Este documento fornece um resumo de três frases ou menos sobre sistemas de equações de 1a grau com duas incógnitas. (1) Discute como determinar se um par ordenado é solução de uma equação ou sistema de equações, (2) explica os métodos da substituição e gráfico para resolver sistemas de equações, (3) classifica os tipos de sistemas que podem ter uma solução única, múltiplas soluções ou nenhuma solução.

1. Equações do 1º grau a 2 incógnitas
Sistemas de equações
Prof. Sandra Coelho
2007/08

2. Noção de solução…
Será que (1,2) é solução da equação 2x + y = 4 ?
Um par ordenado é dito solução se verificar a equação.
2 ×1 + 2 = 4
⇔ 2+2 = 4
⇔ 4 = 4 Verdadeiro
Logo o par (1,2) é solução da equação

3. Solução de um sistema…
O processo é igual ao anterior porém o par tem
.de verificar as duas equações
x + 2y = 5
Será que (1,2) é solução do sistema 
2x − y = 0
1 + 2 × 2 = 5
⇔

2 × 1 − 2 = 0
5 = 5

0 = 0
Verdadeiro
Logo o par (1,2) é solução do sistema

4. Resolução de sistemas - Método da substituição
1º passo – Escrever o sistema na forma canónica.
Exemplo:
y + 2x

3( y − x ) −
=1


2

x − y = 1 − x
3 2 3

O que é que podemos fazer?
Desembaraçar de parêntesis e de seguida de denominadores. As
equações são independentes pelo que se pode ir trabalhando as duas
em simultâneo.
y + 2x

y + 2x
3( y − x ) −
=1


=1
6y − 6x − y − 2x = 2

3y − 3x −
2
⇔
⇔
⇔
2

2x − 3y + 6x = 2
x − y = 1 − x
2x − 3y = 2 − 6x

3 2 3

−8x + 5y = 2

8x − 3y = 2

5. E agora? Qual o processo que devo adoptar?
Não há regras estanques para resolver sistemas,
no entanto, há técnicas que ajudam a manter o
raciocínio alerta e orientam a resolução do
problema.
1º passo –
incógnita.
Escolher uma equação e uma incógnita e resolver essa equação em ordem a essa
2º passo –
Substituir o valor dessa incógnita na outra equação.
3º passo –
Resolver essa segunda equação até encontrar o valor dessa incógnita. (se possível)
4º passo –
Substituir o valor obtido no passo anterior na outra equação.
5º passo –
Encontrar o valor da outra incógnita e tirar as conclusões devidas.

6. Método da substituição em 6 passos (1+5)
Depois de escrever o sistema na forma canónica passemos à sua resolução.
Para isso aproveitemos o exemplo anteriormente abordado.
Passo 0 – Escrever o sistema na forma canónica:
y + 2x

y + 2x
3( y − x ) −
=1


=1
6y − 6x − y − 2x = 2
−8x + 5y = 2

3y − 3x −
2
⇔
⇔
⇔
2

x y 1
2x − 3y + 6x = 2
8x − 3y = 2
 − = −x
2x − 3y = 2 − 6x

3 2 3

  2 + 3y
−8 
 −8x + 5y = 2
 _________

8
⇔
⇔ 

8x − 3y = 2
8x = 2 + 3y
x = 2 + 3y

8

 −16 − 24y + 40y = 16
⇔
⇔
 _______________

 −16 − 24y
÷ + 5y = 2
+ 5y = 2


⇔
8
 _______________

y = 2
16y = 16 + 16
y = 2

⇔
⇔

2 + 3× 2
___________
x =

x = 1

8

C .S . = { ( 1, 2 ) }

7. Classificação de sistemas
Determinado
Possível
(Tem uma só solução)
(Tem pelo menos uma solução)
Indeterminado
(Tem uma infinidade de soluções)
Impossível
(Não tem solução)

8. Resolução de sistemas – Método Gráfico
y = x − 4
Resolve graficamente o sistema: 
x + 2y = 7
Resolve cada uma das equações em ordem a y:
y

x
y = x − 4
=x −4
y = x − 4

⇔
⇔
7−x
+ 2y = 7
2y = 7 − x

y = 2


9. Resolução de sistemas – Método Gráfico
Construa-se uma tabela referente a cada uma das equações:
x
y=x-4
1
2 – 4 = -2
y
1 – 4 = -3
2
y = x − 4


7−x
y =

2

x
7−x
y =
2
1
3
3
2
(5;1)
SOLUÇÃO
x

10. Resumindo…
O ponto de intersecção das rectas é a solução do sistema.
Exercício:
Propõe representações gráficas que ilustrem todas as hipóteses
das classificações de sistemas.

11. Exemplos…
y
Determinado
Possível
(Tem uma só solução)
y
(Tem pelo menos uma solução)
Indeterminado
(Tem uma infinidade de soluções)
y
Impossível
(Não tem solução)
x
x
x

12. Resolução de sistemas – Método Gráfico
x − 4 = y
⇔

x − 2y = 2

Exemplo:
x
y=x-4
1
2 – 4 = -2
y
1 – 4 = -3
2
y = x − 4
y = x − 4
y = x − 4


⇔

2−x ⇔ 
2−x
−2y = 2 − x
y = −2
y = − 2


x
y =−
2−x
2
2
0
4
1
(6;2)
SOLUÇÃO
x

13. Resolução de sistemas – Método Gráfico
x − y = 1
⇔

y = −2 x

Exemplo:
x
1–1=0
2
2–1=1
x
y = -2x
y
y=x–1
1
 −y = − x + 1
y = x − 1
⇔

y = −2x
 y = − 2x
1
-2
2
-.4
(?;?)
Para ter a certeza da
solução – Método da
Substituição
x
SOLUÇÃO

14. Resolução de sistemas–Método de Substituição
x − ( −2x ) = 1
x + 2x = 1

⇔
⇔

 ___________
 ________

1
1


x = 3
x = 3
 1 2  


⇔
⇔
C .S . =  ; − ÷
 3 3  
y = −2 × 1
y = − 2


3
3


x − y = 1
⇔

y = −2x
3x = 1

 _____