O documento apresenta o Binômio de Newton, que fornece uma fórmula para calcular potências de binômios. A fórmula utiliza coeficientes binomiais, que são organizados no Triângulo de Pascal. A fórmula geral para o desenvolvimento do binômio de Newton é (a + b)n = ΣCnka kbn-k, onde Cnk são os coeficientes binomiais.

1. Binômio de NewtonIntrodução Pelos produtos notáveis, sabemos que (a+b)² = a² + 2ab + b². Se quisermos calcular (a + b)³, podemos escrever:(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3Se quisermos calcular , podemos adotar o mesmo procedimento:(a + b)4 = (a + b)3 (a+b) = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) (a+b)= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

2. Binômio de NewtonDe modo análogo, podemos calcular as quintas e sextas potências e, demodo geral, obter o desenvolvimento da potência a partir da anterior, ou seja, de . Porém quando o valor de n é grande, este processo gradativo de cálculo é muito trabalhoso. Existe um método para desenvolver a enésima potência de um binômio, conhecido como Binômio de Newton. Para esse método é necessário saber o que são coeficientes binomiais, algumas de suas propriedades e o triângulo de Pascal.

3. O coeficiente binomial também é chamado de número binomial. Por analogia com as frações, dizemos que n é o seu numerador e p, o denominador. Podemos escrever:É também imediato que, para qualquer n natural, temos:

5. Propriedades dos coeficientesbinomiais Coeficientes binomiais como esses, que tem o mesmo numerador e a soma dos denominadores igual ao numerador, são chamados complementares.

6. Relação de StifelEssa igualdade é conhecida como relação de Stifel (Michael Stifel, matemático alemão, 1487 - 1567).

7. Relação de StifelExemplos

8. Triângulo de PascalBlaise Pascal (Clermont-Ferrand, Puy-de-Dôme, 19 de Junho de 1623 - Paris, 19 de Agosto de 1662) foi um filósofo religioso, físico e matemáticofrancês de curta existência de vida, que como filósofo criou uma das afirmações mais pronunciadas pela humanidade nos séculos posterioresO coração tem razões que a própria razão desconhece.

9. Triângulo de PascalSubstituindo cada número binomial pelo seu respectivo valor, temos:A disposição ordenada dos números binomiais, comona tabela ao lado, recebe o nome de Triângulo de PascalNesta tabela triangular, os números binomiais com o mesmo numerador são escritos na mesma linha e os de mesmo denominador, na mesma coluna.

10. Construção do triângulo de PascalPara construir o triângulo do Pascal, basta lembrar as seguintes propriedades dos números binomiais, não sendo necessário calculá-los:1ª) Como = 1, todos os elementos da coluna 0 são iguais a 1.2ª) Como = 1, o último elemento de cada linha é igual a 1.3ª) Cada elemento do triângulo que não seja da coluna 0 nem o último de cada linha é igual à soma daquele que está na mesma coluna e linha anterior com o elemento que se situa à esquerda deste último (relação de Stifel).

11. Construção do triângulo de PascalObserve os passos e aplicação da relação de Stifel para a construção do triângulo:

12. Propriedade do triângulo de PascalP1. Em Qualquer linha, dois números binomiais eqüidistantes dos extremos são iguais.De fato, esses binomiais são complementares.

13. Propriedade do triângulo de PascalP2 Teorema das linhas: A soma dos elementos da enésimalinha é . De modo geral temos:

14. Propriedade do triângulo de PascalP3 Teorema das colunas: A soma dos elementos de qualquer coluna, do 1º elemento até um qualquer, é igual ao elemento situado na coluna à direita da considerada e na linha imediatamente abaixo.

15. Propriedade do triângulo de PascalP4 Teorema das diagonais: A soma dos elementos situados na mesma diagonal desde o elemento da 1ª coluna até o de uma qualquer é igual ao elemento imediatamente abaixo deste.

16. Fórmula do desenvolvimento do binômio de NewtonComo vimos, a potência da forma , em que a, , é chamada binômio de Newton. Atenção!LOGO TEMOS O “TRIÂNGULO DE PASCAL”quando n = 0 temos:

17. quando n = 1 temos:

18. quando n = 2 temos:

19. quando n = 3 temos:

20. quando n = 4 temos: Fórmula do desenvolvimento do binômio de NewtonObserve que os coeficientes dos desenvolvimentos foram o triângulo de Pascal. Então, podemos escrever também: