Métodos Iterativos - Gauss-Seidel - @professorenan

Sistemas Lineares
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Métodos Iterativos
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Métodos Iterativos
 Método de Gauss-Seidel para se chegar às fórmulas de
iterações, na forma algébrica:

Métodos Iterativos
 Método de Gauss-Seidel para se chegar às fórmulas de
iterações, na forma matricial:

Métodos Iterativos

Métodos Iterativos – Critério das Linhas para Seidel
• Segundo esse critério, um determinado sistema
irá convergir pelo método de Gauss-Seidel, se:
ii
n
ij
j
ij aa
1
, para i=1, 2, 3, ..., n.

7
 Distância entre duas iterações
d(k) = max xi
(k) - xi
(k-1)
 Critério de parada
dr
(k) = d(k)/ (max xi
(k) ) <
Prof. Esp. Renan Gustavo Pacheco Soares
Métodos Iterativos - Critério de Parada

8
EXEMPLO
 Seja o sistema 10 x1 + 2x2 + 3x3 = -7
x1 + 5x2 + x3 = -8
2x1 + 3x2 + 10x3 = -6

9
Com x0 =
0,7
-1,6
0,6
e = 0,05

10
obtemos
x(1) =
-0,56
-1,86
-0,26
= 0,05
|x1
(1) – x1
(0)| = 1,26
|x2
(1) – x2
(0)| = 0,26
|x3
(1) – x3
(0)| = 0,86
dr
(1) = 1,26/ (max xi(1) )
= 0,677 >

11
x(2) =
-0,25
-1,44
0,07
= 0,05
dr
(2) = 0,42/ 1,44 = 0,29 >
x(3) =
-0,43
-1,56
-0,11
dr
(3) = 0,18/ 1,56 = 0,12 >

12
x(4) =
-0,35
-1,49
-0,04
= 0,05
dr
(4) = 0,08/ 1,49 = 0,054 >
x(5) =
-0,39
-1,52
-0,08
dr
(5) = 0,04/ 1,52 = 0,03 <

13
SOLUÇÃO
10 x1 + 2x2 + 3x3 = -7
x1 + 5x2 + x3 = -8
2x1 + 3x2 + 10x3 = -6
x* =
-0,39
-1,52
-0,08

Exemplos

2) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel,
tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,03.

3) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel, tendo
como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05.
6x + y + 2z = 10
x – 3y + 0,5z = 2,8
0,75x + 3y – 10z = -6,9

Exercícios

10 x1 + 2x2 + 3x3 = 7
x1 + 5x2 + x3 = -8
2x1 + 3x2 + 10x3 = 6

Inversão de Matrizes e
Cálculo de Determinantes
Praticar e relembrar

Determine o Determinante e a Matriz inversa dos seguintes
sistemas lineares abaixo:

Equações Algébricas
e
Transcendentes
Zero Reais de Funções Reais

Zeros de Funções Reais
1. Introdução
Nas mais diversas áreas das ciências exatas ocorrem,
frequentemente, situações que envolvem a resolução de uma
equação do tipo f(x)=0. Consideremos, por exemplo, o seguinte
circuito:
Kirchoff’s Law

1. Introdução
Estruturas Isostáticas

1. Introdução

1. Introdução
Serão analisados os casos dos Zeros Reais da função f(x)=0.

Como obter raízes reais de uma equação qualquer?

1. Introdução
Sabemos que, para algumas equações, como por exemplo às
equações polinomiais do segundo grau, existem fórmulas explicitas que
nos mostram as raízes em função dos coeficientes (Bháskara, por
exemplo).
No entanto, no caso de polinômios de grau mais elevado e no
caso de funções mais complicadas, é praticamente impossível se
achar zeros exatamente.

1. Introdução
Por isso, temos que dos contentar em encontrar apenas
aproximações para esses zeros (soluções numéricas); mas isto não é
uma limitação muito séria, pois, com os métodos que veremos, vamos
conseguir encontrar os zeros de uma função com qualquer precisão
prefixada.

1. Introdução
A ideia central destes métodos numéricos é partir de uma
aproximação inicial para a raiz (um intervalo onde imaginamos a
raiz estar contida) e em seguida refinar essa aproximação através de
um processo iterativo.

1. Introdução
Para se calcular uma raiz de uma equação algébrica ou
transcendente, algumas etapas devem ser seguidas:
1) Isolar a raiz, ou seja, achar um intervalo [ a ; b ], o menor possível,
que contenha a raiz;
2) Melhorar o valor da raiz aproximada, isto é, refiná-la até o grau de
exatidão requerido pelo problema.
Alguns livros, trazem essas etapas de forma análoga, da
seguinte maneira:
3) Utilizar programas que traçam gráficos de funções disponíveis em
algumas calculadoras ou softwares matemáticos.

Fase I: Isolamento das Raízes
Nesta fase é feita uma análise teórica e gráfica da função
f(x). É importante ressaltar que o sucesso da fase II depende
fortemente da precisão desta análise. Na analise teórica, usamos
frequentemente o Teorema de Bolzano:
Pois (+) (+) → (+), (-) (-) → (+); (+) (-) ou (-) (+) → (-)

Graficamente, temos:

Se f(a) x f(b) > 0, pode-se ter outras situações no intervalo
estudado, como as mostradas abaixo:

Observação:
Sob as hipóteses do Teorema de Bolzano, se f’(x) existir,
preservando sinal dentro de (a, b), então este intervalo contém um
único zero de f(x).
Graficamente, temos:

Uma forma de se isolar as raízes de f(x) usando resultados
anteriores é tabelar f(x) para vários valores de x e analisar as
mudanças de sinal de f(x) e o sinal da derivada nos intervalos em
que f(x) mudou de sinal.

Exemplo 1: Determinar quantas e em quais intervalos são e estão as
raízes da função:
Primeira análise: Construindo uma tabela de valores para
f(x) e considerando apenas os sinais, temos:

Como f(x) é um polinômio de 3º grau, podemos afirmar que
cada intervalo contém um único zero de f(x); assim, localizamos
todas as raízes de f(x)=0.
Uma segunda análise da função, por meio do sinal da sua
derivada, não se faz necessário, neste exemplo, tendo em vista sua
trivialidade. Veja:

Fase I: Análise Gráfica
Pode-se utilizar um dos seguintes processos:

Fase I: Isolamento das Raízes. Método (i):

Fase I: Isolamento das Raízes. Método (ii):

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