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Programa de Pós-Graduação em Ciências da Saúde
Disciplina de Bioestatística
Professor: Paulo N Rocha
paulonrocha@ufba.br
Créditos: Bioestatística: Princípios e Aplicações. Sidia M. Callegari-Jacques.
Introdução
 Termo regressão à média: Francis Galton 1886
 estatura dos filhos em relação à dos pais
 Estudo da regressão aplica-se àquelas situações em
que há razões para supor uma relação de causa x
efeito entre duas variáveis quantitativas e se deseja
expressar matematicamente essa relação
 Y = variável dependente (resposta)
 X = variável independente (explicativa ou preditiva)
EQUAÇÃO DA LINHA RETA
Diferentes notações
 Livro de Sidia M. Callegari-Jacques
 Y = A + Bx (população)
 Ŷ = a + bx (amostra, estimativa)
 Outros autores
 Y = α + βx (população)
 Ŷ = β0 + βx (amostra, estimativa)
 μY|X = β0 + βx (amostra, estimativa)
Reta que ilustra a equação
y = 10 – 2x
X y
0 10
1 8
2 6
3 4
4 2
5 0
1
B = -2
Gráfico de dispersão
Quantidade
de poluente
(ug/ml)
Escore de dano
ecológico
1 3
2 6
3 7
4 10
5 10
6 12
A regressão linear simples é um procedimento que fornece equações de linhas
retas que descrevem fenômenos em que há uma variável independente apenas
Two-way Scatter Plot
Stata Output
Os pontos experimentais
 É comum haver variação na variável dependente quando
ela é medida para um certo valor da variável
independente
 Pontos obtidos por um experimentador dificilmente se
colocam exatamente em uma linha
 Os desalinhamentos são interpretados como desvios, ao
acaso, do comportamento geral do fenômeno
 É por isso que se pensa em ajustar uma linha reta a
pontos que não estão perfeitamente alinhados
 A reta vai representar o comportamento médio dos
valores de y à medida que x aumenta de valor
Modelo proposto
 Linha reta: Y = A + Bx
 Regressão: Y = A + Bx + ε, onde:
 ε representa a diferença (desvio) entre o valor
observado de y e o esperado pela reta
 A linha reta representa o comportamento
de valores de y médios esperados para
distintos valores de x
Representação gráfica
Note que a variação é a mesma nas 4 subpopulações
Como traçar a reta da
regressão?
 Como obter a melhor reta?
 Mão livre: sujeito a erros de julgamento...
 Método analítico
 Como fazer previsões para y a partir de
valores conhecidos de x?
 Processo gráfico: sujeito a erros
 Equação da regressão
Obtenção da reta de regressão
 Reta de regressão verdadeira: seria obtida
se fossem conhecidos os valores de x e y
para todos os indivíduos da população
 Altura verdadeira da reta: parâmetro A
 Inclinação verdadeira da reta: coeficiente de
regressão B
 O mais comum é estudar a regressão
entre x e y utilizando uma amostra da
população de pontos
 a e b são as estimativas dos parâmetros A e B
Método dos mínimos
quadrados
 Assim chamado porque garante que a reta
obtida é aquela para a qual se tem as
menores distâncias (ao quadrado) entre os
valores observados (y) e a própria reta
b =
SPxy
SQx
=
(x - x)(y- y)å
(x - x)2
ou b =
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n
å
x2
å -
( xå )2
n
a = y - bx, onde y e x são as médias para y e x, respectivamente.
ˆy = a+ bx, onde ˆy é o valor esperado de y para cada valor de x.
Determinação das quantidades necessárias
para obtenção dos coeficientes da reta de
regressão
X(μg/ml) Y(dano) XY X2 Y2 Ŷ
1 3 3 1 9 3,72
2 6 12 4 36 5,43
3 7 21 9 49 7,14
4 10 40 16 100 8,86
5 10 50 25 100 10,57
6 12 72 36 144 12,28
Σ 21 48 198 91 438 48,00
b =
xy -
x yåå
n
å
x2
å -
( xå )2
n
=
198-
(21´ 48)
6
91-
(21)2
6
=
30
17,5
=1,71
a = y - bx = (48 / 6)-1,71(21/ 6) = 8-1,71(3,5) = 2,02
ˆy = 2,02+1,71x
Two-way Scatter Plot
Teste de significância da
regressão
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da regressão
 Elaboração das hipóteses estatísticas
 H0 : B = 0
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teste
Determinação do valor calculado do teste, decisão e conclusão
unidades.1,71aumenteecológico
danooquese-esperapoluente,doconc.nag/L1deacréscimocadaPara
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zero.serdevenão(B)alpopulacionregressãodeecoeficiento:Conclusão
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 
  


Hrejeita-sett
t
EP
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ou
xxn
yy
EP
EP
b
EP
Bb
t
calc
calc
b
b
b
bb
calc
Stata Output
y = 8
Desvio explicado
(ŷi – y)
Desvio não-explicado
(yi – ŷi)
Desvio total
(yi – y)
Desvio total = (yi – y)
Desvio explicado = (ŷi – y)
Desvio não explicado = (yi – ŷi)
Créditos: Neto, AS
 (yi – y)2 =  (ŷi – y)2 +  (yi – ŷi)2
Soma total
dos
quadrados
SST = SSR + SSE
Se medirmos estes desvios para
cada yi e ŷi , elevarmos ao
quadrado cada desvio, e
somarmos os desvios
quadrados, teremos
Soma dos
quadrados
explicada
Soma dos
quadrados não
explicada
Créditos: Neto, AS
SSR
k MSR
F = =
SSE MSE
n – k – 1
Teste estatístico
Créditos: Neto, AS
Fonte de
variação
SS GL MS F
Regressão
linear
SSR k MSR=SSR/k MSR/MSE
Residual SSE n-k-1 MSE=SSE/n-k-1
Total SST n-1
Tabela de análise de
variância
Créditos: Neto, AS
COEFICIENTE DE
DETERMINAÇÃO
SSR
SST
 (ŷi – y) 2
 (yi – y) 2
r 2 = =
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Utilidades da reta de regressão
 Representar a dependência de uma
variável quantitativa em relação à outra por
meio de uma equação simples
 Prever valores para a variável dependente
y de acordo com valores determinados
(inclusive não-observados) da variável
independente x.
Pressupostos da regressão
linear
1. A variável y deve ter distribuição normal (ou
aproximadamente normal)
2. Homocedasticidade (a variação de y deve ser a
mesma para cada valor de x)
3. Os pontos no gráfico devem representar uma
tendência linear
4. Amostragem independente e aleatória
5. Variável x medida sem erro
Análise de resíduos
 Os resíduos representam a diferença entre aquilo que foi
observado e o que foi predito pelo modelo de regressão.
 Resíduo = E = (y - ˆy)
 Calculam-se os resíduos para cada valor de y
 Desenha-se um gráfico no qual os resíduos são
colocados no eixo vertical e os valores esperados de y
(ˆy), no horizontal.
 Os pontos devem se distribuir de forma equilibrada acima
e abaixo da linha imaginária paralela ao eixo x na altura
do resíduo zero, formando uma faixa aproximadamente
retangular
Residual versus Predicted (RVP)
Plot
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Faixas em forma de curva
Violação ao pressuposto #2
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Regressão Linear Simples

  • 1. Programa de Pós-Graduação em Ciências da Saúde Disciplina de Bioestatística Professor: Paulo N Rocha paulonrocha@ufba.br Créditos: Bioestatística: Princípios e Aplicações. Sidia M. Callegari-Jacques.
  • 2. Introdução  Termo regressão à média: Francis Galton 1886  estatura dos filhos em relação à dos pais  Estudo da regressão aplica-se àquelas situações em que há razões para supor uma relação de causa x efeito entre duas variáveis quantitativas e se deseja expressar matematicamente essa relação  Y = variável dependente (resposta)  X = variável independente (explicativa ou preditiva)
  • 4. Diferentes notações  Livro de Sidia M. Callegari-Jacques  Y = A + Bx (população)  Ŷ = a + bx (amostra, estimativa)  Outros autores  Y = α + βx (população)  Ŷ = β0 + βx (amostra, estimativa)  μY|X = β0 + βx (amostra, estimativa)
  • 5. Reta que ilustra a equação y = 10 – 2x X y 0 10 1 8 2 6 3 4 4 2 5 0 1 B = -2
  • 6. Gráfico de dispersão Quantidade de poluente (ug/ml) Escore de dano ecológico 1 3 2 6 3 7 4 10 5 10 6 12 A regressão linear simples é um procedimento que fornece equações de linhas retas que descrevem fenômenos em que há uma variável independente apenas
  • 9. Os pontos experimentais  É comum haver variação na variável dependente quando ela é medida para um certo valor da variável independente  Pontos obtidos por um experimentador dificilmente se colocam exatamente em uma linha  Os desalinhamentos são interpretados como desvios, ao acaso, do comportamento geral do fenômeno  É por isso que se pensa em ajustar uma linha reta a pontos que não estão perfeitamente alinhados  A reta vai representar o comportamento médio dos valores de y à medida que x aumenta de valor
  • 10. Modelo proposto  Linha reta: Y = A + Bx  Regressão: Y = A + Bx + ε, onde:  ε representa a diferença (desvio) entre o valor observado de y e o esperado pela reta  A linha reta representa o comportamento de valores de y médios esperados para distintos valores de x
  • 11. Representação gráfica Note que a variação é a mesma nas 4 subpopulações
  • 12. Como traçar a reta da regressão?  Como obter a melhor reta?  Mão livre: sujeito a erros de julgamento...  Método analítico  Como fazer previsões para y a partir de valores conhecidos de x?  Processo gráfico: sujeito a erros  Equação da regressão
  • 13. Obtenção da reta de regressão  Reta de regressão verdadeira: seria obtida se fossem conhecidos os valores de x e y para todos os indivíduos da população  Altura verdadeira da reta: parâmetro A  Inclinação verdadeira da reta: coeficiente de regressão B  O mais comum é estudar a regressão entre x e y utilizando uma amostra da população de pontos  a e b são as estimativas dos parâmetros A e B
  • 14. Método dos mínimos quadrados  Assim chamado porque garante que a reta obtida é aquela para a qual se tem as menores distâncias (ao quadrado) entre os valores observados (y) e a própria reta b = SPxy SQx = (x - x)(y- y)å (x - x)2 ou b = xy - x yåå n å x2 å - ( xå )2 n a = y - bx, onde y e x são as médias para y e x, respectivamente. ˆy = a+ bx, onde ˆy é o valor esperado de y para cada valor de x.
  • 15. Determinação das quantidades necessárias para obtenção dos coeficientes da reta de regressão X(μg/ml) Y(dano) XY X2 Y2 Ŷ 1 3 3 1 9 3,72 2 6 12 4 36 5,43 3 7 21 9 49 7,14 4 10 40 16 100 8,86 5 10 50 25 100 10,57 6 12 72 36 144 12,28 Σ 21 48 198 91 438 48,00 b = xy - x yåå n å x2 å - ( xå )2 n = 198- (21´ 48) 6 91- (21)2 6 = 30 17,5 =1,71 a = y - bx = (48 / 6)-1,71(21/ 6) = 8-1,71(3,5) = 2,02 ˆy = 2,02+1,71x
  • 17. Teste de significância da regressão
  • 18. Etapas do teste de hipóteses da regressão  Elaboração das hipóteses estatísticas  H0 : B = 0  HA : B ≠ 0  Nível de significância  α = 0,01  Determinação do valor crítico do teste  gl = n – 2  t0,01;4 = 4,604  Determinação do valor calculado do teste
  • 19. Determinação do valor calculado do teste, decisão e conclusão unidades.1,71aumenteecológico danooquese-esperapoluente,doconc.nag/L1deacréscimocadaPara 0,01).(xsobreyderegressãoexistequeadmitimosLogo, zero.serdevenão(B)alpopulacionregressãodeecoeficiento:Conclusão .0,604,4144,9Como padrão)-erros9aprox.deézeroebentredistância(a144,9 187,0 71,1 187,00351,0 70 46,2 6 )21( 91)26( )19871,1()4802,2(438 )( )2( abaixoaalternativfórmulaa, )()2( )ˆ( 4;01,0 2 2 2 2 2 2                                        Hrejeita-sett t EP n x xn xybyay EP ou xxn yy EP EP b EP Bb t calc calc b b b bb calc
  • 21. y = 8 Desvio explicado (ŷi – y) Desvio não-explicado (yi – ŷi) Desvio total (yi – y)
  • 22. Desvio total = (yi – y) Desvio explicado = (ŷi – y) Desvio não explicado = (yi – ŷi) Créditos: Neto, AS
  • 23.  (yi – y)2 =  (ŷi – y)2 +  (yi – ŷi)2 Soma total dos quadrados SST = SSR + SSE Se medirmos estes desvios para cada yi e ŷi , elevarmos ao quadrado cada desvio, e somarmos os desvios quadrados, teremos Soma dos quadrados explicada Soma dos quadrados não explicada Créditos: Neto, AS
  • 24. SSR k MSR F = = SSE MSE n – k – 1 Teste estatístico Créditos: Neto, AS
  • 25. Fonte de variação SS GL MS F Regressão linear SSR k MSR=SSR/k MSR/MSE Residual SSE n-k-1 MSE=SSE/n-k-1 Total SST n-1 Tabela de análise de variância Créditos: Neto, AS
  • 26. COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO SSR SST  (ŷi – y) 2  (yi – y) 2 r 2 = = Créditos: Neto, AS
  • 28. Utilidades da reta de regressão  Representar a dependência de uma variável quantitativa em relação à outra por meio de uma equação simples  Prever valores para a variável dependente y de acordo com valores determinados (inclusive não-observados) da variável independente x.
  • 29. Pressupostos da regressão linear 1. A variável y deve ter distribuição normal (ou aproximadamente normal) 2. Homocedasticidade (a variação de y deve ser a mesma para cada valor de x) 3. Os pontos no gráfico devem representar uma tendência linear 4. Amostragem independente e aleatória 5. Variável x medida sem erro
  • 30. Análise de resíduos  Os resíduos representam a diferença entre aquilo que foi observado e o que foi predito pelo modelo de regressão.  Resíduo = E = (y - ˆy)  Calculam-se os resíduos para cada valor de y  Desenha-se um gráfico no qual os resíduos são colocados no eixo vertical e os valores esperados de y (ˆy), no horizontal.  Os pontos devem se distribuir de forma equilibrada acima e abaixo da linha imaginária paralela ao eixo x na altura do resíduo zero, formando uma faixa aproximadamente retangular
  • 32. Gráficos de resíduos Faixas em forma de curva Violação ao pressuposto #2 Não existe homocedasticidade Faixas curvas Violação ao pressuposto #3 A reta não é o modelo adequado
  • 33. Fim