O capítulo trata de vetores e operações com vetores. Inicia definindo vetores e suas propriedades, como comprimento, direção e sentido. Em seguida, descreve as operações fundamentais com vetores: adição, multiplicação por número real, produto escalar e produto vetorial. Por fim, apresenta exemplos ilustrativos e propriedades destas operações.

1. NOTAS DE AULA
Geometria Analítica e
Álgebra Linear
Capítulo 2
Professor: Luiz Fernando Nunes

2. Geometria Analítica e Álgebra Linear ii
Índice
2 Vetores ..................................................................................................................2-1
2.1 Definições ......................................................................................................2-1
2.2 Operações com vetores ..................................................................................2-3
2.2.1 Adição ......................................................................................................2-3
2.2.2 Multiplicação de número real por vetor...................................................2-5
2.2.3 Produto escalar ou produto interno ........................................................2-10
2.2.4 Produto vetorial ou produto externo ......................................................2-12
2.2.5 Produto misto.........................................................................................2-16
2.3 Exercícios sobre vetores ..............................................................................2-18
2.4 Referências Bibliográficas...........................................................................2-19

3. Geometria Analítica e Álgebra Linear 2-1
2 Vetores
2.1 Definições
Definição 1
Um segmento orientado é um par ordenado  BA, de pontos do espaço. A é dito
origem, e B extremidade do segmento orientado. Os segmentos orientados da forma  AA,
são ditos nulos. Observe que se BA  então    ABBA ,,  .
Definição 2
Dizemos que os segmentos orientados  BA, e  DC, têm o mesmo comprimento se
os segmentos geométricos AB e CD têm o mesmo comprimento.
Supondo  BA, e  DC, não nulos, então dizemos que  BA, e  DC, têm mesma
direção se AB // CD. Neste caso  BA, e  DC, são paralelos.
Supondo que  BA, e  DC, têm mesma direção, então:
a) Se as retas AB e CD são distintas, dizemos que  BA, e  DC, têm mesmo sentido
caso os segmentos AC e BD tenham interseção vazia. Caso  BDAC , dizemos
que  BA, e  DC, têm sentido contrário.
b) Se as retas AB e CD coincidem, tome  ´´,BA tal que ´A não pertença à reta AB e
 ´´,BA tenha mesma direção e mesmo sentido que  BA, . Então dizemos que
dizemos que  BA, e  DC, têm mesmo sentido se  ´´,BA e  DC, têm mesmo
sentido. Se não, dizemos que  BA, e  DC, têm sentido contrário.

4. Geometria Analítica e Álgebra Linear 2-2
Verifique que  BA, e  AB, têm mesmo comprimento, mesma direção e sentido
contrário, sendo BA  .
Definição 3
Dizemos que os segmentos orientados  BA, e  DC, são eqüipolentes, e indica-se
 BA, ~  DC, , se um dos casos seguintes ocorrer:
a) ambos são nulos;
b) nenhum é nulo, e têm mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido.
Definição 4
Um vetor é uma classe de segmentos eqüipolentes.
Nas figuras, as flechas representam um mesmo vetor, o qual será indicado por AB  ,
´´ AB  , ou ´´´´ AB  , de modo que AB  = ´´ AB  = ´´´´ AB  . Costuma-se indicar AB 
também por AB , ou então por uma letra latina minúscula com uma flecha em cima, como u

.
Desta forma temos que  ABu

AB .

5. Geometria Analítica e Álgebra Linear 2-3
Observações:
 O tamanho (intensidade ou comprimento) de um vetor u

é indicado por u

e
chama-se norma de u

. Se 1u

dizemos que o vetor é unitário. Alguns
autores utilizam para a norma de u

a notação u

.
 O vetor BA é chamado de vetor oposto do vetor AB . Assim, AB e BA só
diferem entre si no sentido (se BA  ). O vetor oposto do vetor AB é indicado
também por AB ; o vetor oposto de u

é u

 .
 O vetor nulo pode ser representado por AAAA 0

. Tem-se ainda que
00 

e 00

 .
 Se u

e v

tem mesma direção, dizemos que eles são vetores paralelos e
indicamos por u

// v

.
 Dizemos que u

e v

são ortogonais, se uma flecha que representa u

faz ângulo
reto com uma flecha que representa v

. Notação u

 v

.
2.2 Operações com vetores
2.2.1 Adição
Sejam os vetores ABu 

e BCv 

, então     ACBCABvu 


6. Geometria Analítica e Álgebra Linear 2-4
Propriedades da adição de vetores
(A1) Propriedade Associativa:
   wvuwvu


(A2) Propriedade Comutativa:
uvvu


(A3) Elemento Neutro:
uuu

 00
(A4) Elemento Oposto:
  0

 uu
Ilustração da propriedade associativa (A1):
Exemplos
1. Encontre o vetor soma dos vetores destacados nas figuras que seguem:
      ABDBCDAC 
        ABEBDECDAC 

7. Geometria Analítica e Álgebra Linear 2-5
          0

 ABEADECDBC
Observação:
Podemos também definir a diferença entre vetores como:
 vuvu


Exemplo
2. Dados os vetores u

e v

destacados no paralelepípedo que segue, identifique na figura
um representante para o vetor vu

 :
2.2.2 Multiplicação de número real por vetor
Dado um vetor v

e um número real  , definimos o vetor v

 , como:
Se 0 ou 0

v , então 0

 v ;
Se 0 e 0

v , então v

 é o vetor tal que:
 v

 é paralelo a v

;
 v

 e v

tem mesmo sentido se 0 ;

8. Geometria Analítica e Álgebra Linear 2-6
 v

 e v

tem sentido contrário se 0 ;
 A norma de v

 é vv

 .
Exemplos
3. Na sequência são apresentados alguns casos de produto de vetor por número real:
a) Para 02  :
b) Para 02  :
c) Para 0
3
1

Proposição
Se u

e v

são paralelos e 0

u , existe  tal que uv

 .
Exemplos
4. Sejam u

e v

paralelos, 30u

e 50v

. Sendo uv

 , determine  nos
casos:
a) u

e v

têm mesmo sentido.
b) u

e v

têm sentido contrário.
 uv

uuv

 
3
5

u
v


. Logo
3
5
 .
Assim, u

e v

têm mesmo sentido se
3
5
 , e u

e v

tem sentido contrário se
3
5
 .

9. Geometria Analítica e Álgebra Linear 2-7
5. É dado um vetor 0

u . Determine um vetor v

de tamanho 3, paralelo a u

e de
mesmo sentido que ele.
Então temos que uv

 , com 0 .
 uv

uuv

 
uu
v


3
 . Como 0 , temos que
u

3
 .
Substituindo este valor de  em uv

 , obtemos:
u
u
u
u
vuv 



 

33
Logo
u
u
v 

 

3
Definição
Dado um vetor 0

u , chama-se versor do vetor u

, um vetor unitário, paralelo e de
mesmo sentido que u

.
Exemplo
6. Dado um vetor 0

u , mostre que o versor de u

é
u
u


.
Chamando de v

ao versor de u

, temos que uv

 , com 0 .
 uv

uuv

 
uu
v


1
 . Como 0 , temos que
u

1
 .
Substituindo este valor de  em uv

 , obtemos:
u
u
u
u
vuv 





1
Logo
u
u
v 


 .
Propriedades da multiplicação de número real por vetor
(M1)   vuvu


(M2)   vvv


(M3) vv

1
(M4)      vvv


Definição
Sejam nvvvv

,.....,,, 321 vetores do 3
 ,  1n e n ,.....,,, 321  . Chama-se
combinação linear dos vetores nvvvv

,.....,,, 321 , com coeficientes n ,.....,,, 321 , ao
vetor: nn vvvvv

 .....332211 .

10. Geometria Analítica e Álgebra Linear 2-8
Definição
Uma base do 3
 é uma tripla ordenada de vetores  321 ,, eee

do 3
 , tais que não
existe nenhum plano paralelo simultaneamente aos vetores 321 e, eee

.
Proposição
Dado um vetor qualquer 3
v

, existe uma única tripla ordenada  321 ,,  , tal
que 332211 eeev

 .
Assim, na figura anterior temos:
11 eOR

 , 22 eOS

 e 33 eOT


Sendo  321 ,, eeeE

 uma base do 3
 , escreve-se:
332211 eeeOPv

 = E321 ,,  .
7. Sendo  Eu 4,1,1

e  Ev 5,3,1

, calcule: vu

 32 , na base  321 ,, eeeE

 .
vu

 32 =          EEEEE 7,7,515,9,38,2,25,3,134,1,12 
Ou seja, vu

 32 = 321 775 eee

 .
8. Sendo  Eu 1,4,1 

e
E
bav 






2
1
,,

e  Ecacw  2,,1

, e sabendo que
uwv

2 , calcule os valores de a, b e c.
Resposta: a= 1 , b=2 e c=0

11. Geometria Analítica e Álgebra Linear 2-9
Proposição
Seja  321 ,, eeeE

 uma base do 3
 . Dados os vetores 321 e, fff

, podemos
escrever:
3213
3212
3211
eteserf
epenemf
ecebeaf






.
Então  321 ,, fff

é uma base, se e somente se: 0det 










tsr
pnm
cba
.
9. Sendo E uma base, verifique se  321 ,, fff

é uma base nos casos:
a)  Ef 2,1,01 

,  Ef 4,0,02 

e  Ef 5,1,13 

Resposta: Sim.
b)  Ef 3,2,01 

,  Ef 2,1,12 

e  Ef 7,7,13 

Resposta: Não.
Definição
Uma base  321 ,, eeeE

 é ortonormal se 321 e, eee

são versores, dois a dois
ortogonais. ( 1321  eee

).
Proposição
Seja  321 ,, eeeE

 uma base ortonormal. Se 332211 eeev

 , então:
2
3
2
2
2
1 v

.
10. Seja  321 ,, eeeE

 uma base ortonormal. Sendo  Eu 2,1,0

e  Ev 6,4,2 

,
calcule:
a) u

Resposta: 5
b) v

Resposta: 56
c) vu

 Resposta: 45
d) vu

 2 Resposta: 261
e) vu


2
1
Resposta: 27

12. Geometria Analítica e Álgebra Linear 2-10
2.2.3 Produto escalar ou produto interno
Sendo u

e v

vetores, definimos o número real vu

 , do seguinte modo:
i) Se 0

u ou 0

v , então 0vu

(zero)
ii) Se 0

u e 0

v , então  cosvuvu

, onde  é o ângulo convexo entre os
vetores u

e v

. ( 0 ).
11. Se 0vu

, pode-se concluir que 0

u ou 0

v ?
Não! Pois, 0 vuvu

.
Proposição
Se  Eu 321 ,, 

e  Ev 321 ,, 

e  321 ,, eeeE

 é uma base ortonormal,
então: 332211 vu

.
Demonstração
Da Lei dos Cossenos temos que:
 cos2
222
vuvuQP =    vu

 22
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1 ( I )
Mas temos também que:
 
2
332211
22
,,  vuQP =      
2
33
2
22
2
11
     332211
2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1 2  ( II )
Igualando ( I ) com ( II ), obtemos:
    vu

 22
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1 =
     332211
2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1 2 
Logo concluímos que 332211 vu

.
Observação
Seja  321 ,, eeeE

 uma base ortonormal. Se 332211 eeeu

 , então:
2
3
2
2
2
1 u

uu

 
2
uuu


Assim, uuu

 
2
uuu

 .

13. Geometria Analítica e Álgebra Linear 2-11
12. Seja  321 ,, eeeE

 uma base ortonormal. Sendo  Eu 5,1,1 

e  Ev 1,4,2 

,
calcule:
a) vu


    7154121 vu

b) u

    27551111 u

c) v

    21114422 v

d) o ângulo entre u

e v

 cosvuvu

  cos21277
2127
7
cos


 arc
13. Seja  321 ,, eeeE

 uma base ortonormal. Sendo  Eu 1,4,1

e  Ev 8,1,0 

,
calcule:
a)   uvu

2 Resposta: 32
b)    vuvu

 Resposta: 47
14. Seja  321 ,, eeeE

 uma base ortonormal. Sendo  Eu 0,1,3

e  Ev 0,32,2

,
calcule o ângulo  convexo entre os vetores u

e v

. Resposta:
6

rad
Propriedades do produto escalar
(PE1)   wuvuwvu

 e   wvwuwvu


(PE2)      vuvuvu


(PE3) uvvu


(PE4) 0uu

; 00

 uuu
15. Prove:
a)
222
2 vvuuvu 
Lembrando que uuu

 
2
uuu

 , temos que:
     vvvuuuvuvuvu 2
2 22
2 vvuu 
b)
222
2 vvuuvu  . Analogamente, temos:
     vvvuuuvuvuvu 2
2 22
2 vvuu 
c) vuvu  (Desigualdade de Schwarz)
 cosvuvu

  cosvuvu

vuvu

 cos

14. Geometria Analítica e Álgebra Linear 2-12
d) vuvu  (Desigualdade Triangular)
222
2 vvuuvu 
22
2 vvuu 

22
2 vvuu 



 
2
vu 
2
vu 



 
2
vu vuvu 
2.2.4 Produto vetorial ou produto externo
Se u

// v

, então, por definição o produto vetorial (ou produto externo) de u

por v

é o
vetor nulo. Notação: 0

 vu ou 0

vu .
Se u

e v

não são paralelos, então vu

 é um vetor com as seguintes características:
a)  senvuvu

; onde  é o ângulo entre os vetores u

e v

.
b) vu

 é ortogonal a u

e a v

;
c) o sentido de vu

 pode ser dado pela regra da mão direita:
Assim, nas figuras que seguem tem-se: wvu

 e wuv


A regra da mão direita pode ser melhor observada nas figuras que seguem, onde o
polegar indica o sentido do vetor oriundo do produto vetorial:

15. Geometria Analítica e Álgebra Linear 2-13
Observação
Se  321 ,, eeeE

 é uma base ortonormal, então 321 eee

 ou 321 eee

 .
Temos ainda que 1111
2
sen2121 

 eeee

Definição
Uma base ortonormal chama-se dextrógira se 321 eee

 e levógira se
321 eee

 .
Observação
Se  kjiE

,, é uma base ortonormal dextrógira, então temos que:
kji

 jik


ikj

 jki


ijk

 0

 ii , etc.
Exemplo
16. Apresente os vetores kji

e, na base  kjiE

,, .
Resposta:  Ei 0,0,1

,  Ej 0,1,0

e  Ek 1,0,0


16. Geometria Analítica e Álgebra Linear 2-14
Propriedades do produto vetorial
(PV1)   wuvuwvu

 ou   wvwuwvu


(PV2)      vuvuvu


(PV3) uvvu


Proposição
Se  kjiE

,, é uma base ortonormal dextrógira, e se  Ecbau ,,

e  Epnmv ,,

,
então:











pnm
cba
kji
vu


det .
Demonstração:
 vu

    kpjnimkcjbia

 kiapjianiiam

 kjbpjjbnijbm

 kkcpjkcnikcm

 icnjcmibpkbmjapkan

       kbmanjcmapicnbp



















k
nm
ba
j
pm
ca
i
pn
cb 
detdetdet










pnm
cba
kji

det
Exemplos
17. Sendo  kjiE

,, uma base ortonormal dextrógira,  Eu 3,1,1

e  Ev 4,1,1 

,
calcule vu

 :
kji
kji
vu



27
411
311det 











 .
18. Sendo  kjiE

,, uma base ortonormal dextrógira, calcule vu

 nos seguintes
casos:
a)  Eu 0,1,2

e  Ev 2,3,1 

Resposta:  E7,4,2 
b)  Eu 1,1,2 

e  Ev 4,5,2

Resposta:  E8,10,9 

17. Geometria Analítica e Álgebra Linear 2-15
19. Obtenha x

tal que kjx

 e 5x

, sendo  kjiE

,, uma base ortonormal
dextrógira.
Resolução:
kcjbiax


 jx

kcba
kji













010
det  kicka

  a = 1 e c = 0.
Mas 5x

 522
 ba  51 22
 b  51 22
 b 2 b
Logo jix

 2
20. Obtenha x

tal que   0 jix

e   kikix

2
1
2  , sendo  kjiE

,, uma
base ortonormal dextrógira.
Resolução:
kcjbiax


  0 jix

     bacba  0011
  kikix

2
1
2   










201
det caa
kji

ki

2
1
 
  kajacia

 22 ki

2
1


2
1
12  aa
10
2
1
202  ccac
Logo kjix


2
1
2
1
21. Obtenha x

tal que ux

 , vx

 e 10x

, sabendo que kjivu

 224 ,
sendo  kjiE

,, uma base ortonormal dextrógira.
Resolução:
  52241
222
 vu

Sabemos que  vux

   vux

  2510 
Logo x

   kjivu

 22422 =  E24,8,2

18. Geometria Analítica e Álgebra Linear 2-16
22. Obtenha x

tal que  Ex 1,1,1

,  Ex 3,1,2

e 6x

, sendo  kjiE

,, uma base
ortonormal dextrógira. Resposta:  E1,1,2 
Interpretação geométrica do produto vetorial
Assim, a área do paralelogramo que tem veu

como lados é a norma do produto
vetorial destes vetores, isto é vuS

 .
2.2.5 Produto misto
Dados os vetores u

, v

e w

, o produto misto destes 3 vetores é um número real
representado por wvu

 ou  wvu

,, . (Efetua-se primeiro o produto vetorial)
Nulidade do produto misto
Dados os vetores u

, v

e w

, o produto misto destes 3 vetores wvu

 = 0 se:
i) Pelo menos um destes vetores for nulo; ou
ii) u

// v

(pois neste caso 0

 vu ), ou
iii) Os três vetores são coplanares.
Proposição
Se  kjiE

,, é uma base ortonormal dextrógira, e se  Ecbau ,,

,  Epnmv ,,

e
 Etsrw ,,

, então: wvu













tsr
pnm
cba
det .
Demonstração:
Sabemos que











pnm
cba
kji
vu


det = k
nm
ba
j
pm
ca
i
pn
cb 


















detdetdet
Logo  vu

E
nm
ba
pm
ca
pn
cb


























det,det,det . Então

19. Geometria Analítica e Álgebra Linear 2-17
wvu

 = 

















t
nm
ba
s
pm
ca
r
pn
cb
detdetdet










tsr
pnm
cba
det
23. Calcule o produto misto dos vetores  Eu 1,2,1

,  Ev 1,0,1

e  Ew 3,2,1

, sendo
 kjiE

,, é uma base ortonormal dextrógira.
Resolução:
wvu













tsr
pnm
cba
det 4
321
101
121
det 











Propriedades do produto misto
(PM1)      wvuwvuwvuu

,,,,,, 2121 
     wvuwvuwvvu

,,,,,, 2121 
     2121 ,,,,,, wvuwvuwwvu


(PM2)        wvuwvuwvuwvu

,,,,,,,, 
(PM3) O produto misto  wvu

,, muda de sinal permutando-se dois vetores:
     uwvwuvwvu

,,,,,, 
     vuwuvwwvu

,,,,,, 
     vuwvwuwvu

,,,,,, 
(PM4) O produto misto não se altera se permutarmos os símbolos  e
wvu

 = wvu


Interpretação geométrica do produto misto
Assim, o volume do sólido do paralelepípedo da figura anterior é
 coswvuV

= wvu


24. Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores  Eu 4,1,2

,
 Ev 3,1,2 

e  Ew 1,4,5

, sendo  kjiE

,, é uma base ortonormal dextrógira.
Resposta: V= 39

20. Geometria Analítica e Álgebra Linear 2-18
2.3 Exercícios sobre vetores
Considere em todos estes exercícios  kjiE

,, uma base ortonormal dextrógira.
25. Determine x, sabendo que os vetores são paralelos, nos casos:
a)  Eu 10,3,1

,  Exv 20,,2 

b)  Exu ,2,0

,  Ev 6,3,0

c) kjiu

 32 e kjixv

 39
26. Calcular a para que os vetores sejam coplanares, nos casos:
a)  Eu 0,3,1

,  Ev 14,1,2

e  Eaw ,4,3

Resposta: a = 14
b) jiau

 3 , kjav

 e kjiw

 Resposta:
2
131
a
27. Dados iu

 2 , kjiv

 e kjiw

 662 , escrever, se possível, w

como combinação linear de u

e v

. Resposta: vuw

 64
28. Dados  Eu 0,0,2

,  Ev 1,1,1

e  Ew 2,6,2

, escrever, se possível, w

como
combinação linear de u

e v

.
Resposta: É impossível, pois estes três vetores não são coplanares.
29. Sendo wvu

e, coplanares, 2u

, 3v

, 4w

e o ângulo  entre os vetores
vu

e é de
2

radianos, ache:
a) vu  Resposta: 13
b) o versor de  vu

 Resposta:
13
vu


c)    vuvu

 Resposta: 5
30. Determinar o ângulo  entre os vetores vu

e , sabendo-se que 0

 wvu ,
2u

, 3v

, 4w

. Resposta:
4
1
cosarc
31. Seja um paralelogramo construído sobre os vetores vu

e . Determinar o ângulo 
entre as diagonais deste paralelogramo, sabendo-se que: 3u

, 1v e o ângulo 
entre os vetores vu

e é de
6

radianos. Resposta:
7
72
cosarc
32. Sabendo que  Ev 1,1,1 

, calcular o(s) vetor(es)  Eu  ,,

, que satisfaçam
simultaneamente as 3 condições abaixo:
a) iu


b) 0vu

c) 63 vu

Resposta:  Eu 3,3,0


21. Geometria Analítica e Álgebra Linear 2-19
33. Determinar a área do paralelogramo construído sobre vu

e , cujas diagonais são:
 Evu 5,3,0

e  Evu 1,1,2

. Resposta: 35
34. Determinar vetorialmente o ângulo formado por duas diagonais de um cubo.
Resposta:  70
3
1
cosarc
35. (Importante !) Expresse vetorialmente a projeção de um vetor v

sobre um vetor u

.
Resposta: u
u
uv
vproju




 







 
 2
2.4 Referências Bibliográficas
1. BARSOTTI, Leo. Geometria Analítica e Vetores. 3.a Edição. Curitiba: Artes Gráficas e
Editora Unificado, 1984.
2. BOULOS, Paulo, CAMARGO, Ivan de. Geometria Analítica – Um tratamento Vetorial.
São Paulo: Makron Books do Brasil Editora Ltda, 1987.
3. BOULOS, Paulo, CAMARGO, Ivan de. Introdução à Geometria Analítica no Espaço.
São Paulo: Makron Books do Brasil Editora Ltda, 1997.
4. VENTURI, Jacir J. Sistemas de Coordenadas e Álgebra Vetorial. Curitiba: Artes Gráficas
e Editora Unificado, 1987.