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     L A


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              Equação do 2º grau


 Introdução                                  S abemos, de aulas anteriores, que podemos
              resolver problemas usando equações. A resolução de problemas pelo método
              algébrico consiste em algumas etapas que vamos recordar:

                 l   Representar o valor desconhecido do problema, a incógnita, por uma
              letra que, em geral, é a letra x.

                 l Escrever a senteça matemática que “traduz” o problema. É o que
              chamamos de equacionar o problema.

                 l   Resolver a equação do problema.

                 l  Verificar a solução encontrada escolhendo a solução correta, de acordo
              com o que foi solicitado no problema.

                  Nas aulas em que já foram estudados problemas e sua resolução gráfica,
              as equações encontradas eram do 1º grau.

                  Vamos estudar agora as equações do 2º grau, usadas na resolução de
              problemas de diferentes assuntos que apresentam necessidade desse tipo
              de equação.

                  Vejamos o seguinte problema: na figura a seguir, temos um retângulo de
              comprimento 6 cm e cuja largura é desconhecida, ou seja, não sabemos sua
 Nossa aula   medida. Ao lado desse retângulo temos um quadrado cujo lado é igual à
              largura do retângulo. Vamos determinar o lado do quadrado, sabendo que a
              área total da figura é de 16 cm2.
Chamamos o lado do quadrado, que é a incógnita do problema, de x.                  A U L A

   Calculando as áreas do retângulo e do quadrado, temos:
                                                                                      74
   Área do retângulo:                   6 . x = 6x
                                                 2
   Área do quadrado:                    x.x=x

   A área total da figura é:
                           2
                6x + x = 16 ® equação do problema

    Vamos, agora, “arrumar” a equação do problema, colocando todos os
termos no primeiro membro e ordenando-os de acordo com as potências de x,
da maior para a menor, ou seja, de modo decrescente.
                 2
                x      +                 6x    -      16   =        0
                ß                        ß            ß
                termo                    termo        termo
                     2
                em x                     em x         sem x
                                             2
    Essa equação é da forma ax + bx + c = 0 e é chamada de equação do
2º grau.


   Os coeficientes a, b e c são números reais e a ¹ 0. Veja os exemplos:


                           2
   l   Na equação 2x - 4x + 5 = 0, os coeficientes são:

       a = 2,   b= -4              e     c=5


                       2
   l   Na equação x + 5x = 0, os coeficientes são:

       a = 1,   b=5            e       c = 0 (não existe o termo independente de x)


   l   Na equação 2x2 - 9 = 0, os coeficientes são:

       a = 2,   b=0            e       c = - 9 (não existe o termo do 1º grau em x)


                           2
   l   Na equação 4x = 0, os coeficientes são:

       a = 4,   b= 0           e       c = 0 (faltam dois termos)


    A equação que encontramos no problema inicial é uma equação completa,
pois não tem coeficientes nulos. Quando uma equação do 2º grau possui um ou
dois coeficientes nulos ela é chamada de incompleta. Aprenderemos como
resolver os diferentes tipos de equação incompletas ainda nesta aula. As
equações completas serão estudadas na próxima aula.
A U L A       Você se lembra de que, quando definimos equação do 2º grau, escrevemos
          que a é diferente de zero. O que aconteceria se a fosse igual a zero?

74                                                        2
              Vamos substituir a por zero na equação ax + bx + c = 0.

              A equação ficará assim:

                               0 . x + bx + c = 0


                             bx + c = 0 ® equação do 1º grau.


              Portanto, o coeficiente do termo de 2º grau não pode ser zero pois, anulando
          esse termo, a equação deixa de ser do 2º grau.


              Resolução de uma equação

             Já vimos, quando estudamos equações do 1º grau, que resolver uma
          equação é encontrar um valor da variável x que torna a equação verdadeira
          quando substituímos x por esse valor.

              No caso da equação do 2º grau, podemos encontrar até duas soluções
          diferentes para uma equação.


              EXEMPLO 1

              a) Verifique, na equação do problema inicial, se o número 2 é solução da
                 equação.

                 A equação é: x2 + 6x - 16 = 0
                 Substituindo x por 2, temos:
                         2
                        2 + 6 . 2- 16 = 0
                          4 + 12 - 16               =0
                              16- 16 = 0            ® sentença verdadeira
                                                              2
                 Logo, x = 2 é uma solução da equação x + 6x - 16 = 0.


              b) Verifique, na mesma equação, se 1 é solução.
                 Substituindo x por 1, temos:
                         2
                        1 + 6 . 1- 16 = 0
                         1 + 6 - 16                 =0
                                7- 16 = 0           ® sentença falsa

                 Logo, x = 1 não é solução da equação x2 + 6x - 16 = 0.
Resolução das equações incompletas                                                     A U L A


    Equações do 2º grau em que b = 0 (equações do tipo ax + c = 0)
                                                                                2          74
     Nesse caso, a equação só tem um termo em x, então a resolvemos como se
ela fosse uma equação do 1º grau.
                   2
              ax + c = 0
                            2
                       ax           = -c   ®          isolando o termo em x no 1º membro
                                2     -c
                            x =            ®          calculando o termo em x
                                      a



                                -c
              x=±                          ®      extraindo a raiz quadrada
                                a


                                                       -c              -c
    As soluções da equação são x1 = +                       e x2 = -
                                                       a               a



    Esse tipo de equação pode ter duas soluções reais, caso o radicando - c
seja um número positivo.                                                a
                                           æ-c Ð 0ö
    Se o radicando for negativo è a ø a equação não terá solução, pois a raiz
de índice par de um número negativo não é um número real.

   No caso do radicando ser nulo, a equação terá uma única solução,
também nula.



    EXEMPLO 2
                                      2
    Resolver a equação 3x - 27 = 0

              3x2 = 27
                        27
              x2 =
                         3
               2
              x =9

              x= x=± 9 ®x=+3


    As soluções da equação são +3 e -3.
2
A U L A      Equações do 2º grau em que c = 0 (equações do tipo ax + bx = 0)


74            Observe que essa equação possui dois termos em x. Nesse caso, podemos
                    2
          fatorar ax + bx, colocando x em evidência:

                                              x (ax + b) = 0


              Obtivemos um produto de dois fatores que deve ser igual a zero. Logo um
          dos fatores deve ser nulo:

                                                  x=0
                                          ì

                 Se x (ax + b) = 0, então                    ou

                                           î
                                          ax + b = 0 ® ax = -b

                                                           -b
                                                      x=
                                                            a


                                                                         -b
             As soluções da equação são x1 = 0           e        x2 =
                                                                          a

              Nesse tipo de equação, encontraremos sempre duas soluções diferentes,
          sendo uma delas igual a zero.




             EXEMPLO 3


                                      2
             Resolver a equação 3x - 15x = 0.


                        x (3x - 15) = 0

                        x=0

                        ou

                        3x - 15 = 0
                                                15
                        3x = 15       ® x=         ® x=5
                                                 3

             As soluções são x 1 = 0 e x 2 = 5.
Exercício 1
               2
                                                                        Exercícios
                                                                         A U L A
   Na equação x - 7x + 10 = 0, verifique se o número 5 é solução.

                                                                        74
Exercício 2
   Qual é o número que elevado ao quadrado é igual ao seu dobro?


Exercício 3
   Quais são os coeficientes da equação
                                        x2 x
                                          - + 5 = 0?
                                        2 4


Exercício 4
   Resolva as equações incompletas:
        2
   a) 6x + 6x = 0
          2
   b) 25x = 0
        2
   c) 2x = - 8
        2
   d) 2x - 72 = 0


Exercício 5
   Dados os números 0, - 1, 1, indique quais são soluções da equação:
    2
   x + 3x - 4 = 0.

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  • 1. A UA U L A L A 74 74 Equação do 2º grau Introdução S abemos, de aulas anteriores, que podemos resolver problemas usando equações. A resolução de problemas pelo método algébrico consiste em algumas etapas que vamos recordar: l Representar o valor desconhecido do problema, a incógnita, por uma letra que, em geral, é a letra x. l Escrever a senteça matemática que “traduz” o problema. É o que chamamos de equacionar o problema. l Resolver a equação do problema. l Verificar a solução encontrada escolhendo a solução correta, de acordo com o que foi solicitado no problema. Nas aulas em que já foram estudados problemas e sua resolução gráfica, as equações encontradas eram do 1º grau. Vamos estudar agora as equações do 2º grau, usadas na resolução de problemas de diferentes assuntos que apresentam necessidade desse tipo de equação. Vejamos o seguinte problema: na figura a seguir, temos um retângulo de comprimento 6 cm e cuja largura é desconhecida, ou seja, não sabemos sua Nossa aula medida. Ao lado desse retângulo temos um quadrado cujo lado é igual à largura do retângulo. Vamos determinar o lado do quadrado, sabendo que a área total da figura é de 16 cm2.
  • 2. Chamamos o lado do quadrado, que é a incógnita do problema, de x. A U L A Calculando as áreas do retângulo e do quadrado, temos: 74 Área do retângulo: 6 . x = 6x 2 Área do quadrado: x.x=x A área total da figura é: 2 6x + x = 16 ® equação do problema Vamos, agora, “arrumar” a equação do problema, colocando todos os termos no primeiro membro e ordenando-os de acordo com as potências de x, da maior para a menor, ou seja, de modo decrescente. 2 x + 6x - 16 = 0 ß ß ß termo termo termo 2 em x em x sem x 2 Essa equação é da forma ax + bx + c = 0 e é chamada de equação do 2º grau. Os coeficientes a, b e c são números reais e a ¹ 0. Veja os exemplos: 2 l Na equação 2x - 4x + 5 = 0, os coeficientes são: a = 2, b= -4 e c=5 2 l Na equação x + 5x = 0, os coeficientes são: a = 1, b=5 e c = 0 (não existe o termo independente de x) l Na equação 2x2 - 9 = 0, os coeficientes são: a = 2, b=0 e c = - 9 (não existe o termo do 1º grau em x) 2 l Na equação 4x = 0, os coeficientes são: a = 4, b= 0 e c = 0 (faltam dois termos) A equação que encontramos no problema inicial é uma equação completa, pois não tem coeficientes nulos. Quando uma equação do 2º grau possui um ou dois coeficientes nulos ela é chamada de incompleta. Aprenderemos como resolver os diferentes tipos de equação incompletas ainda nesta aula. As equações completas serão estudadas na próxima aula.
  • 3. A U L A Você se lembra de que, quando definimos equação do 2º grau, escrevemos que a é diferente de zero. O que aconteceria se a fosse igual a zero? 74 2 Vamos substituir a por zero na equação ax + bx + c = 0. A equação ficará assim: 0 . x + bx + c = 0 bx + c = 0 ® equação do 1º grau. Portanto, o coeficiente do termo de 2º grau não pode ser zero pois, anulando esse termo, a equação deixa de ser do 2º grau. Resolução de uma equação Já vimos, quando estudamos equações do 1º grau, que resolver uma equação é encontrar um valor da variável x que torna a equação verdadeira quando substituímos x por esse valor. No caso da equação do 2º grau, podemos encontrar até duas soluções diferentes para uma equação. EXEMPLO 1 a) Verifique, na equação do problema inicial, se o número 2 é solução da equação. A equação é: x2 + 6x - 16 = 0 Substituindo x por 2, temos: 2 2 + 6 . 2- 16 = 0 4 + 12 - 16 =0 16- 16 = 0 ® sentença verdadeira 2 Logo, x = 2 é uma solução da equação x + 6x - 16 = 0. b) Verifique, na mesma equação, se 1 é solução. Substituindo x por 1, temos: 2 1 + 6 . 1- 16 = 0 1 + 6 - 16 =0 7- 16 = 0 ® sentença falsa Logo, x = 1 não é solução da equação x2 + 6x - 16 = 0.
  • 4. Resolução das equações incompletas A U L A Equações do 2º grau em que b = 0 (equações do tipo ax + c = 0) 2 74 Nesse caso, a equação só tem um termo em x, então a resolvemos como se ela fosse uma equação do 1º grau. 2 ax + c = 0 2 ax = -c ® isolando o termo em x no 1º membro 2 -c x = ® calculando o termo em x a -c x=± ® extraindo a raiz quadrada a -c -c As soluções da equação são x1 = + e x2 = - a a Esse tipo de equação pode ter duas soluções reais, caso o radicando - c seja um número positivo. a æ-c Ð 0ö Se o radicando for negativo è a ø a equação não terá solução, pois a raiz de índice par de um número negativo não é um número real. No caso do radicando ser nulo, a equação terá uma única solução, também nula. EXEMPLO 2 2 Resolver a equação 3x - 27 = 0 3x2 = 27 27 x2 = 3 2 x =9 x= x=± 9 ®x=+3 As soluções da equação são +3 e -3.
  • 5. 2 A U L A Equações do 2º grau em que c = 0 (equações do tipo ax + bx = 0) 74 Observe que essa equação possui dois termos em x. Nesse caso, podemos 2 fatorar ax + bx, colocando x em evidência: x (ax + b) = 0 Obtivemos um produto de dois fatores que deve ser igual a zero. Logo um dos fatores deve ser nulo: x=0 ì Se x (ax + b) = 0, então ou î ax + b = 0 ® ax = -b -b x= a -b As soluções da equação são x1 = 0 e x2 = a Nesse tipo de equação, encontraremos sempre duas soluções diferentes, sendo uma delas igual a zero. EXEMPLO 3 2 Resolver a equação 3x - 15x = 0. x (3x - 15) = 0 x=0 ou 3x - 15 = 0 15 3x = 15 ® x= ® x=5 3 As soluções são x 1 = 0 e x 2 = 5.
  • 6. Exercício 1 2 Exercícios A U L A Na equação x - 7x + 10 = 0, verifique se o número 5 é solução. 74 Exercício 2 Qual é o número que elevado ao quadrado é igual ao seu dobro? Exercício 3 Quais são os coeficientes da equação x2 x - + 5 = 0? 2 4 Exercício 4 Resolva as equações incompletas: 2 a) 6x + 6x = 0 2 b) 25x = 0 2 c) 2x = - 8 2 d) 2x - 72 = 0 Exercício 5 Dados os números 0, - 1, 1, indique quais são soluções da equação: 2 x + 3x - 4 = 0.