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Métodos Numéricos em



   Zeros de funções

Rodolfo Maduro Almeida
Função


Definição: Uma função consta de três partes:
  o um conjunto A chamado de domínio de f
  o um conjunto B chamado de imagem ou contra-domínio
  o uma regra que permite associar, de modo bem
    determinado, a cada elemento a A, um único
    elemento b=f(a) B.
Raízes ou Zeros de Funções
 Definição: Dada uma função f(x), a é raiz de f se
 f(a) = 0. Para encontrar as raízes de uma função
 f(x), basta resolver a equação: f(x) = 0

     f ( x)   x2   4x 3

                          Raízes:
                          X1 = 1
                          X2 = 3
                          Interseção com o eixo-x
Raízes ou Zeros de Funções


Formas de obter zeros de uma função:
   o Método gráfico
   o Métodos numéricos
Método gráfico
Método gráfico
• Interpretação visual:   f ( x)   ex   3x
XR1 [0,5; 1]
XR2 [1,5; 2]

• Estimativa grosseira:
XR1 0,6
XR2 1,5

f(0,6) = 0,0221
f(1,5) =-0,0183
Raízes de funções

Métodos numéricos para encontrar raízes de funções
Tratam-se de procedimentos numéricos para resolução
de equações.


Como resolver??
Métodos iterativos:
• Conjunto de operações aplicadas sucessivas vezes
  até que um critério de solução seja estabelecido.
• Sucessivas soluções do problema são encontradas
Métodos Iterativos
1.   Método da bisseção
2.   Método da falsa posição
3.   Método de Newton
4.   Método da Secante
5.   Método do ponto fixo
Método da Bissecção
Teorema: Se y = f(x) é uma função contínua e muda de
sinal no intervalo [a,b], isto é, se f(a)f(b)<0, então existe
pelo menos um ponto x* [a,b] tal que f(x*)=0. Além
disso, se f’(x) não muda de sinal em *a,b+ então x* é a
única raiz de f(x) nesse intervalo.

       y                                     y =f(x)
    f(b)

                      a
       0                                               x
                                      b
     f(a)
Método da Bissecção
• Passo 1: forneça um intervalo inicial

       y                                  y =f(x)
    f(b)

                   a
       0                                            x
                                  b
     f(a)
Método da Bissecção
• Passo 2: Calcula o Xm

       y                             y =f(x)
    f(b)

                   a       c

       0                                       x
                                 b
     f(a)



                           a b
                       c
                            2
Método da Bissecção
• Passo 2: Testa onde se encontra a raiz:

        y                                        y =f(x)
     f(b)

                      a        c

        0                                                  x
                                       b
     f(a)




Se f(c)f(a) < 0 então a raiz está entre a e c.
Caso contrário, está entre b e c.
Algoritmo
Dados: f(x), a e b tais que f(a)f(b)<0, NMAX e tol.
   1: Para n = 0:NMAX, faça
   2:      c = (a+b)/2
   3:       Se f(a)f(c)<0 entao
   4:             b = c
   5:       Caso Contrario
   6:             a = c
   7:       FimSe
   8:       Se |f(c)| < tol entao
   9:             solucao = (b+a)/2
   10:            pare
   11:      FimSe
   12:      Se n = KMAX entao
   13:            pare: metodo não convergiu.
   14:      FimSe
   15: FimPara
Método da Falsa Posição
Teorema: É um método semelhante ao método da
bisseção, porém o cálculo do valor intermediário é mais
elaborado.



       y                                y =f(x)
    f(b)

                    a     c
       0                                          x
                                  b
    f(a)
Algoritmo
Método de Newton
• Também chamado de Método das Tangentes


     y                    y =f(x)




     0                                x
Método de Newton
• Também chamado de Método das Tangentes


     y                    y =f(x)




     0                                x
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     y                    y =f(x)




     0                                x
Método de Newton
• Também chamado de Método das Tangentes


     y                             y =f(x)




     0                                                  x




         Este procedimento é repetido várias vezes...
Método de Newton
• Também chamado de Método das Tangentes


     y                    y =f(x)




     0                                x
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Método da Secante
• Método de Newton modificado
• Aproximação para a reta tangente: reta secante
      y                      y =f(x)




                                            x
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      y                      y =f(x)




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Cálculo Numérico - Aula 03: Zeros de funções

  • 1. Tópicos de Métodos Numéricos em Zeros de funções Rodolfo Maduro Almeida
  • 2. Função Definição: Uma função consta de três partes: o um conjunto A chamado de domínio de f o um conjunto B chamado de imagem ou contra-domínio o uma regra que permite associar, de modo bem determinado, a cada elemento a A, um único elemento b=f(a) B.
  • 3. Raízes ou Zeros de Funções Definição: Dada uma função f(x), a é raiz de f se f(a) = 0. Para encontrar as raízes de uma função f(x), basta resolver a equação: f(x) = 0 f ( x) x2 4x 3 Raízes: X1 = 1 X2 = 3 Interseção com o eixo-x
  • 4. Raízes ou Zeros de Funções Formas de obter zeros de uma função: o Método gráfico o Métodos numéricos
  • 5. Método gráfico Método gráfico • Interpretação visual: f ( x) ex 3x XR1 [0,5; 1] XR2 [1,5; 2] • Estimativa grosseira: XR1 0,6 XR2 1,5 f(0,6) = 0,0221 f(1,5) =-0,0183
  • 6. Raízes de funções Métodos numéricos para encontrar raízes de funções Tratam-se de procedimentos numéricos para resolução de equações. Como resolver?? Métodos iterativos: • Conjunto de operações aplicadas sucessivas vezes até que um critério de solução seja estabelecido. • Sucessivas soluções do problema são encontradas
  • 7. Métodos Iterativos 1. Método da bisseção 2. Método da falsa posição 3. Método de Newton 4. Método da Secante 5. Método do ponto fixo
  • 8. Método da Bissecção Teorema: Se y = f(x) é uma função contínua e muda de sinal no intervalo [a,b], isto é, se f(a)f(b)<0, então existe pelo menos um ponto x* [a,b] tal que f(x*)=0. Além disso, se f’(x) não muda de sinal em *a,b+ então x* é a única raiz de f(x) nesse intervalo. y y =f(x) f(b) a 0 x b f(a)
  • 9. Método da Bissecção • Passo 1: forneça um intervalo inicial y y =f(x) f(b) a 0 x b f(a)
  • 10. Método da Bissecção • Passo 2: Calcula o Xm y y =f(x) f(b) a c 0 x b f(a) a b c 2
  • 11. Método da Bissecção • Passo 2: Testa onde se encontra a raiz: y y =f(x) f(b) a c 0 x b f(a) Se f(c)f(a) < 0 então a raiz está entre a e c. Caso contrário, está entre b e c.
  • 12. Algoritmo Dados: f(x), a e b tais que f(a)f(b)<0, NMAX e tol. 1: Para n = 0:NMAX, faça 2: c = (a+b)/2 3: Se f(a)f(c)<0 entao 4: b = c 5: Caso Contrario 6: a = c 7: FimSe 8: Se |f(c)| < tol entao 9: solucao = (b+a)/2 10: pare 11: FimSe 12: Se n = KMAX entao 13: pare: metodo não convergiu. 14: FimSe 15: FimPara
  • 13. Método da Falsa Posição Teorema: É um método semelhante ao método da bisseção, porém o cálculo do valor intermediário é mais elaborado. y y =f(x) f(b) a c 0 x b f(a)
  • 15. Método de Newton • Também chamado de Método das Tangentes y y =f(x) 0 x
  • 16. Método de Newton • Também chamado de Método das Tangentes y y =f(x) 0 x
  • 17. Método de Newton • Também chamado de Método das Tangentes y y =f(x) 0 x
  • 18. Método de Newton • Também chamado de Método das Tangentes y y =f(x) 0 x Este procedimento é repetido várias vezes...
  • 19. Método de Newton • Também chamado de Método das Tangentes y y =f(x) 0 x
  • 21. Método da Secante • Método de Newton modificado • Aproximação para a reta tangente: reta secante y y =f(x) x
  • 22. Método da Secante • Método de Newton modificado • Aproximação para a reta tangente: reta secante y y =f(x) x
  • 23. Método da Secante • Método de Newton modificado • Aproximação para a reta tangente: reta secante y y =f(x) x
  • 24. Método da Secante • Método de Newton modificado • Aproximação para a reta tangente: reta secante y y =f(x) x
  • 25. Método da Secante • Método de Newton modificado • Aproximação para a reta tangente: reta secante y y =f(x) x