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1. Para ir ao clube, Júnior deseja usar uma camiseta, uma bermuda e um par de tênis.
   Sabendo que ele dispõe de seis camisetas, quatro bermudas e três pares de tênis,
   responda: de quantas maneiras distintas poderá vestir-se? 72 maneiras


2. Uma agência de turismo oferece bilhetes aéreos para o trecho São Paulo – Miami através
   de duas companhias: Varig ou TAM. O passageiro pode escolher também entre a primeira
   classe, classe executiva e classe econômica. De quantas maneiras um passageiro pode
   fazer tal escolha? 6 maneiras


3. Um jantar constará de três partes: entrada, prato principal e sobremesa. De quantas
   maneiras distintas ele poderá ser composto, se há como opções oito entradas, cinco pratos
   principais e quatro sobremesas? 160 maneiras


4. O vagão de um trem possui seis portas. De quantas maneiras distintas um passageiro pode
   entrar no trem e sair dele por uma porta diferente da que usou para entrar? 30 maneiras


5. Uma prova consta de dez testes de múltipla escolha. De quantas maneiras distintas a prova
   pode ser resolvida, se cada teste tem cinco alternativas distintas?   maneiras



6. Com os algarismos 1, 2, 4, 6, 8 e 9:

   a) Quantos números de quatro algarismos podemos formar? 1296 números

   b) Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar? 360 números


7. Quantos números de três algarismos distintos existem? 648 números



8. Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números ímpares de quatro algarismos
   podemos formar? 882 números
9. Deseja-se formar números divisíveis por 5, compostos de quatro algarismos distintos.
   Quantas são as possibilidades dispondo-se dos algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6? 220
   números


10. Um ladrão sabe que o segredo de um cofre é formado por uma sequência de três
   algarismos distintos. Além disso, ele sabe que o algarismo das centenas é igual a 4. Se,
   em média, o ladrão leva 3 minutos para testar uma possível sequência, qual o tempo
   máximo para o ladrão abrir o cofre? 216 minutos




16. Para a eleição do corpo dirigente de uma empresa candidatam-se oito pessoas. De
  quantas maneiras poderão ser escolhidos presidente e vice-presidente? 56 maneiras


17. A 1ª fase de um torneio de futebol é disputada por 15 equipes no sistema de turno e
  returno (a equipe A, por exemplo, joga com a equipe B duas vezes: uma em seu campo e
  a outra no campo adversário). Quantas partidas são disputadas ao todo, se os dois
  melhores classificados da 1ª fase fazem a final no mesmo sistema? 212 partidas
18. Uma emissora de TV dispõe, ao todo, de 20 programas distintos.

   a) Quantas são as possíveis sequências de seis programas distintos a serem exibidos em
      um dia? 27.907.200 sequências

   b) Suponha que, entre 20 programas, haja apenas um musical. De quantas maneiras a
      programação acima pode ser escolhida de modo que sempre se encerre com o
      programa musical? 1.395.360 maneiras


19. Para animar uma festa, uma orquestra dispõe de cinco tipos de música: valsa, samba,
   dance music, MPB e rock. De quantas maneiras o anfitrião poderá escolher os ritmos de
   abertura e fechamento da festa, se ele já decidiu manter samba no restante da festa e não
   pretende repetir nenhum ritmo? 12 maneiras


20. Dez enxadristas participam de um campeonato em que todos jogam contra todos. Se um
   deles vence todas as partidas, quantas são as classificações possíveis para os três
   primeiros colocados? 72 classificações


21. Uma prova de atletismo reúne 15 atletas. Quantos são os resultados possíveis para que
   sejam distribuídas as medalhas de ouro, prata e bronze? Em quantos resultados o atleta X
   recebe medalha, mas o atleta Y não? 2730 resultados / 468 resultados


22. (FGV – SP) Suponha que uma senha utilizada numa rede de computadores seja
   constituída de 5 letras, escolhida entre 26 do alfabeto latino, sendo         permitida
   a repetição de letras. Quantas senhas diferentes podem ser construídas?       senhas


23. Numa dinâmica de grupo, uma psicóloga de RH (Recursos Humanos) relaciona de todas
   as formas possíveis dois participantes: ao primeiro faz a pergunta e ao segundo pede que
   comente a resposta do colega. Admita que a psicóloga não repetirá a mesma pergunta
   mais de uma vez.

   a) Se 10 candidatos participam da dinâmica, qual é o número de perguntas feitas pela
      psicóloga? 90 perguntas

   b) Qual é o número mínimo de candidatos que obriga a psicóloga a ter mais de 250
      questões para realizar a dinâmica? 17 candidatos


24. Um curso de inglês é dividido em quatro partes: vocabulário, gramática, conversação e
   interpretação de textos. Todos os dias, essas partes são estudadas, mas nunca na mesma
   ordem. Em quantos dias se esgotará a sequência possível de aulas para o curso? 24 dias
25. Uma pesquisa deseja saber a ordem de preferência dos três maiores ídolos do esporte no
   Brasil.

   a) Quantas respostas diferentes são possíveis, se a cada entrevistado é apresentada uma
      lista com o nome de 20 esportistas? 6840 respostas

   b) Quantas dessas respostas têm o nome de Guga como 1º colocado? 342 respostas

   c) Em quantas respostas não aparece o nome de Guga? 5814 respostas



26. Um torneio de futebol será disputado em duas sedes a serem escolhidas entre seis
   cidades. De quantas maneiras poderá ser feita a escolha das duas cidades? 15 maneiras


27. Quinze alunos participam de um sorteio promovido pelo professor de Matemática. Se ele
   dispõe de três prêmios idênticos, de quantas formas poderão ser escolhidos os alunos?
   455 formas


28. Uma classe tem 30 alunos. Um professor organiza uma prova oral para a qual 5 alunos
   serão sorteados ao acaso. De quantas formas o professor poderá escolher os alunos?
   142.506 formas


29. (UFBA) Dispondo-se de abacaxi, acerola, goiaba, laranja, maçã, mamão e melão, calcule
   de quantos sabores diferentes pode-se preparar um suco, usando-se três frutas distintas.
   35 sabores


30. De um baralho de 52 cartas, sorteamos simultaneamente cinco cartas.

   a) Quantas são as possibilidades de sorteio das cartas? 2.598.960 possibilidades

   b) De quantas formas essas cartas podem ser sorteadas de modo que o ás de copas seja
      sempre incluído? 249.900 formas


31. (FGV - SP) O administrador de um fundo de ações dispõe de ações de 10 empresas para
   a compra, entre elas as da empresa R e as da empresa S.

   a) De quantas maneiras ele poderá escolher 7 empresas, entre as 10? 120 maneiras

   b) Se entre as 7 empresas escolhidas devem figurar obrigatoriamente as empresas R e S,
      de quantas formas ele poderá escolher as empresas? 56 formas
32. Em uma reunião havia n pessoas; cada uma saudou as outras com um aperto de mão.
   Sabendo que houve ao todo 66 apertos de mão, responda: qual é o valor de n? n = 12
   pessoas


33. Uma junta médica deverá ser formada por quatro médicos e dois enfermeiros. De quantas
   maneiras ela poderá ser formada se estão disponíveis dez médicos e seis enfermeiros?
   3150 maneiras


34. Uma classe tem 10 meninos e 12 meninas. De quantas maneiras poderá ser escolhida
   uma comissão de três meninos e quatro meninas, incluindo, obrigatoriamente, o melhor
   aluno e a melhor aluna? 1.980 maneiras




35. Uma locadora de automóveis tem à disposição de seus clientes uma frota de dezesseis
   carros nacionais e quatro carros importados. De quantas formas uma empresa poderá
   alugar três carros de modo que:

   a) Todos sejam nacionais? 560 formas

   b) Pelo menos um carro nacional seja escolhido? 1.136 formas




36. (FGV – SP) Um processo industrial deve passar pelas etapas A, B, C, D e E.

   a) Quantas sequências de etapas podem ser delineadas se A e B devem ficar juntas no
      início do processo e A deve anteceder B? 6 sequências

   b) Quantas sequências de etapas podem ser delineadas se A e B devem ficar juntas, em
      qualquer ordem, e não necessariamente no início do processo? 48 sequências


37. Um professor dispõe de 8 questões de Álgebra e duas de Geometria para elaborar uma
   prova de 10 questões. De quantas maneiras ele poderá escolher a ordem delas, sabendo
   que as de Geometria não podem aparecer uma em seguida da outra? 2.903.040 maneiras


38. (UF – AL) Aline e Cláudia fazem parte de um grupo de 6 pessoas que devem ocupar 6
   cadeiras enfileiradas. Se as duas não podem ocupar simultaneamente as cadeiras das
   extremidades, de quantos modos podem ser acomodadas essas 6 pessoas? 672 modos
39. Uma classe de 10 alunos, entre eles Júlia e Alberto, será submetida a uma prova oral em
   que todos os alunos serão avaliados. De quantas maneiras o professor pode escolher a
   sequência dos alunos:

   a) Se Júlia deve ser sempre a primeira a ser chamada e Alberto sempre o último a ser
      chamado? 40.320 maneiras

   b) Se Júlia deve ser, no máximo, a 2ª pessoa a ser chamada? 725.760 maneiras


40. Um comício reúne oito políticos de um partido, entre eles o presidente e seu vice.
   Supondo que todos os políticos presentes irão discursar, de quantas maneiras pode ser
   estabelecida a sequência de discurso:

   a) Se o comício for aberto pelo presidente do partido? 5.040 maneiras

   b) Se o presidente e vice devem, em qualquer ordem, iniciar e encerrar o comício? 1.440
      maneiras

   c) Se presidente e vice, nessa ordem, devem discursar consecutivamente? 5.040 maneiras


41. Considere os anagramas da palavra CHAVE. Em quantos desses anagramas as vogais
   não aparecem lado a lado? 72 anagramas


42. Uma empresa distribui a seus funcionários um questionário constituído de duas partes.
   Na 1ª, o funcionário deve colocar a ordem de preferência de turno de trabalho: diurno,
   vespertino e noturno. Na 2ª, o funcionário deve escolher, em ordem de preferência, dois
   dos sete dias da semana para folgar. De quantas maneiras um funcionário poderá
   preencher esse questionário? 63 maneiras


43. (UF – MG) Considere formados e dispostos em ordem crescente todos os números que se
   obtém permutando os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9. Nessa disposição, que lugar ocupa o
   número 75391? 88ª posição


44. Suponha que Fábio tenha uma foto de cada uma de suas 3 ex-mulheres, uma foto de seu
   irmão, uma foto de um amigo, uma foto de um ídolo do rock e uma foto do jogador de
   futebol favorito. De quantos modos distintos ele poderá dispor tais fotos em 5 porta-
   retratos (3 sobre o aparador e 2 na parede), se deseja que as fotos das ex-mulheres
   apareçam juntas sobre o aparador)? 72 modos
45. Considere os números obtidos do número 12345, efetuando-se todas as permutações de
   seus algarismos. Colocando esses números em ordem crescente, qual o lugar ocupado
   pelo número 43521? 90º lugar


46. Uma prova contém 10 testes que devem ser respondidos com V ou F. De quantos modos
   distintos ela pode ser resolvida assinalando-se 3 testes com V e 7 com F? 120 modos


47. (Unifap – AP) A cidade de Macapá é banhada pelo rio Amazonas e cortada pela linha do
   Equador. Responda:

   a) Quantos são os anagramas da palavra MACAPÁ? 120 anagramas

   b) Quantos anagramas da palavra AMAZONAS começam por consoante? 840 anagramas

   c) Em quantos anagramas da palavra EQUADOR as letras Q, U, A mantém-se juntas?
      720 anagramas


48. Calcule o número de anagramas obtidos a partir de ARARA. Conclua que quando uma
   palavra de n letras é formada exclusivamente por 2 letras que se repetem α vezes e β
   vezes (α + β) = n, as fórmulas de permutação e combinação se equivalem. 10 anagramas


49. Uma equipe de futebol disputou 8 jogos em um torneio: venceu 4, perdeu 2 e empatou 2.

   a) De quantos modos distintos pode ter ocorrido a sequência de resultados? 420 modos

   b) Supondo que a equipe estreou no torneio com vitória e o encerrou também com
      vitória, de quantos modos distintos pode ter ocorrido a sequência dos outros
      resultados? 90 modos


50. Uma urna contém 8 bolas: 5 azuis e 3 cinzas. De quantas maneiras é possível retirar, uma
   a uma, as 8 bolas dessa urna? 56 maneiras

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Exercícios Extras

  • 1. 1. Para ir ao clube, Júnior deseja usar uma camiseta, uma bermuda e um par de tênis. Sabendo que ele dispõe de seis camisetas, quatro bermudas e três pares de tênis, responda: de quantas maneiras distintas poderá vestir-se? 72 maneiras 2. Uma agência de turismo oferece bilhetes aéreos para o trecho São Paulo – Miami através de duas companhias: Varig ou TAM. O passageiro pode escolher também entre a primeira classe, classe executiva e classe econômica. De quantas maneiras um passageiro pode fazer tal escolha? 6 maneiras 3. Um jantar constará de três partes: entrada, prato principal e sobremesa. De quantas maneiras distintas ele poderá ser composto, se há como opções oito entradas, cinco pratos principais e quatro sobremesas? 160 maneiras 4. O vagão de um trem possui seis portas. De quantas maneiras distintas um passageiro pode entrar no trem e sair dele por uma porta diferente da que usou para entrar? 30 maneiras 5. Uma prova consta de dez testes de múltipla escolha. De quantas maneiras distintas a prova pode ser resolvida, se cada teste tem cinco alternativas distintas? maneiras 6. Com os algarismos 1, 2, 4, 6, 8 e 9: a) Quantos números de quatro algarismos podemos formar? 1296 números b) Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar? 360 números 7. Quantos números de três algarismos distintos existem? 648 números 8. Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números ímpares de quatro algarismos podemos formar? 882 números
  • 2. 9. Deseja-se formar números divisíveis por 5, compostos de quatro algarismos distintos. Quantas são as possibilidades dispondo-se dos algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6? 220 números 10. Um ladrão sabe que o segredo de um cofre é formado por uma sequência de três algarismos distintos. Além disso, ele sabe que o algarismo das centenas é igual a 4. Se, em média, o ladrão leva 3 minutos para testar uma possível sequência, qual o tempo máximo para o ladrão abrir o cofre? 216 minutos 16. Para a eleição do corpo dirigente de uma empresa candidatam-se oito pessoas. De quantas maneiras poderão ser escolhidos presidente e vice-presidente? 56 maneiras 17. A 1ª fase de um torneio de futebol é disputada por 15 equipes no sistema de turno e returno (a equipe A, por exemplo, joga com a equipe B duas vezes: uma em seu campo e a outra no campo adversário). Quantas partidas são disputadas ao todo, se os dois melhores classificados da 1ª fase fazem a final no mesmo sistema? 212 partidas
  • 3. 18. Uma emissora de TV dispõe, ao todo, de 20 programas distintos. a) Quantas são as possíveis sequências de seis programas distintos a serem exibidos em um dia? 27.907.200 sequências b) Suponha que, entre 20 programas, haja apenas um musical. De quantas maneiras a programação acima pode ser escolhida de modo que sempre se encerre com o programa musical? 1.395.360 maneiras 19. Para animar uma festa, uma orquestra dispõe de cinco tipos de música: valsa, samba, dance music, MPB e rock. De quantas maneiras o anfitrião poderá escolher os ritmos de abertura e fechamento da festa, se ele já decidiu manter samba no restante da festa e não pretende repetir nenhum ritmo? 12 maneiras 20. Dez enxadristas participam de um campeonato em que todos jogam contra todos. Se um deles vence todas as partidas, quantas são as classificações possíveis para os três primeiros colocados? 72 classificações 21. Uma prova de atletismo reúne 15 atletas. Quantos são os resultados possíveis para que sejam distribuídas as medalhas de ouro, prata e bronze? Em quantos resultados o atleta X recebe medalha, mas o atleta Y não? 2730 resultados / 468 resultados 22. (FGV – SP) Suponha que uma senha utilizada numa rede de computadores seja constituída de 5 letras, escolhida entre 26 do alfabeto latino, sendo permitida a repetição de letras. Quantas senhas diferentes podem ser construídas? senhas 23. Numa dinâmica de grupo, uma psicóloga de RH (Recursos Humanos) relaciona de todas as formas possíveis dois participantes: ao primeiro faz a pergunta e ao segundo pede que comente a resposta do colega. Admita que a psicóloga não repetirá a mesma pergunta mais de uma vez. a) Se 10 candidatos participam da dinâmica, qual é o número de perguntas feitas pela psicóloga? 90 perguntas b) Qual é o número mínimo de candidatos que obriga a psicóloga a ter mais de 250 questões para realizar a dinâmica? 17 candidatos 24. Um curso de inglês é dividido em quatro partes: vocabulário, gramática, conversação e interpretação de textos. Todos os dias, essas partes são estudadas, mas nunca na mesma ordem. Em quantos dias se esgotará a sequência possível de aulas para o curso? 24 dias
  • 4. 25. Uma pesquisa deseja saber a ordem de preferência dos três maiores ídolos do esporte no Brasil. a) Quantas respostas diferentes são possíveis, se a cada entrevistado é apresentada uma lista com o nome de 20 esportistas? 6840 respostas b) Quantas dessas respostas têm o nome de Guga como 1º colocado? 342 respostas c) Em quantas respostas não aparece o nome de Guga? 5814 respostas 26. Um torneio de futebol será disputado em duas sedes a serem escolhidas entre seis cidades. De quantas maneiras poderá ser feita a escolha das duas cidades? 15 maneiras 27. Quinze alunos participam de um sorteio promovido pelo professor de Matemática. Se ele dispõe de três prêmios idênticos, de quantas formas poderão ser escolhidos os alunos? 455 formas 28. Uma classe tem 30 alunos. Um professor organiza uma prova oral para a qual 5 alunos serão sorteados ao acaso. De quantas formas o professor poderá escolher os alunos? 142.506 formas 29. (UFBA) Dispondo-se de abacaxi, acerola, goiaba, laranja, maçã, mamão e melão, calcule de quantos sabores diferentes pode-se preparar um suco, usando-se três frutas distintas. 35 sabores 30. De um baralho de 52 cartas, sorteamos simultaneamente cinco cartas. a) Quantas são as possibilidades de sorteio das cartas? 2.598.960 possibilidades b) De quantas formas essas cartas podem ser sorteadas de modo que o ás de copas seja sempre incluído? 249.900 formas 31. (FGV - SP) O administrador de um fundo de ações dispõe de ações de 10 empresas para a compra, entre elas as da empresa R e as da empresa S. a) De quantas maneiras ele poderá escolher 7 empresas, entre as 10? 120 maneiras b) Se entre as 7 empresas escolhidas devem figurar obrigatoriamente as empresas R e S, de quantas formas ele poderá escolher as empresas? 56 formas
  • 5. 32. Em uma reunião havia n pessoas; cada uma saudou as outras com um aperto de mão. Sabendo que houve ao todo 66 apertos de mão, responda: qual é o valor de n? n = 12 pessoas 33. Uma junta médica deverá ser formada por quatro médicos e dois enfermeiros. De quantas maneiras ela poderá ser formada se estão disponíveis dez médicos e seis enfermeiros? 3150 maneiras 34. Uma classe tem 10 meninos e 12 meninas. De quantas maneiras poderá ser escolhida uma comissão de três meninos e quatro meninas, incluindo, obrigatoriamente, o melhor aluno e a melhor aluna? 1.980 maneiras 35. Uma locadora de automóveis tem à disposição de seus clientes uma frota de dezesseis carros nacionais e quatro carros importados. De quantas formas uma empresa poderá alugar três carros de modo que: a) Todos sejam nacionais? 560 formas b) Pelo menos um carro nacional seja escolhido? 1.136 formas 36. (FGV – SP) Um processo industrial deve passar pelas etapas A, B, C, D e E. a) Quantas sequências de etapas podem ser delineadas se A e B devem ficar juntas no início do processo e A deve anteceder B? 6 sequências b) Quantas sequências de etapas podem ser delineadas se A e B devem ficar juntas, em qualquer ordem, e não necessariamente no início do processo? 48 sequências 37. Um professor dispõe de 8 questões de Álgebra e duas de Geometria para elaborar uma prova de 10 questões. De quantas maneiras ele poderá escolher a ordem delas, sabendo que as de Geometria não podem aparecer uma em seguida da outra? 2.903.040 maneiras 38. (UF – AL) Aline e Cláudia fazem parte de um grupo de 6 pessoas que devem ocupar 6 cadeiras enfileiradas. Se as duas não podem ocupar simultaneamente as cadeiras das extremidades, de quantos modos podem ser acomodadas essas 6 pessoas? 672 modos
  • 6. 39. Uma classe de 10 alunos, entre eles Júlia e Alberto, será submetida a uma prova oral em que todos os alunos serão avaliados. De quantas maneiras o professor pode escolher a sequência dos alunos: a) Se Júlia deve ser sempre a primeira a ser chamada e Alberto sempre o último a ser chamado? 40.320 maneiras b) Se Júlia deve ser, no máximo, a 2ª pessoa a ser chamada? 725.760 maneiras 40. Um comício reúne oito políticos de um partido, entre eles o presidente e seu vice. Supondo que todos os políticos presentes irão discursar, de quantas maneiras pode ser estabelecida a sequência de discurso: a) Se o comício for aberto pelo presidente do partido? 5.040 maneiras b) Se o presidente e vice devem, em qualquer ordem, iniciar e encerrar o comício? 1.440 maneiras c) Se presidente e vice, nessa ordem, devem discursar consecutivamente? 5.040 maneiras 41. Considere os anagramas da palavra CHAVE. Em quantos desses anagramas as vogais não aparecem lado a lado? 72 anagramas 42. Uma empresa distribui a seus funcionários um questionário constituído de duas partes. Na 1ª, o funcionário deve colocar a ordem de preferência de turno de trabalho: diurno, vespertino e noturno. Na 2ª, o funcionário deve escolher, em ordem de preferência, dois dos sete dias da semana para folgar. De quantas maneiras um funcionário poderá preencher esse questionário? 63 maneiras 43. (UF – MG) Considere formados e dispostos em ordem crescente todos os números que se obtém permutando os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9. Nessa disposição, que lugar ocupa o número 75391? 88ª posição 44. Suponha que Fábio tenha uma foto de cada uma de suas 3 ex-mulheres, uma foto de seu irmão, uma foto de um amigo, uma foto de um ídolo do rock e uma foto do jogador de futebol favorito. De quantos modos distintos ele poderá dispor tais fotos em 5 porta- retratos (3 sobre o aparador e 2 na parede), se deseja que as fotos das ex-mulheres apareçam juntas sobre o aparador)? 72 modos
  • 7. 45. Considere os números obtidos do número 12345, efetuando-se todas as permutações de seus algarismos. Colocando esses números em ordem crescente, qual o lugar ocupado pelo número 43521? 90º lugar 46. Uma prova contém 10 testes que devem ser respondidos com V ou F. De quantos modos distintos ela pode ser resolvida assinalando-se 3 testes com V e 7 com F? 120 modos 47. (Unifap – AP) A cidade de Macapá é banhada pelo rio Amazonas e cortada pela linha do Equador. Responda: a) Quantos são os anagramas da palavra MACAPÁ? 120 anagramas b) Quantos anagramas da palavra AMAZONAS começam por consoante? 840 anagramas c) Em quantos anagramas da palavra EQUADOR as letras Q, U, A mantém-se juntas? 720 anagramas 48. Calcule o número de anagramas obtidos a partir de ARARA. Conclua que quando uma palavra de n letras é formada exclusivamente por 2 letras que se repetem α vezes e β vezes (α + β) = n, as fórmulas de permutação e combinação se equivalem. 10 anagramas 49. Uma equipe de futebol disputou 8 jogos em um torneio: venceu 4, perdeu 2 e empatou 2. a) De quantos modos distintos pode ter ocorrido a sequência de resultados? 420 modos b) Supondo que a equipe estreou no torneio com vitória e o encerrou também com vitória, de quantos modos distintos pode ter ocorrido a sequência dos outros resultados? 90 modos 50. Uma urna contém 8 bolas: 5 azuis e 3 cinzas. De quantas maneiras é possível retirar, uma a uma, as 8 bolas dessa urna? 56 maneiras