Magali foi abordada por vendedores que ofereceram opções de lanche: hot dog simples ou completo, e sorvete de chocolate, flocos ou morango. Magali optou por um sanduíche e uma bola de sorvete. Há 6 maneiras distintas de combinar as opções de hot dog e sorvete.

1. INTRODUÇÃO
Quando Magali se aproximou, os vendedores rapidamente informaram a ela as seguintes
opções de comida: o primeiro ofereceu hot dog simples (maionese, salsicha, catchup e
mostarda) ou completo (simples mais purê, batata palha, vinagrete, etc.), e o segundo
sugeriu sorvete de chocolate, flocos ou morango.
Magali, entretanto, surpreendeu os vendedores, informando-lhes que acabara de almoçar e
estava sem fome. Iria apenas “forrar o estômago”, servindo-se de um sanduíche e de uma
bola de sorvete.
De quantos modos distintos Magali pôde fazer sua “refeição”?
De acordo com o problema, podemos ter as seguintes refeições:
• Hot dog simples e sorvete de chocolate;
• Hot dog simples e sorvete de flocos;
• Hot dog simples e sorvete de morango;
• Hot dog completo e sorvete de chocolate;
• Hot dog completo e sorvete de flocos;
• Hot dog completo e sorvete de morango;
A determinação de tais possibilidades pode ser simplificada por meio de um diagrama, em
que a 1ª coluna, representa as possibilidades de escolha de hot dog e, na 2ª coluna, as
possibilidades de escolha do sabor da bola de sorvete.

2. Esse esquema é conhecido como diagrama da árvore. Fazendo a leitura ao longo de todas
as “ramificações” da árvore, obtemos as possíveis refeições.
Notemos que fazer uma refeição completa representa uma ação constituída de duas
etapas sucessivas. A primeira é a escolha do tipo de hot dog: há duas possibilidades de fazer
tal escolha. A segunda é a escolha do sabor do sorvete: para cada uma das possibilidades
anteriores, há três maneiras de escolher o sabor da bola de sorvete.
Assim, a realização da ação (duas etapas sucessivas) pode ser feita de 2 X 3 = 6 maneiras
distintas.
Para resolver problemas de contagem elementares (como o do exemplo dado) ou bem
mais complexos, passaremos a estudar, com detalhes, a Análise Combinatória.
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
Suponhamos que uma ação seja constituída de duas etapas sucessivas. A 1ª etapa pode ser
realizada de m maneiras distintas. Para cada uma dessas possibilidades, a 2ª etapa pode ser
realizada de n maneiras distintas. Então, o número de possibilidades de se efetuar a ação
completa é dado por m x n.
Esse princípio pode ser generalizado para ações constituídas de mais de duas etapas
sucessivas.
EXERCÍCIOS
1. Há quatro estradas ligando as cidades A e B, e três estradas ligando as cidades B e C. De
quantas maneiras distintas pode-se ir de A a C, passando por B? 12 maneiras
2. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números de três algarismos distintos podemos
formar? 120 números
3. Uma prova consta de 10 questões do tipo V ou F. De quantas maneiras distintas ela pode
ser resolvida?
4. Quantos números de três algarismos podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
e 7? 448 números
5. Quantos números ímpares de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, e 7? 144 números

3. FATORIAL
Dado um número natural n, definimos o fatorial de n (indicado por n!) através das
relações:
Notemos que, em I, o fatorial de n representa o produto dos n primeiros naturais positivos,
escritos desde n até 1.
EXEMPLOS:
A medida que n aumenta, o cálculo de n! torna-se mais trabalhoso. Notemos, então, as
seguintes simplificações:
Esses exemplos sugerem a seguinte relação de recorrência:
EXERCÍCIOS
6. Calcule:
7. Efetue:

4. 8. Simplifique:
9. Resolva a equação (n + 2)! = 6! n = 1
10. (UA – AM) Simplifique a expressão:
ARRANJO SIMPLES
Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se arranjo dos n elementos,
tomados p a p, a qualquer sequência ordenada de p elementos distintos escolhidos entre os n
existentes.
EXEMPLOS:
Dado o conjunto A = {1, 2, 3, 4}, vamos escrever todos os arranjos desses quatro
elementos tomados dois a dois.
Devemos escrever todas as sequências ordenadas de dois elementos distintos escolhidos
entre os elementos de A. Assim, temos:
Notemos que (2, 3) ≠ (3, 2), isto é, a troca na ordem dos elementos de um possível
agrupamento gera um agrupamento diferente.
Para um conjunto com n elementos distintos, temos uma fórmula recursiva para calcular o
número de arranjos desses n elementos tomados p a p.

5. EXERCÍCIOS
13. O quadrangular final de um torneio mundial de basquete é disputado por quatro seleções:
Brasil, Cuba, Rússia e EUA. De quantas maneiras distintas podemos ter os três primeiros
colocados? 24 maneiras
14. A senha de um cartão eletrônico é formada por duas letras distintas acompanhadas por
uma sequência de três algarismos distintos. Quantas senhas poderiam ser
“confeccionadas”? 468000 senhas
15. Uma cinemateca dispõe de seis filmes e oferece uma sessão dupla, na qual serão
exibidos dois desses filmes: o primeiro às 16 horas, e o segundo, diferente do primeiro, às
18 horas. De quantas maneiras distintas a sequência de filmes pode ser escolhida? 30
maneiras
COMBINAÇÃO SIMPLES
Dado um conjunto A com n elementos distintos, chama-se combinação dos n elementos de
A, tomados p a p, a qualquer subconjunto de A formado por p elementos.
EXEMPLOS:
Vamos escrever todas as combinações dos cinco elementos do conjunto M = {a, e, i, o, u},
tomados dois a dois:
Devemos determinar todos os subconjuntos de M formados por dois elementos.
Lembremos que não importa a ordem dos elementos escolhidos: {a, e} = {e, a}, por
exemplo.
Assim, as combinações pedidas são:
{a, e} {a, i} {a, o} {a, u} {e, i}
{e, o} {e, u} {i, o} {i, u} {o, u}
Para um conjunto com n elementos distintos, temos uma fórmula recursiva para calcular o
número de combinações desses n elementos tomados p a p.

6. EXERCÍCIOS
18. Uma pizzaria oferece 15 diferentes sabores de pizza a seus clientes.
a) De quantas maneiras uma família pode escolher três desses sabores? 455 maneiras
b) Suponhamos, agora, que uma família sempre opta por mussarela. Como poderão ser
escolhidos os outros dois sabores? 91 maneiras
19. Uma classe tem 15 alunos, sendo 9 meninos e 6 meninas.
a) Quantas comissões de dois meninos e duas meninas podem ser formadas? 540
comissões
b) Quantas comissões de quatro alunos têm pelo menos um menino? 1350 comissões
20. Marcam-se cinco pontos sobre uma reta r. Sobre outra reta s, paralela a r, marcam-se
mais quatro pontos. Quantos triângulos podem ser formados com vértices em três
quaisquer desses pontos? 70 triângulos
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE
Devemos ter em mente sempre que: quando a ordem dos elementos é importante, o
problema deve ser resolvido por Arranjo, se a ordem dos elementos não é importante, o
problema deve ser resolvido por Combinação!!!
PERMUTAÇÃO SIMPLES
Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se permutação dos n elementos a
toda ordenação desses n elementos.
O número total de permutações de n elementos, indicado por n!, é dado por:

7. EXEMPLOS:
Vamos escrever todos os anagramas da palavra SOL.
Um anagrama da palavra SOL é qualquer permutação das letras S, O, L de modo que se
forme uma palavra com ou sem sentido.
Temos: SOL, SLO, OSL, OLS, LOS, LSO
EXERCÍCIOS
24. Qual é o número de anagramas da palavra SOMA? E de LIVRO? 24 e 120
25. Considere os anagramas da palavra BRASIL.
a) Quantos são? 720
b) Quantos começam por B? 120
c) Quantos começam por vogal? 240
PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS REPETIDOS
Consideremos agora a palavra CASA. Ao montarmos seus anagramas (faça isso),
percebemos que são apenas 12. Tal diminuição deve-se ao fato de que a letra A aparece
repetida. De fato, dado um anagrama qualquer de CASA, ao mantermos fixas as posições de
C e de S e permutarmos as duas letras A, obteremos a mesma sequência:

8. EXERCÍCIOS
26. Calcule o número de anagramas de:
a) APOSENTADO 907.200
b) RODOVIÁRIA 226.800
c) SOSSEGADO 30.240
27. Um dado é lançado 4 vezes. De quantos modos distintos pode ser obtida uma sequência
com três faces iguais a 1 e uma face igual a 6? 4 modos
28. Permutando os algarismos 3, 2, 3, 4, 4 e 5, quantos números de 6 algarismos podemos
formar? 180 números
29. Uma moeda é lançada 5 vezes. De quantos modos distintos podem ser obtidas 2 caras e 3
coroas? 10 modos
30. Considere os anagramas formados a partir de CORREDOR.
a) Quantos são? 3.360
b) Quantos começam por R? 1.260
c) Quantos começam por COR? 60
d) Quantos começam e terminam por R? 360

9. PERMUTAÇÃO CIRCULAR
No caso da permutação com repetição existe um caso especial, a permutação circular.
Observe o exemplo a seguir.
Vamos determinar de quantas maneiras 5 meninas que brincam de roda podem formá-la.
Fazendo um esquema, observando que são posições iguais:
O total de posições é 5! e cada 5 representa uma só permutação circular. Assim, o total de
permutações circulares será dado por:
Generalizando, para determinar uma permutação circular, utilizamos a fórmula:
EXERCÍCIOS
31. De quantas maneiras 7 meninas podem formar a roda? 720 maneiras
32. Seja um conjunto com 4 pessoas. De quantos modos distintos estas pessoas poderão
sentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retangular) para realizar o jantar sem que
haja repetição das posições? 6 modos
33. Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e quatro filhos. Num restaurante,
essa família vai ocupar uma mesa redonda. Em quantas disposições diferentes essas
pessoas podem se sentar em torno da mesa de modo que o pai e a mãe fiquem juntos? 72
disposições
34. Dois meninos e três meninas formarão uma roda dando-se as mãos. De quantos modos
diferentes poderão formar a roda de modo que os dois meninos não fiquem juntos? 12
modos