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AULA 30
      ESTATÍSTICA
Professor: João Alessandro


TESTE DE HIPÓTESES
COMENTÁRIOS INICIAIS
Uma hipótese estatística é uma afirmativa a respeito de um parâmetro de uma
distribuição de probabilidade.
Por exemplo, podemos formular a hipótese que a produtividade de peças de
uma máquina é de 2,5 peças/hora. Formalmente isso é escrito como:
                     H 0 : µ = 2,5 peçashora
                     H1 : µ ≠ 2,5 peças/hora
Ho é chamada de hipótese nula e H1 de hipótese alternativa. Nesse caso, a
alternativa formulada é bilateral, mas também podem ser estabelecidas
alternativas unilaterais, tais como:
                       H 0 : µ = 2,5 peças / hora
                       H1 : µ < 2,5 peças/hora
•Os testes de hipótese são uma das aplicações da estatística mais
usadas.
•Via de regra, a hipótese nula é feita com base no comportamento
passado do produto/processo/serviços, enquanto a alternativa é
formulada em função de alterações / inovações recentes.
•No ambiente atual de melhoria contínua, é fácil entender a importância
dos testes de hipótese: eles permitem confirmar a eficácia das medidas
de melhoria adotadas.
•Ao testar a hipótese, toma-se uma amostra aleatória do sistema em
estudo e se calcula o parâmetro desejado. Conforme o valor do
parâmetro, a hipótese nula será aceita ou rejeitada, a partir de
procedimentos estatísticos.
PASSOS PARA REALIZAR UM
                  TESTE DE HIPÓTESES
Passo 1 : Definição da Hipótese
O primeiro passo é o estabelecimento das hipóteses: hipótese
nula e hipótese alternativa

Hipótese Nula (Ho): É um valor suposto para um parâmetro.Se os
resultados da amostra não forem muito diferentes de Ho, ela não
poderá ser rejeitada.

Hipótese Alternativa(H1) : É uma hipótese que contraria a hipótese
nula, complementar de Ho, Essa hipótese somente será aceita se
os resultados forem muito diferentes de Ho.
PASSOS PARA REALIZAR UM
                      TESTE DE HIPÓTESES
Passo 2: Calcular a estatística do Teste
       É o valor calculado a partir da amostra, que será usado na tomada
de decisão. Uma maneira de tomar-se uma decisão é comparar o valor
tabelado com a estatística do teste.
       Para o caso de testes de médias, a estatística do teste é a variável
padronizada Z:

                             (X − µ )         Variabilidade
                       Z =                     das médias
                             (σ   n)
     Estatística
      do teste
PASSOS PARA REALIZAR UM
                    TESTE DE HIPÓTESES
 Passo 3: Região Crítica
• O valor da estatística do teste, no caso, o valor Z, é calculado
   supondo que a hipótese nula (Ho) é verdadeira. No entanto, o valor
   calculado pode estar associado a uma probabilidade de ocorrência
   muito baixa. Nesse caso, a hipótese nula deve ser rejeitada e
   aceitamos a hipótese alternativa.
• A região crítica é a região onde Ho é rejeitada. A área da região
   crítica é igual ao nível de significância (α), que estabelece a
   probabilidade de rejeitar Ho quando ela é verdadeira.
• Por exemplo, se utilizarmos o nível de significância de 5%, a
   probabilidade de rejeitar Ho quando ela é verdadeira é igual a 5%. Na
   prática, os valores usuais de alfa são α = 0,01 ou 0,05 ou 0,10.
PASSOS PARA REALIZAR UM
                    TESTE DE HIPÓTESES
Unilateral à esquerda:
Ho: µ = 50
H1:: µ > 50



Unilateral à direita:
Ho: : µ = 50
H1: : µ <50



Bilateral:
Ho: : µ = 50
H1:: µ ≠ 50
PASSOS PARA REALIZAR UM
                     TESTE DE HIPÓTESES
 Passo 4. Regra de Decisão:
        Se o valor da estatística do teste cair na região crítica, rejeita-se
Ho. Ao rejeitar a hipótese nula (Ho) existe uma forte evidência de sua
falsidade.
        Ao contrário, quando aceitamos, dizemos que não houve
evidência amostral significativa no sentido de permitir a rejeição de Ho.
PASSOS PARA REALIZAR UM
                TESTE DE HIPÓTESES
 Passo 5: Conclusão
• Aceitar Ho, implica que a hipótese nula não pode ser
rejeitada!
• Rejeitar Ho implica que temos evidências estatísticas para
rejeitá-la com um risco conhecido : α.
Comparação de médias,
                      variância conhecida
Suponha que X é uma variável aleatória com média µ desconhecida
e variância σ 2 conhecida. E queremos testar a hipótese de que a média
é igual a um certo valor especificado µ0. O teste de hipótese pode ser
formulado como segue:           H : µ=µ
                                o         0
                              H 1 : µ ≠ µ0
Para testar a hipótese, toma-se uma amostra aleatória de           n
observações e se calcula a estatística
                                     X − µo
                                Zo =
                                     σ/ n

Note que o teste é feito usando-se σ / n no denominador,
uma vez que esse é o desvio padrão da média.
A hipótese Ho é rejeitada se         Z 0 > Zα / 2
                                                  onde Z α / 2 é um valor
limite da distribuição normal reduzida tal que a probabilidade de se
obter valores externos a ± Z α / 2 é α.

A probabilidade do valor Zo acontecer segundo a hipótese nula é
menor do que α , logo rejeita-se a hipótese nula Ho.

     X                            µo       Zo ≤ Z a / 2
Se       resultar próximo de           ,                  a hipótese Ho é aceita.

     X                       µo        Zo > Z a / 2
Se       resultar longe de        ,                   a hipótese Ho é rejeitada.
RESUMO DAS HIPÓTESES

    H0: µ ≤ µo
    Ha: µ > µo

    H0: µ ≥ µo
    Ha: µ < µo

    H0: µ = µo
    Ha: µ ≠ µo
ERROS TIPO I E DO TIPO II
 Tanto a hipótese nula, quanto a hipótese
alternativa pode ser verdadeira, mas não ambas.
 O ideal seria rejeitar Ho falso, e não rejeitar Ho
verdadeiro.
 Isso nem sempre é possível. Temos que levar
em consideração a possibilidade de erros, pois
os testes estão baseados em informações de
amostras.
ERROS TIPO I E DO TIPO II
Dois tipos de erros são possíveis:

Erro Tipo I – rejeitar H0 verdadeiro;

Erro Tipo II – não rejeitar H0 falso.
ERROS TIPO I E DO TIPO II
As probabilidades de ocorrências destes
dois tipos de erros são:

α = probabilidade de se cometer o Erro
Tipo I – chamado de nível de significância

β = probabilidade de se cometer o Erro
Tipo II
ERROS TIPO I E DO TIPO II
       TABELA – RESUMO DAS
        DECISÕES POSSÍVEIS
             Ho verdadeiro    Ho falso

Aceitar Ho    Conclusão      Erro Tipo II
               correta

 Rejeitar     Erro Tipo I    Conclusão
   Ho                         correta
TESTE DE HIPÓTESE PARA A MÉDIA - EXEMPLO
A resistência à tração do aço inoxidável produzido numa
usina permanecia estável, com uma resistência média de
72 kg/mm2 e um desvio padrão de 2,0 kg/mm2.
Recentemente, a máquina foi ajustada. A fim de determinar
o efeito do ajuste, 10 amostras foram testadas.
     76,2 78,3 76,4 74,7 72,6 78,4 75,7 70,2 73,3 74,2

Presuma que o desvio padrão seja o mesmo que antes do
ajuste. Podemos concluir que o ajuste mudou a resistência
à tração de aço?
 (Adote um nível de significância de 5%)
TESTE DE HIPÓTESE PARA A MÉDIA - EXEMPLO
Passo 1 : Definição da Hipótese
Ho: µ = 72 kg/mm2
H1: µ ≠ 72 kg/mm2
s = 2 kg/mm2
Passo 2: Calcular a estatística do Teste
Sendo X = 75,0 e s = 2 kg/mm2, temos:
                            X − µo 75 − 72      3
                      Z =         =        =        = 4,74
                             σ n    2 10     0,6325


Isso significa que a média da amostra retirada aleatoriamente da produção
   está a 4,74 devios-padrão da média alegada em
Ho que é 72.
TESTE DE HIPÓTESE PARA A MÉDIA - EXEMPLO


Passo 3: Região Crítica




Passo 4: Regra de Decisão
  Como o valor crítico para 5% é 1,96 desvios (Z tabelado), estamos na
  região de rejeição de Ho.

Passo 5: Conclusão
   Ho é rejeitada e concluímos que a resistência à tração do aço mudou.
Exemplo: Um processo deveria produzir bancadas com 0,85 m
de altura. O engenheiro desconfia que as bancadas que estão
sendo produzidas são diferentes que o especificado. Uma
amostra de 8 valores foi coletada e indicou X =0, 87 . Sabendo
que o desvio padrão é σ = 0 ,010 , teste a hipótese do engenheiro
usando um nível de significância α=0,05.
Solução:             H o : µ = 0,85
                     H1 : µ ≠ 0,85


                          0,87 − 0,85
                     Zo =             = 5, 66
                          0, 010 / 8


    Zo   = 5, 66 > Z 0,025 = 1,96 ⇒ Rejeita-se H
                                                 o
α /2                                                α /2


                          µ    =0,850
Zα / 2 = - 1    ,9 6                    Zα / 2 = +   1 ,9 6
 Z 0 > Zα / 2           Z 0 ≤ Zα / 2                    Z 0 > Zα / 2

Rejeita Ho             Aceita Ho                       Rejeita Ho
TABELA: TESTE DE MÉDIAS, VARIÂNCIA CONHECIDA
DÚVIDAS?
joao.alessandro@grupointegrado.br
        jalmat@hotmail.com

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Teste de Hipóteses Estatísticas

  • 1. AULA 30 ESTATÍSTICA Professor: João Alessandro TESTE DE HIPÓTESES
  • 2. COMENTÁRIOS INICIAIS Uma hipótese estatística é uma afirmativa a respeito de um parâmetro de uma distribuição de probabilidade. Por exemplo, podemos formular a hipótese que a produtividade de peças de uma máquina é de 2,5 peças/hora. Formalmente isso é escrito como: H 0 : µ = 2,5 peçashora H1 : µ ≠ 2,5 peças/hora Ho é chamada de hipótese nula e H1 de hipótese alternativa. Nesse caso, a alternativa formulada é bilateral, mas também podem ser estabelecidas alternativas unilaterais, tais como: H 0 : µ = 2,5 peças / hora H1 : µ < 2,5 peças/hora
  • 3. •Os testes de hipótese são uma das aplicações da estatística mais usadas. •Via de regra, a hipótese nula é feita com base no comportamento passado do produto/processo/serviços, enquanto a alternativa é formulada em função de alterações / inovações recentes. •No ambiente atual de melhoria contínua, é fácil entender a importância dos testes de hipótese: eles permitem confirmar a eficácia das medidas de melhoria adotadas. •Ao testar a hipótese, toma-se uma amostra aleatória do sistema em estudo e se calcula o parâmetro desejado. Conforme o valor do parâmetro, a hipótese nula será aceita ou rejeitada, a partir de procedimentos estatísticos.
  • 4. PASSOS PARA REALIZAR UM TESTE DE HIPÓTESES Passo 1 : Definição da Hipótese O primeiro passo é o estabelecimento das hipóteses: hipótese nula e hipótese alternativa Hipótese Nula (Ho): É um valor suposto para um parâmetro.Se os resultados da amostra não forem muito diferentes de Ho, ela não poderá ser rejeitada. Hipótese Alternativa(H1) : É uma hipótese que contraria a hipótese nula, complementar de Ho, Essa hipótese somente será aceita se os resultados forem muito diferentes de Ho.
  • 5. PASSOS PARA REALIZAR UM TESTE DE HIPÓTESES Passo 2: Calcular a estatística do Teste É o valor calculado a partir da amostra, que será usado na tomada de decisão. Uma maneira de tomar-se uma decisão é comparar o valor tabelado com a estatística do teste. Para o caso de testes de médias, a estatística do teste é a variável padronizada Z: (X − µ ) Variabilidade Z = das médias (σ n) Estatística do teste
  • 6. PASSOS PARA REALIZAR UM TESTE DE HIPÓTESES Passo 3: Região Crítica • O valor da estatística do teste, no caso, o valor Z, é calculado supondo que a hipótese nula (Ho) é verdadeira. No entanto, o valor calculado pode estar associado a uma probabilidade de ocorrência muito baixa. Nesse caso, a hipótese nula deve ser rejeitada e aceitamos a hipótese alternativa. • A região crítica é a região onde Ho é rejeitada. A área da região crítica é igual ao nível de significância (α), que estabelece a probabilidade de rejeitar Ho quando ela é verdadeira. • Por exemplo, se utilizarmos o nível de significância de 5%, a probabilidade de rejeitar Ho quando ela é verdadeira é igual a 5%. Na prática, os valores usuais de alfa são α = 0,01 ou 0,05 ou 0,10.
  • 7. PASSOS PARA REALIZAR UM TESTE DE HIPÓTESES Unilateral à esquerda: Ho: µ = 50 H1:: µ > 50 Unilateral à direita: Ho: : µ = 50 H1: : µ <50 Bilateral: Ho: : µ = 50 H1:: µ ≠ 50
  • 8. PASSOS PARA REALIZAR UM TESTE DE HIPÓTESES Passo 4. Regra de Decisão: Se o valor da estatística do teste cair na região crítica, rejeita-se Ho. Ao rejeitar a hipótese nula (Ho) existe uma forte evidência de sua falsidade. Ao contrário, quando aceitamos, dizemos que não houve evidência amostral significativa no sentido de permitir a rejeição de Ho.
  • 9. PASSOS PARA REALIZAR UM TESTE DE HIPÓTESES Passo 5: Conclusão • Aceitar Ho, implica que a hipótese nula não pode ser rejeitada! • Rejeitar Ho implica que temos evidências estatísticas para rejeitá-la com um risco conhecido : α.
  • 10. Comparação de médias, variância conhecida Suponha que X é uma variável aleatória com média µ desconhecida e variância σ 2 conhecida. E queremos testar a hipótese de que a média é igual a um certo valor especificado µ0. O teste de hipótese pode ser formulado como segue: H : µ=µ o 0 H 1 : µ ≠ µ0 Para testar a hipótese, toma-se uma amostra aleatória de n observações e se calcula a estatística X − µo Zo = σ/ n Note que o teste é feito usando-se σ / n no denominador, uma vez que esse é o desvio padrão da média.
  • 11. A hipótese Ho é rejeitada se Z 0 > Zα / 2 onde Z α / 2 é um valor limite da distribuição normal reduzida tal que a probabilidade de se obter valores externos a ± Z α / 2 é α. A probabilidade do valor Zo acontecer segundo a hipótese nula é menor do que α , logo rejeita-se a hipótese nula Ho. X µo Zo ≤ Z a / 2 Se resultar próximo de , a hipótese Ho é aceita. X µo Zo > Z a / 2 Se resultar longe de , a hipótese Ho é rejeitada.
  • 12. RESUMO DAS HIPÓTESES H0: µ ≤ µo Ha: µ > µo H0: µ ≥ µo Ha: µ < µo H0: µ = µo Ha: µ ≠ µo
  • 13. ERROS TIPO I E DO TIPO II Tanto a hipótese nula, quanto a hipótese alternativa pode ser verdadeira, mas não ambas. O ideal seria rejeitar Ho falso, e não rejeitar Ho verdadeiro. Isso nem sempre é possível. Temos que levar em consideração a possibilidade de erros, pois os testes estão baseados em informações de amostras.
  • 14. ERROS TIPO I E DO TIPO II Dois tipos de erros são possíveis: Erro Tipo I – rejeitar H0 verdadeiro; Erro Tipo II – não rejeitar H0 falso.
  • 15. ERROS TIPO I E DO TIPO II As probabilidades de ocorrências destes dois tipos de erros são: α = probabilidade de se cometer o Erro Tipo I – chamado de nível de significância β = probabilidade de se cometer o Erro Tipo II
  • 16. ERROS TIPO I E DO TIPO II TABELA – RESUMO DAS DECISÕES POSSÍVEIS Ho verdadeiro Ho falso Aceitar Ho Conclusão Erro Tipo II correta Rejeitar Erro Tipo I Conclusão Ho correta
  • 17. TESTE DE HIPÓTESE PARA A MÉDIA - EXEMPLO A resistência à tração do aço inoxidável produzido numa usina permanecia estável, com uma resistência média de 72 kg/mm2 e um desvio padrão de 2,0 kg/mm2. Recentemente, a máquina foi ajustada. A fim de determinar o efeito do ajuste, 10 amostras foram testadas. 76,2 78,3 76,4 74,7 72,6 78,4 75,7 70,2 73,3 74,2 Presuma que o desvio padrão seja o mesmo que antes do ajuste. Podemos concluir que o ajuste mudou a resistência à tração de aço? (Adote um nível de significância de 5%)
  • 18. TESTE DE HIPÓTESE PARA A MÉDIA - EXEMPLO Passo 1 : Definição da Hipótese Ho: µ = 72 kg/mm2 H1: µ ≠ 72 kg/mm2 s = 2 kg/mm2 Passo 2: Calcular a estatística do Teste Sendo X = 75,0 e s = 2 kg/mm2, temos: X − µo 75 − 72 3 Z = = = = 4,74 σ n 2 10 0,6325 Isso significa que a média da amostra retirada aleatoriamente da produção está a 4,74 devios-padrão da média alegada em Ho que é 72.
  • 19. TESTE DE HIPÓTESE PARA A MÉDIA - EXEMPLO Passo 3: Região Crítica Passo 4: Regra de Decisão Como o valor crítico para 5% é 1,96 desvios (Z tabelado), estamos na região de rejeição de Ho. Passo 5: Conclusão Ho é rejeitada e concluímos que a resistência à tração do aço mudou.
  • 20. Exemplo: Um processo deveria produzir bancadas com 0,85 m de altura. O engenheiro desconfia que as bancadas que estão sendo produzidas são diferentes que o especificado. Uma amostra de 8 valores foi coletada e indicou X =0, 87 . Sabendo que o desvio padrão é σ = 0 ,010 , teste a hipótese do engenheiro usando um nível de significância α=0,05. Solução: H o : µ = 0,85 H1 : µ ≠ 0,85 0,87 − 0,85 Zo = = 5, 66 0, 010 / 8 Zo = 5, 66 > Z 0,025 = 1,96 ⇒ Rejeita-se H o
  • 21. α /2 α /2 µ =0,850 Zα / 2 = - 1 ,9 6 Zα / 2 = + 1 ,9 6 Z 0 > Zα / 2 Z 0 ≤ Zα / 2 Z 0 > Zα / 2 Rejeita Ho Aceita Ho Rejeita Ho
  • 22. TABELA: TESTE DE MÉDIAS, VARIÂNCIA CONHECIDA