O documento discute os desafios no ensino de matemática, em particular a ideia equivocada de que professores sempre sabem a resposta para qualquer problema. Também aborda a importância de ensinar a resolução de problemas reais em vez de exercícios mecânicos.

1. A CONTA É DE MAIS OU
DE MENOS?
Quase-problemas no ensino de Matemática
Carlos Jennings
fisicojennings@gmail.com

2. Um dos grandes mal-entendidos sobre a matemática
que perpetramos em nossas salas de aula é que o
professor sempre parece saber a resposta para
qualquer problema que esteja sendo discutido. Isso dá
ao aluno a ideia de que, em alguma parte, há um
livro com todas as respostas certas para todas as
questões interessantes, e que os professores conhecem
essas respostas. E se conseguirmos por as mãos nesse
livro, tudo estará resolvido. Isso se distancia
inteiramente da verdadeira natureza da matemática.
LEON HENKIN

3. NOSSO PROBLEMA
A ponta do iceberg

4. Programas de avaliação
Indicador Nacional de Alfabetismo Funcional INAF
Desenvolvido pelo Instituto Paulo Montenegro e pela ONG
Ação Educativa.
Oferece informações sobre as habilidades e as práticas
de leitura e cálculo de jovens e adultos.

5. Programas de avaliação
● 29% encontram muita dificuldade em resolver problemas
envolvendo cálculos simples que envolvem operações (de
adição, subtração, multiplicação e divisão).
● 23% são capazes de adotar e controlar uma estratégia
na resolução de um problema que envolva a execução
de uma série de operações envolvendo adição,
subtração, multiplicação, divisão e cálculo proporcional.

6. Programas de avaliação
Sistema Nacional de Avaliação da Educação
Básica SAEB
Desenvolvido pelo Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas
Educacionais Anísio Teixeira – INEP.
Desde 1990, avalia os estudantes brasileiros da 4ª e 8ª
séries do Ensino Fundamental e 1ª e 3ª série do Ensino
Médio.

7. Programas de avaliação
● Os alunos desenvolvem algumas habilidades elementares
de interpretação de problemas, mas não conseguem
transpor o que é pedido no enunciado para uma
linguagem matemática específica.
● Na 8ª série, por exemplo, os alunos resolvem expressões
com uma incógnita, mas não interpretam os dados de
um problema fazendo uso de símbolos matemáticos
específicos.

8. Programas de avaliação
Programa Internacional de Avaliação
de Estudantes PISA
Avalia o desempenho de alunos de 15 anos de
idade, produzindo indicadores sobre a efetividade
dos sistemas educacionais em diferentes países.
Desenvolvido e coordenado internacionalmente
pela Organização para Cooperação e
Desenvolvimento Econômico (OCDE); no Brasil é
coordenado pelo INEP.

9. Programas de avaliação
● Os alunos apresentam dificuldades em recuperar
e transformar um dado matemático.
● Núcleo da dificuldade: leitura e transformação
da linguagem matemática.

10. A aprendizagem como problema
Pontos de referência
A leitura ultrapassa a aprendizagem em língua materna.
A leitura requer uma sistematização por todos
os envolvidos no processo de ensino.
A resolução de problemas deve ter ênfase no "resgate“
da linguagem matemática.
A resolução de problemas não é uma questão exclusiva
da Matemática.

11. Um problema de todos
ACIDENTES DE TRÂNSITO CUSTAM R$ 5,3 BI POR ANO
No Brasil, registra-se um alto número de mortes devido a
acidentes de trânsito. Além da dor e do sofrimento das
vítimas e seus familiares, a violência no trânsito tem um
custo social de R$ 5,3 bilhões por ano, segundo
levantamento realizado pelo Instituto de Pesquisa
Econômica Aplicada (Ipea), publicado em 2003. Desse
total, 30% são devidos aos gastos com saúde e o restante
é devido à previdência, justiça, seguro e infraestrutura.

12. Um problema de todos
De acordo com esse levantamento, de janeiro a julho de
2003, os acidentes de trânsito consumiram entre 30% e 40%
do que o Sistema Único de Saúde (SUS) gastou com
internações por causas externas, resultantes de acidentes e
violência em geral.

13. O problema real como método
Oferece suporte à curiosidade: situações reais na sala
de aula propiciam a descoberta do novo.
Desenvolve o raciocínio interpretativo, auxiliando
na convivência com esse mundo de interpretações.
Necessita de conhecimentos adquiridos anteriormente
e da percepção de novos caminhos a serem traçados.
Resolução de problemas: assim caminha a Matemática.

14. O problema real como método
Sistema Sistema
“De Fábrica” Lacinho
Americano Europeu

15. O problema real como método
As disposições possíveis para os cadarços tinham sido
estudadas pelo matemático John Halton: casos particulares
do problema do caixeiro viajante.
Um caixeiro quer passar por um número fixo de cidades,
visitando-as todas apenas uma vez e tendo fixada a cidade
de partida e a de chegada.
Burkard Polster, matemático australiano, abordou o
problema em estudo publicado na Nature, apontando
as disposições mais eficientes.

16. O problema real como método

17. O problema real como método
É paradoxal, mas a faixa do lado parece sempre ir mais
depressa.
Donald A. Redelmeyer (Universidade de Toronto) e Robert
J. Tibshirani (Universidade de Stanford) publicaram estudos
na Nature e na Chance.
A ilusão de que a outra faixa anda mais depressa baseia-se
em fatores objetivos. A subjetividade é apenas parte do
problema.

18. Exercício X problema
O exercício
Sustenta-se num procedimento padrão: o aluno tem certo
domínio na obtenção do resultado ou tem memorizado
o mecanismo resolutivo.
Não demanda decisão sobre o procedimento
a ser utilizado para se chegar à solução.
Consolida e automatiza certas técnicas, habilidades
e procedimentos necessários para posterior solução
de problemas.

19. Piada filosófica profunda
Professor: “Suponha que x seja o número
de ovelhas no problema”.
Aluno: “Mas, professor, suponha que x
não seja o número de ovelhas”.
John Edensor Littlewood
A Mathematician’s Miscellany

20. Problema X exercício
O problema
Uma situação imprevisível, um obstáculo a ser superado
com maior ou menor complexidade.
Uma situação onde se procura algo desconhecido e não
se tem previamente nenhum algoritmo que garanta a
solução.
Exige reflexão, questionamento e tomada de decisão.

21. Resolução de problemas
Ensinar a resolver problemas: criar a atitude de enfrentar
a aprendizagem como um problema
para o qual deve ser encontrada uma resposta.
Importância: a motivação natural de estudar problemas
reais.
O cotidiano na sala de aula: abordagem intuitiva
e conceitual.
O que é desconhecido para alguns, pode ser resolvido
muito rapidamente por outros.

22. Resolução de problemas
O problema apresentará uma situação diferente da
que já se tenha trabalhado, mas que se utilize de
técnicas e estratégias já aprendidas para a sua solução.
Exigência: problemas não-rotineiros e não-algorítmicos.
A grande significação da Matemática reside fora da
matemática.

23. Problemas padrões
Quase-problemas: aplicação direta de um ou mais
algoritmos anteriormente aprendidos.
Não exigem estratégias para a sua solução.
A solução já está contida no próprio enunciado.
A tarefa básica é transformar a linguagem usual para
uma linguagem matemática adequada, identificando
quais operações ou algoritmos são apropriados para
resolver o problema.

24. Problemas padrões
Objetivo: recordar e fixar os fatos básicos através dos
algoritmos das quatro operações fundamentais e
reforçar as relações entre estas operações e suas
aplicações nas situações do cotidiano.

25. Problemas padrões
Julgue os itens a seguir:
1. Considere que um pedaço de fio elétrico tenha a seguinte
característica: 3 vezes o seu comprimento, em metros, mais
15m é menor que duas vezes o seu comprimento, em
metros, mais 27m. Nesse caso, o comprimento desse pedaço
de fio elétrico é superior a 14m.
Solução:
3x + 15 < 2x + 27
x < 12

26. Problemas padrões
2. Considere que uma caixa d’água cúbica tem as
arestas medindo 2m de comprimento. Então, essa caixa
d’água tem capacidade para mais de 7.000 litros de
água.
Solução:
V = a3 = 23 = 8m3 = 8.000dm3 = 8.000 litros

27. Problemas padrões
3. Considere que 6,2kg de castanhas-do-pará serão
acondicionados em embalagens com capacidade para
25kg. Se, em cada embalagem, for colocado o máximo
possível de castanhas, então serão necessárias menos de
250 embalagens.
Solução:
Número mínimo de embalagens:

28. Fontes de problemas
Jornais e revistas
Anúncio de venda de um imóvel: a planta do apartamento
e sua localização.
Escala, área, orientação espacial, perímetro, custo de
materiais, confecção de maquetes, sólidos geométricos...
Pesquisas de opinião: modos de realização da pesquisa,
elaboração das tabelas e dos gráficos, a motivação da
pesquisa estatística.
Questionar eventuais erros de impressão, de informação,
causas e consequências destes.

29. De volta a um problema de todos
ACIDENTES DE TRÂNSITO CUSTAM R$ 5,3 BI POR ANO
No Brasil, registra-se um alto número de mortes devido
a acidentes de trânsito. Além da dor e do sofrimento das
vítimas e seus familiares, a violência no trânsito tem um
custo social de R$ 5,3 bilhões por ano, segundo
levantamento realizado pelo Instituto de Pesquisa
Econômica Aplicada (Ipea), publicado em 2003. Desse
total, 30% são devidos aos gastos com saúde e o restante
é devido à previdência, justiça, seguro e infraestrutura.

30. De volta a um problema de todos
De acordo com esse levantamento, de janeiro a julho de
2003, os acidentes de trânsito consumiram entre 30% e 40%
do que o Sistema Único de Saúde (SUS) gastou com
internações por causas externas, resultantes de acidentes
e violência em geral.

31. De volta a um problema de todos
Considerando o texto e o tema por ele abordado, julgue
os itens a seguir:
1. Do custo social de 5,3 bilhões por ano, R$ 1,59 bilhão
foi gasto com saúde.
Solução:
Saúde: 30% x 5,3 bilhões = 1,59 bilhão

32. De volta a um problema de todos
2. Supondo que, em 2004, o gasto com cada um dos itens
saúde, justiça, seguro e infraestrutura seja reduzido em
10%, é correto concluir que o gasto total com o conjunto
desses itens, em 2004, será superior a 4,8 bilhões.
Solução:
Redução de 10% de cada componente = redução de
10% do total
Gasto com a redução: 90% x 5,3 bilhões = 4,77 bilhões

33. De volta a um problema de todos
3. Considerando que, de janeiro a julho de 2003, o gasto
total do SUS com internações por causas externas, resultantes
de acidentes e violência em geral, tenha sido entre R$ 2
bilhões e R$ 2,5 bilhões, é correto concluir que a parte desse
gasto que foi consumida pelos acidentes de trânsito foi
superior a R$ 500 milhões e inferior a R$ 1,1 bilhão.
Solução:
Gasto com acidentes: entre 2 bilhões e 2,5 bilhões.
Acidentes de trânsito levaram entre 30% e 40% do gasto do
SUS:
30% x 2 bilhões = 0,600 bilhão = 600 milhões
40% x 2,5 bilhões = 1 bilhão

34. De volta a um problema de todos
4. Se os gastos, em reais, com previdência, justiça, seguro e
infraestrutura correspondem, respectivamente, a 25%, 20%,
15% e 10% do custo social de 5,3 bilhão, então os gastos com
saúde, previdência, justiça, seguro e infraestrutura foram,
nessa ordem, uma progressão aritmética de razão igual a
R$ 265 milhões.
Solução:
Os percentuais de gasto 25%, 20%, 15% e 10% formam uma
PA de razão -5% = - 0,05% do gasto total.
Razão = -0,05 x 5,3 bilhões = -0,265 bilhão = -265 milhões

35. Mais um problema de todos
FICOU PIOR PARA QUEM BEBE
O governo ainda espera a consolidação dos dados do
primeiro mês de aplicação da Lei Seca para avaliar seu
impacto sobre a cassação de CNHs. As primeiras projeções
indicam, porém, que as apreensões subirão, no mínimo,
10%. Antes da vigência da Lei Seca, eram suspensas ou
cassadas, em média, aproximadamente 155.000 CNHs por
ano. Se as previsões estiverem corretas, a média anual deve
subir para próximo de 170.000. A tabela a seguir mostra
esses resultados nos últimos anos.

36. Mais um problema de todos
* dados de janeiro a junho
Veja, ed. 2.072, 6/8/2008, p.51 (com adaptações)

37. Mais um problema de todos
1. Para que a média de CNHs suspensas ou cassadas, de
2003 a 2008, atinja o valor previsto de 170.000, será
necessário que, em 2008, a quantidade de CNHs suspensas
ou cassadas seja um número:
a) Inferior a 180.000.
b) Superior a 180.000 e inferior a 200.000.
c) Superior a 200.000 e inferior a 220.000.
d) Superior a 220.000 e inferior a 240.000.
e) Superior a 240.000.

38. Mais um problema de todos
2. Suponha que, em 2006, nenhuma CNH tenha sofrido
simultaneamente as penalidades de suspensão e de
cassação e que, nesse mesmo ano, para cada 5 CNHs
suspensas, 3 eram cassadas. Nessa situação, é correto
afirmar que a diferença entre o número de CNHs suspensas
e o de cassadas é:
a) Inferior a 24.000.
b) Superior a 24.000 e inferior a 25.000.
c) Superior a 25.000 e inferior a 26.000.
d) Superior a 26.000 e inferior a 27.000.
e) Superior a 27.000.

39. Fontes de problemas
Os alunos se dão conta que nem sempre uma discrepância
no resultado é falha deles. Isso lhes dá maior segurança
para resolverem problemas em outras situações.
O erro passa a ser visto como uma possibilidade
e ocorrência natural.
Na resolução de problemas não há somente uma solução,
pode-se chegar a um determinado lugar por diferentes
caminhos; assim os alunos formarão diversificadas opiniões.

40. Referências
DANTE, L. R. Didática da Resolução de Problemas de
Matemática. 2 ed. São Paulo: Ática, 1991;
_______. Criatividade e resolução na prática educativa
Matemática. Rio Claro: Instituto de Geociências e Ciências
Exatas, Tese de Livre Docência, 1988;
DEMO, P. Educação e qualidade. Campinas: Papirus,
1996;
INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS
EDUCACIONAIS ANêSIO TEIXEIRA (2003). Resultados
do SAEB 2003. Sistema Nacional de Avaliação da
Educação Básica (SAEB), Brasília-DF.

41. Referências
INSTITUTO PAULO MONTENEGRO (2004). Avaliação de
habilidades matemáticas. IV Indicador Nacional de
Alfabetismo Funcional (INAF), São Paulo-SP.
KLINE, Morris. O fracasso da Matemática moderna.
Tradução Leônidas Gontijo de Carvalho. São Paulo:
IBRASA, 1976;
Letramento em leitura, matemática e ciência. Programa
Internacional de Avaliação de Alunos (PISA), Ministério da
Educação e do Desporto. Brasília-DF.

42. Referências
LOPES, A. J. et al. Resolução de Problemas: observações a
partir do desempenho dos alunos. A educação Matemática
em revista. Revista da Sociedade Brasileira de Educação
Matemática (SBEM) Ano II – n. 3 e 2, semestre 94, p. 33-40.
MANDEL, Ambrogio Giacomo. A filosofia da Matemática.
Lisboa: Edições 70, sem data.
MEC (1998) Parâmetros Curriculares Nacionais, terceiro e
quarto ciclos: apresentação dos temas transversais – 1998.
Secretaria de Educação Fundamental, Ministério da
Educação e do Desporto, Brasília, DF.

43. Deus existe pois a matemática é consistente, e o
demônio existe pois não podemos provar isso.
ANDRE WEIL