Aula 5 - Conjuntos

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Aula 5 - Conjuntos

  1. 1. - CONJUNTOS - AULA V - NÚMEROS DE ELEMENTOS DA UNIÃO DE CONJUNTOS * Definição: serve para somar todos os elementos dos conjuntos, usaremos a seguinte fórmula: sendo n(A) o número de elementos do conjunto A e n(B) o número de elementos do conjunto B, temos: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) * Exemplo 1: U B 1 4 6 n(A) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 5 7 8 n(B) = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30 A n(A B) = 4 + 5 = 9 Sendo n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B), Então: n(A ∪ B) = 15 + 30 - 9. Logo n(A ∪ B) = 36 * Exemplo 2: Em uma classe de 48 alunos, cada aluno apresentou um trabalho sobre Ecologia, tendo sido indicados dois livros sobre o assunto. O livro A foi consultado por 26 alunos e o livro B, por 28 alunos. Pergunta-se: a) Quantos alunos consultaram os dois livros? B n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) 48 = 26 + 28 - n(A ∩ B) 28 48 = 54 - n(A ∩ B) ? 26 n(A ∩ B) = 6 A b) Quantos alunos consultaram apenas o livro A? Entre os 26 alunos que consultaram o livro A, existem 6 alunos que consultaram também o livro B. Logo, o número de alunos que consultaram apenas o livro A e 26 - 6 = 20.
  2. 2. - CONJUNTOS - EXERCÍCIOS: 26 - Determine n(D ∪ M) sendo: a) D = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} e M = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24} b) D = {1, 5, 8, 9, 15} e M = {5, 8, 9, 11, 14, 17, 20} c) D = {2, 3, 6, 9, 10, 11, 15, 22, 23, 25} e M = {3, 8, 9, 15, 22, 23, 30, 33, 35, 37} 27 - Em uma universidade, 80% dos alunos lêem o jornal A e 60% o jornal B. Sabendo que todo aluno lê pelo menos um dos jornais, qual o porcentual de alunos que lêem ambos os jornais? 28 - Numa cidade são consumidos três produtos: A, B e C. No mês passado, um levantamento sobre o consumo desses produtos apresentou os seguintes resultados: Produtos A B C AeB AeC BeC A, B e C Números de consumidores 80 70 90 30 20 15 5 Com os dados da tabela, resposta: a) Quantas pessoas consumiram apenas o produto A? b) Quantas pessoas consumiram somente um produto, A, B ou C? c) Quantas pessoas consumiram mais de um produto? 29 - Considerando o diagrama abaixo, determine: B a) n(A) d) n(A ∩ B) A 80 50 b) n(B) e) n(A - B) 50 c) n(C) f) n(A ∪ B) 70 100 100 130 C
  3. 3. - CONJUNTOS - * PROPRIEDADES DE CONJUNTOS: * Fechamento: quaisquer que sejam os conjuntos A e B, a união de A e B, denotada por A ∪ B e a interseção de A e B, denotada por A ∩ B, ainda são conjuntos no universo. * Reflexiva: qualquer que seja o conjunto A, tem-se que: A ∪ A=Ae A ∩ A=A * Inclusão: quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que: A ⊂ A ∪ B, B ⊂ A ∪ B, A ∩ B ⊂ A, A ∩ B ⊂ B * Inclusão relacionada: quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que: A ⊂ B equivale a A ∪ B = B A ⊂ B equivale a A ∩ B = A * Associativa: quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que: A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C * Comutativa: quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que: A ∪ B=B ∪ A A ∩ B=B ∩ A * Elemento neutro para a reunião: o conjunto vazio é o elemento neutro para a reunião de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem: A∪ =A * Elemento "nulo" para a interseção: a interseção do conjunto vazio com qualquer outro conjunto A, fornece o próprio conjunto vazio. A∩ = * Elemento neutro para a interseção: o conjunto universo U é o elemento neutro para a interseção de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem: A ∩ U=A * Distributiva: quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∩ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

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