1) O documento discute conceitos básicos de teoria dos conjuntos, incluindo definições de conjunto, representações de conjuntos, operações entre conjuntos e exemplos. 2) São apresentadas noções como conjunto unitário, conjunto vazio, igualdade e inclusão de conjuntos, subconjuntos e conjunto de partes. 3) Exercícios são fornecidos para aplicar os conceitos aprendidos, como determinar relações entre conjuntos e calcular interseções e uniões.

1. Matemática 1 – JT320/2015
Professor Felipe Souza. Blogger: mv1mat.blogspot.com.br
Teoria dos conjuntos
Conjunto é um conceito primitivo, isto é, sem
definição, que indica agrupamento de objetos, pessoas,
etc...
Ex: A = Satélite natural da Terra = {Lua}
Representações - Os conjuntos podem ser
representados de três formas distintas:
1) Por enumeração: Conjunto dos estados da
região sudeste do Brasil.
S = {Espírito Santo, Minas Gerais, Rio de
Janeiro, São Paulo}.
2) Por propriedade: O conjunto é formado por
uma lei de formação.
A = {x | x é um estado da região sudeste}
Diagramas – Um conjunto pode ser representado por
pontos de uma região plana delimitada por uma linha
fechada que não se entrelaça.
Chamando este conjunto
de A, temos que 1 A,
2 A, 3 A, 4 A,
5 A e que e
7 A.
Dados um elemento x qualquer é um conjunto A, para
indicarmos que:
 x é elemento de A, escrevemos x A.
 x não é elemento de A, escrevemos x A.
Conjunto unitário – conjunto que possui um único
elemento.
Exemplos: 1) {x | x é natural e 4 < x < 6} – tem
somente o elemento 5.
2){x | x + 2 = - 8 e x é inteiro} – tem somente o
elemento – 10.
Conjunto vazio – Conjunto que não possui elemento
algum. Indicamos o conjunto vazio pela letra grega
(lê-se: “fi”) ou também por { }.
Exemplo: 1){x | x é homem e tem mais que 700 anos}
Observação: O conjunto que como único elemento o
número zero não é vazio, pois possui um elemento.
Então, {0} é diferente de .
Igualdades de conjuntos – Dizemos que dois
conjuntos, A e B, são iguais se, e somente se, todo
elemento que pertence a um deles também pertence ao
outro. Indicamos por A = B e lemos “A é igual a B” ou
“A coincide com B”.
Exemplos: 1){1, 2, 3, 4} = {4, 3, 2, 1}
2){x | x é natural e x + 1 = 3} = {2}
Se A não for igual a B, escrevemos A B e lemos
“A é diferente de B”.
Inclusão – Dizemos que um conjunto A está contido ou
incluído em um conjunto B se todo elemento de A for
também elemento de B. Escrevemos A B e lemos “ A
está contido em B”. O conjunto A é chamado de
subconjunto de B. Dizemos, também, que A é parte de
B.
Exemplos: 1){1, 2, 3} {1, 2, 3, 4, 5}
2){5, 10} {10, 8, 0, 5}
Se A não estiver contido em B, escrevemos A B e
lemos “A não está contido em B”.
Observações:
1)Todo conjunto está contido em si mesmo (A A).
2)O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto
A ( A)
O conjunto cujos elementos são todos os
subconjuntos ou partes de um dado conjunto A é
chamado de conjunto das partes de A e representado por
P(A), sendo formado por qualquer conjunto X desde
que X A. Por exemplo, os subconjuntos do conjunto.
A = {a, b, c} são: , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}
e {a, b, c}. O conjunto das partes de A será:
P(A)={ , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c} e {a, b,c}}
Para determinar a quantidade de subconjuntos de um
conjunto A usamos a fórmula onde n é o número de
elementos do conjunto A.
Intersecção de conjuntos – Dados dois conjuntos, A e
B, chama-se conjunto
interseção ou
simplesmente intersecção
de A e B o conjunto
formado pelos elementos
comuns a A e a B.
Indicamos a intersecção
de A e por A∩B.
Exemplos: 1)A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5}.
A∩B = {2, 3}
2)A = {1, 2, 3} e B={1, 2, 3, 4, 5}
A∩B = {1, 2, 3}
União de conjuntos – Dados dois conjuntos, A e B,
chama-se conjunto
reunião ou simplesmente
união de A e B o conjunto
formado pelos elementos
que pertencem a A ou a B.
Indicamos a união de A e
B por A∪B.
Exemplos:1)A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5}
A∪B = {1, 2, 3, 4, 5}

2. Diferença entre conjuntos – Dados dois conjuntos, A e
B, chama-se conjunto
diferença ou
simplesmente diferença
entre A e B o conjunto
formado pelos elementos
de A que não pertencem a
B. Indicamos por A – B.
Exemplos: 1)A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {3, 4, 5, 6, 7}
A – B = {1, 2}
2)A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {3, 4, 5}
A – B = {1, 2}
Conjunto complementar – Se tivermos dois conjuntos,
A e B, de modo
que B A,
chama-se conjunto
complementar de
B em relação a A
ou simplesmente
complemento de B
em A a diferença
A – B. Indicamos por e lemos “complementar de B
em A” ou “complemento de B em A”.
Exemplos: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {5, 6}
= A – B = {1, 2, 3, 4}.
Exercícios
1)Os conjuntos a seguir estão representados por uma
propriedade que caracteriza os seus elementos. Escreva-
os, enumerando esses elementos.
a)A = {x | x é um número natural menor que 5}
b)B = {x | x é um número múltiplo de 4 maior que 10 e
menor que 40}
c)C = {x | x é um número inteiro tal que x² - x – 20 = 0}
2)Classifique cada um dos conjuntos em um unitário ou
vazio.
a)A = {x | x é um número real e x² + 2x + 5 = 0}
b)B = {x | x é um número natural par e primo}
c)C = {x | x é um polígono cuja soma dos ângulos
internos é menor que 180º}
d)D = {x | x é um número natural tal que o triplo de x
acrescido de 1 é 28}.
3)Os conjuntos a seguir estão representados pela
enumeração dos seus elementos. Escreva-os, utilizando
uma propriedade que caracterize esses elementos.
a)A = {janeiro, fevereiro, março}
b)B = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
c)C = {quarta-feira, quinta-feira}
4)Considere os conjuntos A e B tais que A = {0, 2, 3, 4}
e B = {1, 3, 5, 7}. Nessas condições, complete as
lacunas a seguir com um símbolo que estabeleça a
relação de pertinência ou inclusão entre elementos e
conjuntos.
a) 0 _____A b){1}____B c){2, 3}____B
d)A______{0, 3, 5} e){3, 4}_____A
f){1, {3}, 7}______B
5)Responda aos itens a seguir:
a)Quantos subconjuntos possui um conjunto A com 6
elementos?
b)Quantos elementos possui um conjunto com 128
subconjuntos?
6) Considere o conjunto U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
Classifique as afirmativas a seguir em V(verdadeira) ou
F (falsa).
a)( ) U e n(U) = 8.
b)( ) c U e n(U) = 8.
c)( )5 c U e {5} U.
d)( )U possui menos de 200 subconjuntos.
e)( ){ } c U.
7) Considere o conjunto C = {1, {2}, 3, {4}, }.
Classifique as afirmativas a seguir em V ou F.
a)( ){2} C
b)( )2 C
c)( ){1, } C
d)( ){1, {4}} C
e)( ) 1 C e C
8) Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 7}, B = {3, 4, 5} e
C = {1, 5, 6, 7}, determine o conjunto D, sabendo que
A∩D = {3, 7}, B∩D = {3, 5}, C∩D={5, 6, 7} e n(D)=4.
9)Sendo A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6} e C = {4, 5, 6,
7}, calcule (A∩B) – (B∪C).
10)Numa empresa foi realizado um concurso escrito
constituído de dois problemas; 340 candidatos
acertaram somente um problema, 300 acertaram o
segundo, 120 acertaram os dois e 250 erraram o
primeiro. Quantos candidatos fizeram a prova?
11)Para conhecer melhor o perfil de seus alunos, uma
escola resolveu fazer uma pesquisa e usou como
referência três modalidades esportivas: o futebol, o
voleibol e a natação. Em um grupo de 120 alunos, 70
gostam de futebol, 60 de voleibol, 50 de natação, 35
gostam de futebol e voleibol, 30 de futebol e natação,
25 de voleibol e natação, 10 gostam de futebol, voleibol
e natação. Nessas condições calcule a quantidade de
alunos que não gostam de nenhuma das três
modalidades e a quantidade de alunos que gostam
apenas de voleibol.