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Introdução A finalidade de uma equação de regressão seria então estimar valores de uma variável, com base em valores conhecidos da outra; Um economista pode tentar explicar as variações na procura de automóveis usados em termos de desemprego; Um agricultor pode suspeitar que a quantidade de fertilizante por ele  usada tenha influenciado a safra; Dentro desse contexto, o objetivo desta monografia foi demonstrar as técnicas de análise de regressão dentro de uma abordagem teórica e computacional, utilizando o software estatístico R.
Modelo Matemático ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]
[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Modelo Estatístico
Se apenas uma variável explicativa é observada, temos: Os erros também podem ser devido a erros obtidos no processo de  Mensuração da variável dependente.  Modelo Estatístico Assim, o modelo ficaria:
[object Object],[object Object],[object Object],Regressão Linear Simples Modelo de Regressão Linear Simples
X Y    Coeficiente angular Regressão Linear Simples Inclinação populacional Intercepto populacional Erro Aleatório Variável  Independente Variável  Dependente
Ao estabelecer o modelo de regressão linear simples, pressupomos que: A relação entre  X  e  Y  é Linear; Os valores de X são fixos, isto é, X não é uma variável aleatória; A média dos erros é nula, isto é: Para um dado valor x de X, a variância dos erros  é sempre denotada variância residual, dizemos que o erro é  homocedástico;   O erro em uma observação é não correlacionado com o erro em qualquer  outra observação; Os erros têm distribuição normal. Suposições do modelo
Os estimadores de  e  Uma vez que o modelo foi especificado e as suposições foram feitas, devemos estimar os parâmetros da regressão,  e  . Dados n pares de observações  das var. X e Y, i=1,2,...,n,  queremos encontrar uma equação do tipo:  onde  e  são os estimadores de  ,  e  .  Para cada par  observado podemos estabelecer a seguinte relação:  Resíduo
Os estimadores de  e  Na estimação por mínimos quadrados, queremos encontrar  e  que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos. Ou seja, queremos  tornar mínima a expressão:  Para minimizar esta expressão em  e  , temos as derivadas em  relação a  e  :
Somas de quadrados  Onde: e
Coeficiente de Determinação  O  coeficiente de determinação  ou simplesmente  . É uma medida da proporção da variabilidade em uma variável que é explicada pela variabilidade da outra.  Definimos o coeficiente de determinação ou explicação do modelo, que é  dado por: O coeficiente está entre  logo, quanto mais próximo de 1  Estiver o valor de  , melhor será o ajuste do modelo e quanto mais  Próximo de 0 (zero), pior é o ajuste.
Coeficiente de Determinação Corrigido  É importante enfatizar que a medida  depende do número de observações  da amostra, sendo que tende a aumentar a medida que  n  diminui; Especialmente, para n=2 temos  , já que dois pontos determinam uma única reta;  Para contornar este problema, definimos o C.D.C para G.L; Dividindo as somas de quadrados pelos graus de liberdade temos:
Análise de Variância ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Assim, a estatística F é uma estatística para testar  contra  quanto maior o valor de F, maior evidência a favor de
Análise de Variância A partir daí, procedemos à análise de variância do modelo linear,  dado pela tabela a seguir: se  H 0   verdadeiro   (Não existe relação linear) se  H 0   falso   (existe relação linear)
Testes de Hipóteses Entretanto, ainda existe outra maneira de se testar  :  Lembremos que, sob as suposições usuais do modelo de regressão linear  simples, temos que: Porém, não conhecemos o verdadeiro valor de  e usamos o estimador. Logo: onde
Intervalos de Confiança Outra forma para se avaliar a significância dos resultados obtidos para  b , que é o estimador de  , é através da utilização de intervalos de confiança (IC's). Para construir um  I.C  para  com  de confiança, temos que encontrar um valor  ,tal que:
Ajuste do Modelo Muitas vezes, podemos encontrar problemas na especificação da função que relaciona as variáveis (não linearidade); Pode ser verificado através de um gráfico de dispersão entre X e Y; Existem funções que podem ser transformadas em modelos lineares; Existem vários tipos de funções que podemos transformar, tais como: ,[object Object],[object Object],[object Object]
Função Potência  Esta função é dada pela expressão: O gráfico desta função é esboçado como: Aplicando o log em ambos os lados da igualdade podemos linearizar a função: e então, temos um modelo: com:
Análises de Resíduos ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]
Análises de Resíduos “ ideal”  2   não constante não linearidade não independência tempo “ outlier”
Aplicação
Software Estatístico R O Software R é um conjunto integrado de pacotes ou bibliotecas para manipulação de dados, cálculo e visualização gráfica. Entre outras características, ele permite: Uma facilidade efetiva para manipulação e armazenagem de dados; Um conjunto de operadores para cálculos sobre quadros de dados, em particular as matrizes; Uma grande e coerente coleção integrada de ferramentas para análise de dados; Facilidades gráficas com capacidade de visualização na tela ou impressora; Uma linguagem de programação bem desenvolvida, simples e eficiente.
Sobre o banco de dados ,[object Object],[object Object],[object Object]
Estimando o modelo linear (lm()) > gfit = lm(Species ~ Endemics, data=gala) > gfit Call: lm(formula = Species ~ Endemics, data = gala) Coefficients: (Intercept)  Endemics -21.048  4.072 ,[object Object],[object Object]
Plotando o gráfico de dispersão > plot(Species,Endemics) > abline(gfit)
Teste de significância (summary) >summary (gfit) Call: lm(formula = Species ~ Endemics, data = gala) Residuals: Min  1Q  Median  3Q  Max  -71.791  -15.894  3.507  12.088  78.200  Coefficients: Estimate  Std. Error  t value  Pr >  | t |  (Intercept)  -21.0480  7.1138  -2.959  0.00622 **  Endemics  4.0721  0.1899  21.443  < 2e-16 *** --- Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1}  Residual standard error: 27.95 on 28 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.9426, Adjusted R-squared: 0.9406 F-statistic: 459.8 on 1 and 28 DF,  p-value: < 2.2e-16
Intervalos de Confiança O intervalo de confiança para o coeficiente de regressão pode ser construído a partir do erro associado ao mesmo, usando a distribuição  t ,  por exemplo, o valor crítico do  t  para os 28 graus de liberdade residuais do modelo, associado ao intervalo de confiança de 95% será: > qt(0.975,28) [1] 2.048407 E os limites de confiança para o coeficiente de regressão podem ser calculados como: > c(4.0721-2.048407*0.1899, 4.0721+2.048407*0.1899) [1] 3.683108  4.461092
Resíduos e testes diagnósticos ,[object Object],[object Object],[object Object]
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Resíduos e testes diagnósticos ,[object Object],> qqnorm(padronizados) > qqline(padronizados) ,[object Object],> shapiro.test(padronizados) Shapiro-Wilk normality test data:  padronizados  W = 0.9268, p-value = 0.06041
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Modelo de regressão linear: aspectos teóricos e computacionais

  • 1.  
  • 2. Introdução A finalidade de uma equação de regressão seria então estimar valores de uma variável, com base em valores conhecidos da outra; Um economista pode tentar explicar as variações na procura de automóveis usados em termos de desemprego; Um agricultor pode suspeitar que a quantidade de fertilizante por ele usada tenha influenciado a safra; Dentro desse contexto, o objetivo desta monografia foi demonstrar as técnicas de análise de regressão dentro de uma abordagem teórica e computacional, utilizando o software estatístico R.
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  • 5. Se apenas uma variável explicativa é observada, temos: Os erros também podem ser devido a erros obtidos no processo de Mensuração da variável dependente. Modelo Estatístico Assim, o modelo ficaria:
  • 6.
  • 7. X Y  Coeficiente angular Regressão Linear Simples Inclinação populacional Intercepto populacional Erro Aleatório Variável Independente Variável Dependente
  • 8. Ao estabelecer o modelo de regressão linear simples, pressupomos que: A relação entre X e Y é Linear; Os valores de X são fixos, isto é, X não é uma variável aleatória; A média dos erros é nula, isto é: Para um dado valor x de X, a variância dos erros é sempre denotada variância residual, dizemos que o erro é homocedástico; O erro em uma observação é não correlacionado com o erro em qualquer outra observação; Os erros têm distribuição normal. Suposições do modelo
  • 9. Os estimadores de e Uma vez que o modelo foi especificado e as suposições foram feitas, devemos estimar os parâmetros da regressão, e . Dados n pares de observações das var. X e Y, i=1,2,...,n, queremos encontrar uma equação do tipo: onde e são os estimadores de , e . Para cada par observado podemos estabelecer a seguinte relação: Resíduo
  • 10. Os estimadores de e Na estimação por mínimos quadrados, queremos encontrar e que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos. Ou seja, queremos tornar mínima a expressão: Para minimizar esta expressão em e , temos as derivadas em relação a e :
  • 12. Coeficiente de Determinação O coeficiente de determinação ou simplesmente . É uma medida da proporção da variabilidade em uma variável que é explicada pela variabilidade da outra. Definimos o coeficiente de determinação ou explicação do modelo, que é dado por: O coeficiente está entre logo, quanto mais próximo de 1 Estiver o valor de , melhor será o ajuste do modelo e quanto mais Próximo de 0 (zero), pior é o ajuste.
  • 13. Coeficiente de Determinação Corrigido É importante enfatizar que a medida depende do número de observações da amostra, sendo que tende a aumentar a medida que n diminui; Especialmente, para n=2 temos , já que dois pontos determinam uma única reta; Para contornar este problema, definimos o C.D.C para G.L; Dividindo as somas de quadrados pelos graus de liberdade temos:
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  • 15. Análise de Variância A partir daí, procedemos à análise de variância do modelo linear, dado pela tabela a seguir: se H 0 verdadeiro (Não existe relação linear) se H 0 falso (existe relação linear)
  • 16. Testes de Hipóteses Entretanto, ainda existe outra maneira de se testar : Lembremos que, sob as suposições usuais do modelo de regressão linear simples, temos que: Porém, não conhecemos o verdadeiro valor de e usamos o estimador. Logo: onde
  • 17. Intervalos de Confiança Outra forma para se avaliar a significância dos resultados obtidos para b , que é o estimador de , é através da utilização de intervalos de confiança (IC's). Para construir um I.C para com de confiança, temos que encontrar um valor ,tal que:
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  • 19. Função Potência Esta função é dada pela expressão: O gráfico desta função é esboçado como: Aplicando o log em ambos os lados da igualdade podemos linearizar a função: e então, temos um modelo: com:
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  • 21. Análises de Resíduos “ ideal”  2 não constante não linearidade não independência tempo “ outlier”
  • 23. Software Estatístico R O Software R é um conjunto integrado de pacotes ou bibliotecas para manipulação de dados, cálculo e visualização gráfica. Entre outras características, ele permite: Uma facilidade efetiva para manipulação e armazenagem de dados; Um conjunto de operadores para cálculos sobre quadros de dados, em particular as matrizes; Uma grande e coerente coleção integrada de ferramentas para análise de dados; Facilidades gráficas com capacidade de visualização na tela ou impressora; Uma linguagem de programação bem desenvolvida, simples e eficiente.
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  • 26. Plotando o gráfico de dispersão > plot(Species,Endemics) > abline(gfit)
  • 27. Teste de significância (summary) >summary (gfit) Call: lm(formula = Species ~ Endemics, data = gala) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -71.791 -15.894 3.507 12.088 78.200 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr > | t | (Intercept) -21.0480 7.1138 -2.959 0.00622 ** Endemics 4.0721 0.1899 21.443 < 2e-16 *** --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1} Residual standard error: 27.95 on 28 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.9426, Adjusted R-squared: 0.9406 F-statistic: 459.8 on 1 and 28 DF, p-value: < 2.2e-16
  • 28. Intervalos de Confiança O intervalo de confiança para o coeficiente de regressão pode ser construído a partir do erro associado ao mesmo, usando a distribuição t , por exemplo, o valor crítico do t para os 28 graus de liberdade residuais do modelo, associado ao intervalo de confiança de 95% será: > qt(0.975,28) [1] 2.048407 E os limites de confiança para o coeficiente de regressão podem ser calculados como: > c(4.0721-2.048407*0.1899, 4.0721+2.048407*0.1899) [1] 3.683108 4.461092
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