexos podemos formar dois grupos: os paralelogramos e os trapézios. Quadrilátero convexo Quadrilátero côncavo
  • 24. Paralelogramos-ângulos e lados São quadriláteros que têm os lados opostos paralelos e de mesma medida. Alguns paralelogramos têm nomes especiais: Paralelogramo obliquângulo Ângulos e lados opostos geometricamente iguais Losango Quatro lados geometricamente iguais. Ângulos agudos e obtusos opostos geometricamente iguais. Retângulo Quatro ângulos retos. Lados opostos geometricamente iguais. Quadrado Quatro ângulos retos. Quatro lados geometricamente iguais.
  • 25. Paralelogramos- Propriedades 1-Os lados opostos de um paralelogramo têm o mesmo comprimento. A D C B BCADeABDC 2-Os ângulos opostos de um paralelogramo têm a mesma medida. A D C B CBˆACDˆA BCˆDBAˆD e 3-As diagonais de um paralelogramo dividem-se ao meio. A D C B
  • 26. Paralelogramos- Diagonais Entre os paralelogramos têm-se: Quadrado Diagonais perpendiculares e com o mesmo comprimento. Retângulo Diagonais com o mesmo comprimento. Losango Diagonais perpendiculares. Paralelogramo obliquângulo Diagonais com comprimentos diferentes.
  • 27. Trapézios- ângulos e lados São quadriláteros que têm dois lados paralelos e dois lados não paralelos.  Alguns trapézios têm nomes especiais por causa de suas características:  Trapézios escaleno são os trapézios que têm os lados não paralelos diferentes.  Trapézios isósceles  são os trapézios que têm os lados não paralelos de mesma medida.  Trapézios retângulos  são os trapézios que têm dois ângulos retos.
  • 28. Agora vamos ver o que aprendemos? Utilize o seu caderno1-Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras (V) ou falsas(F), justifique as erradas: a)Todo quadrado é um losango.( ) b)Todo quadrado é um retângulo. ( ) c)Todo retângulo é um paralelogramo. ( ) d)Todo losango é retângulo. ( ) 2- Considere as seguintes afirmativas: - Um quadrilátero convexo é um retângulo se os lados são opostos. - Um quadrilátero que tem duas diagonais perpendiculares é um quadrado. - Todo retângulo é um paralelogramo. -Todo paralelogramo é um quadrilátero. Marque a alternativa correta. A)Só uma verdadeira B)Duas são verdadeiras e duas são falsas. C)Todas são verdadeiras. D)Todas são falsas.
  • 29. VOCÊ ENCONTRARÁ ESSES DESCRITORES TAMBÉM:  Educopédia : 8º ano aulas 11 e 21  http://www.edumatec.mat.ufrgs.br/  http://www2.mat.ufrgs.br/edumatec/ati vidades_diversas/teoremas_geometri a/Objetos/GeometriaPlana.swf