Slides Lição 5, Betel, Ordenança para uma vida de vigilância e oração, 2Tr24....
Exercicios resolvidos (1)
1. 1
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Resolução dos exercícios do Trabalho
Efetivo Discente – TED
Lista de exercícios 1.
01) Determine os elementos dos conjuntos:
a) A = { x | x2
= 9 }
Solução:
x2
= 9
𝑥 = ±√9
𝑥 = ±3
A = {-3, 3}
b) B = { x | x é letra da palavra "arara"}
B = {a, r}
c) C = { x | x R e x2
< 0 }
C = 𝝓
d) D = { x | x N e x 3 }
D = {0,1,2,3}
02) Descreva por meio de uma propriedade característica de seus elementos os conjuntos:
a) A = { a, e, i, o, u }
A = { x | x é vogal}
b) B = { 2, 4, 6, 8, ....}
B= { x | x é natural par}
c) C = { r, s, t, u, v, x, z}
C = { x | x são as 7 últimas letras do alfabeto}
03) Sejam A= {x, y, z} e B={x}. Escrever com símbolos as seguintes sentenças classificando-as em
falsas ou verdadeiras:
a) x é elemento de A
x ∈ A verdadeira
b) y não pertence a B
y∉ 𝑩 verdadeira
c) B é subconjunto de A
𝑩 ⊂ 𝑨 verdadeira
d) B pertence a A
Está não é uma relação válida
e) B está contido em A
𝑩 ⊂ 𝑨 verdadeira
Lista de exercícios 2.
04) Se A = {a} , B = {a, b} , C = {c, d} , D = { a, b, c} e E = { b, c, d}, determinar quais das seguintes
sentenças são verdadeiras, justificando as falsas:
a) A D ( V )
b) B E ( F ) pois em a ∉ D
2. 2
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c) D = E ( F ) pois possuem elementos diferentes
d) C D ( F ) pois a ∉ 𝑫 e b ∉ 𝑫
e) B C ( V )
f) B D ( F ) pois os elementos de pertencemtambém a D
05) Dados A= {x R | 0 x 4} e B = {xR | 1 x 3} determinar A - B.
A – B = { x ∈ R |0≤ x< 1 e 3< x≤4}
06) Numa escola com 517 alunos, 290 estudam Matemática, 210 estudam Física e 112 não estudam
nem Matemática nem Física. Pede-se:
quantos alunos estudam Matemática ou Física? 405
quantos alunos estudam Matemática e Física? 95
quantos alunos estudam Matemática e não estudam Física? 195
Como a escola tem 517 e 112 não estudam nem matemática e nem física, temos:
517 – 112 = 405
Portanto 405 alunos estudam matemática e/ou física.
Como 290 estudam matemática e 210 estudam física, temos:
290 + 210 = 500
Mas como vimos temos apenas 405 alunos, logo a diferença são os alunos que estudam as duas
matérias.
500- 405 = 95
Veja a representação no diagrama de Venn.
Lista de exercícios 3.
07) Dado o conjunto A = {a, c, e, g, i}, indique quais das seguintes sentenças são verdadeiras:
a) e A V
b) hA F
c) iA F
d) cA V
e) dA V
08) Represente, através da enumeração dos elementos, os seguintes conjuntos:
a) O conjunto A, dos números primos menores que 10.
A = { 2,3,5,7}
b) O conjunto B, dos pólos geográficos.
B = {norte, sul, leste, oeste}
c) O conjunto C, dos números múltiplos positivos de 3 menores que 15.
C = {3,6,9,12}
d) O conjunto D, dos divisores positivos de 9.
D= {1,3,9}
e) O conjunto E, dos números pares maiores que 7.
E = {8,10,12,14,...}
M F
U
195 11595
112
3. 3
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09) Determine os elementos dos seguintes conjuntos:
a) A = {x | x é número de uma das faces do dado}
A = {1,2,3,4,5,6}
b) B = {x | x é dia da semana cujo nome começa por s}
B = { segunda-feira, sexta-feira, sábado}
c) C = {x | x é numero ímpar compreendido entre 12 e 18}
C = {13,15,17}
d) D = {x | x é consoante da palavra conjunto}
D = {c,n,j,t}
10) Represente os seguintes conjuntos através de uma propriedade comum a seus elementos:
a) A = {1,3,5}
A = { x | x é impar e x<7}
b) B = {1,2,4,8,16,32}
B = { x | x é 𝟐 𝒙 com 𝟏 ≤x≤ 𝟓}
c) C = {cheia, nova, minguante, quarto crescente}
C = { x | x fases da lua}
d) D = {trapézio retângulo, trapézio isósceles, trapézio escaleno}
D = { x | x tipos de trapézio }
11) Verifique se cada um dos seguintes conjuntos é unitário ou vazio, JUSTIFICANDO SUA RESPOSTA:
a) A = {x | x é número natural e x – 2 = 5}
É unitário pois só existe um valor para x, x = 7
b) B = {x | x é número par compreendido entre 6 e 8}
É vazio pois não existe par entre 6 e 8
c) C = {x | x é número natural primo e par}
É unitário pois só existe o número 2
d) D = {x | x é número natural e x . 0 = 2}
É vazio pois todo número multiplicado por 0 dá como resultado 0
Lista de exercícios 4.
12) Dados os conjuntos A = {0, 2, 4, 6}, B = {0, 4}, C = {4} e D = {0, 2} assinale as sentenças verdadeiras,
JUSTIFICANDO SUA RESPOSTA:
a) A C V
b) D B V
c) C B F pois em 0∉C
d) A D V
13) Dados os conjuntos
A = {1, 3, 5, 7, 9}
B = {x | x é número natural e x – 5 = 2}
C = {x | x é número inteiro compreendido entre 5 e 8}
Assinale as sentenças verdadeiras, JUSTIFICANDO SUA RESPOSTA:
a) A C F pois 6 ∉ 𝑪
b) B A V pois todos elementos de B também são de A
14) Determine o número de elementos de P(A) nos seguintes casos:
4. 4
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a) A = {x | x é número primo entre 4 e 8}
𝟐 𝒏 onde n é o número de elementos do conjunto,
Logo como A tem 2 elementos, temos
𝟐 𝟐 = 𝟒
b) B = {x | x é numero natural ímpar menor do que 8}
𝟐 𝒏 onde n é o número de elementos do conjunto,
Logo como A tem 4 elementos, temos
𝟐 𝟒 = 𝟏𝟔
15) Sabendo que o conjunto das partes de um conjunto tem 32 elementos, determine o número de
elementos do conjunto A.
𝟐 𝒏 = 𝟑𝟐
𝟐 𝒏 = 𝟐 𝟓
𝒏 = 𝟓
16) Dado A ={4, 6}, temos que P(A) = { , {4}, {6}, A}. Classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) cada
afirmação, justificando cada afirmação:
a) 4A V
b) 4 P(A) F, pois 4 é elemento do conjunto A
c) P(A) V
d) A F, pois está contido nas partes de A
e) A P(A) V
Lista de exercícios 5.
17) Hachure nos diagramas a região que representa os seguinte conjuntos:
a) A B b) A B C
18) Dados os conjuntos A = {a, e}, B = {b, c, d, f}, C = {a, c, e, g} e D = {b, d, f}, determine:
a) A B= {a,b,c,d,e,f}
b) A C= {a,c,e,g}
c) B D={b,c,d,f}
d) (A B) C = {a,b,c,d,e,f,g}
19) Dados os conjuntos A = {1, 3, 5, 7}, B = {2, 4, 6, 8} e C = {3, 4, 5}, obtenha:
a) A – B = {1, 3, 5, 7}
b) B – C = {2, 6, 8}
c) C – B = {3, 5}
d) A – C = {1, 7}
20) Indique se é verdadeira (V) ou falsa (F) cada afirmação:
a) A – B = B – A F
b) (A – B) (A B) V
c) (A – B) A V
01) Hachure nos diagramas a região que representa os seguinte conjuntos:
a) A B b) A B C
A B A B
5. 5
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21) Numa comunidade são consumidos três produtos A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado sobre o
consumo foram obtidos os resultados da tabela abaixo:
Produtos A B C A e B B e C A e C A e B e C Nenhum
No.
Consumidor
es
100 150 200 20 40 30 10 130
Determine quantas pessoas:
a) foram consultadas.
É só somar todos os valores do diagrama
60+10+10+20+100+30+140+130 = 500
b) consomem somente dois produtos.
É só somar as interseções entre dois conjuntos
10+20+30=60
c) não consomem o produto B.
é só somar os pedaços fora de B
60+20+140+130= 350
d) não consomem Aou não consomem B.
É só somar as partes fora de A e de B
140+ 130 = 270
Lista de exercícios 6:
22) Verdadeiro ou falso?
a) ( F ) Vetor é uma grandeza escalar.
b) ( V ) Norma de um vetor é sinônimo de tamanho de um vetor.
c) ( F ) Um vetor é uma flecha.
d)( V ) Duas flechas de mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido são representantes de um
mesmo vetor.
e) ( V ) A norma de um vetor e a de seu oposto são iguais: // - u
// = // u
//
f ) ( V ) Se // u
// = 1 então u
é chamado versor.
g) ( V ) O único vetor de norma zero é o vetor nulo.
h) ( V ) Para todo vetor u
tem-se 0u .
i ) ( V ) Se u
é um vetor qualquer e A um ponto qualquer, tem-se A – A // u
.
j ) ( V ) AAB B
A B
U
60 10010
140
10
3020
130
C
6. 6
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Lista de exercícios 7:
23) Decida se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações referentes à Figura 01, justificando sua
resposta:
FIGURA 01
a) O – F = C – O ( V )
Pois representam o mesmo vetor
b) E – O = B – O ( F )
Não pois são vetores opostos
c) B – O = C – O ( F )
Não pois são vetores de mesmo tamanho mas sentido e direção diferentes
d) D – O = O – A ( V )
Pois representam o mesmo vetor
e) A – O = O – D ( V )
Pois representam o mesmo vetor
f) E – O = -(O – E) ( V )
Pois representam o mesmo vetor
g) C – O = -(F – O) ( V )
Pois representam o mesmo vetor
h) C – F = D – E ( F )
Não pois tem tamanho diferentes
i) C – B = D – O ( V )
Pois representam o mesmo vetor
24) Na figura 06 estão representados os vetores paralelos u
e v
e estão indicadas suas normas. Calcule
a norma de vu
em cada caso e desenhe uma flecha que representa vu
.
7. 7
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FIGURA 06
Lista de exercícios 8:
A1) (u + v) + w = u + (v + w)
A2) u + v = v + u
A3) u + 0 = u
A4) u +(-u) = 0
M1) (𝜶𝜷).u = 𝜶(𝜷.u)
M2) (𝜶 + 𝜷).u = 𝜶.u + 𝜷.u
M3) 𝜶(u + v) = 𝜶.u + 𝜶.v
M4) 1.u = u
Nos problemas seguintes, apresenta-se, em cada um deles, um conjunto com as operações de adição e
multiplicação por escalar nele definidas. Verificar quais deles são espaços vetoriais. Para aqueles que
não são, citar os axiomas que não se verificam.
25) {(x, 2x, 3x); x ℝ }: com as operações usuais
u = (x1, 2x1, 3x1), v = (x2, 2x2, 3x2) e w = (x3, 2x3, 3x3),
A1) (u + v) + w = u + (v + w)
[(x1, 2x1, 3x1)+ (x2, 2x2, 3x2)] + (x3, 2x3, 3x3) = (x1, 2x1, 3x1) + [(x2, 2x2, 3x2) + (x3, 2x3, 3x3)]
[(x1+x2, 2x1+2x2, 3x1+3x2)] + (x3, 2x3, 3x3) = (x1, 2x1, 3x1) + [(x2+x3, 2x2+2x3, 3x2+3x3)]
(x1+x2+x3, 2x1+2x2+2x3, 3x1+3x2+3x3) = (x1+x2+x3, 2x1+2x2+2x3, 3x1+3x2+3x3)
(x1+x2+x3, 2(x1+x2+x3), 3(x1+x2+x3)) = (x1+x2+x3, 2(x1+x2+x3), 3(x1+x2+x3))
Este axioma se verifica
A2) u + v = v + u
(x1, 2x1, 3x1)+ (x2, 2x2, 3x2) = (x2, 2x2, 3x2) + (x1, 2x1, 3x1)
(x1+x2, 2x1+2x2, 3x1+3x2) = (x2+x1, 2x2+2x1, 3x2+3x1)
(x1+x2, 2(x1+x2), 3(x1+x2)) = (x2+x1, 2(x2+2x1), 3(x2+x1))
Este axioma se verifica
A3) u + 0 = u
(x1, 2x1, 3x1) + (0,0,0) = (x1, 2x1, 3x1)
(x1, 2x1, 3x1) = (x1, 2x1, 3x1)
Este axioma se verifica
A4) u +(-u) = 0
(x1, 2x1, 3x1) + (-x1, -2x1, -3x1) = (0,0,0)
(0,0,0) = (0,0,0)
Este axioma se verifica
u + v = 0u + v = 10 u + v = 4
8. 8
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M1) (𝜶𝜷).u = 𝜶(𝜷.u)
(𝛼𝛽). (x1, 2x1, 3x1) = 𝛼(𝛽. (x1, 2x1, 3x1))
(𝛼𝛽 x1, 2 𝛼𝛽 x1, 3 𝛼𝛽 x1) = 𝛼(𝛽 x1, 2 𝛽 x1, 3 𝛽 x1)
(𝛼𝛽 x1, 2 𝛼𝛽 x1, 3 𝛼𝛽 x1) = (𝛼𝛽 x1, 2 𝛼𝛽 x1, 3 𝛼𝛽 x1)
Este axioma se verifica
M2) (𝜶 + 𝜷).u = 𝜶.u + 𝜷.u
(𝛼 + 𝛽). (x1, 2x1, 3x1) = 𝛼. (x1, 2x1, 3x1) + 𝛽. (x1, 2x1, 3x1)
((𝛼 + 𝛽)x1, (𝛼 + 𝛽)2x1, (𝛼 + 𝛽) 3x1) = (𝛼 x1, 𝛼 2x1, 𝛼 3x1) + (𝛽 x1, 𝛽 2x1, 𝛽 3x1)
(𝛼 x1+ 𝛽x1, 𝛼 2x1+ 𝛽2x1, 𝛼 3x1+ 𝛽 3x1) = (𝛼 x1+ 𝛽 x1, 𝛼 2x1+ 𝛽 2x1, 𝛼 3x1+ 𝛽 3x1)
Este axioma se verifica
M3) 𝜶(u + v) = 𝜶.u + 𝜶.v
𝛼[(x1, 2x1, 3x1) + (x2, 2x2, 3x2)] = 𝛼. (x1, 2x1, 3x1) + 𝛼. (x2, 2x2, 3x2)
𝛼 [(x1+x2, 2x1+2x2, 3x1+3x2)] = (𝛼 x1, 𝛼 2x1, 3 𝛼 x1) + (𝛼 x2, 2 𝛼 x2, 3 𝛼 x2)
𝛼 [(x1+x2, 2(x1+x2), 3(x1+x2))] = (𝛼 x1+ 𝛼 x2, 𝛼 2x1+2 𝛼 x2, 3 𝛼 x1+3 𝛼 x2)
(𝛼 (x1+x2), 2 𝛼 (x1+x2), 3 𝛼 (x1+x2)) = (𝛼 (x1+x2), 2 𝛼 (x1+x2), 3 𝛼 (x1+x2))
Este axioma se verifica
M4) 1.u = u
1. (x1, 2x1, 3x1) = (x1, 2x1, 3x1)
(x1, 2x1, 3x1) = (x1, 2x1, 3x1)
Este axioma se verifica
Como todos os 8 axiomas foram verificados positivamente, logo este é um espaço vetorial.
26) ℝ 2
, com as operações: (a, b) + (c, d) = (a, b)
(a, b) = ( a, b)
u = (a,b), v = (c,d) e w=(e,f)
A1) (u + v) + w = u + (v + w)
[(a,b) + (c,d)] + (e,f) = (a,b) + [(c,d) + (e,f)]
[(a,b))] + (e,f) = (a,b) + [(c,d)]
(a,b) = (a,b)
Este axioma se verifica
A2) u + v = v + u
(a,b) + (c,d) = (c,d) + (a,b)
(a,b) ≠ (c,d)
Este axioma não se verifica
A3) u + 0 = u
(a,b) + (0,0) = (a,b)
(a,b) = (a,b)
Este axioma se verifica
A4) u +(-u) = 0
(a,b)+ (-a,-b) = (0,0)
(a,b) ≠ (0,0)
Este axioma não se verifica
M1) (𝜶𝜷).u = 𝜶(𝜷.u)
(𝛼𝛽).(a,b) = 𝛼(𝛽. (a,b))
(𝛼𝛽 a, 𝛼𝛽 b) = 𝛼(𝛽 a, 𝛽 b)
(𝛼𝛽 a, 𝛼𝛽 b) = (𝛼𝛽 a,𝛼 𝛽 b)
Este axioma se verifica
9. 9
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M2) (𝜶 + 𝜷).u = 𝜶.u + 𝜷.u
(𝛼 + 𝛽).(a,b) = 𝛼. (a,b) + 𝛽. (a,b)
((𝛼 + 𝛽)a, (𝛼 + 𝛽)b) = (𝛼 a, 𝛼 b) + (𝛽 a , 𝛽 b)
(𝛼 a+ 𝛽a, 𝛼b + 𝛽b) = (𝛼 a+ 𝛽 a, 𝛼 b+ 𝛽 b)
Este axioma se verifica
M3) 𝜶(u + v) = 𝜶.u + 𝜶.v
𝛼[(a,b) + (c,d)] = 𝛼.(a,b) + 𝛼.(c,d)
𝛼 (a,b) + 𝛼 (c,d) =. (𝛼 a, 𝛼 b) +( 𝛼 c, 𝛼 d )
(𝛼 a, 𝛼 b)+( 𝛼 c,d 𝛼) = (𝛼 a+ 𝛼 c , 𝛼 b+ 𝛼 d )
(𝛼 a+ 𝛼 c , 𝛼 b+ 𝛼 d ) = (𝛼 a+ 𝛼 c , 𝛼 b+ 𝛼 d )
Este axioma se verifica
M4) 1.u = u
1.(a,b) = (a,b)
(a,b) = (a,b)
Este axioma se verifica
Como pelo menos um axioma não foi verificado positivamente, logo este não é um espaço vetorial.
27) A = {(x, y) ℝ 2
| y = 5x}: com as operações usuais
u = (x1,5x1) , v = (x2, 5x2) e w = (x3,5x3)
A1) (u + v) + w = u + (v + w)
[(x1,5x1) + (x2, 5x2)] + (x3,5x3) = (x1,5x1) + [(x2, 5x2) + (x3,5x3)]
[(x1+ x2,5x1+5x2)] + (x3,5x3) = (x1,5x1) + [(x2+ x3, 5x2+5x3)]
(x1+ x2+ x3,5x1+5x2+5x3) = (x1+ x2+ x3,5x1+5x2+5x3)
Este axioma se verifica
A2) u + v = v + u
(x1,5x1) + (x2, 5x2) = (x2, 5x2) + (x1,5x1)
(x1+ x2,5x1+5x2) = [(x2+ x1,5x2+5x1)
Este axioma se verifica
A3) u + 0 = u
(x1,5x1) + (0,0) = (x1,5x1)
(x1,5x1) = (x1,5x1)
Este axioma se verifica
A4) u +(-u) = 0
(x1,5x1) + (-x1,-5x1) = (0,0)
(0,0) = (0,0)
Este axioma se verifica
M1) (𝜶𝜷).u = 𝜶(𝜷.u)
(𝛼𝛽). (x1,5x1) = 𝛼(𝛽. (x1,5x1))
(𝛼𝛽 x1,5 𝛼𝛽 x1) = 𝛼(𝛽. x1,5 𝛽.x1))
(𝛼𝛽 x1,5 𝛼𝛽 x1) = (𝛼𝛽 x1,5 𝛼𝛽 x1)
Este axioma se verifica
M2) (𝜶 + 𝜷).u = 𝜶.u + 𝜷.u
(𝛼 + 𝛽). (x1,5x1) = 𝛼. (x1,5x1) + 𝛽. (x1,5x1)
((𝛼 + 𝛽). x1, (𝛼 + 𝛽). 5x1) = (𝛼.x1,5 𝛼.x1) + (𝛽.x1,5 𝛽.x1)
(𝛼 x1+ 𝛽 x1, 𝛼 5x1+ 𝛽. 5x1) = (𝛼 x1+ 𝛽 x1, 𝛼 5x1+ 𝛽. 5x1)
(𝛼 x1+ 𝛽 x1, 5.(𝛼 x1+ 𝛽. x1)) = (𝛼 x1+ 𝛽 x1, 5.(𝛼 x1+ 𝛽. x1))
Este axioma se verifica
10. 10
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M3) 𝜶(u + v) = 𝜶.u + 𝜶.v
𝛼((x1,5x1) + (x2, 5x2)) = 𝛼.( x1,5x1) + 𝛼. (x2, 5x2)
𝛼 (x1+ x2,5x1+5x2) = (𝛼. x1,5 𝛼.x1) + (𝛼.x2, 5 𝛼.x2)
(𝛼 (x1+ x2), 𝛼 (5x1+5x2)) = (𝛼. x1+ 𝛼.x2, 5 𝛼.x1+5 𝛼.x2)
(𝛼. x1+ 𝛼.x2, 5 𝛼.x1+5 𝛼.x2) = (𝛼. x1+ 𝛼.x2, 5(𝛼.x1+ 𝛼.x2))
(𝛼. x1+ 𝛼.x2, 5(𝛼.x1+ 𝛼.x2)) = (𝛼. x1+ 𝛼.x2, 5(𝛼.x1+ 𝛼.x2))
Este axioma se verifica
M4) 1.u = u
1. (x1,5x1) = (x1,5x1)
(x1,5x1) = (x1,5x1)
Este axioma se verifica
Como todos os 8 axiomas foram verificados positivamente, logo este é um espaço vetorial.
28) ℝ 2
, com as operações: (x, y) + (x', y') = (x + x', y + y')
(x, y) = ( x,0)
u =(x, y), v =(x', y') e w =(x”,y”)
A1) (u + v) + w = u + (v + w)
[(x, y) + (x', y')] + (x”,y”) = (x, y) + [(x', y') + (x”,y”)]
(x+ x', y+ y') + (x”,y”) = (x, y) + (x'+ x”, y'+ y”)
(x+ x'+ x”, y+ y'+ y”) = (x+ x'+ x”, y+ y'+ y”)
Este axioma se verifica
A2) u + v = v + u
(x, y) + (x', y') = (x', y') + (x, y)
(x+ x', y+ y') = (x'+x, y'+y)
Este axioma se verifica
A3) u + 0 = u
(x, y) + (0,0) = (x,y)
(x,y) = (x,y)
Este axioma se verifica
A4) u +(-u) = 0
(x,y) + (-x,-y) = (0,0)
(0,0) = (0,0)
Este axioma se verifica
M1) (𝜶𝜷).u = 𝜶(𝜷.u)
(𝛼𝛽).(x,y) = 𝛼(𝛽.(x,y))
(𝛼𝛽 x,0) = 𝛼(𝛽.x,0))
(𝛼𝛽 x,0) = (𝛼𝛽 x,0)
Este axioma se verifica
M2) (𝜶 + 𝜷).u = 𝜶.u + 𝜷.u
(𝛼 + 𝛽).(x,y) = 𝛼.(x,y) + 𝛽.(x,y)
((𝛼 + 𝛽).x,0) = ( 𝛼.x,0) + (𝛽.x,0)
(𝛼 x+ 𝛽.x,0) = (𝛼 x+ 𝛽.x,0)
Este axioma se verifica
M3) 𝜶(u + v) = 𝜶.u + 𝜶.v
𝛼 [(x, y) + (x', y')] = 𝛼.(x,y) + 𝛼.( x', y')
𝛼 (x+ x', y+ y') = (𝛼.x,0) + (𝛼. x', 0)
(𝛼 (x+ x'), 𝛼 (y+ y')) = (𝛼.x+ 𝛼. x',0)
(𝛼 x+ 𝛼 x'), 𝛼 y+ 𝛼 y'))≠ (𝛼.x+ 𝛼. x',0)
Este axioma não se verifica
11. 11
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M4) 1.u = u
1. (x, y) = (x, y)
(x, 0) ≠ (x, y)
Este axioma não se verifica
Como pelo menos um axioma não foi verificado positivamente, logo este não é um espaço vetorial.
Lista de exercícios 9:
29) Abaixo são apresentados subconjuntos de ℝ². Verifique quais deles são subespaços vetoriais do ℝ²
relativamente as operações de adição e multiplicação por escalar:
a) S = {(y ,y ); y ∈ ℝ}
u = (y1, y1) e v = (y2, y2)
u+v =
(y1, y1) + (y2, y2)
(y1+ y2 , y1+ y2)
𝛼 u =
𝛼 (y1, y1)
(𝛼 y1, 𝛼 y1)
Logo é um subespaço vetorial
b) b) S = {(x , y) | x=0}
u = (0, y1) e v = (0, y2)
u+v =
(0, y1) + (, y2)
(0 , y1+ y2)
𝛼 u =
𝛼 (0, y1)
(0, 𝛼 y1)
Logo é um subespaço vetorial
30) Agora são apresentados subconjuntos do ℝ³, verifique quais são subespaços do ℝ³.
a) S = {(x, y, z)| x = 4y e z = 0}
u = (4y1, y1,0) e v = (4y2, y2,0)
u+v =
(4y1, y1,0) + (4y2, y2,0)
(4y1+4y2, y1+ y2, 0)
(4(y1+y2), y1+ y2, 0)
𝛼 u =
𝛼 (4y1, y1,0)
(4 𝛼 y1, 𝛼 y1,0)
Logo é um subespaço vetorial
b) S = {(x, y, z)| z = 2x –y}
u = (x1, y1, 2x1 – y1) e v = (x2, y2, 2x2 – y2)
u+v =
(x1, y1, 2x1 – y1) + (x2, y2, 2x2 – y2)
(x1+ x2, y1+ y2, 2x1 – y1+2x2 – y2)
(x1+ x2, y1+ y2, 2x1 +2x2– y1 – y2)
(x1+ x2, y1+ y2, 2(x1 + x2)– (y1 + y2))
𝛼 u =
𝛼 (x1, y1, 2x1 – y1)
12. 12
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(𝛼 x1, 𝛼 y1, 𝛼 (2x1 – y1))
(𝛼 x1, 𝛼 y1, 2 𝛼 x1 – 𝛼 y1))
Logo é um subespaço vetorial
Lista de exercícios 10.
31) Escreva o vetor v = (1, -2, 5) como combinação linear dos vetores e1=(1, 1, 1) , e2=(1, 2, 3) e e3=(2,-
1,1).
(1, -2, 5) = a(1, 1, 1) + b(1, 2, 3)+ c(2,-1,1)
(1, -2, 5) = (a,a,a) + (b, 2b, 3b)+ (2c,-c,c)
(1, -2, 5) = (a+b+2c, a+2b-c, a+3b+c)
Agora montamos o sistema:
{
a + b + 2c = 1
a + 2b − c = −2
a + 3b + c = 5
por escalonamento temos:
|
a + b + 2c = 1
−a − 2b + c = 2
−b + 3c = 3
|
a + b + 2c = 1
−a − 3b − c = −5
−2b + c = −4
{
a + b + 2c = 1
−b + 3c = 3
−2b + c = −4
|
−b + 3c = 3
6b − 3c = 12
5b = 15
{
a + b + 2c = 1
−b + 3c = 3
5b = 15
Com isso temos b = 3, c = 2 e a = -6
Então o vetor v pode ser escrito como:
𝒗 = −𝟔. 𝒆 𝟏 + 𝟑. 𝒆 𝟐 + 𝟐. 𝒆 𝟑
32) Para qual valor de K o vetor u = (1, -2, K) em ℝ ³ é uma combinação linear dos vetores v = (3, 0, -2) e
w = (2, -1, -5)?
(1, -2, K) = a. (3, 0, -2) + b. (2, -1, -5)
(1, -2, K) = (3a, 0, -2a) + (2b, -b, -5b)
(1, -2, K) = (3a+2b, -b, -2a-5b)
{
3a + 2b = 1
−b = −2
−2a − 5b = k
Se b = 2
3a + 2.2 = 1
3a + 4 = 1
3a = −3
a = -1
logo temos:
−2a − 5b = k
2 – 10 = k
K = -8
33) Mostre que os vetores u = (1, 2, 3), v = (0, 1, 2) e w = (0, 0, 1) geram o ℝ³.
(x,y,z) = a. (1, 2, 3) + b(0, 1, 2) + c. (0, 0, 1)
13. 13
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(x,y,z) = (a, 2a, 3a) + (0, b, 2b) + (0, 0, c)
(x,y,z) = (a, 2a+b, 3a+2b+c)
{
𝑎 = 𝑥
2𝑎 + 𝑏 = 𝑦
3𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 = 𝑧
Como a = x, temos:
2x + b = y
b = -2x + y
e para z temos:
3x+2(-2x+y) + c = z
3x -4x +2y + c = z
c = x -2y + z
𝒗 = ( 𝒙). 𝒖 + (−𝟐𝒙 + 𝒚). 𝒗 + ( 𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝒛). 𝒘
Logo os vetores geram o ℝ³.
34) Sendo os vetores u = (-3, 2 , 1) e v = (0, 5, 4), escrever o vetor w = (15, 0 ,3) como combinação linear
de u e v.
(15, 0 ,3) = a. (-3, 2 , 1) + b (0, 5, 4)
(15, 0 ,3) = (-3a, 2a , a) + (0, 5b, 4b)
(15, 0 ,3) = (-3a, 2a +5b , a +4b)
{
−3𝑎 = 15
2𝑎 + 5𝑏 = 0
𝑎 + 4𝑏 = 3
Sendo a = -5
Temos :
-10 + 5b = 0
5b = 10
b =2
Substituindo a e b na última equação para verificar igualdade, temos:
-5 + 8 = 3
3 = 3
Portanto w é uma combinação linear u e v
𝒘 = −𝟓𝒖 + 𝟐𝒗
35) Dados os vetores v1 = (0 ,1 ,2) e v2 = (3 ,-5 ,7), para que valor de K o vetor v = (6 ,K ,8) é
combinação linear de v1 e v2?
(6 ,K ,8) = a(0 ,1 ,2) + b(3 ,-5 ,7)
(6 ,K ,8) = (0 ,a ,2a) + (3b ,-5b ,7b)
(6 ,K ,8) = (3b , a -5b, 2a +7b)
{
3𝑏 = 6
𝑎 − 5𝑏 = 𝑘
2𝑎 + 7𝑏 = 8
Sendo b = 2, temos:
2a + 14 = 8
2a =6
a = 3
assim substituindo na segunda equação temos o valor de k:
3 – 10 = k
K = -7
33. 33
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Lista TED 16:
Nos 6 problemas seguintes, dada a transformação linear f : ℝ 2
ℝ 2
, definida em cada um deles,
a) fazer um gráfico de um vetor genérico = (x, y) e de sua imagem f( );
b) dizer que transformação linear plana os gráficos representam.
66) f (x, y ) = (2x, 0)
𝑇:ℝ 2
→ ℝ2
𝑇( 𝑥, 𝑦) = (2𝑥,0)
𝑢 = (3,4)
𝑇(3,4) = (6,0)
67) f (x, y ) = (-2x, 2y)
𝑇( 𝑥, 𝑦) = (−2𝑥, 2𝑦)
𝑢 = (2,3)
𝑇(2,3) = (−4,6)
68) f (x, y ) = (-y, x)
𝑢 = (2,1)
𝑇(2,1) = (−1,2)
69) f (x, y ) = (2x, y)
𝑢 = (2,3)
𝑇(2,3) = (4,3)
70) f (x, y ) = (3x, -2y)
𝑢 = (1,2)
𝑇(2,3) = (3, −4)
18) f (x, y ) = -2 (x, y),
𝑢 = (2,2)
𝑇(2,3) = (4,4)
b) R: Para todos. Uma reta que passa pela origem.
71) Seja f: ℝ3 W a projeção ortogonal do ℝ3
sobre o plano y0z, indicado por W.
𝑇:ℝ 3
→ ℝ3
a) Determine a lei que define f;
( 𝑥, 𝑦, 𝑧) → (0, 𝑥, 𝑦)
𝑇( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0, 𝑥, 𝑦)
b) Calcular f (3, -4, 5).
𝑇(3,−4,5) = (0,−4,5)
40. 40
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Lista TED 22:
Conjuntos
103) Numa escola com 557 alunos, 295 estudam Matemática, 205 estudam
Física e 120 não estudam nem Matemática nem Física. Pede-se:
a) quantos alunos estudam Matemática ou Física? 437 alunos
b) quantos alunos estudam Matemática e Física? 63 alunos
104) Numa escola foi feita uma pesquisa com todos os alunos sobre os times
de futebol para os quais os eles torcem e tiveram o seguinte resultado:
130 estudantes torcem pelo Flamengo, 105 torcem pelo Corinthians e 50 torcem
pelo Atlético Mineiro. Foi verificado também que 50 torcem simultaneamente para
Flamengo e Corinthians, 30 torce simultaneamente para Flamengo e Atlético e
25 torcem simultaneamente para Corinthians e Atlético. Lembramos ainda que
20 torcem pelos três times e 80 não torcem para ninguém. Pede-se:
a)Quantos alunos estudam na escola? 200
b)Quantos alunos torcem para dois times? 45
c) Quantos alunos não torcem pelo Flamengo?70
d)Quantos torcem exclusivamente para o Flamengo?70
105)Em uma pesquisa eleitoral, o candidato D deve 350 votos, o candidato S deve
139. Além disso também foram apurados que 200 pessoas não querem votar em
nenhum deles. Se ao todo foram entrevistados 650 pessoas, pergunta-se.
a)Quantas pessoas estão indecisas entre os dois candidatos?
b)Quantas pessoas só vão votar no candidato D?
c) Quantas pessoas só vão votar no candidato S?
557 120 500 437 205 295
-500 -57 -63 -295 -142 -63
57 63 437 142 63 232
U=557 Mat.
Fis.
NEstuda.120
142 232
63
41. 41
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T=650
N/V=200
T-N/V=450
D= 350
S=139
D+S= 489
489-450=39
D= 450-139= 311
S= 450-350= 100
A) 39
B) 311
C) 100
106)Numa comunidade são consumidos três produtos A, B e C. Feita uma pesquisa
de mercado sobre o consumo foram obtidos os resultados da tabela abaixo:
Produtos A B C A e B B e C A e C A e B e C
Nenhu
m
No. Consumidores
10
0
15
0
20
0
20 40 30 10 130
Determine quantas pessoas:
a) foram consultadas.
370 ssoas.
b) consomem somente dois produtos.
42. 42
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60 essoas.
c) não consomem o produto B.
350 ssoas.
d) Não consomem A ou não consomem B.
270 pessoas.
107)Uma fabrica pretende produzir motos de três cores (amarela, vermelha e
preta). Desejando saber a preferência dos consumidores encomendou uma
pesquisa sobre as cores e obteve o seguinte resultado:
Cores A V P A e V A e P V e P A e V e P
Nenhu
m
Votos 209
25
5
178 90 64 77 57 29
a) Quantos gostam só de moto amarela? 112
b) Quantos gostam só de moto vermelha? 145
c) Quantos gostam só de moto preta? 94
d) Quantos foram entrevistados? 497
108)Para determinar em qual veículo de comunicação uma empresa iria investir a
propaganda de seu novo produto foi feita uma pesquisa que obteve o seguinte
resultado:
Veículo
Rádi
o
TV
Jorn
a
l
Rádio e
TV
Rádio e
Jornal
TV e
Jorn
al
Rádio/Jornal
/TV
Nenhu
m
Pessoas 380
19
0
120 60 45 30 22 432
Pergunta-se:
a) Quantas pessoas ouvem só rádio? 297
432
u
43. 43
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b) Quantas pessoas leem só jornal? 67
c) Quantas pessoas foram entrevistadas ao todo? 1009
109)No concurso para o CPCAR foram entrevistados 979 candidatos, dos quais 527
falam a língua inglesa, 251 a língua francesa e 321 não falam nenhum desses
idiomas. Qual é o número de candidatos que falam as línguas inglesa e francesa?
979 − 321 = 658
527 + 251 = 778
778 − 658 = 120
R: O número de candidatos que falam a língua inglesa e francesa é 120
Lista TED 23:
Sistemas lineares
110)Resolva o seguinte sistema, pelos três métodos de resolução (escalonamento,
cramer da matriz inversa):
Método de Escalonamento
3
1642
0
zyx
zyx
zyx
3
142
0
zyx
zy
zyx
2/3
142
0
y
zy
zyx
−2x + 2y − 2z = 0 −2y + 4z = 1 x − (3
2⁄ ) + 1 = 0
2x − 4y + 6z = 1 −2(3
2⁄ ) + 4 = 1
x−3+1=0
2
0 − 2y + 4z = 1 − 6
2⁄ + 4z = 1 2x − 3 + 2 = 0
−3 + 4z = 1 2x − 1 = 0
x − y + z = 0 4z = 1 + 3 2x = 1
LI LF
U
407 131120
321
54. 54
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116)Abaixo é dado um conjunto com as operações de adição e multiplicação por
escalar nele definidas, verificar se ele é ou não espaço vetorial, se acaso não for,
citar os axiomas que não se verificam.
ℝ2
(x1 , y1) + (x2 , y2) = (x1 , y1 )
(x1 , y1) = ( x1 , y1)
u = (x1, y1) v = (x2, y2) w = (x3, y3)
A1) (u + v) + w = u + (v + w)
[(x1, y1)+ (x2, y2)] + (x3, y3) = (x1, y1) + [(x2, y2) + (x3, y3)]
(x1+y1) + (x3, y3) = (x1, y1) + (x2+x3, y2+y3)
(x1+x3, y1+y3) = (x1+x3, y1+y3)
Este axioma se verifica
A2) u + v = v + u
(x1, y1) + (x2, y2) = (x2, y2) + (x1, y1)
(x1, y1) = (x1, y1)
Este axioma se verifica
A3) u + 0 = u
(x1, y1) + (0,0) = (x1, y1)
(x1, y1) = (x1, y1)
Este axioma se verifica
A4) u +(-u) = 0
(x1, y1) + (-(x1, y1)) = (0,0)
(x1, y1) - (x1, y1) = (0,0)
(0,0) = (0,0)
Este axioma se verifica
M1) (𝛂𝛃).u = 𝛂(𝛃.u)
(αβ).(x1, y1) = α(β.(x1, y1))
(αβx1,βy1)= α(β x1, βy1)
(αβx1, βy1)= (αβ x1, βy1)
Este axioma se verifica
M2) (𝛂 + 𝛃).u = 𝛂.u + 𝛃.u
(α + β).(x1, y1) = α.(x1, y1) + β.(x1, y1)
((α+ β)x1, (α + β)yx1= (α x1, y1) + (β x1, βy1)
(αx1+ βx1,y1, βy1) = (αx1+ βx1, y1, βy1)
Este axioma se verifica
M3) 𝛂(u + v) = 𝛂.u + 𝛂.v
α[(x1, -2x1, -x1) + (x2, -2x2, -x2)] = α.(x1, -2x1, -x1) + α.(x2, -2x2, -x2)
α [(x1+x2, -2x1-2x2, -x1-x2)] = (α x1, -α 2x1, - α x1) +(α x2, -2 α x2, - α x2)
α [(x1+x2, -2(x1+x2), -(x1+x2))] = (α x1+ α x2,- α 2x1-2 α x2, - α x1- α x2)
(α (x1+x2), -2 α (x1+x2), - α (x1+x2)) = (α (x1+x2), -2 α (x1+x2), - α (x1+x2))
55. 55
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Este axioma se verifica
M4) 1.u = u
1.(x1, -2x1, -x1) = (x1, -2x1, -x1)
(x1, -2x1, -x1) = (x1, -2x1, -x1)
Este axioma se verifica
Como todos os 8 axiomas foram verificados positivamente, logo este é um
espaço vetorial.
117)Abaixo é dado um conjunto com as operações de adição e multiplicação por
escalar nele definidas, verificar se ele é ou não espaço vetorial, se acaso não for,
citar os axiomas que não se verificam.
ℝ 2
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)
(x1, y1) = ( x1, y1)
u + v = v + u
(x1, y1)+(x2, y2) = (x2, y2)+(x1, y1)
(x1+x2, y1+y2) = (x2+x1, y2+y1)
Este axioma se verifica logo
u + (v + w) = (u + v) + w
(x1, y1)+[(x2, y2) + (x3, y3)]=[(x1, y1)+(x2, y2)]+(x3+y3)
(x1, y1)+(x2+x3, y2)=(x1+x2,y1)+(x1+x2,y1)+(x3,y3)
(x1+x2+x3,y1+y2+y3) = (x1+x2+x3,y1+y2+y3)
Este axioma se verifica
u + 0 = u
(x1, y1)+ (0, 0) = (x1, y1)
(x1, y1)= (x1, y1)
Este axioma se verifica
u+(-u) = 0
x1, y1)+ (-x1, -y1) = (0, 0)
(0,0) = (0,0)
Este axioma se verifica
α(βu) = (αβ)u
α(β.(x1,y1) =αβ.(x1,y1)
α(βx1,βy1) = (αβx1,αβy1)
(αβx1,αβy1 =αβx1, αβy1)
Este axioma se verifica
(α+β).u = α u + βu
(α+β)(x1, y1) = α(x1, y1) + β(x1, y1)
(α+βx1,α+βy1 = α+βx1, α+βy1)
Este axioma se verifica
α (u+v) = αu + αv
56. 56
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α (x1, y1) + (x2, y2) = α(x1, y1) + α(x2, y2)
α(x1+x2, y1+y2) = (αx1, αy1) + (αx2, αy2)
α(x1+x2), α(y1+y2) = (αx1+αx2, αy1+αy2)
(αx1+αx2, αy1+αy2 = αx1+αx2, αy1+αy2)
Este axioma se verifica
1. u=u
1(x1, y1) = (x1, y1)
(x1, y1) = (x1, y1)
Este axioma se verifica
Como todos os 8 axiomas foram verificados positivamente, logo este é um espaço
vetorial.
118)A seguir apresenta-se um conjunto com as operações de adição e multiplicação
por escalar nele definidas. Verificar se é um espaços vetorial. Se não for espaço,
citar os axiomas que não se verificam.
{(x, 2x, 3x); x IR} com as operações usuais
u = (x1, 2x1, 3x1), v = (x2, 2x2, 3x2) e w = (x3, 2x3, 3x3),
A1) (u + v) + w = u + (v + w)
[(x1, 2x1, 3x1)+(x2, 2x2, 3x2)]+(x3, 2x3, 3x3) = (x1,2x1,3x1)+[(x2, 2x2, 3x2) + (x3,
2x3, 3x3)]
[(x1+x2, 2x1+2x2, 3x1+3x2)] + (x3, 2x3, 3x3) = (x1, 2x1, 3x1) + [(x2+x3, 2x2+2x3,
3x2 + 3x3)]
(x1+x2+x3, 2x1+2x2+2x3, 3x13x2-3x3) = (x1+x2+x3, 2x1+2x2+2x3, 3x1+3x2+3x3)
(x1+x2+x3, 2(x1+x2+x3), 3(x1+x2+x3)) = (x1+x2+x3, 2(x1+x2+x3), 3(x1+x2+x3))
Este axioma se verifica
A2) u + v = v + u
(x1, 2x1, 3x1)+ (x2, 2x2, 3x2) = (x2, 2x2, 3x2) + (x1, 2x1, 3x1)
(x1+x2, 2x1+2x2, 3x1+3x2) = (x2+x1, 2x2+2x1, 3x2+3x1)
(x1+x2, 2(x1+x2), 3(x1+x2)) = (x2+x1, 2(x2+x1), 3(x2+x1))
Este axioma se verifica
A3) u + 0 = u
(x1, 2x1, 3x1) + (0,0,0) = (x1, 2x1, 3x1)
(x1, 2x1, 3x1) = (x1, 2x1, 3x1)
Este axioma se verifica
A4) u +(-u) = 0
(x1, 2x1, 3x1) + (-x1, -2x1,-3x1) = (0,0,0)
(0,0,0) = (0,0,0)
Este axioma se verifica
M1) (𝛂𝛃).u = 𝛂(𝛃.u)
(αβ). (x1, 2x1, 3x1) = α(β. (x1, 2x1, 3x1))
(αβ x1, 2 αβ x1, 3 αβ x1) = α(β x1, 2 β x1, 3 β x1)
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(αβ x1, 2 αβ x1, 3 αβ x1) = (αβ x1, 2 αβ x1, 3 αβ x1)
Este axioma se verifica
M2) (𝛂 + 𝛃).u = 𝛂.u + 𝛃.u
(α + β). (x1, 2x1, 3x1) = α. (x1, 2x1, 3x1) + β. (x1, 2x1, 3x1)
((α + β)x1, (α + β)2x1, (α + β) 3x1) = (α x1, α 2x1, 3α x1) + (β x1, β 2x1,
3β x1)
(α x1+ βx1, α 2x1+ β2x1, 3α x1 + 3 β x1) = (α x1+ β x1, α 2x1+ β 2x1, 3α
x1+3 β x1)
Este axioma se verifica
M3) 𝛂(u + v) = 𝛂.u + 𝛂.v
α[(x1, 2x1, 3x1) + (x2, 2x2, 3x2)] = α. (x1, 2x1, 3x1) + α. (x2, 2x2, 3x2)
α [(x1+x2, 2x1+2x2, 3x1+3x2)] = (α x1, α 2x1, 3 α x1) + (α x2, 2 α
x2, 3 α x2)
α [(x1+x2, 2(x1+x2), 3(x1+x2))] = (α x1+ α x2, α 2x1+2 α x2, 3 α
x1+3 α x2)
(α (x1+x2), 2 α (x1+x2), 3 α (x1+x2)) = (α (x1+x2), 2 α (x1+x2), 3 α
(x1+x2))
Este axioma se verifica
M4) 1.u = u
1. (x1, 2x1, 3x1) = (x1, 2x1, 3x1)
(x1, 2x1, 3x1) = (x1, 2x1, 3x1)
Este axioma se verifica
119)A seguir apresenta-se um conjunto com as operações de adição e multiplicação
por escalar nele definidas. Verificar se é um espaços vetorial. Se não for espaço,
citar os axiomas que não se verificam.
ℝ2
com as operações: (a, b) + (c, d) = (a, b)
(a, b) = ( a, b)
A1) u + v = v + u
(x1, y1) + (x2, y2) = (x2, y2) + (x1,y1)
(x1, y1) ≠ (x2, y2) NÃO
A2) u + (v + w) = (u + v) + w
(x1, y1) + [(x2, y2) + (x3, y3)] = [(x1,y1) + (x2, y2)] + (x3, y3)
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1,y1) + (x3, y3)
(x1, y1) = (x1, y1) OK
A3) u + 0 = u
(x1, y1) + (0,0) = (x1, y1)
(x1, y1) = (x1, y1) OK
A4) u + (−u) = 0
(x1, y1) + (−x1, −y1) = (0,0)
(x1, y1) ≠ (0,0) NÃO
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M1) α(βu) = (αβ)u
α[β(x1,y1)] = (αβ)(x1,y1)
α(βx1, βy1) = (αβx1, αβy1)
(αβx1, αβy1) = (αβx1, αβy1) OK
M2) (α + β)u = αu + βu
(α + β)(x1,y1) = α(x1, y1) + β(x1, y1)
[(α + β)x1, (α + β)y1,] = (αx1, αy1) + (βx1,βy1)
(αx1 + βx1,αy1 + βy1) = (αx1 + βx1,αy1 + βy1) OK
M3) α(u + v) = αu + αv
α[(x1,y1) + (x2, y2)] = α(x1, y1) + α(x2, y2 )
α(x1 + x2, y1 + y2) = (αx1,αy1) + (αx2, αy2)
[α(x1 + x2),α(y1 + y2)] = (αx1 + αx2, αy1 + αy2)
(αx1 + αx2, αy1 + αy2) = (αx1 + αx2, αy1 + αy2) OK
M4) 1 ∙ u = u
1 ∙ (x1,y1) = (x1,y1)
(x1,y1) = (x1,y1) OK
NÃO É ESPAÇO VETORIAL, NAO VERIFICANDO NOS AXIOMAS A1 E A4.
120)A seguir apresenta-se um conjunto com as operações de adição e multiplicação
por escalar nele definidas. Verificar se é um espaços vetorial. Se não for espaço,
citar os axiomas que não se verificam.
ℝ2
com as operações (x, y) + (x', y') = (x + x', y + y')
(x, y) = ( x,0)
u =(x, y), v =(x', y') e w =(x”,y”)
A1) (u + v) + w = u + (v + w)
[(x, y) + (x', y')] + (x”,y”) = (x, y) + [(x', y') + (x”,y”)]
(x+ x', y+ y') + (x”,y”) = (x, y) + (x'+ x”, y'+ y”)
(x+ x'+ x”, y+ y'+ y”) = (x+ x'+ x”, y+ y'+ y”)
ok
A2) u + v = v + u
(x, y) + (x', y') = (x', y') + (x, y)
(x+ x', y+ y') = (x'+x, y'+y)
ok
A3) u + 0 = u
(x, y) + (0,0) = (x,y)
(x,y) = (x,y)
ok
A4) u +(-u) = 0
(x,y) + (-x,-y) = (0,0)
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(0,0) = (0,0)
ok
M1) (𝛂𝛃).u = 𝛂(𝛃.u)
(αβ).(x,y) = α(β.(x,y))
(αβ x,0) = α(β.x,0))
(αβ x,0) = (αβ x,0)
ok
M2) (𝛂 + 𝛃).u = 𝛂.u + 𝛃.u
(α + β).(x,y) = α.(x,y) + β.(x,y)
((α + β).x,0) = ( α.x,0) + (β.x,0)
(α x+ β.x,0) = (α x+ β.x,0)
ok
M3) 𝛂(u + v) = 𝛂.u + 𝛂.v
α [(x, y) + (x', y')] = α.(x,y) + α.( x', y')
α (x+ x', y+ y') = (α.x,0) + (α. x', 0)
(α (x+ x'), α (y+ y')) = (α.x+ α. x',0)
(α x+ α x'), α y+ α y')) ≠ (α.x+ α. x',0)
Este não se verifica
M4) 1.u = u
1. (x, y) = (x, y)
(x, 0) ≠ (x, y)
Este não se verifica
Como pelo menos um axioma não foi verificado, logo este não é um espaço
vetorial.
121)A seguir apresenta-se um conjunto com as operações de adição e multiplicação
por escalar nele definidas. Verificar se é um espaços vetorial. Se não for espaço,
citar os axiomas que não se verificam.
A = {(x, y) IR2 | y = 5x} Com as operações usuais
u = (x1,5x1) v = (x2, 5x2)
A1) u + v = v + u
(x1, 5x1) + (x2, 5x2) = (x2, 5x2) + (x1, 5x2)
(x1 + x2, 5x1 + 5x2) = (x2 + x1, 5x2 + 5x1) ok
A2) u + (v + w) = (u + v )+ w
(x1, 5x1) + (x2, 5x2) + (x3, 5x3) = (x1, 5x1) + (x2, 5x2) + (x3, 5x3)
(x1, 5x1) + (x2 + x3, 5x2 + 5x3) = (x1 + x2, 5x1′ + 5x2) + (x3, 5x3)
(x1 + x2 + x3, 5x1 + 5x2 + 5x3 ) = (x1 + x2 + x3, 5x1 + 5x2 + 5x3, 5x1 + 5x2 + 5x3)ok
A3) u + 0 = u
(x1, 5x1) + (0,0) = (x1, 5x1)
(x1, 5x1) = (x1,5x1) ok
A4) u + (−u) = 0
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(x1, 5x1) + (− x1,−5x1) = (0,0)
(0,0) = (0,0)ok
M1) ∝ (βu) = (∝ β)u
∝ (β(x1,5x1) = (∝ β)(x1, 5x1)
∝ (βx1,β5x1) = (∝ βx1, ∝ β5x1)
(∝ βx1,∝ β5x1) = (∝ βx1, ∝ β5x1)ok
M2) (∝ +β)u = ∝ u + βu
(∝ +β)(x1 ,5x1) =∝ (x1,5x1) + β(x1,5x1)
(∝ +β)x1,(∝ +β)5x1 = (∝ x1, ∝ 5x1)
(∝ x1 + βx1 , ∝ 5x1 + β5x1) = (∝ x1 + βx1 , ∝ 5x1 + β5x1)ok
M3) ∝ (u + v) =∝ u + ∝ v
∝ ((x1, 5x1) + (x2,5x2 )) =∝ ((x1,5x1)+ ∝ (x2, 5x2))
∝ ((x1 + x2 , 5x1 + 5x2)) = (∝ x1, ∝ 5x1) + (∝ x2 , ∝ 5x2 )
(∝ x1+ ∝ x2, ∝ 5x1+∝ x2) = (∝ x1+ ∝ x2, ∝ 5x1+∝ x2)ok
M4) 1. u = u
1(x1, 5x1) = (x1,5x1)
(x1, 5x1) = (x1, 5x1)ok
122)A seguir apresenta-se um conjunto com as operações de adição e multiplicação
por escalar nele definidas. Verificar se é um espaços vetorial. Se não for espaço,
citar os axiomas que não se verificam.
A = {(x, y,z) ℝ3 | y = 5x e z = 0} com as operações usuais
u = (x,5x, 0), v = (x2, 5x2, 0) e w = (x3, 5x3, 0)
Adição
I) u + v = v + u
= (x,5x, 0) + (x2, 5x2, 0) = (x2, 5x2, 0) + (x,5x, 0)
= (x + x2, 5x + 5x2, 0 + 0) = (x2 + x, 5x2 + 5x, 0 + 0)
= [x + x2, 5(x + x2),0] = [x2 + x,5(x2 + x), 0] //ok
II) u + (v + w) = (u + v) + w
= (x,5x, 0) + [(x2, 5x2, 0) + (x3, 5x3, 0)] = [(x,5x, 0) + (x2, 5x2, 0)] + (x3, 5x3, 0)
= (x,5x, 0) + (x2 + x3, 5x2 + 5x3, 0 + 0) = (x + x2 ,5x + 5x2, 0 + 0) + (x3, 5x3, 0)
= (x + x2 + x3, 5x + 5x2 + 5x3, 0 + 0 + 0) = (x + x2 + x3, 5x + 5x2 + 5x3, 0 + 0 + 0)
= [(x+ x2 + x3, 5(x + x2 + x3, 0)] = [(x + x2 + x3 , 5(x+ x2 + x3,0)] //ok
III) u + 0 = u
= (x,5x, 0) + (0,0,0) = (x, 5x,0)
= (x,5x, 0) = (x,5x, 0) //ok
IV) u + (−u) = 0
= (x,5x, 0) − (x,5x, 0) = (0,0,0)
= (x,5x, 0) + (−x,−5x, 0) = (0,0,0)
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= (0,0,0) = (0,0,0) //ok
Multiplicação
I)(αβ). u = α(β.u)
= (αβ)(x,5x, 0) = α[(β)(x,5x, 0)]
= (αβx,5αβx, αβ0) = α(βx,5βx, β0)
= (αβx,5αβx, 0) = (αβx,5αβx, 0) //ok
II)(α + β). u = α. u + β. u
= (α + β)(x,5x, 0) = α(x, 5x,0) + β(x,5x, 0)
= (αx + βx, 5αx + 5βx,α0 + β0) = (αx, 5αx, α0) + (βx, 5βx,β0)
= (αx + βx, 5αx + 5βx,α0 + β0) = (αx + βx, 5αx + 5βx,α0 + β0)
= [αx + βx, 5(αx + βx), 0] = [αx + βx, 5(αx + βx), 0] //ok
III)α(u + v) = α. u + α. v
= α[(x,5x,0) + (x2, 5x2, 0)] = α(x,5x, 0) + α(x2,5x2,0)
= α(x + x2, 5x + 5x2, 0 + 0) = (αx,5αx, α0) + (αx2, 5αx2, α0)
= (αx + αx2, 5αx + 5αx2, α0 + α0) = (αx + αx2,5αx + 5αx2, α0 + α0)
= [(αx+ αx2, 5(αx + αx2), 0] = [(αx + αx2, 5(αx + αx2),0] //ok
IV)1. u = u
= 1(x,5x,0) = (x,5x, 0)
= (x,5x, 0) = (x,5x, 0) //ok
Logo A é Espaço Vetorial
Lista TED 25:
Subespaço vetorial
123)Agora é apresentado um subconjunto, verifique se ele é subespaço.
S = {(x, y, z)| x = 4y e z = 0}
u = (4y, y, 0) v = (4y1, y1, 0)
u + v=(4y, y, 0) + (4y1, y1, 0)
=(4y +4y1, y+y1, 0+0) ok
α(u)=α(4y, y, 0)
= (α4y, αy, 0) ok Logo é subespaço vetorial
124)Agora é apresentado um subconjunto, verifique se ele é subespaço.
S = {(x, y, z)|x = z²}
u = ( z1
2
, y1 , z1) e v = (z2
2
, y2, z2)
u+v
(z²1, y1, z1) + (z²2, y2, z2)
(z1
2
+ z2
2
, y1 + y2 , z1 + z2) não pois z1
2
+ z2
2
≠ (z1 + z2)2
62. 62
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α.u
α(z1
2
,y1, z1)
(αz1
2
, αy1, αz1) não pois αz1
2
≠ (αz1)2
S não é um subespaço de V
125)Agora é apresentado um subconjunto, verifique se ele é subespaço.
S = {(x, y, z)| z= 2x - y}
u = (x1,y1, 2x1 – y1)
v = ( x2, y2, 2x2 – y2)
u + v = (x1+x2, y1+y2 + 2x1-y1+2x2-y2)
(x1+x2 , y1+y2 + 2(x1 + x2 -y1-y2)
α .u = α (x,y, 2x − y)
= (αx,αy, 2αx − αy)
Logo S é um subespaço de ℝ3
126)Agora é apresentado um subconjunto, verifique se ele é subespaço.
S =
1) u + v = [
a1 b1
a1 + b1 0
] + [
a2 b2
a2 + b2 0
]
u + v = [
a1 + a2 b1 + b2
a1 + a2 + b1 + b2 0
] OK
2) αu = α [
a1 b1
a1 + b1 0
]
[
αa1 αb1
αa1 + αb1 0
] OK
127)Agora é apresentado um subconjunto, verifique se ele é subespaço.
S = {(x, 2x ); x ℝ }
u=(x, 2x) v=(x’, 2x’)
u+v
'2,'
'22´,
'2,'2,
xxxx
xxxx
xxxx
ok
.u
xx
xx
xx
2,
2,
2,
0; debac
dc
ba
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ok
é um subespaço
128)Agora é apresentado um subconjunto, verifique se ele é subespaço.
S =
R,,;
0
cba
c
ba
S= {[
a b
0 c
] ; a, b c є R} u = [
a1 b1
0 c1
] v = [
a2 b2
0 c2
]
u + v = [
a1 b1
0 c1
] + [
a2 b2
0 c2
] = [
a1 + a2 b1 + b2
0 c1 + c2
]ok
∝. u = ∝.[
a1 b1
0 c1
] = [
∝ a1 ∝ b1
0 ∝ c1
]ok
Logo é um subespaço.
129)Agora é apresentado um subconjunto, verifique se ele é subespaço.
S = {(x, y) | x = 0}
u = (0, y1) v = (0, y2)
u + v = (0, y1 + y2) //ok
α. u = α(0,y1) = (0,αy1) //ok
Logo S é subespaço
Lista TED 26:
Combinação linear
130)Sejam os vetores u = (2, -3, 2) e v = (-1, 2, 4) em ℝ3.
a) Escrever o vetor w = (5, -7, 10) como combinação linear de u e v.
(5, -7, 10) = a . (2, -3, 2) + b . (-1, 2, 4)
(5, -7, 10) = (2a, -3a, 2a) + (-b, 2b, 4b)
(5, -7, 10) = (2a-b , -3a+2b, 2a+4b)
{
2a − b = 5
−3a + 2b = −7
2a + 4b = 10
8a - 4b = 20 2(3) - b = 5 -3a + 2b = -7
2a + 4b = 10 6 - b = 5 -3(3) + 2(1) = -7
10a = 30 -b = 5 - 6 -9 + 2= -7
a = 30
10⁄ = 3 b = 1 -7 = -7
Logo 𝐰 = 𝟑. 𝐮 + 𝟏 . 𝐯
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b) Para que valores de k o vetor (-8, k, 12) é uma combinação linear de u e v?
(-8, k, 12) = a .(2, -3, 2) + b . (-1, 2, 4)
(-8, k, 12) =(2a, -3a, 2a) + (-b, 2b, 4b)
(-8, k, 12) =(2a-b , -3a+2b, 2a+4b)
{
2a − b = −8
−3a + 2b = k
2a + 4b = 12
8a – 4b = –322 (–2) – b = 5 –3a + 2b = k
2a + 4b = 12 – 4 – b = 5 –3 (–2) + 2 (–9) = k
10a = –20 –b = 5 +4 6 –18 = k
a = –20/10 = –2 –b = 9 –12 = k
b = -9 k = –12 k = -12
131)Para qual valor de K o vetor u = (1, k, 2) em ℝ³ é uma combinação linear dos
vetores v = (3, 0, -2) e w = (2, -1, -5)?
(1, k, 2) = a(3,0,-2) + b(2,-1,-5)
(1, k, 2) = (3a,0,-2a) + (2b,-b,-5b)
(1, k, 2) = (3a + 2b, -b, -2a - 5b)
{
3a + 2b = 1
−b = k .(−1)
−2a − 5b = 2
b = -k
3a + 2.(-k) = 1
3a = 2k+1
a =
2k+1
3
-2 .(
2k+1
3
) - 5.(-k) = 2
(
−4k−2
3
) + 5k = 2
−4k−2+15k=6
3
11k = 6+2
k =
8
11
S = (
𝟖
𝟏𝟏
)
132)Sejam os vetores u = (1, 2, 1) e v = (-1, 0, 2) em ℝ3.
Escrever o vetor w = (7, 10, 1) como combinação linear de u e v.
Para que valores de k o vetor (4, 6, k) é uma combinação linear de u e v?
W= a.u + b.v
65. 65
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(7, 10, 1) = a . (1, 2, 1) + b . (-1, 0, 2)
(7, 10, 1) = (a, 2a, a) + (-b, 0, 2b)
(7, 10, 1) = (a – b ,2a,a + 2b)
{
a − b = 7
2a = 10
a + 2b = 1
a = 5 b = −2
a − b = 7
5 − b = 7
−b = 7 − 5
b = −2
a + 2 b = 1
5 + 2. (−2) = 1
5 − 4 = 1
1=1
Logo 𝐰 = 𝟓. 𝐮 − 𝟐 . 𝐯
(4, 6, k) = a . (1, 2, 1) + b . (-1, 0, 2)
(4, 6, k) = (a, 2a, a) + (-b, 0, 2b)
(4, 6, k) = (a – b ,2a,a + 2b)
(4, 6, k) = (a-b,2a ,a+2b)
{
a − b = 4
2a = 6
a + 2b = k
a = 3
a − b = 4
3 − b = 4
−b = 4 − 3
b = −1
3 + 2. (−1) = k
3 + (−2) = k
𝐤 = 𝟏
133)Sendo os vetores u = (0, 1, 2) e v = (3, -5, 7), escrever o vetor w = (6, -13,
8) como combinação linear de u e v.
(6, −13,8) = a(0,1,2) + b(3,−5,7)
(6, −13,8) = (0,a, 2a) + (3b, −5b,7b)
(6, −13,8) = (3b,a − 5b,2a + 7b)
{
3b = 6
a − 5b = −13
2a + 7b = 8
b = 2 a − 5(2) = −13 a = −13 + 10 a = −3
w = -3 u + 2 v
66. 66
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134)Os dois problemas a seguir se referem aos vetores u = (2,-3,2) e v = (-1,2,4) do
ℝ3.
a) Escrever o vetor a = (7,-11, 2) como combinação linear de u e v.
bbbaaa
ba
4,2,2,11,72,11,7
4,2,12,11,72,11,7
242
2
11211
77
ba
ba
ba
1
33
1111
14214
a
a
ba
ba
0
77
77
717
b
b
b
b
Logo a = 1.u+0.v
b) Para que valor de k o vetor w = (-8, 14, K) é combinação linear de u e v?
bbbaaak
bak
4,2,2,3,2,14,8
4,2,12,3,2,14,8
2
1416
1414163
142823
28
28
a
a
aa
aa
ab
ab
kba
ba
ba
42
1423
82
67. 67
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4
82
1426
14223
b
b
b
b
12
12
164
4422
k
k
k
k
135)Dados os vetores v1= (−3,2, 1) e v2 = (0, 5, 4), para que valor de K o vetor v =
(15, K ,3) é combinação linear de v1 e v2?
(15, k, 3) = a(−3,2,1) + b(0,5,4)
(15, k, 3) = (−3a,2a, a) + (0,5b,4b)
(15, k, 3) = (−3a,2a + 5b, a + 4b)
{
−3a = 15
2a + 5b = k
a + 4b = 3
−3a = 15
a =
−15
3
a = −5
a+ 4b = 4 2.(−5) + 5 (
9
4
) = k −40 + 45 = k
−5 + 4b = 4 −10 +
45
4
= k 𝐤 = 𝟓
4b = 4 + 5
b =
9
4
Os dois problemas a seguir se referem aos vetores
v1 = (-1,2,1), v2 = (1,0,2) e v3 = (-2,-1, 0) do ℝ3.
136)Expressar o vetor w = (-8,4,1) como combinação linear dos vetores v1, v2 e v3.
D = [
−1 1 −2
2 0 −1
1 2 0
] [
−1 1
2 0
1 2
] = D = (0 − 1 − 8) − (0 + 2 + 0) = −11
Dx = [
−8 1 −2
4 0 −1
1 2 0
] [
−8 1
4 0
1 2
] = Dx = (0 − 1 − 16) − (0 + 16 + 0) = −33
68. 68
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Dy = [
−1 −8 −2
2 4 −1
1 1 0
] [
−1 −8
2 4
1 1
] = Dy = (0 + 8 − 4) − (−8 + 1 + 0) = 11
Dz = [
−1 1 −8
2 0 4
1 2 1
] [
−1 1
2 0
1 2
] = Dz = (0 + 4 − 32)− (0 − 8 + 2) = −22
X =
Dx
D
=
−33
−11
= 3
Y =
Dy
D
=
11
−11
= −1
Z =
Dz
D
=
−22
−11
= 2
w = 3(v1)+ (−1)(v2)+ 2(v)
137)Expressar o vetor v = (0,2,3) como combinação linear de v1, v2 e v3.
D = [
−1 1 −2
2 0 −1
1 2 0
] [
−1 1
2 0
1 2
] = D = (0 − 1 − 8) − (0 + 2 + 0) = −11
Dx = [
0 1 −2
2 0 −1
3 2 0
] [
0 1
2 0
3 2
] = Dx = (0 − 3 − 8) − (0 + 0 + 0) = −11
Dy = [
−1 0 −2
2 2 −1
1 3 0
] [
−1 0
2 2
1 3
] = Dy = (0 + 0 − 12) − (−4 + 3 + 0) = −11
Dz = [
−1 1 0
2 0 2
1 2 3
] [
−1 1
2 0
1 2
] = Dz = (0 + 2 + 0) − (0 − 4 + 6) = 0
X =
Dx
D
=
−11
−11
= 1
Y =
Dy
D
=
−11
−11
= 1
Z =
Dz
D
=
0
−11
= 0
v = 1(v1) + 1(v2)+ 0(v3)
Lista TED 27:
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Transformações lineares
138)Verificar se a função (transformação) é linear.
f: R² R², f(x, y) = (x², y²)
Definição: Sejam U e V espaços vetoriais. Diz-se que T: U V é uma transformação
linear se satisfaz às duas seguintes propriedades:
1. Para qualquer u e v de R²: T(u+v) = T(u) + T(v).
2. Para qualquer k real e qualquer v de V: T(kv)=k.T(v).
Então, você escreve dois vetores u(u1, u2) e v(v1 , v2), por exemplo. Daí verifica se
as duas propriedades são satisfeitas.
T(u + v) = T((u1, u2) + (v1, v2)) = T(u1+v1, u2, v2) = [(u1 + v1)², (u2 + v2)²]
T(u) = T(u1, u2) = (u1², u2²)
T(v) = T(v1, v2) = (v1², v2²)
T(u) + T(v) = (u1², u2²) + (v1², v2²) = [(u1²+v1²), (u2², v2²)]
Veja que [(u1 + v1)², (u2 + v2)²] não é igual a [(u1²+v1²), (u2², v2²)], logo, a
transformação não é linear.
139)Verificar se a função (transformação) é linear.
f : ℝ2 ℝ 2 , f(x,y) = (2x – y, 3x + 5y)
))5533(),22((
))(5)(3,)()(2(
),()v(
)()()v(
21212121
21212121
2121
2,21,1
yyxxyyxxf
yyxxyyxxf
yyxxfuf
yxfyxfuf
))5353(),22(()v()(
)53,2()53,2()v()(
2,2112,211
2,22,2111,1
yxyxyxyxffuf
yxyxfyxyxffuf
))5353(),22(())5533(),22((
)v()()(
2,2112,21121212121 yxyxyxyxfyyxxyyxxf
fufvuf
Logo a função (transformação) é linear.
140)Dada a transformação linear f: ℝ 3 ℝ 2 tal que:
f(1, 0, 0) = (2, 1), f(0, 1, 0) = (-1, 0) e f(0, 0, 1) = (1, -2)
i. Determinar a matriz canônica de f;
10
01
00
0
0
1
ii. Calcular f(3, 4, 5);
Expressando o vetor )5,4,3( como combinação linear dos vetores da base, vem:
)1,0,0()0,1,0()0,0,1()5,4,3( cba
)c,0,0()0,b,0()0,0,()5,4,3( a
)c,b,()5,4,3( a
70. 70
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5
4
3
c
b
a
Sistema cuja solução é: 5ce4b,3 a . Então,
321 543)5,4,3(
Aplicando f , vem:
7)-(9,
10)-5,(0)(-2,3)(6,
2)-(1,50)(-1,21)(2,3
)(5)(4)(3)5,4,3( 321
ffff
iii. Calcular f(x, y, z).
Procedendo do mesmo modo com o vetor genérico (x, y, z) tem-se:
z
y
x
c
b
a
Sistema cuja solução é: zyxa ceb, . Então,
321)z,y,( zyxx
Aplicando f , vem:
2z)-xz,y-(2x
2z)-z,(0)(-y,x)(2x,
2)-z(1,0)(-1,y1)(2,x
)(z)()(x)z,y,( 321
ffyfxf
141)Uma transformação linear f: ℝ2 ℝ 3 é tal que
f(-1, 1) = (3, 2, 1) e f(0, 1) =(1, 1, 0) Determinar:
i. f(2, 3)
Expressando o vetor )3,2( como combinação linear dos vetores da base, vem:
)1,0()1,1()3,2( ba
),0(),()3,2( baa
)ba,()3,2( a
3ba
20a
Sistema cuja solução é: 5b,2 a . Então,
21 52)3,2(
Aplicando f , vem:
2)-1,(-1,
0)5,(5,2)-4,-(-6,
0)1,(1,51)2,(3,2-
)(5)(2-)3,2( 21
fff
ii. f(x, y)
Procedendo do mesmo modo com o vetor genérico (x, y) tem-se:
71. 71
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yba
x0a
Sistema cuja solução é: yxxa b, . Então,
))(()()y,( 21 yxxx
aplicando f , vem:
x)y,3xy,(4x
0)y,xy,(xx)2x,(3x,
0)1,(1,)(1)2,(3,x
)()()(x)y,( 21
yx
fyxfxf
142)Dada a transformação linear T: R³ R² tal que:
T(1, 0, 0) = (2, -1), T(0, 1, 0) = (-1, 1) e T(0, 0, 1) = (1, -2)
a) determinar a matriz canônica de T;
b) calcular T(3, 4, 2);
c) calcular T(x, y, z).
i. Sabemos que: T(x,y,z) = T[x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1)] ( fácil a observação
)
Mas, foi dito que a transformação é linear, então ela obedece as duas
propriedades, ou seja,
T(x, y, z) = T[x(1, 0, 0)] + T[y(0, 1, 0)] + T[z(0, 0, 1)] (primeira propriedade)
T(x, y, z) = x.T(1, 0, 0) + y.T(0, 1, 0) + z.T(0, 0, 1) ( segunda propriedade )
T(x, y, z) = x(2, -1) + y(-1, 1) + z(1, -2) ----> (substitui os dados do problema
)
T(x, y, z) = (2x, -x) + (-y, y) + (z, -2z)
T(x, y, z) = (2x-y+z , -x+y-2z) (Letra c )
T(3,4,2) = (2.3-4+2 , -3+4-2.2) = (4 , -3) (Letra b)
A matriz canônica é:
[
2 −1 1
−1 1 −2
]
ii. Uma transformação linear T: R² R³ é tal que
T(-1, 1) = (3, 2, 0) e T(0, 1) = (1, 1, -1) Determinar:
a) T(2, 4)
T(x, y)
T(x, y) = T[x(1, 0) + y(0, 1)]
T(-1, 1) = T[-1(1, 0) + 1(0,1)] = -1.T(1, 0) + 1.T(0, 1)
(3, 2, 0) = -1.T(1, 0) + (1, 1, -1)
(3, 2, 0) - (1, 1, -1) = -1.T(1, 0)
(2, 1, 1) = -1.T(1, 0)
T(1, 0) = (-2, -1, -1)
Daí, T(x, y) = T[x(1, 0) + y(0, 1)] = x.T(1, 0) + y.T(0, 1) = x(-2, -1, -1) + y(1, 1, -
1)
T(x, y) = (-2x, -x, -x) + (y, y, -y)
T(x, y) = (-2x+y, -x+y, -x-y) ---> (letra b )
72. 72
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T(2, 4) = (-2.2+4, -2+4, -2-4)
T(2, 4) = (0, 2, -6) ----> (letra a)
143)Verificar se a função (transformação) é linear.
f : R2 R2 , f(x,y) = (x + 1 , y)
Resposta:
(x,y) = a.(x+1,y) + b.(x+1,y)
(x,y) = (ax+a,ay) + (bx+b,by)
(x,y) = (ax+a +bx+b,ay+by)
{
ax + a + bx + b = x
ay + by = x
= 2ax + 2bx = x (y) = 2ayx+2ayx = xy
ay + by = y (2x) -2ayx-2byx = -2xy
4ayx = xy = 4ayx = xy = - 4byx= -3xy (÷xy)
-2ayx – 2byx =-2xy (2) - 4axy – 4byx = -4xy - 4b = -3
b =
−3
4
ay + by =y 4ay= 4y+3y
ay + (
−3
4
.y) = y 4ay = 7y (÷y)
ay -
3y
4
= y 4a=7
4ay −3y=4y
4
a=
7
4
S= {
7
4
,
−3
4
}
Logo a função é linear…
144)Dada a transformação linear f: R3 R2 tal que:
f(1, 0, 0) = (2, 0), f(0, 1, 0) = (0, 1) e f(0, 0, 1) = (2, -2)
i. determinar a matriz canônica de f;
)2,3(),,( zyxzyxzyxf
2
2
10
02
)2,2()1,0,0(
)1),0(20,1)0(30()1,0,0(
)1,0()0,1,0(
)0)1(20,0)1(30()0,1,0(
)0,2()0,0,1(
)0)0(21,0)0(31()0,0,1(
f
f
f
f
f
f
ii. calcular f(1, 4, 2);
73. 73
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3.22.41.1
3.2.1.
)2,4,1(
)2,4,1(
vvvw
vcvbvaw
w
f
),0,0()0,,0()0,0,()2,4,1(
)1,0,0()0,1,0()0,0,1()2,4,1(
cba
cba
)0,6()2,4,1(
)4,4()4,0()0,2()2,4,1(
)2,2(2)1,0(4)0,2(1)2,4,1(
2
4
1
f
f
f
c
b
a
iii. calcular f(x, y, z).
)2,22(),,(
)2,2(),0()0,2(),,(
)2,2()1,0()0,2(),,(
),0,0()0,,0()0,0,(),,(
)1,0,0()0,1,0()0,0,1(),,(
)3()2()1(
)3()2()1(
),,(
),,(
zyzxzyxf
zzyxzyxf
zyxzyxf
cz
by
ax
cbazyx
cbazyx
vzvyvxw
vcvbvaw
zyxw
zyxf
145)Uma transformação linear f: R2 R3 é tal que
f(-1, 1) = (3, 1, 0) e f(0, 1) = (1, -2, -1) Determinar:
i. f(-2, 4)
(-2,4) = -2 (-1,1) + [4 (0,1)]
f(-2,4) = -2f(-1,1)+ [4f(0,1)]
= -2.(3,1,0) + [ 4(1,-2,-1)]
= (-6,-2,0) + (4,8,4)
= (-2,6,4)
ii. f(x, y)
(x,y) = x(-1,1) + y (0,1)
F(x,y) = xf(-1,1) + yf(0,1)
= x(3,1,0) + y(1,-2,-1)
= (3x,x,0) + (y,-2y,-y)
= (3xy,-2xy,-y)
74. 74
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146)Verificar se a função (transformação) é linear.
f : R2 R2 , f(x, y) = (x + 1 , y)
Resposta:
(x, y) = a.(x+1,y) + b.(x+1,y)
(x, y) = (ax+a, ay) + (bx+b, by)
(x, y) = (ax+a +bx+b, ay+by)
{
ax + a + bx + b = x
ay + by = x
= 2ax + 2bx = x (y) = 2ayx+2ayx = xy
ay + by = y (2x) -2ayx-2byx = -2xy
4ayx = xy = 4ayx = xy = - 4byx= -3xy (÷xy)
-2ayx – 2byx =-2xy (2) - 4axy – 4byx = -4xy - 4b = -3
b =
−3
4
ay + by =y 4ay= 4y+3y
ay + (
−3
4
.y) = y 4ay = 7y (÷y)
ay -
3y
4
= y 4a=7
4ay−3y=4y
4
a=
7
4
S= {
7
4
,
−3
4
}
Logo a função é linear…
147)Dada a transformação linear f: R3 R2 tal que:
f(1, 0, 0) = (2, 0), f(0, 1, 0) = (0, 1) e f(0, 0, 1) = (2, -2)
i. determinar a matriz canônica de f;
)2,3(),,( zyxzyxzyxf
2
2
10
02
)2,2()1,0,0(
)1),0(20,1)0(30()1,0,0(
)1,0()0,1,0(
)0)1(20,0)1(30()0,1,0(
)0,2()0,0,1(
)0)0(21,0)0(31()0,0,1(
f
f
f
f
f
f
ii. calcular f(1, 4, 2);
3.22.41.1
3.2.1.
)2,4,1(
)2,4,1(
vvvw
vcvbvaw
w
f