CfSd 2016 matematica - 3

Curso preparatório para concurso
bombeiros mg 2016
Disciplina: Matemática
Prof. Nicodemos
Material de aula em:
www.quimicaealgomais.blogspot.com.br
nicoquimica@yahoo.com.br

 O
A
B
ÂNGULO – é a abertura formada por dois raios divergentes
que têm um extremo comum que se denomina vértice.
ELEMENTOS DE UM ÂNGULO:


0º <  < 180º
0º <  < 90º
CLASSIFICAÇÃO SEGUNDO A SUA MEDIDA
a) ÂNGULO CONVEXO
a.1) ÂNGULO AGUDO

 = 90º

90º <  < 180º

a.2) ÂNGULO RETO
a.3) ÂNGULO OBTUSO

   = 90º
 +  = 180º



CLASSIFICAÇÃO SEGUNDO A SOMA
a) ÂNGULOS COMPLEMENTARES
b) ÂNGULOS SUPLEMENTARES


  

 
CLASSIFICAÇÃO SEGUNDO A SUA POSIÇÃO
a) ÂNGULOS ADJACENTES b) ÂNGULOS CONSECUTIVOS
ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE
são congruentes
Pode formar mais ângulosUn lado comum

01. Ângulos alternos internos:
m 3 = m 5; m 4 = m 6
02. Ângulos alternos externos:
m 1 = m 7; m 2 = m 8
03. Ângulos conjugados internos:
m 3+m 6=m 4+m 5=180°
04. Ângulos conjugados externos:
m 1+m 8=m 2+m 7=180°
05. Ângulos correspondentes:
m 1 = m 5; m 4 = m 8
m 2 = m 6; m 3 = m 7
ÂNGULOS ENTRE DUAS RETAS PARALELAS
E UMA RETA SECANTE
1 2
34
5 6
78

 +  +  = x + y



x
y
01- Ângulos que se formam por uma linha poligonal entre
duas retas paralelas.
PROPRIEDADES DOS ÂNGULOS






 +  +  +  +  = 180°
02- ÂNGULOS ENTRE DUAS RETAS PARALELAS

 +  = 180°
 
03- ÂNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES

O complemento da diferença entre o suplemento e o
complemento de um ângulo “X” é igual ao dobro do
complemento do ângulo “X”. Calcule a medida do ângulo “X”.
90 - { ( ) - ( ) } = ( )180° - X 90° - X 90° - X2
90° - { 180° - X - 90° + X } = 180° - 2X
90° - 90° = 180° - 2X
2X = 180° X = 90°
RESOLUÇÃO
Problema Nº 01
A estrutura segundo o enunciado:
Desenvolvendo se obtem:
Logo se reduz a:

A soma das medidas dos ângulos é 80° e o complemento
do primeiro ângulo é o dobro da medida do segundo
ângulo. Calcule a diferença das medidas desses ângulos.
Sejam os ângulos:  e 
 +  = 80°Dado:  = 80° -  ( 1 )
( 90° -  ) = 2 ( 2 )
Substituindo (1) em (2):
( 90° -  ) = 2 ( 80° -  )
90° -  = 160° -2
 = 10°
 = 70°
 -  = 70°-10°
= 60°
Problema Nº 02
RESOLUÇÃO
Dado:
Diferença das medidas
Resolvendo

A soma de seus complementos dos ângulos é 130° e a
diferença de seus suplementos dos mesmos ângulos é 10°.
Calcule a medida destes ângulos.
Sejam os ângulos:  e 
( 90° -  ) ( 90° -  ) = 130°+
 +  = 50° ( 1 )
( 180° -  ) ( 180° -  ) = 10°-
 -  = 10° ( 2 )
Resolvendo: (1) e (2)
 +  = 50°
 -  = 10°
(+)
2 = 60°
 = 30°
 = 20°
Problema Nº 03
RESOLUÇÃO
Do enunciado:
Do enunciado:

Se têm ângulos adjacentes AOB e BOC (AOB<BOC), se traça
a bissetriz OM dol ângulo AOC; se os ângulos BOC e BOM
medem 60° e 20° respectivamente. Calcule a medida do
ângulo AOB.
A B
O
C
M


60°
20°X
Da figura:
 = 60° - 20°
Logo:
X = 40° - 20°
 = 40°
X = 20°
Problema Nº 04
RESOLUÇÃO

A diferença das medidas dos ângulos adjacentes AOB e BOC
é 30°. Calcule a medida do ângulo formado pela bissetriz do
ângulo AOC com o lado OB.
A
O
B
C


X
(- X)
(  + X) ( - X) = 30º
2X=30º
X = 15°
Problema Nº 05
RESOLUÇÃO
M
Construção do gráfico segundo o
enunciado
Do enunciado:
AOB - OBC = 30°
-
Logo se substitui pelo que
se observa no gráfico

Se têm os ângulos consecutivos AOB, BOC e COD tal que a
mAOC = mBOD = 90°. Calcule a medida do ângulo
formado pelas bissetrizes dos ângulos AOB e COD.
A
C
B
D
M
N




X
Da figura:
2 +  = 90°
 + 2 = 90°
( + )
2 + 2 + 2 = 180°
 +  +  = 90°
X =  +  + 
X = 90°
Problema Nº 06
RESOLUÇÃO
Construção do gráfico segundo o enunciado

Se m // n . Calcule a medida do ângulo “X”
80°
30°




X
m
n
Problema Nº 07

2 + 2 = 80° + 30°
Pela propriedade
Propriedade do quadrilátero
côncavo
 +  = 55° (1)
80° =  +  + X (2)
Substituindo (1) em (2)
80° = 55° + X
X = 25°
80°
30°




X
m
n
RESOLUÇÃO

Se m // n . Calcular a medida do ângulo “X”
5
4 65°
X
m
n
Problema Nº 08

5
4 65°
X
m
n
Pela propiedad:
4 + 5 = 90°
 = 10°
Ângulo exterior do triângulo
40° 65°
X = 40° + 65°
X = 105°
RESOLUÇÃO

Se m // n . Calcule a medida do ângulo ”X”

2
x
m
n

2
Problema Nº 09

3 + 3 = 180°
 +  = 60°
Ângulos entre línhas poligonais
X =  +  X = 60°
RESOLUÇÃO

2
x
m
n

2
x
Ângulos conjugados
internos

PROBLEMA 01- Se L1 // L2 . Calcule a m  x
A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 50°
x




4x
3x
L1
L2

m
n
30°
X
PROBLEMA 02- Se m // n. Calcule a m  x
A) 18° B) 20° C) 30° D) 36° E) 48°

PROBLEMA 03- Se m // n. Calcule a m  
A) 15° B) 22° C) 27° D) 38° E) 45°
3
3
3

m
n

PROBLEMA 04- Se m // n. Calcule o valor de “x”
A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30°
40°
95°


2x
m
n

PROBLEMA 05- Calcule m  x
A) 99° B) 100° C) 105° D) 110° E) 120°
3
6
x


4
4

X
m
n
PROBLEMA 06- Se m // n. Calcule m  x
A) 22° B) 28° C) 30° D) 36° E) 60°

A) 24° B) 25° C) 32° D) 35° E) 45°
PROBLEMA 07- Se. Calcule m  x
88°
24°
x




m
n

20°
X
m
n
A) 50° B) 60° C) 70° D) 80° E) 30°

PROBLEMA 09- Se m//n e  -  = 80°. Calcule mx
A) 60° B) 65° C) 70° D) 75° E) 80°


x


m
n

A) 20° B) 30° C) 40° D) 50° E) 60°
x
x
x
m
n

PROBLEMA 11- Se m // n. Calcule m  
A) 46° B) 48° C) 50° D) 55° E) 60°
180°-2

2
m
n

A) 30° B) 36° C) 40° D) 45° E) 50°




x
80°
m
n

A) 30° B) 40° C) 50° D) 60° E) 70°
80°




m
n
x

RESPOSTAS DOS PROBLEMAS PROPOSTOS
1. 20º 8. 50º
2. 30º 9. 80º
3. 45º 10. 30º
4. 10º 11. 60º
5. 120º 12. 40º
6. 36º 13. 50º
7. 32º

Importantes definições
•Postulados ou Axiomas: são propriedades aceitas sem
demonstração.
•P1: Numa reta bem como fora dela há infinitos pontos distintos.
•P2: Dois pontos determinam uma única reta.
•P3: Pontos colineares pertencem à mesma reta.

•P4: Três pontos determinam um único plano.
•P5: Se uma reta contém dois pontos de um plano, esta reta está
contida neste plano.
Importantes definições

Posições relativas entre retas
•Concorrentes: quando tiverem apenas um ponto em
comum.
Perpendiculares Obliquas
•Paralelas: retas que estão no mesmo plano, porem não tem
pontos em comum.
Distintas Coincidentes

ÂNGULOS
Definição:É a ABERTURA formada por duas semirretas que
têm a mesma origem.
•Classificação
Ângulo Reto Ângulo Raso
Ângulo Obtuso Ângulo Raso
.
. .

Ângulos Complementares:
Definição: Quando a soma de dois ângulos é
igual a 90º
ÂNGULOS
.

90   

Ângulos Suplementares:
igual a 180º
ÂNGULOS
  180   

Ângulos Replementares:
igual a 360º
ÂNGULOS


360   

exemplos
1.O dobro do complemento de um ângulo, aumentado de 40º é igual a
terça parte do suplemento do ângulo. Determine o valor do
suplemento do ângulo.
2.O triplo do complemento de um ângulo é igual ao suplemento do
dobro desse ângulo, mas 80º. Determine a medida desse ângulo.

Ângulos Opostos pelo Vértice
Dizemos que os ângulos são
chamados de congruentes.
ÂNGULOS
ˆa
ˆc
ˆb ˆd
ˆ ˆ
ˆ ˆ
a c
b d



ˆ ˆˆ ˆ, , ,a b c d

Duas retas Paralelas cortadas por uma transversa: Sendo
r//s e t uma transversal, geram os ângulos:
• Correspondentes:
• Alternos:
• Colaterais:
ÂNGULOS
:
:
Internos
Externos



r
s
t
ˆa
ˆb
ˆc ˆd
ˆe
ˆf
ˆg
ˆh
:
:
Internos
Externos




Definição: A medida do ângulo central é dada em radiano
pela razão entre o comprimento do arco e o raio.
Sistema circular

r
l
l
R
 

exemplos
1.Na figura, tem-se dois círculos concêntricos de raios 5
u.c e 3 u.c, respectivamente. Sendo s1 o comprimento do
arco AB e s2 o comprimento do arco A’B’, então o valor de
s2 – s1, em unidade de comprimento, é aproximadamente
igual a:
01) 0,52
02) 1,05
03) 1,57
04) 3,14
05) 4,71
A
B
A’
B’
6


2-Dada a figura, qual o valor de x, y e z, sabendo que as retas r, s e
t são paralelas
a) x= 60º, y = 40º e z = 80º
b) x= 80º, y = 40º e z = 60º
c) x= 40º, y = 60º e z = 80º
d) x= 50º, y = 60º e z = 70º
e) N.d.a
exemplos
t
r
s
w v
120º
40º
y
x
z

3-Na figura abaixo, são dados as retas r, s, x, y e t, tais que
r//s, x//y e t é uma transversal.
A medida , do ângulo assinalado, é:
01) 60º 02) 50° 03) 40° 04) 30° 05) 20º
exemplos
t
r
s
yx
60°
50°



Teorema de tales
Um feixe de retas paralelas determina sobre duas retas
transversais, segmentos proporcionais.
' '
' '
AB A B
BC B C


1-No desenho abaixo estão representados os terrenos I, II
e III
Quantos metros de comprimento deverá ter o muro que o
proprietário do terreno II construirá para fechar o lado que
faz frente com a Rua das Rosas?
a) 30 c) 32 e) 34
b) 31 d) 33
exemplos

2-Dois postes perpendiculares ao solo estão a uma
distância de 4 m um do outro, e um fio bem esticado de 5
m liga seus topos, como mostra a figura abaixo.
Prolongando esse fio até prende–lo no solo, são utilizados
mais 4 m de fio. Determine a distância entre o ponto onde
o fio foi preso ao solo e o poste mais próximo a ele.
exemplos

Os triângulos podem ser classificados de 2 maneiras:
• Quanto aos lados:
triângulos
Triângulo Equilátero Triângulo Isósceles Triângulo Escaleno
60     
 

a
b
c
a = b = c b = c
 
 
a
bc


• Quanto aos ângulos:
triângulos
a
c
b
. 
Triângulo Retângulo
a
c
b
Triângulo Obtusângulo
2 2 2
a b c 
a
c
b Triângulo Acutângulo
2 2 2
a b c 
.C O b
sen
H a
  
.
cos
C A c
H a
  
.
Tg =
.
C O b
C A c
 
2 2 2
a b c 





Teorema de Pitágoras

exemplos
1-
Na figura acima, os valores de x e y, em u.c, são
respectivamente:
01) e 6 04) e 4
02) e 6 05) 8 e 4
03) e 4
L MP
N
y 4
x
.
60
4 3
8 7
4 7
8 7
4 7

exemplos2-Seu Carlos precisa chegar ao terraço do prédio, pois o
elevador esta quebrado e as escadas estão em reforma.
Como mostra a figura um edifício que tem 15 m de altura
e a distancia da escada para o prédio é de 8 m. Qual o
comprimento da escada que esta encostada na parte
superior do prédio.

exemplos3-Uma escada apoiada em uma parece, num ponto
distante de 4 m do solo, forma com essa parede um
ângulo de 60º. Qual é o comprimento da escada em
metros?
01) 6 m
02) 7 m
03) 8 m
04) 9 m
05) 10 m

4-Na figura abaixo, a medida do ângulo x é:
a) 80º
b) 100º
c) 110º
d) 130º
e) 260º
50º
15º
35º
x
exemplos

Definição: dois triângulos são semelhantes quando
possuem os ângulos congruentes, dois a dois, e os lados
correspondentes proporcionais.
Semelhança de triângulos
B C
A
a
c
b
B’ C’
A’
a’
c’
b’
' ' '
a b c
a b c
 Lados Proporcionais
Ângulos Iguais ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆA=A' B=B' C=C'

exemplos
1-Os triângulos ABC e CDE da figura abaixo são retângulos.
Se AB=4 cm, BC=8 cm e a área do triangulo ABC é o dobro
da CDE, então DE mede, em centímetros,
01)
02)
03)
04)
05)
.
A
D
E C
.
B
2 2
2 3
3 2
3 3
4 2

2-Na figura abaixo, um garoto está em cima de um banco.
Qual é a altura desse garoto que projeta uma sombra de
1,2 m, sabendo que o banco de 30 cm projeta uma sombra
de 40 cm ?
exemplos

3-A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada
uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre
a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou
uma altura de 0,8 metro. A distância em metros que o
paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais
alto da rampa é:
a) 1,16 metros.
b) 3,0 metros.
c) 5,4 metros.
d) 5,6 metros.
e) 7,04 metros.
exemplos

TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Observe esta construção:
• Pontos A, B, B’ e B’’: colineares
• Segmentos BC, B’C’ e B”C”: perpendiculares a AB”
Consequência: triângulos retângulos ABC, AB’C’ e AB”C” semelhantes e lados
correspondentes proporcionais
Tendo como referência o ângulo :
• Lados CB, C’B’ e C”B”: catetos opostos a  em cada triângulo
• Lados AB, AB’ e AB”: catetos adjacentes a  em cada triângulo
• Lados AC, AC’ e AC”: hipotenusas de cada triângulo
I. Semelhança de triângulos retângulos

Para qualquer triângulo retângulo
semelhante a ABC, as razões
correspondentes serão iguais às
razões obtidas anteriormente. Essas três
razões trigonométricas recebem
os nomes de cosseno, seno e tangente do
ângulo  e são definidas como:
II. Relações trigonométricas: seno, cosseno, tangente
Razões entre dois lados de cada
um dos triângulos:

Construções que exibem ângulos notáveis (30º, 45º e 60º):
a) o quadrado de lados l e sua diagonal:
Os ângulos assinalados medem 45º:
III. Seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis

b) o triângulo equilátero de lados l e altura
O ângulo  mede 60º.
Valores de seno, cosseno e tangente:

O ângulo denominado  na figura da imagem
anterior mede 30º. Valores de seno, cosseno e
tangente:
• Os valores das razões trigonométricas de ângulos
quaisquer são dados em calculadoras científicas.
• Ângulos complementares: valor do seno de um
deles é igual ao do cosseno; o valor da tangente de
um deles é o inverso do valor da tangente do outro.
• Os valores da tangente desses dois ângulos são
inversos um do outro.

IV. Relação fundamental da trigonometria
Teorema de Pitágoras: a2 + b2 = c2
Razões trigonométricas do ângulo  assinalado:

Triângulo retângulo em que
a hipotenusa mede 1 unidade:
Triângulo ABC:
Reescrevendo o teorema de Pitágoras:
Relação que surge dessa nova configuração do triângulo ABC:
IV. Relação fundamental da trigonometria

Leis dos senos e cossenos
• Lei dos Senos
• Lei dos Cossenos
A
B C
bc
a
ˆ ˆ ˆBA C
a b c
sensen sen
 
A
B C
bc
a
2 2 2
2 2 2
2 2 2
ˆ2 b c cos A
ˆ2 a c cos B
ˆ2 a b cos C
a b c
b a c
c a b
  
  
  

exemplos
1-Utilizando a lei dos senos e cossenos determine o valor de x, nas
figuras abaixo:
a) c)
b)
60º
x10
16
45º
12
x
30º
60º

Relações métricas no triângulo
retângulo

Hipotenusa e catetos do triângulo
retângulo
Catetos: são os dois lados que formam o ângulo reto.
Hipotenusa: é o lado oposto ao ângulo reto.
hipotenusa
cateto
cateto cateto
cateto
hipotenusa

Outros segmentos do triângulo retângulo
a: é a hipotenusa.
b e c: são os catetos
h: é a altura do triângulo em relação à hipotenusa.
m: é a projeção do cateto b sobre a hipotenusa.
n: é a projeção do cateto c sobre a hipotenusa.
a
mn
h
bc

B H
A
A altura h divide o triângulo ABC em dois triângulos
retângulos, ABH e ACH.
A
B H C
h
H C
A

Os triângulos ABC, ABH e ACH são
semelhantes. Veja:
h

 
(I)
 +  = 90º
A
B H C


 
(II)
 +  + 90º = 180º
 +  = 90º
Comparando (I) e (II), tem-se:
 +  =  +    = .
Portanto,  = .
(I)
 +  = 90º


 
(III)
 +  + 90º = 180º
 +  = 90º
Comparando (I) e (III), tem-se:
 +  =  +    = .
Portanto,  = .
(I)
 +  = 90º

Conclusão

 
Como  =  e  = ,
os triângulos ABC,
ABH e ACH são
semelhantes pelo
caso (AA).
h
A
B H C
A
B CB H H C
A A

 


1ª relação métrica
nmh
h
m
n
h
2


h
b
m
A
H C
h
c
n
A
HB

amb
b
m
a
b
2


h
b
m
A
H C
bc
A
B Ca

c
h n
h
c
n
A
HB
a
b c
bc
A
B Ca
anc
a
c
c
n
2



c
h n
h
c
n
A
HB
a
b c
bc
A
B Ca
cbha
a
b
c
h



(5ª relação métrica)
a
mn
h
bc
2ª relação: b² = m . a
3ª relação: c² = n . a
Observe que a = m + n
Somando, membro a
membro, as duas
igualdades, tem-se:
anc
amb
2
2


 
222
22
22
22
acb
aacb
nmacb
anamcb





A
B Ca
bc
Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa
é igual à soma dos quadrados dos catetos.
a² = b² + c²

Resumo
a
mn
h
b
c
Relações métricas:
1ª) h² = m . n
2ª) b² = m . a
3ª) c² = n . a
4ª) a . h = b . c
5ª) a² = b² + c²

• Losango
• Paralelograma
quadriláteros
• Quadrado
• Retângulo
.
. .
.
.
..
.
.A l l
.A b h
2
A l
.
2
D d
A 
.A b h

• Trapézio
quadriláteros
Trapézio Retângulo Trapézio Isósceles Trapézio Escaleno
 .
2
B b h
A



1-Na figura abaixo, as medidas são dadas em centímetros.
A área da figura, em centímetros quadrados, é:
a)
b)
c)
d)
e)
 
4
33a² 
 
2
33a² 
 
4
36a² 
 
2
36a² 
 36a² 
exemplos

2-Na figura, ABC é um triangulo equilátero de altura 5 u.c,
M e N são pontos médios de AB e BC, respectivamente. A
área do trapézio ACNM, em u.a, é:
a) e)
b)
c)
d)
4
35
5 3
2
5 3
75 3
2
75 3
4
A C
M N
B
exemplos

3-O governo cedeu terrenos para que famílias construíssem suas residências com a condição de que no mínimo
94% da área do terreno fosse mantida como área de preservação ambiental. Ao receber o terreno retangular
ABCD, em que AB=BC/2, Antonio demarcou uma área quadrada no vértice A, para a construção de sua
residência de acordo com o desenho, no qual AE=AB/5.
Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria exatamente o limite determinado pela condição se ele:
a) Duplicasse a medida do lado do quadrado.
b) Triplicasse a medida do lado do quadrado.
c) Triplicasse a área do quadrado
d) Ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%
e) Ampliasse a área do quadrado em 4%
exemplos
A B
CD
E

4-A vazão do rio Tietê, em São Paulo, constitui preocupação constante nos períodos chuvosos. Em alguns trechos,
são construídas canaletas para controlar o fluxo de água. Uma dessas canaletas, cujo corte vertical determina a
forma de um trapézio isósceles, tem as medidas especificadas na figura I. Neste caso, a vazão da água é de
1.050m3/s. O cálculo da vazão, Q em m³/s, envolve o produto da área A do setor transversal (por onde passa a água),
em m², pela velocidade da água no local, v, em m/s, ou seja, Q = Av. Planeja-se uma reforma na canaleta, com as
dimensões especificadas na figura II, para evitar a ocorrência de enchentes.
Na suposição de que a velocidade da água não se alterará, qual a vazão esperada para depois
da reforma na canaleta?
A) 90m³/s. C) 1.050m³/s. E) 2.009m³/s.
B) 750m³/s. D) 1.512m³/s.

5-Um pátio de grandes dimensões vai ser revestido por pastilhas quadradas
bancas e pretas, segundo o padrão representado ao lado, que vai ser
repetido em toda a extensão do pátio.
As pastilhas de cor branca custam R$ 8,00 por metro quadrado e as de cor
preta, R$ 10,00. O custo por metro quadrado do revestimento será de
A) R$ 8,20 B) R$ 8,40 C) R$ 8,60 D) R$ 8,80 E) R$ 9,00
Exemplos

circunferência
• Elementos da Circunferência
• Áreas
A
B
C
D
A B
O
DC
R
S
. RS
O
CD
AB
CRD
CORDA
DIÂMETRO
ARCO
DB
C
A
FLECHA
CENTRO
SEGMENTO CIRCULAR
SETOR CIRCULAR
ZONA CIRCULAR
COROA CIRCULAR

CÁLCULOS COM CIRCUNFERÊNCIA
• Comprimento da Circunferência
• Comprimento de Arco (l)
O 2. . RC 
O l
2. . R.
360
l
 



• Área do Círculo
• Área do Setor Circular
O
2
. RA 
2
. R .
360
A
 



• Área do Segmento Circular
• Área da Coroa Circular
2
. R . .
360 2
b h
A
 
 

2 2
. R . rA   r

exercícios
1-As cidades de Quito e Cingapura encontram-se próximas
a linha do equador e em pontos diametralmente opostos
no globo terrestre. Considerando o raio da Terra igual a
6370 km, pode-se afirmar que um avião saindo de Quito,
voando em media 800 km/h, descontando as paradas de
escala, chega a Cingapura em aproximadamente:
a) 16 horas c) 25 horas e) 36 horas
b) 20 horas d) 32 horas

2-Uma empresa produz tampas circulares de alumínio para tanques cilíndricos a
partir de chapas quadradas de 2 metros de lado, conforme a figura. Para 1 tampa
grande, a empresa produz 4 tampas médias e 16 tampas pequenas.
As sobras de material da produção diária das tampas grandes, médias e pequenas
dessa empresa são doadas, respectivamente, a três entidades: I, II e III, para
efetuarem reciclagem do material. A partir dessas informações, pode-se concluir
que
a) A entidade I recebe mais material do que a entidade II.
b) A entidade I recebe metade de material do que a entidade III.
c) A entidade II recebe o dobro de material do que a entidade III.
d) As entidade I e II recebem, juntas, menos material do que a entidade III.
e) As três entidades recebem iguais quantidades de material.
exemplos

exemplos
3-Na figura, a área hachurada mede, em unidade de área:
a)
b)
c)
d)
e)
60 16
45 4
30 4
30 16
15 4
6 u.c
4 u.c

exemplos
4-A figura representa um hexágono retangular, inscrito
num circulo de centro O e raio . A área da região
assinalada na figura é:
a)
b)
c)
d)
e)
48 32 3 
64 192 3 
96 32 3 
128 192 3 
136 32 3 
A
B
C
D
E
F
.
8 2

exemplos
5-Na figura ABC é um triângulo equilátero de lado igual a
2. MN, NP e PM são arcos de circunferência com centros
nos vértices A, B e C, respectivamente, e de raios todos
iguais a 1. A área da região sombreada é:
a) d)
b) e)
c)
3
3
4


3
2


2 3
2


4 3 2
8 3 3
A
BC
M N
P

exercícios
6-Quatro círculos de raio unitário cujos centros são
vértices de um quadrado, são tangentes exteriormente
dois a dois. A área da parte sombreada é:
a)
b)
c)
d)
e)
2 3 
3 2 
2
4 
5 

CIRCUNFERÊNCIA- É um lugar geométrico de um
conjunto de infinitos pontos que equidistam de
um ponto situado no centro.

ELEMENTOS DE UMA CIRCUNFERÊNCIA
A B
Reta
tangente
Reta
secante
Seguimento
de reta
Diâmetro
AB( )
Centro

T

Punto de tangencia
Q

P
Raio
Arco BQ
Corda PQ

PROPRIEDADES BÁSICAS NA CIRCUNFERÊNCIA
01- Raio traçado ao ponto de tangência é
perpendicular à reta tangente.
LR 

02- Raio ou diâmetro perpendicular a uma corda
bissetriz (divide em dois seguimentos congruentes).
P
Q
MQPMPQR 

03- Cordas paralelas determinam arcos congruentes
entre as paralelas.
A B
C D
 
mBDmACCD//AB:Si 

04- A cordas congruentes em uma mesma circunferência
lhes correspondem arcos congruentes.
A
B
C
D
Cordas congruentesArcos congruentes
As cordas
equidistam do
centro
mCDmABCDAB:Si 

POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS
CIRCUNFERÊNCIAS
01- CIRCUNFERÊNCIAS CONCÊNTRICAS - Têm o mesmo centro.
r
d = Zero; d: distancia

Distância entre
os centros (d)
02- CIRCUNFERÊNCIAS EXTERIORES - Não tem ponto em comum.
d > R + r
R r

d = R + r
03- CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES EXTERIORES - Têm Um
ponto comum que é a de tangência.
R r
Ponto de tangência
Distância entre
os centros (d)

d
d = R - r
04- CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES INTERIORES - Têm um
ponto en comum que é a de tangência.
d: Distância entre os centros
R
r
Ponto de
tangência

05- CIRCUNFERÊNCIAS SECANTES - Têm dois pontos comuns
que são as intersecções.
( R – r ) < d < ( R + r )
Distância entre
os centros (d)

06- CIRCUNFERÊNCIAS ORTOGONAIS - Os raios são
perpendiculares no ponto de intersecção.
d2 = R2 + r2
Distância entre
os centros (d)

06- CIRCUNFERÊNCIAS INTERIORES - Não têm pontos comuns.
d
d < R - r d: Distância entre os centros

1 - Desde um ponto exterior a uma circunferência se pode
traçar dois raios tangentes que determinam dois
seguimentos congruentes.
PROPRIEDADES DAS TANGENTES
AP = PB
A
B
P
R
R



2 - TANGENTES COMUNS EXTERIORES - São congruentes
AB = CD
A
B
C
D
R
R
r
r

3 - TANGENTES COMUNS INTERIORES - São congruentes.
AB = CD
A
B
C
DR
R
r
r

TEOREMA DE PONCELET - Em todo triângulo retângulo, a soma das
comprimentos dos catetos é igual ao comprimento da hipotenusa mais o
dobro do raio.
a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r )
a
b
c
r
R R
raio
Circunraio

TEOREMA DE PITOT - Em todo quadrilátero circunscrito a uma
circunferência, sabe-se que a soma do comprimento dos lados opostos são
iguais.
a + c = b + d
d
a
b
c
Quadrilátero circunscrito


1 - MEDIDA DO ÂNGULO CENTRAL - É igual à medida
do arco que se opõe.
A
B
C
r
r
 = mAB


A
C
B
D
2 - MEDIDA DO ÂNGULO INTERIOR - É igual à
semisoma das medidas dos arcos opostos
2
mCDmAB 



A
B
C
3 - MEDIDA DO ÂNGULO INSCRITO - É a metade da medida do
arco oposto.
2
mAB



4 - MEDIDA DO ÂNGULO SEMI-INSRITO - É igual à medida do
arco oposto.
A
B
C
2
mAB



A
BC
2
mABC

1 - MEDIDA DO ÂNGULO EX-INSCRITO - É igual à metade da
medida do arco ABC.


A
B
C O
6 - ÂNGULOS EXTERIORES - São três casos:
a - Medida do ângulo formado por duas retas tangentes - É
igual à semidiferença das medidas dos arcos opostos.
 + mAB = 180°
2
mAB-mACB



A
B
C
O
D
b - Ângulo formado por duas retas secantes - É igual à
semidiferença da medida dos arcos opostos.
2
mCD-mAB



A
B
C
O
c - Medida do ângulo formado por uma reta tangente e outra
secante - É igual à semidiferença das medidas dos arcos
opostos.
2
mBC-mAB


50°
70º+x
X
R
S
Q
140°
2X
X + (X+70) + 50° = 180°
X = 30°
Pelo ângulo semi-inscrito PQS
Problema Nº 01
RESOLUÇÃO
P
xº70
2
x2º140
PQSm 


Substituindo:
No triângulo PQS:
Resolvendo a equação:
PSQ = x
Se traça a corda SQ
2
mQRS
PQSm 
De um ponto “P” exterior a uma circunferência se traçam a
tangente PQ e a secante PRS, se o arco RS mede 140º e o
ângulo QPS mede 50º. Calcule a medida do ângulo PSQ.

20°
70°
X
X = 40°R
Q
No triângulo retângulo RHS
140° É propriedade, que:
140° + X = 180°
Pelo ângulo inscrito
Problema Nº 02
RESOLUÇÃO
P
S
m  S = 70º
Resolvendo:
PSQ = x
2
mQR
º70  mQR = 140°
De um ponto “P” exterior a uma circunferência se traçam as
tangentes PQ e PR, logo no maior arco QR se localiza um
ponto “S”, se traça RH perpendicular à corda QS, se mHRS =
20º; calcule mQPR.

x
130°
A
C
B
D
X = 40°
2
50130
X

50°
Problema Nº 03
RESOLUÇÃO
P
Resolvendo:
APD = x
Medida do ângulo interior
Medida do ângulo exterior


90
2
mBC130
mBC = 50°
De um ponto “P” exterior a uma circunferência se traçam as
secantes PBA e PCD tal que as cordas AC e BD sejam
perpendiculares entre si; calcule a medida do ângulo APD, se
o arco AD mede 130º.

x
X = 18°
2
X54
X


M
N
54°
x
x
Problema Nº 04
RESOLUÇÃO
PA
B
APN = x
Se traçaa o raio OM:
o
Dado: OM(raio) = PM
Logo triângulo PMO é isósceles
Ângulo central igual ao arco
Medida do ângulo exterior
Resolvendo:
Em uma circunferência, o diâmetro AB se prolonga até um
ponto “P”, desde o qual se traça um raio secante PMN tal que
o comprimento de PM seja igual ao raio, se o arco AN mede
54º. Calcule a mAPN.

x
70°
Medida do ângulo inscrito:
X = 55°
2
110
X


A
B
C
P
Q
R
110°
Problema Nº 05
RESOLUÇÃO
PRQ = x
Pela propriedade do ângulo exterior
formado por duas tangentes:
Resolvendo:
70° + mPQ = 180° mPQ = 110°
Em um triângulo ABC se inscreve uma circunferência tangente
aos lados AB, BC e AC nos pontos “P”, “Q” e “R”
respectivamente, se o ângulo ABC mede 70º. Calcule mPRQ.

Calcule a medida do ângulo “X”.
Problema Nº 06
70°
B
A
X P
Resolução

RESOLUÇÃO
Medida dol ângulo inscrito:
70°
B
A
X P
C
140º
140º + x = 180º Resolvendo: X = 40º
2
mAB
º70  mAB=140º

Calcular a medida do ângulo “x”
Problema Nº 07
B
A
X P130º
Resolução

RESOLUÇÃO
B
A
X P130º C
Medida do ângulo inscrito:
Na circunferência:
260º
X = 80º
2
mAB
º130  mAB = 260º
mACB = 100º
mACB + x = 100º
260º + mACB = 360º

Calcule o perímetro do triângulo ABC.
Problema Nº 08
2
5 5
A
B
C
Resolução

Teorema de Poncelet: a + b = 10 + 2(2)
Logo o perímetro: (2p) = a + b + 10 = 14 + 10
(2p) = 24
RESOLUÇÃO
2
5 5
A
B
C
a b
a + b = 14 (1)
(2)
Substituindo (1) em (2) (2p) = 14 + 10

X
ABORDAGEM
Q
R
S
80º P
a
a
Problema Nº 09
De um ponto “P” exterior a uma circunferência se
traçam a tangente PQ e a secante PRS de modo que os
arcos SQ e SR sejam congruentes. Se o arco QR mede
80º, calcular mQPR .
Resolução

2a + 80º = 360º
a = 140º
Medida do ângulo exterior:
X
a



80
2
140 80
2
º º º
X = 30º
Na circunferência:
RESOLUÇÃO
X
Q
R
S
80º P
a
a

P
Q
R
S
2
3
ABORDAGEM
Problema Nº 10
Em um quadrilátero ABCD mQ = mS = 90º se traça a
diagonal PR. Os raios dos triângulos PQR e PRS medem 3 cm e
2 cm respectivamente. Se o perímetro do quadrilátero PQRS é
22 cm. Calcule o comprimento de PR
Resolução

Teorema de Poncelet:
a b
c
d
PQR  a + b = PR+2(3) +
a +b + c + d = 2PR + 10
PR = 6 cm
Dado:
a + b + c + d = 22 cm
PSR  c + d = PR+2(2)
22 = 2PR + 10
RESOLUÇÃO
P
Q
R
S
2
3

CONCEITO:
Sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da
circunferência, a distância de C a P d(C,P) é o raio dessa
circunferência. Então:

Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência,
a distância de C a P(dCP) é o raio dessa circunferência. Então:

Como exemplo, vamos determinar a equação geral da
circunferência de centro C(2, -3) e raio r = 4.
A equação reduzida da circunferência é:
  16)3(2 22
 yx
Desenvolvendo os quadrados dos binômios (x – a)² e (y – b)²,
temos:
² 4 4 ² 6 9 10 0x x y y      
² 4 ² 6 3 0x x y y    

Geometria Analítica:
Posições relativas entre ponto e circunferência
A aula a seguir traz demonstrações e alguns exercícios resolvidos
de posições que um determinado ponto pode assumir em relação a uma
circunferência.
Dispomos de três possibilidades:
1ª Ponto interno em relação a circunferência.
2ª Ponto pertencente a circunferência.
3ª Ponto externo à circunferência

Posições relativas entre ponto e circunferência.
Lembre-se:

Para determinar a interseção entre uma reta e uma circunferência , vamos fazer os seguintes
passos:
Passo 1: Obtenha a equação reduzida de r;
Passo 2: Substitua y (da equação reduzida de r) na equação de C;
Passo 3: Resolva a equação do 2º grau;
Passo 4: substitua X na equação de r:

Posições relativas entre ponto e circunferência
Exercício 1: Qual a posição relativa do ponto P(3, 2) em relação à circunferência de equação
05622
 xyx
Substituindo:
01818
051849
053623 22



Então o ponto P(3, 2) pertence a
circunferência uma vez que a
distância do centro ao ponto P é
igual ao raio.

Exercício 2: Qual a posição relativa do ponto P(-2, -3) em relação à circunferência de
equação 222
)5()4()1(  yx
Substituindo:
222
)5()4()1(  yx
03
0511
0)5()43()12( 222



Como a distância do centro ao
ponto P em questão é menor que
zero podemos concluir que o ponto
é interno a circunferência.

Exercício 3: Qual a posição relativa do ponto P(1, 4) em relação à circunferência de equação
0214222
 yxyx
Substituindo:
010
02131
021162161
021441241 22




Nesse caso a distância do
ponto ao centro é maior que o
raio concluímos então que o
ponto é externo à
circunferência

Resumo final: Quando temos um ponto P(m, n) e uma circunferência
, de centro C(a, b) e raio r, podemos afirmar que:
 0)()( 222
rbnamrdcp P  
 0)()( 222
rbnamrdcp
P é interno a 
 0)()( 222
rbnamrdcp P é externo a 

GEOMETRIA PLANA 
Polígonos convexos
Polígonos não-convexos
 Os lados AB, AC, CD, DE, EF e FA.
 Os vértices A, B, C, D, E e F.
 Os ângulos internos A, B, C, D, E e
F.
  é ângulo externo relativo ao
vértice A.
 A diagonal BD.
A
B C
D
EF


Polígono regular
• Chama-se polígono regular qualquer polígono que tem
todos os lados congruentes e todos os ângulos internos
congruentes.
B
A
C
D
EF

Soma dos ângulos internos
• A soma dos ângulos internos de um polígono convexo com n
lados é dado por Si = (n – 2).180º.
Si = (n – 2).180º
A2
A3
A4
A5
An
A1

TEOREMA DE PITÁGORAS TEOREMA DE TALES
c² = a² + b²

Apótema
Polígonos Regulares
E
F
D
C
BA
O
M

R
m
O
A B
m θ
R
L/2

Área de polígonos
Área do quadrado
L
L A = L2

Exemplo
 Calcular a medida de cada lado e de cada uma das
diagonais de um quadrado, cuja área mede 18 cm2.
L
LD
A = L2 ⇒ L2 = 18 ⇒ L = 3√2
D2 = L2 + L2 ⇒ D = L√2
⇒ D = 3√2.√2
⇒ D = 6 cm

Área do retângulo
Base (b)
Altura (h)
A = b . h

Exemplo
 Calcular o perímetro de um retângulo de 18 m2 de
área, sabendo que um de seus lados é o dobro do
outro.
2x
x
A = 18 ⇒ x.2x = 18
⇒ 2x2 = 18 ⇒ x2 = 9
⇒ x = 3
Os lados medem 3 m e 6 m.
P = 2.3 + 2.6 = 18 m

Área do Paralelogramo
h
A = b . h
base (b)

6
4
60º
Exemplo
 Os lados de um paralelogramo medem 4 cm e 6 cm e
formam, entre si, ângulo de 60º. Obter a sua área.
h
sen 60º =
h
4
⇒ h = 4. sen 60º = 4.
2
√3
⇒ h = 2√3
A = b . h = 6. 2√3 ⇒ A = 12√3

Área do Losango
d1
d2
A =
d1 . d2
2
L
L
L
L

Área do Triângulo
A =
b . h
2
h
base (b)
b . c. sen α
2
A = A=√p.(p-a).(p-b).(p-c)

Área do Triângulo Eqüilátero
L
L
L
h
h =
L√3
2
A =
L2√3
4

Área do Hexágono regular
L
LL
L
L
L
A =
6L2√3
4

CÍRCULO ou CIRCUNFERENCIA??
A = π R²
C = 2. π. R

UFRGS 2012 1+1/2+1/4+1/8 = 15/8

C= 2.pi.r = 2. 3,14 . 1
C=6,28 (1 volta)
Como serão 10 voltas
C= 62,8 (letra B)

Elementos de um poliedro
• Alguns elementos de um poliedro recebem nomes
especiais.
Face de poliedro é cada um dos polígonos que o delimitam.
GEOMETRIA ESPACIAL

especiais.
Aresta de poliedro é cada um dos lados das faces. É cada “quina” do
poliedro.

A
B C
D
E
F G
H
especiais.
Vértice de poliedro é cada um dos vértices das faces. É cada “ponta” do
poliedro.

O PRISMA e suas formas
• Observe os objetos abaixo. Todos têm forma de
poliedro, mas apresentam algumas características
comuns. Eles estão associados a um tipo de poliedro
muito especial: o prisma.

Definição
• Observe a animação.


r
O conjunto de todos esses segmentos é um sólido poliédrico chamado
prisma.

Elementos principais do prisma
O prisma tem dois tipos de
faces
A
B C
D
EF
A’
B’ C’
D’
E’F’
 bases
(polígonos congruentes).
 faces laterais
(paralelogramos).
 Superfície total do prisma é a união da superfície lateral com as duas
bases do prisma.

O prisma tem dois tipos de
arestas
A
B C
D
EF
A’
B’ C’
D’
E’F’
 arestas das bases
(AB, A’B’, ..., FA, F’A’).
 arestas laterais
(AA’, BB’, CC’, ... ,FF’ ).

h
A
B C
D
EF
A’
B’ C’
D’
E’F’
 A distância h entre as duas bases do prisma é a altura do prima.

Classificação dos prismas
• Um prisma é classificado pelo tipo de polígono que
constitui suas bases.
P. hexagonalhexágono
P. pentagonalpentágono
P. quadrangularquadrado
P. triangulartriângulo
PrismaPolígonos das bases

Veja alguns desses prismas
Prisma triangular Prisma Pentagonal

Classificação dos prismas
Prisma triangular reto Prisma Pentagonal
oblíquo
h
h

Prisma regular
• Todo prisma reto cujas bases são polígonos
regulares é chamado de prisma regular.
O prisma é reto e
ABC é triângulo eqüilátero
⇒
A
B
C
Prisma triangular regular
O prisma é reto e a
Base é hexágono regular
⇒
Prisma hexagonal regular

Prismas quadrangulares
• Se as bases de um paralelepípedo reto são
retângulos, ele é chamado paralelepípedo reto-
retângulo ou paralelepípedo retângulo.
Paralelepípedo retângulo ou
ortoedro

Prismas quadrangulares
• Se todas as arestas de um paralelepípedo retângulo
são congruentes entre si, ele é chamado cubo ou
hexaedro regular.
Cubo ou hexaedro regular

Estudo do cubo
• O cubo é o mais simples dos prismas. Ele é um
prisma quadrangular regular, cujas faces são
quadrados congruentes. Por isso qualquer de suas
faces pode ser considerada como base.
a → medida de cada uma das
arestasa
a
a

a
a
a
Diagonais no cubo
• Num cubo, distinguimos dos tipos de diagonais.
a → medida de cada uma das
arestas
d
D
d → diagonal da face
D → diagonal do cubo

Diagonais no cubo
• Obtendo os valores d e D em função da medida a da
aresta.
a
a
a
d
D
a
d2 = a2 + a2
⇒ d = 2a2
⇒ d = a√2

Diagonais no cubo
• Obtendo os valores d e D em função da medida a da
aresta.
a
a
a
d
Da
D2 = a2 + d2
⇒ D = a2 + 2a2
⇒ D = 3a2
⇒ D = a√3

Área da superfície total do cubo
• Planificando a superfície total de um cubo de aresta
a, obtemos a figura.
a
a
a
a
a
a
a
AT = 6a2

Volume do cubo
a
a
a
a
a
a
a
V = a³

Estudo do paralelepípedo retângulo
• O paralelepípedo retângulo é um prisma
quadrangular. Suas faces são duas a duas
congruentes.
a, b e c → As dimensões do
paralelepípedo.
a
c
b
 Suas doze arestas são quatro a quatro congruentes. As medidas
dessas arestas são as dimensões do paralelepípedo.

b
a
Diagonal do paralelepípedo
• Diagonal de um paralelepípedo é todo segmento
cujos extremos são dois vértices não-pertencentes
a uma mesma face.
d → diagonal da face inferior
D → diagonal do paralelepípedo
c
d
D

b
a
Cálculo da diagonal do paralelepípedo
• Obtendo o valor de D em função das dimensões a, b
e c do paralelepípedo.
c D
d2 = a2 + b2 e D2 = d2 + c2
d
D2 = a2 + b2 + c2
⇒ D = √a2 + b2 + c2

Exemplo
O comprimento e a largura de um paralelepípedo
medem 12 cm e 4 cm. Uma de suas diagonais mede 13.
Obter a medida de sua altura?
D = √a2 + b2 + c2 ⇒ 13 = √122 + 42 + c2
⇒ 169 = 144 + 16 + c2 ⇒ c2 = 169 – 160
⇒ c2 = 9 ⇒ c = 3

Área da superfície total do paralelepípedo
• Planificando a superfície total de um paralelepípedo
de dimensões a, b e c obtemos a figura.
a
c
b
a
b
c
ab
ab
ac
ac
bc bc
AT = 2ab + 2ac + 2bc
AT = 2(ab + ac + bc)

Exemplo
A área da superfície total de um paralelepípedo é 248
cm2. suas dimensões são proporcionais a 2, 3 e 5.
Calcular a medida da diagonal do paralelepípedo?
As dimensões a, b e c são proporcionais a 2, 3 e 5 indica que a = 2k, b
= 3k e c = 5k.
AT = 248 ⇒ 2(ab + ac + bc) = 248
⇒ ab + ac + bc = 124
:(2)
⇒ 2k.3k + 2k.5k + 3k.5k = 124
⇒ 6k2 + 10k2 + 15k2 = 124 ⇒ 31k2 = 124
⇒ k2 = 4 ⇒ k = 2

Volume do paralelepípedo retângulo
• Analise as duas figuras a seguir.
cubo unitário
V = 1 u3
V = 5.3.4 = 60 u3
5 u
3 u
4 u
De modo geral, o volume de um paralelepípedo de dimensões a, b e c é
dado por
V = a.b.c

Exemplos
Uma das dimensões de um paralelepípedo é
aumentada em 20%; outra, aumentada em 30%; a
terceira em 10%. O que ocorre com o volume do
paralelepípedo?
Suponhamos que as dimensões sejam x, y e z. Então, o volume
original é V = xyz.
Se x aumenta 20%, a nova dimensão passa para 1,2 x.
Se y aumenta 30%, a nova dimensão passa para 1,3 y.
Se z aumenta 10%, a nova dimensão passa para 1,1 z.
V’ = 1,2x . 1,3 y . 1,1 z = 1,404.xyz = 1,404.V
Concluímos que o volume aumenta 40,4%.

Estudo geral do prisma
• Vamos aprender a calcular áreas e volumes em
prismas quaisquer. Em geral. Vamos considerar
prismas retos em que
 As arestas laterais são alturas;
 As faces laterais são retângulos;
A
B
C

Áreas no prisma
• No prisma as áreas.
 Área Lateral (AL) – Soma das áreas dos retângulos;
 Área da base (AB) – Área do polígono da base;
 Área total (AT) – Soma da área lateral com as bases
AT = AL + 2AB

Exemplo
A figura a seguir mostra um prisma triangular reto,
com as dimensões indicadas. Calcular a área lateral e a
área total desse prisma.
3
5
6
4
AL = 3.6 + 4.6 + 5.6
AL = 18 + 24 + 30 = 72
AB = (3.4)/2 = 6
AT = AL + 2.AB
AT = 72 + 2.6 = 84

Exemplo
Num prisma hexagonal regular, a altura mede 6 m e a
área de cada base é 24√3 m2. Achar sua área lateral.
x
6
A = 24√3 ⇒
4
6x2√3
= 24√3
⇒ x2 = 16 ⇒ x = 4
Af = b.h ⇒ Af = 4.6 = 24
AL = 6.Af ⇒ AL = 6.24 = 192 m2

Princípio de Cavalieri
• Bonaventura Cavalieri nasceu na Itália, no final do
século XVI. Discípulo de Galileu, ele deixou
contribuições importantes nas áreas de óptica e
geometria.

Princípio de Cavalieri
• Dados dois ou mais sólidos apoiados em um mesmo
plano , se
 Todos têm a mesma altura;
 Todo plano  paralelo a  e que corte os sólidos
determina, em todos eles, seções planas de
mesma área;
Então os sólidos têm o mesmo volume.

Volume do prisma
• Vamos deduzir uma fórmula para o cálculo do
volume do prisma. Para isso, vamos aplicar o
princípio de Cavalieri.
V = AB.h

PIRÂMIDE
A pirâmide tem dois tipos de
faces
 A base
(polígono ABCDEF).
 Faces laterais (triângulos).
 Superfície total da pirâmide é a união da base com a superfície lateral.
V
A
B C
D
EF

Elementos principais da pirâmide
A pirâmide tem dois tipos de
arestas
 arestas da base
(AB, BC, CD, DE, EF e FA).
 arestas laterais
(VA, VB, VC, VD, VE e VF ).
V
A
B C
D
EF


Elementos principais da pirâmide
h
 A distância h do vértice ao plano da base é a altura da pirâmide.
V
A
B C
D
EF

Classificação
• Uma pirâmide é classificado pelo tipo de polígono
que constitui sua base.
P. hexagonalhexágono
P. pentagonalpentágono
P. quadrangularquadrado
P. triangulartriângulo
PirâmidePolígono da base

Veja algumas dessas pirâmides
Pirâmide triangular Pirâmide Pentagonal

Pirâmides regulares
A base da pirâmide é um
quadrado
⇒
Pirâmide quadrangular regular
A base da pirâmide é um
hexágono regular
⇒
Pirâmide hexagonal regular
V
h
O
V
h
O

V
A B
CD
Apótema da pirâmide
VM é o apótema (p) da
pirâmidep
M
⇒
BM = MC

Segmentos notáveis na pirâmide regular
 VO = h, altura;
V
B
A
M
O
a
h
m
r
p
b
 VA = a, aresta lateral;
 AB = b, aresta da base;

Segmentos notáveis na pirâmide regular
 OM = m, apótema da base;
V
B
A
M
O
a
h
m
r
p
b
 OA = r, raio da base;
 VM = p, apótema pirâmide;

A pirâmide e o teorema de Pitágoras
p2 = h2 + m2
V
B
A
M
O
h
m
p

V
A
O
a
h
r
a2 = h2 + r2

a2 = p2 + (b/2)2
V
B
A
M
a
p
b/2

Volume da pirâmide
• Se um prisma e uma pirâmide têm alturas iguais e
suas bases têm a mesma área, então o volume da
pirâmide é a terça parte do volume do prisma.
AB.hV =
3
1

Tronco de Pirâmide R
C
A
h
B
D
A’ B’
C’D’
h’
C
A
h – h’
B
D
A’ B’
C’D’
R
A’ B’
C’D’
h’
Tronco de
pirâmide

Razão de semelhança - Comprimentos
R
C
A
h
D
R
A’ B’
C’D’
h’
B
=
RA’
RA
A’B’
AB
=... =
h’
h
= k
Razão de
semelhança

Razão de semelhança - Áreas
R
C
A
h
D
R
A’ B’
C’D’
h’
B
=
A’B
AB
A’L
AL
=
A’T
AT

ESFERAS
Área: A = 4πr2
Volume:


g
g

eixo
 90ºBase
Base
O*
O*
R
h
A Fig. mostra um Cilindro
Oblíquo.
Ré raio da base
hé altura
gé geratriz
Cilindro

Cilindro Circular Reto
O*
g gh
1) o eixo é perpendicular
aos planos das bases.
R
DC
ou Cilindro de Revolução
R
BA
O’*
2) g = h

A B
D C
A B
D C
Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um
retângulo em torno de um dos seus lados.

A B
D C
Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um
retângulo em torno de um dos seus lados.

Retângulo ABCD é a seção meridiana do cilindro.
2R
Seção
Meridiana
A
B
C
DO*
O’*h Se ABCD
é um quadrado 
cilindro eqüilátero
Cilindro eqüilátero é o cilindro reto em que h = 2R
Seção Meridiana

R
h
x
Planificação :Planificação :

R
h
x
R
R
2R
Planificação :

Áreas e Volumes
AL = 2 Rh
At = AL+ 2 Ab
V =  R2. h
Área Lateral
( AL )
Área Total
( At )
Volume
( V )
Ab =  R2Área Base
( Ab )

UFRGS 2012
Tomando a aresta da base a e a
altura h temos o volume V:
Dobrando a aresta da base e
reduzindo a altura a metade
teremos o novo volume V1:

Estudo da reta
GEOMETRIA ANALÍTICA

x
y
O (0, 0)
1º quadrante2º quadrante
3º quadrante 4º quadrante
eixo das
abscissas
eixo das ordenadas
Origem
Plano cartesiano

P
x
y
O
4
3
P(3, 4)
Coordenadas no plano
 3 é a abscissa de P;
 4 é a ordenada de P;
 3 e 4 são as
coordenadas de P;
P(x, y)
 Em geral:

Bissetrizes no plano
x
y
y = xy = –x
1ª bissetriz2ª bissetriz

Equação geral da reta
• A toda reta contida no sistema xOy de coordenadas
cartesianas está associada uma equação de 1.º grau, nas
variáveis x e y. Essa equação se verifica para todos os pontos
da reta, e só eles.
 Retas paralelas aos eixos;
 Retas não-paralelas aos
eixos;

Retas paralelas aos eixos
• A figura mostra duas retas r e s, contidas no plano cartesiano
xOy.
x
y
O 4
2
r
s
 Equação da reta r: x = 4
 Equação da reta s: y = 2

Retas não-paralelas aos eixos
• A figura mostra a reta r, contidas no plano cartesiano xOy,
determinada pelos pontos A(2, 1) e B(3, 3).
x
y
O 3
1
r
2
3
P(x, y) ∊ AB ⇒ A, B e P estão
alinhados
x y 1
1 2 1
3 3 1
= 0
x + 3y + 6 – 3 – 3x – 2y =
0
⇒ y – 2x + 3 = 0
A
B
P(x, y)

Exemplos
• Analisar se M(2, –1) e N(3, 5) são pontos da reta de equação
geral 5x + y – 9 = 0.
⇒ 5.2 + (–1) – 9 = 0
 Para que cada ponto pertença à reta, suas coordenadas
devem satisfazer a equação.
M(2, –1) ⇒ 10 –1 – 9 = 0 ⇒ 0 = 0
⇒ 5.3 + 5 – 9 = 0N(3, 5) ⇒ 15 + 5 – 9 = 0 ⇒ 11 ≠ 0
 Concluímos que M é ponto da reta dada, mas N não é.

40 m
Inclinação de uma reta
• Imagine um carro subindo uma rampa reta, conforme figura.
Suponha que para cada 40 m percorridos na horizontal, a
pista se eleve 6 m.
40 m
6 m

 O ângulo α que a rampa forma com a horizontal é o
ângulo de inclinação da rampa. O valor de tg α é a
inclinação da rampa.
6 mInclinação = tg α = = 0,15

• Vamos analisar agora duas situações extremas.
 Quando o carro percorre um trecho horizontal,
dizemos que a rampa tem inclinação 0 e que o ângulo
de inclinação é 0º. (tg 0o = 0).
α = 0o ⇒ Inclinação = tg α = tg 0o = 0

• Vamos analisar agora duas situações extremas.
 O auto não sobe uma rampa vertical.
Nesse caso, não se define a inclinação
da rampa e o ângulo de inclinação é 90º.
(tg 90º = Não é definido).
α = 90o
⇓
Inclinação não se define.

Q
• Considere uma reta r, não paralela aos eixos x e y, contida no
plano cartesiano xOy.
x
y
O
yQ
yP
xQxP
P
M
xQ – xP
yQ – yP
Inclinação = tg α

yQ– yP
xQ– xP
a = tg α =
x
y
a =
r

• Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante:
a = tg 30º =
x
y
O
30ºM
3
√3

a = tg 45º = 1
x
y
O
45ºM

a = tg 60º = √3
x
y
O
60ºM

x
y
O
120º
M
a = tg 120º = – tg 60º = –√3

a = tg 135º = – tg 45º = – 1
x
y
O
135º
M

a = tg 150º = – tg 30º =
x
y
O
150º
M
3
–√3

Exemplos
• Em cada caso, obter a inclinação e classificar o ângulo α de
inclinação da reta MN.
x
y
O
α
M
N
–2 1
3
5
xN – xM
yN – yM
a = tg α =
1 – (–2)
5 – 3
a =
3
2
a =
a > 0 e α é agudo
(α < 90º)
a) M(–2, 3) e N(1, 5)

Inclinação de uma reta - resumo
• O ângulo de inclinação α de uma reta é tal que 0º ≤ α ≤ 180º.
• Sua inclinação a pode ser positiva, negativa ou nula, conforme
a medida do ângulo α (α ≠ 90º).
 α = 0º ⇔ a = 0.
 0º < α < 90º ⇔ a > 0.
 α = 90º ⇔ a inclinação a não é definida.
 90º < α < 180º ⇔ a < 0.

Exemplos
• Achar as inclinações das retas r, s e t da figura abaixo.
x
y
O
120º45º 45º
r s
t
 ar = tg 45º = 1
 as = tg 45º = 1  at = tg 120º – √3= – tg 60º =

Equação reduzida da reta
• Uma reta é determinada, quando são dados sua inclinação e
um de seus pontos. Suponhamos no plano xOy, uma reta r que
passa por A(2, 3) e têm ângulo de inclinação α = 135º.
• Vamos obter a equação da reta r.
x
y
O
135º
A
2
3
M(x, y)
xM – xA
yM – yA
a = tg 135º = –1.
x – 2
y – 3
–1 =a =
y – 3 = –1(x – 2)
y – 3 = –1x + 2
y = –1x + 5
⇒
y = –x + 5

Equação reduzida da reta – Caso Geral
• Suponhamos que uma reta r de inclinação a = tg α e que passe
pelo ponto P(xP, yP), como mostra a figura.
x
y
O
α
P
xP
yP
M (x,
y) xM – xA
yM – yA
x – xP
y – yP
a =a =
y – yP = a(x – xP)
⇒
⇒ y – yP = ax – axP⇒ y = ax + (–axP + yP)
⇒ y = ax + b  Equação reduzida da reta

Equação reduzida da reta
• Na equação reduzida y = ax + b, temos:
 Significa que a reta passa pelo ponto (0, b) → ponto do eixo y.
x = 0 ⇒ y = a.0 + b ⇒ y = b
 O coeficiente a é a inclinação da reta; ele é também chamado, por
isso, coeficiente angular da reta.
 O coeficiente b é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y;
ele é chamado de coeficiente linear da reta.

Exemplos
• Veja a representação da reta r: 2x – y + 4 = 0 no plano xOy.
x
y
O
r
–2
4
y = 2x + 4

Exemplos
• O gráfico a seguir mostra uma reta s. Encontrar a equação
reduzida e uma equação geral para essa reta.
x
y
O
s
45º
2
y = ax + b
 A reta corta o eixo y no
ponto de ordenada 2,
ponto (0, 2), logo b = 2.
 α = 180º – 45º = 135º
a = tg 135º = –1.
y = – x + 2
⇒ x + y – 2 = 0
α

Exemplos
• Achar a equação reduzida da reta r que passa pelos pontos
A(–2, 6) e B(1, –3).
xA – xB
yA – yB
–2 – 1
6 –(–3)
a =
x
y
= =
 Primeiro vamos calcular a inclinação da reta.
–3
9
= ⇒ a = –3
 Utilizando o ponto A(–2, 6), por exemplo, obtemos a equação
fundamental, em seguida a equação reduzida da reta.
y – yP = a(x – xP) ⇒ y – 6 = –3(x + 2)
⇒ y – 6 = –3x – 6 ⇒ y = –3x

GEOMETRIA ANALÍTICA – DISTÂNCIAS
O que você deve saber sobre
O estudo da geometria analítica tem início na determinação das
distâncias entre entidades geométricas (pontos, retas, curvas)
colocadas sobre o plano cartesiano. A partir daí, diversas situações
podem surgir, como a definição de curvas complexas por meio de
equações em que se relacionam os valores das coordenadas de
seus pontos.

Dados dois pontos quaisquer,
A e B, de coordenadas (xA, yA)
e (xB, yB), respectivamente,
a distância entre os pontos
A e B pode ser obtida
pela aplicação do teorema
de Pitágoras.
II. Distância de ponto a ponto

As coordenadas xM e yM do
ponto médio do segmento
são, respectivamente, as médias
aritméticas das coordenadas
dos pontos A e B.
As coordenadas do ponto médio
M do segmento são:
AB
AB
Coordenadas do ponto médio de um segmento

Coordenadas do baricentro G do triângulo ABC:
Baricentro de um triângulo ABC

Área do triângulo
Dado um triângulo de vértices A, B e C, localizado no plano
cartesiano, sabe-se que a área do triângulo ABC é numericamente
igual à metade do módulo do determinante formado pelas
coordenadas dos pontos A, B e C:
• A 1a coluna é formada pelas abscissas dos pontos A, B e C.
 A 2a coluna, pelos valores das ordenadas y desses pontos.
• Os elementos das entradas da 3a coluna são iguais a 1.

Da expressão obtida para a área de um triângulo,
podemos concluir que a condição de alinhamento para
que três pontos distintos, A, B e C, estejam alinhados é:
Condição de alinhamento de três pontos

III. A equação da reta y = mx + n

Coeficiente ângular (m)
Está relacionado ao ângulo que a reta forma com o eixo das abscissas.
Se as escalas dos eixos x e y no gráfico são iguais, identificamos o
coeficiente angular da reta com a tangente do ângulo  entre a reta e o
eixo horizontal:

Coeficiente linear (n)
Corresponde ao valor da ordenada do ponto em que a reta cruza
o eixo y.
Para obtê-lo, refazemos o cálculo da declividade.
Usando a expressão obtida para m e substituindo os pontos
por P e A:

Coeficiente linear da reta
Isolando y, teremos: y = mx - mxA + yA
Chamando o termo constante de n = – mxA + yA,
a equação da reta, agora equação
reduzida da reta, passa a ser escrita assim:
Outro formato em que a equação da reta aparece
(chamada equação segmentária da reta):
Nela, os coeficientes a e b são o valor de x no ponto em que y = 0 e
o valor de y no ponto em que x = 0. Ou seja, a e b são os chamados
cortes nos eixos x e y, respectivamente.

Duas retas r e s inclinadas (i.e., não verticais e não horizontais) e com
coeficientes angulares mr e ms respectivamente, quando consideradas
ao mesmo tempo sobre o plano cartesiano, podem ser, uma em relação
à outra:
Paralelas coincidentes: as duas retas possuem os coeficientes
m e n iguais e todos os pontos em comum:
Paralelas não coincidentes: os coeficientes angulares das duas retas
são iguais, mas os lineares são distintos, e elas não apresentam pontos
em comum:
IV. Posições relativas entre retas no plano

Caso particular de concorrência de retas: elas são perpendiculares. Além
de seus coeficientes serem diferentes, o produto entre eles é igual a 1,
i.e., o coeficiente angular de uma das retas é o inverso do oposto do
coeficiente angular da outra.
Concorrentes: têm coeficientes angulares diferentes. Como
consequência, as retas terão um único ponto em comum:
IV. Posições relativas entre retas no plano

(Unesp)
Dados dois pontos, A e B, com coordenadas cartesianas
(-2, 1) e (1, -2), respectivamente, conforme a figura:
a) calcule a distância entre A e B.
b) sabendo-se que as coordenadas cartesianas do baricentro
do triângulo ABC são (xG, yG) = (2, 1), calcule as 3
coordenadas (xC, yC) do vértice C do triângulo.
GEOMETRIA ANALÍTICA – DISTÂNCIAS  NO VESTIBULAR
RESPOSTA:

(Uerj)
No sistema de coordenadas cartesianas a seguir, está representado o triângulo ABC.
Em relação a esse triângulo:
a) demonstre que ele é retângulo;
b) calcule a sua área.
2
RESPOSTA:

(UFC-CE)
ABC é o triângulo, no plano cartesiano, com vértices A(0, 0), B(2, 1) e C(1, 5).
Determine as coordenadas do ponto P do plano, tal que a soma dos quadrados
das distâncias de P aos vértices de ABC seja a menor possível, e calcule o valor
mínimo correspondente da soma.
3
RESPOSTA:

RESPOSTA:
(Unifesp)
A figura representa, em um sistema ortogonal
de coordenadas, duas retas, r e s, simétricas
em relação ao eixo Oy, uma circunferência com
centro na origem do sistema, e os pontos
A = (1, 2), B, C, D, E e F correspondentes às
interseções das retas e do eixo Ox com a
circunferência.
4

(PUC-RJ)
Dadas a parábola
y = x2 + x + 1 e a reta y = 2x + m:
a) Determine os valores de m para os quais
a reta intercepta a parábola.
b) Determine para qual valor de m a reta
tangencia a parábola. Determine também
o ponto de tangência.
5
RESPOSTA:

(IBMEC-SP)
Considere, no plano cartesiano da figura, o triângulo de vértices A, B e C.
Se r é a reta suporte da bissetriz do ângulo ABC, então o coeficiente angular
de r é igual a:
6
RESPOSTA: B
^
a)
b)  1.
c)
d)
e)
.
3
3

.
3
4

.
2
3

.3

Exemplo 1: Construa o gráfico da função f:
dado por f(x) = 2x + 1 e determine o conjunto imagem.
Análise de Gráficos
1º) Iremos montar uma tabela atribuindo os pontos
para o plano cartesiano:
x f (x) = 2.x + 1 (x ; y)
-2 2. (-2) + 1 = -3 (-2 ; -3)
-1 2. (-1) + 1 = -1 (-1 ; -1)
0 2. (0) + 1 = 1 (0 ; 1)
1 2. (1) + 1 = 3 (1 ; 3)
2 2. (2) + 1 = 5 (2 ; 5)
Como o domínio são
todos os reais, podemos
escolher qualquer valor
para “x”

x f (x) = 2.x + 1 (x ; y)
-2 2. (-2) + 1 = -3 (-2 ; -3)
-1 2. (-1) + 1 = -1 (-1 ; -1)
0 2. (0) + 1 = 1 (0 ; 1)
1 2. (1) + 1 = 3 (1 ; 3)
2 2. (2) + 1 = 5 (2 ; 5)
Domínio: R
Contradomínio: R
Imagem: R
f (x) = 2x + 1
y
x

Exemplo 2: O gráfico abaixo representa uma função.
Determine o que se pede.
y
x-2 0 1 2 3
1
3f (-2) =
f (0) =
f (2) =
Domínio:
Imagem:
3
3
1
[-2 ; 3]
[1 ; 3]

Exemplo 3: Determine entre os gráficos abaixo quais
deles representam uma função.
y
x
y
x
y
x
Não é
função
É função
É função
É funçãoÉ função
Não é
função

y
x
y
x
FUNÇÃO DO 1º GRAU
CRESCENTE E DECRESCENTE – GRÁFICO
FUNÇÃO CRESCENTE: a > 0 FUNÇÃO DECRESCENTE: a < 0

FUNÇÃO DO 2º GRAU - GRÁFICO
ponto c
ponto c
Reta decrescente
b < 0
Reta crescente
b > 0
 EXEMPLOS:

• EXEMPLO: (UFRGS – 2011) O gráfico do polinômio de
coeficientes reais p(x) = ax2 + bx + c está representado abaixo.
FUNÇÃO DO 2º GRAU - GRÁFICO
Com base nos dados desse gráfico,
é correto afirmar que os coeficientes
a, b e c satisfazem as desigualdades
a) a > 0; b < 0; c < 0.
b) a > 0; b < 0; c > 0.
c) a > 0; b > 0; c > 0.
d) a > 0; b > 0; c < 0.
e) a < 0; b < 0; c < 0.

y = x2y = ( x + 1)2 y = ( x – 3)2
Translação Horizontal

y = x2y = x2 + 2
y = x2 - 1
Translação Vertical

y = x2
y = (x + 1)2 – 3 y = (x – 2)2 + 1
Translação Horizontal + Vertical

y = x
y = | x |
Módulo de uma Função

y = (x + 2)2 – 3y = | (x + 2)2 – 3 |

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