Logaritmos

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1) Bate – papo inicial...
Observe atentamente a seguinte situação:

A taxa de crescimento diário de uma certa cultura de bactérias é de 5%; Em quantos dias uma população B0
dessa bactéria irá triplicar, se a taxa de crescimento se mantiver?

Para responder a essa pergunta, construiremos um quadro a partir das informações apresentadas:

DIA POPULAÇÃO
Início B0
1º dia B1 = B0 + 5% de B0 = B0 + 0,05.B0 = 1,05.B0 → B1 = 1,05.B0
2º dia B2 = B1 + 5% de B1 = B1 + 0,05.B1 = 1,05.B1 = 1,05.1,05B0 = (1,05)2.B0
3º dia B3 = B2 + 5% de B2 = B2 + 0,05.B2 = 1,05.B2 = 1,05.(1,05)2.B0 = (1.05)3.B0
4º dia B4 = B3 + 5% de B3 = B3 + 0,05.B3 = 1,05.B3 = 1,05.(1,05)3B0 = (1,05)4.B0
... ...
n-1 n
Enésimo dia Bn = Bn-1 + 5% de Bn-1 = Bn-1 + 0,05.Bn-1 = 1,05.Bn-1 = 1,05.(1,05) .B0 = (1,05) .B0

Como queremos determinar em quantos dias a população triplicará, devemos resolver a seguinte igualdade:

Bn = 3B0 → (1,05)n.B0 = 3B0→ (1,05)n = 3

O valor de n, que corresponde aos dias procurados, é o logaritmo, ou seja, o número de dias dentro dos
quais a população estará triplicada.

Quem desenvolveu?

Os logaritmos foram desenvolvidos pelo escocês John Napier (1550 – 1617), no início do século XVII. Antes
do seu desenvolvimento, efetuar cálculos como, por exemplo, 1,45786 : 3,89637 era, em geral, trabalhoso e
demorado. Contudo, após a descoberta de Napier, operações desse tipo puderam ser transformadas em
adições e subtrações, o que, na maioria dos casos, era mais simples e rápido. Tais simplificações foram
obtidas por meio de substituições trigonométricas a partir de senos e cossenos.

PARA QUÊ SERVE ISSO???

Os logaritmos surgiram a partir da necessidade do homem de resolver problemas com números muito
grandes, como os que temos ao estudar astronomia ou números muito pequenos, como os que aparecem no
estudo das moléculas. Muitas aplicações foram desenvolvidas com base na teoria dos logaritmos. Entre elas
podemos destacar o cálculo do nível de intensidade sonora, a escala Richter, para avaliar a intensidade de
terremotos e os cálculos de ph e poh na Química. O princípio dos logaritmos baseia-se no fato de algumas
operações serem mais acessíveis do que outras. Deste modo, com a utilização dos logaritmos podemos
transformar multiplicações em somas, divisões em subtrações e potências em multiplicações. Além desses
exemplos, existem muito mais usos do logaritmo, como na economia, biologia, engenharia, física, computação
etc...

2) Definição
Antes de definirmos matematicamente o que é logaritmo, preste atenção nas seguintes equações
exponenciais:

a) Qual o valor de x que satisfaz a igualdade 3x = 81?
Observe a solução: 3x = 34 → x = 4

Matemática Prof. Raphaela Duarte 2° ANO – Ensino Médio

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b) E agora: 5x = → 5x = → 5x = →x=-3

Como você pode explicar estas situações com suas palavras? Registre suas conclusões no espaço
abaixo!

onde a e x são números reais positivos e a ≠ 1.

TRADUZINDO: o logaritmo de x na base a é o expoente r ao qual devemos elevar o
número a para obter x

Pergunta: Por que a e x têm que ser positivos e, além disso, a tem que
ser diferente de 1?

EXEMPLOS:

a) Log4 64 = 3 pois 43 = 64
b) Log 100 = 2 pois 102 = 100
c) 16 = -2 pois ( ) = 16
d) Log 91 = 0 pois 90 = 1

Consequências da Definição Estas consequências são muito importantes e
serão muito úteis daqui por diante. Que tal
 Logaa=1
resolver o seguinte desafio: use a definição de
 Loga1=0
 Logaan=n logaritmo e veja que estas consequências
 Logax=Logay x = y
funcionam de verdade!
 alogax = x

2.1) Exercícios

1) Calcule o valor de x em cada equação:

a) log4 y = 3 c) log9 y = 1 e) log2 y = 5


3

b) logy 36 = 2 d) logy 125 = 3 f) logy = -4

2) Sabendo que 10 0,301 = 2 e 10 0,477 = 3, veja como podemos calcular log6:

Log6 = x → log(2.3) = x → log (10 0,301 . 10 0,477 ) = x → log 10 0,778 = x → x = 0,778

Agora calcule:

a) Log12 b) log18 c)log30 d) log54

3) Cientistas observaram que determinada colônia de bactérias aumenta sua população em 20% a cada
hora. Considerando que esta taxa de crescimento é constante e log1,2 2 = 3,81, calcule aproximadamente
quantas horas serão necessárias para que essa população dobre.
4) (UFMG 2009) Numa calculadora científica, ao se digitar um número positivo qualquer e, em
seguida, se apertar a tecla log, aparece, no visor, o logaritmo decimal do número inicialmente
digitado. Digita-se o número 10.000 nessa calculadora e, logo após, aperta-se, N vezes, a tecla log,
até aparecer um número negativo no visor. Então, é CORRETO afirmar que o número N é igual a:
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6

Propriedades Operatórias dos Logaritmos

1) Logaritmo do produto: log a ( x. y)  log a x  log a y

(a > 0, a1, x > 0 e y > 0)

2) Logaritmo do quociente: x (a > 0, a1, x > 0 e y >0)
log a    log a x  log a y
 y
 

3) Logaritmo da potência: log a x m  m.log a x (a>0, a1, x>0 e m )

Exercícios

1) (UFMT) (...) A vantagem de lidar com os logaritmos é que eles são números mais curtos
do que as potências. Imagine que elas indiquem a altura de um foguete que, depois de
lançado, atinge 10metros em 1 segundo, 100 metros em 2 segundos e assim por diante.
Nesse caso, o tempo (t) em segundos é sempre o logaritmo decimal da altura(h) em
metros. A partir das informações dadas, julgue os itens.
( ) Pode-se representar a relação descrita por meio da função h = log t.
( ) Se o foguete pudesse ir tão longe, atingiria 1bilhão de metros em 9 segundos.
( ) Em 2,5 segundos o foguete atinge 550 metros.


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2) (UnB-DF) A escala de um aparelho para medir ruídos é definida da seguinte forma:
R = 12 + log 10(I), em que R é a medida do ruído, em bels, e I é a intensidade sonora, em W/m2.
No Brasil, a unidade utilizada é o decibel (1/10 do bel). Por exemplo, o ruído dos motores de um
avião a jato é de 160 decibéis, enquanto o ruído do tráfego em uma esquina movimentada de
uma grande cidade é de 80 decibéis, sendo este o limite a partir do qual o ruído passa a ser
nocivo ao ouvido humano. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem.
( ) A intensidade sonora de um ruído de zero decibel é de 10–12 W/m2.
( ) A intensidade sonora dos motores de um avião a jato é o dobro da intensidade sonora
do tráfego em uma esquina movimentada de uma grande cidade.
( ) Uma intensidade sonora maior que 10– 4 W/m2 produz um ruído que é nocivo ao ouvido
humano.

3) (Fatec-SP) Sabendo que loga 18 = 2,890 e log 18 = 1,255, então loga 10 é igual a:
(A) 1 (B) 1,890 (C) 2,032 (D) 2,302 (E) 2,320

4) (FEI-SP) Sabendo-se que log 10 = 1 e log 2 = a, é válido afirmar-se que:
(A) log 5 = 1 + a (B) log 5 = 2 – a (C) log 40 = 1 + 2a (D) log 5 = a – 1 (E) log 40 = 2 + a

5) (Vunesp) Os átomos de um elemento químico radioativo possuem uma tendência
natural a se desintegrar (emitindo partículas e se transformando em outro elemento).
Assim sendo, com o passar do tempo, a quantidade original desse elemento diminui.
Suponhamos que certa quantidade de um elemento radioativo com inicialmente m0
gramas de massas e decomponha segundo a equação matemática: m(t) = m0 • 10–t/70,
onde m(t) é a quantidade de massa radioativa no tempo t (em anos). Usando a
aproximação log 2 = 0,3,determine:
a) log 8;
b) Quantos anos demorará para que esse elemento se decomponha até atingir um oitavo da
massa inicial.

6) (UFRN) Sendo N um número real positivo e b um número real positivo diferente de 1,diz-se
que x é o logaritmo de N na base b se, e somente se, bx = N .Assinale a opção na qual x é o
logaritmo de N na base b.
a) N = 0,5 b = 2 x = –2
b) N = 0,5 b = 2 x = 1
c) N = 0,125 b = 2 x = –4
d) N = 0,125 b = 2 x = –3

7) (PUC-PR) Se log (3x + 23) – log (2x – 3) = log4, encontrar x:
(A) 7 (B) 6 (C) 5 (D) 4 (E) 3


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