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- 1. NOTAS DE AULA Geometria Analítica e Álgebra Linear Capítulo 1 - Parte 2 Professor: Luiz Fernando Nunes
- 2. Geometria Analítica e Álgebra Linear ii Índice 1 Sistemas de Equações Lineares................................................................................1 1.1 Definições Gerais..............................................................................................1 1.2 Interpretação Geométrica de Sistemas de Equações 2x2..................................2 1.3 Interpretação Geométrica de Sistemas de Equações 3x3..................................4 1.4 O Método do Escalonamento............................................................................6 1.5 O Método de Cramer ........................................................................................9 1.6 Comparação entre o Método do Escalonamento e o Método de Cramer .......11 1.7 Sistemas Homogêneos ....................................................................................12 1.8 Montando uma dieta alimentar com sistemas lineares ...................................12 1.9 Referências Bibliográficas..............................................................................13
- 3. Geometria Analítica e Álgebra Linear 1 1 Sistemas de Equações Lineares 1.1 Definições Gerais Forma Algébrica de um Sistema de Equações Lineares com m equações e n incógnitas mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 Forma Matricial: A x b mnmm n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 nx x x 2 1 mb b b 2 1 . Onde: A matriz dos coeficientes; x vetor das incógnitas (ou vetor solução); b vetor dos termos independentes. Matriz Aumentada ou Matriz Completa do Sistema B [ A b ] mmnmm n n baaa baaa baaa 21 222221 111211 . Definições Diz-se que um sistema de equações lineares é incompatível (ou sistema impossível – S.I.), se não admite nenhuma solução. Um sistema de equações lineares que admite uma única solução é chamado de compatível determinado (ou sistema possível determinado – S.P.D.). Se um sistema de equações lineares tem mais de uma solução (infinitas soluções) ele recebe o nome de compatível indeterminado (ou sistema possível indeterminado – S.P.I.) Discutir um sistema de equações lineares S significa efetuar um estudo visando classificá-lo de acordo com as definições anteriores. Resolver um sistema de equações lineares significa determinar todas as suas soluções. O conjunto dessas soluções recebe o nome de conjunto solução do sistema.
- 4. Geometria Analítica e Álgebra Linear 2 1.2 Interpretação Geométrica de Sistemas de Equações 2x2 Nesta seção são apresentados três exemplos que ilustram a interpretação geométrica para a solução de sistemas de equações lineares de duas equações com duas incógnitas: Exemplos 1. Resolver e interpretar geometricamente a solução do sistema: 63 52 yx yx Solução: x = 3 e y = -1 Como o sistema tem solução única, esta é representada pela intersecção das retas cujas equações gerais são: 52 yx e 63 yx . 2. Resolver e interpretar geometricamente a solução do sistema: 1536 52 yx yx Solução: S.P.I. y yx 2 5 2 1 Como o sistema tem infinitas soluções, estas são representadas pela intersecção das retas cujas equações gerais são: 52 yx e 1536 yx (retas coincidentes).
- 5. Geometria Analítica e Álgebra Linear 3 3. Resolver e interpretar geometricamente a solução do sistema: 1036 52 yx yx Solução: S.I. (Sistema Impossível) O sistema não tem solução. De fato, as retas cujas equações gerais são: 52 yx e 1036 yx são paralelas (não coincidentes).
- 6. Geometria Analítica e Álgebra Linear 4 1.3 Interpretação Geométrica de Sistemas de Equações 3x3 Dado um sistema de equações com três equações com três incógnitas: 3333232131 2323222121 1313212111 bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa cada equação representa um plano no espaço tridimensional. Desta forma os planos 1 , 2 e 3 são os planos definidos pelas equações do sistema. Assim, as soluções do referido sistema pertencem à interseção 321 desses planos. Se pelo menos dois desses planos são paralelos, ou se dois deles intersectam o terceiro segundo retas paralelas, a interseção 321 é vazia e o sistema é impossível. Se os três planos se intersectam em uma reta r, isto é, se r 321 , o sistema é indeterminado e qualquer ponto da reta r é uma solução do sistema. O sistema é determinado (solução única), quando os três planos se encontram em um único ponto. Existem ao todo, oito posições relativas possíveis para os planos 1 , 2 e 3 . Quatro dessas posições correspondem aos sistemas impossíveis e nas outras quatro, o sistema tem solução. Na seqüência são descritas estas oito posições relativas de 1 , 2 e 3 : 1º. Caso: Os três planos coincidem. Neste caso o sistema é indeterminado e qualquer ponto dos planos é uma solução do sistema. Exemplo: 4. 9363 6242 32 zyx zyx zyx 2º. Caso: Dois planos coincidem e o terceiro é paralelo a eles. Neste caso o sistema é impossível. Exemplo: 5. 8363 6242 32 zyx zyx zyx 3º. Caso: Dois dos planos coincidem e o terceiro os intersecta segundo uma reta r. Neste caso o sistema é indeterminado e qualquer ponto da reta r é uma solução do sistema. Exemplo: 6. 963 6242 32 zyx zyx zyx
- 7. Geometria Analítica e Álgebra Linear 5 4º. Caso: Os três planos são paralelos dois a dois. Neste caso o sistema é impossível. Exemplo: 7. 5363 4242 32 zyx zyx zyx 5º. Caso: Os planos 1 e 2 são paralelos e o plano 3 os intersecta segundo duas retas paralelas. Neste caso o sistema é impossível. Exemplo: 8. 92 5242 32 zyx zyx zyx 6º. Caso: Os três planos são distintos e tem uma reta r em comum, isto é r 321 . Neste caso o sistema é indeterminado e qualquer ponto da reta r é uma solução do sistema. Exemplo: 9. 6425 32 1 zyx zyx zyx 7º. Caso: Os três planos se intersectam, dois a dois, segundo retas 21 r , 31 s e 32 t , paralelas umas às outras. Neste caso o sistema é impossível. Exemplo: 10. 668 23 132 zyx zyx zyx 8º. Caso: Os três planos se intersectam em apenas um ponto. Neste caso, o sistema é possível e determinado (solução única). Exemplo: 11. 123 22 132 zyx zyx zyx
- 8. Geometria Analítica e Álgebra Linear 6 1.4 O Método do Escalonamento Definição Diz-se que uma matriz é escalonada quando o primeiro elemento não-nulo de cada uma das suas linhas situa-se à esquerda do primeiro elemento não-nulo da linha seguinte. Além disso, as linhas que tiverem todos os seus elementos iguais a zero devem estar abaixo das demais. Definição Diz-se que um sistema de equações lineares é um sistema escalonado, quando a matriz aumentada associada a este sistema é uma matriz escalonada. O Método do Escalonamento para resolver ou discutir um sistema de equações lineares S consiste em se obter um sistema de equações lineares escalonado equivalente a S (equivalente no sentido de possuir as mesmas soluções que este). Partindo do sistema S pode-se chegar a este sistema escalonado equivalente por meio de uma seqüência de operações elementares, que são as seguintes: 1) Trocar a ordem das equações do sistema; 2) Multiplicar uma equação por uma constante diferente de zero; 3) Substituir uma equação do sistema por sua soma com outra equação multiplicada por uma constante diferente de zero. Desta forma, se um sistema de equações foi escalonado e, retiradas as equações do tipo 0 = 0, então restam p equações com n incógnitas. Se a última das equações restantes é do tipo: 000000 1321 ppnn xxxxx , então o sistema de equações é impossível – S.I. (não admite soluções); Caso contrário, sobram duas alternativas: (i) Se p = n o sistema é possível determinado – S.P.D .(admite solução única); (ii) Se p < n, então o sistema é possível indeterminado – S.P.I. (admite infinitas soluções). Observação: Para se escalonar um sistema S é mais prático efetuar o escalonamento da matriz aumentada associada ao sistema. Uma vez concluído o escalonamento dessa matriz aumentada, associamos a ela o novo sistema que é equivalente ao sistema original S. Exemplo 12. Discutir e resolver o sistema: 13 022 1 zyx zyx zyx
- 9. Geometria Analítica e Álgebra Linear 7 1113 0212 1111 133 122 3 2 LLL LLL 2220 2030 1111 22 3 1 LL 2220 3 2 010 1111 233 2LLL 3 2 200 3 2 010 1111 cujo sistema equivalente é 3 2 2 3 2 1 z y zyx Como o número de equações restantes é igual ao número de incógnitas, o sistema é possível e determinado (S.P.D.). Resolvendo este sistema de baixo para cima, obtemos 3 1 z , 3 2 y e finalmente 0x . Desta forma, a solução pode ser dada pela única tripla ordenada 3 1 3 2 0 ,,,, zyx Exemplo 13. Discutir e resolver o sistema: 37 032 12 yx zyx zyx 3071 0312 1121 133 122 2 LLL LLL 2150 2150 1121 233 LLL 0000 2150 1121 cujo sistema equivalente é 25 12 zy zyx Como o número de equações restantes é menor que o número de incógnitas, o sistema é possível mas indeterminado (S.P.I.). Desta forma, para cada valor de z , pode-se encontrar zy 5 1 5 2 e zx 5 7 5 1 . Assim, a solução pode ser dada por uma tripla ordenada zzzzyx ,,,, 5 1 5 2 5 7 5 1 , sendo z . Exemplo 14. Discutir e resolver o sistema: 022 42 1 zyx zyx zyx
- 10. Geometria Analítica e Álgebra Linear 8 0221 4112 1111 133 122 2 LLL LLL 1110 2110 1111 233 LLL 1000 2110 1111 cujo sistema equivalente é 1000 20 1 zyx zyx zyx Como esta última equação não possui solução, o sistema é impossível (S.I.). Exemplo 15. Determinar o valor de a para que o sistema linear S admita uma única solução e determiná-la: ay yx yx S 3 22 1 a30 212 111 122 2LLL a30 010 111 233 3LLL a00 010 111 que é uma matriz ampliada de um sistema que somente será possível se a = 0. Assim, o sistema equivalente é 0 1 y yx Desta forma, a solução pode ser dada pelo único par ordenado 01,, yx Exemplo 16. Discutir o sistema de acordo com os parâmetros a e b: bazyx zx zyx 24 1376 9342 ba24 13706 9342 133 122 2 3 LLL LLL 18660 142120 9342 ba 22 2 1 LL 18660 7160 9342 ba 233 LLL 11500 7160 9342 ba cujo sistema equivalente é: 115 76 9342 bza zy zyx ... ... .. DPSba IPSba ISba qualquere5Se 11e5Se 11e5Se
- 11. Geometria Analítica e Álgebra Linear 9 1.5 O Método de Cramer O método de Cramer se aplica para sistemas de equações lineares onde a matriz dos coeficientes das incógnitas é quadrada. Forma Algébrica de um Sistema de Equações Lineares com m equações e n incógnitas nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 Forma Matricial: A x b nnnn n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 nx x x 2 1 nb b b 2 1 . Onde: A matriz dos coeficientes; x vetor das incógnitas (ou vetor solução); b vetor dos termos independentes. Chamamos de D ao determinante de A, isto é AD det e iD ao determinante da matriz obtida de A, substituindo a i-ésima coluna de A pela coluna dos termos independentes. Assim, se 0D , então D D x i i . Neste caso ( 0D ) a solução será única, pois 1 A e bxA bAxAA 11 bAxAA 11 bAxI 1 bAx 1 Exemplo 17. Utilizando o Método de Cramer, resolver o seguinte sistema de equações lineares: 12 4 6 321 321 321 xxx xxx xxx 04 112 111 111 det D 4 ii i D D D x 1 4 4 4 111 114 116 det 1 x
- 12. Geometria Analítica e Álgebra Linear 10 3 4 12 4 112 141 161 det 2 x 2 4 8 4 112 411 611 det 3 x Observação Importante: Se 0.......21 nDDDD o sistema não é necessariamente SPI !!! Assim, aplicar o Método de Cramer apenas para os casos em que 0D . Exemplo 18. Utilizando o Método de Cramer, resolver o seguinte sistema de equações lineares: 4963 2642 132 321 321 321 xxx xxx xxx 0 463 242 121 det 943 622 311 det 964 642 321 det 963 642 321 det D isto é: 0321 DDDD Mas escalonando o sistema obtemos: 4963 2642 1321 133 122 3 2 LLL LLL 1000 0000 1321 32 LL 0000 1000 1321 cujo sistema equivalente é: 1000 132 321 321 xxx xxx que é impossível (SI) !!!
- 13. Geometria Analítica e Álgebra Linear 11 1.6 Comparação entre o Método do Escalonamento e o Método de Cramer Suponha um computador capaz de efetuar 1.000.000 de operações de multiplicação e divisão por segundo. Então seriam exigidos os seguintes tempos para a resolução de sistemas de equações lineares cujas matrizes dos coeficientes das incógnitas têm o formato: 1010, 1515 e 2020, respectivamente. Escalonamento Cramer 1010 0,8 milésimos de seg. 1 min. e 8 seg. 1515 2,5 milésimos de seg. 1 ano, 1 mês e 16 dias 2020 6 milésimos de seg. 2 milhões, 754 mil, 140 anos Fonte: Revista do Professor de Matemática n.23, 1993.
- 14. Geometria Analítica e Álgebra Linear 12 1.7 Sistemas Homogêneos 0 0 0 2211 2222121 1212111 nmnmm nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa Sistemas Homogêneos de Equações Lineares com m equações e n incógnitas são sistemas de equações lineares onde os termos independentes são todos nulos. Este tipo de sistema é sempre possível, pois admite a solução 0321 nxxxx . Desta forma, se um sistema homogêneo de equações foi escalonado e, retiradas as equações do tipo 0 = 0, então restam p equações com n incógnitas. (i) Se p = n o sistema é possível determinado – S.P.D. (admite solução única), e esta solução é 0321 nxxxx , conhecida por solução trivial; (ii) Se p < n, então o sistema é possível indeterminado – S.P.I. (admite infinitas soluções). 1.8 Montando uma dieta alimentar com sistemas lineares Neste exemplo, apresentado por FILHO, 2006, temos uma interessante aplicação dos sistemas lineares. A tabela que segue traz os principais nutrientes presentes em alguns alimentos: Arroz (50g) Feijão (30g) Frango (80g) Suco (200ml) Pão (50g) Margarina (14g) VDR Energia(Kcal) 190 100 150 120 130 45 2000 Carboidratos(g) 37 16 8 30 28 0 300 Proteínas(g) 3 7 13 1 4 0 75 Gorduras Totais(g) 0 0 6 0 1,5 5 55 1.8.1 Sistema Linear Para montar uma dieta é necessário determinar as quantidades 654321 e,,,, xxxxxx (em porções) de cada alimento, necessárias para compor os VDR (Valores Diários de Referência). Isto corresponde a resolver o sistema linear: 5555,16 7541373 300283081637 200045130120150100190 653 54321 54321 654321 xxx xxxxx xxxxx xxxxxx Escalonando este sistema, podemos obter o seguinte sistema equivalente: 60,1145,024,1 16,983,025,0 05,868,107,0 19,017,033,0 654 653 652 651 xxx xxx xxx xxx
- 15. Geometria Analítica e Álgebra Linear 13 Assim, este sistema é do tipo possível indeterminado – S.P.I. (admite infinitas soluções). Os valores de 4321 e,, xxxx podem ser colocados em função de 65 e xx . Temos então: 654 653 652 651 45,024,160,11 83,025,016,9 68,107,005,8 17,033,019,0 xxx xxx xxx xxx Assim, se fizermos, por exemplo: 55 x e 66 x , podemos obter: 81,01 x ; 71,12 x ; 91,23 x e 64,24 x , O que corresponde, aproximadamente, a 40g de arroz, 50g de feijão, 230g de frango, 520ml de suco, 250g de pão e 84g de margarina. Observação: Evidentemente a dieta aqui proposta tem caráter didático; apenas médicos ou nutricionistas podem prescrever dietas alimentares. 1.9 Referências Bibliográficas. 1. BOLDRINI, José Luiz et al. Álgebra Linear. 3.a Edição. São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1980. 2. CALLIOLI, Carlos A. et al. Álgebra Linear e Aplicações. 6.a Edição. São Paulo: Atual, 1990. 3. FILHO, Adalberto A.D. Montando uma dieta alimentar com sistemas lineares. Revista do Professor de Matemática, n. 59 – Sociedade Brasileira de Matemática, 2006. 4. LIMA, Elon L., et al. A Matemática do Ensino Médio. 3.a Edição. Rio de Janeiro: Coleção do Professor de Matemática – Sociedade Brasileira de Matemática, 2001. 5. POOLE, David. Álgebra Linear. São Paulo: Thomson Learning, 2006.