O documento explica o que é um determinante e como calculá-lo para matrizes quadradas de diferentes ordens. Um determinante é um número real associado a uma matriz quadrada que pode ser calculado de diferentes maneiras dependendo da ordem da matriz, como somando o produto dos elementos da diagonal principal pelo produto dos elementos da diagonal secundária para matrizes 2x2 ou usando a regra de Sarrus para matrizes 3x3. O documento também lista casos em que o determinante é igual a zero e algumas propriedades dos determinantes.

2. Determinantes
Determinante é um número real associado a uma matriz
quadrada.
Notação: det A ou |A|.
Determinante de uma Matriz Quadrada de 1ª Ordem.
Seja a matriz A = (a11). O determinante de A será o
próprio elemento a11.
A = ( 3 ) , logo | A | = 3

3. Determinante de uma Matriz Quadrada de 2ª Ordem.
Seja a matriz de 2ª ordem:
A =
a11 a12
a21 a22
O determinante associado à matriz A é o
número real obtido pela diferença entre
o produto dos elementos da diagonal
principal e o produto dos elementos da
diagonal secundária.
a11 a12
a21 a22
= a11 · a22 – a12 · a21
a11 · a22- (a12 ·a21)

4. Determinante de uma Matriz Quadrada de 2ª Ordem.
Ex: 1)






=
53
27
A
+-
7 2
3 5
= 7.5 - 2.3 = 29

5. Ex: 2)
218206.310.2
106
32
=−=−=

6. Determinante de uma Matriz Quadrada de 3ª Ordem.
Neste caso utilizamos um processo prático chamado
Regra de Sarrus.
Ex: 1)
413
125
312 −
13
25
12 −
16 – 3 + 15 –18 –2 + 20 = 28

7. Ex: 2)
10 0 1
6 2 0
2 1 1
−
−
10 0
6 2
0 1
−
20 + 0 + 6 + 4 + 0 + 0 = 30

9. Casos em que um determinante é igual a ZERO:
• Quando todos os elementos de uma fila são nulos
Ex: 1) 0
000
892
531
=−
2) 0
1605
802
501
=

10. • Quando possui duas filas paralelas iguais ou proporcionais
3)
0
918
0921
2318
0921
=
−
−
π
4) 0
884
201
693
=−−
31 LL =
31 C.C2 =
Casos em que um determinante é igual a ZERO:

11. • Quando uma das filas é a combinação linear de outras
filas paralelas.
5)
6)
0
9114
053
961
=
0
0957
8770
9713
0531
=
−−
321 LLL =+
321 CC.C2 =+
Casos em que um determinante é igual a ZERO:

12. Outras propriedades:
• det(A)=det(At
)
Ex: 1)
2)
61218
94
32
=−= 61218
93
42
=−=
,10Se =
tsr
zyx
cba
10então =
tzc
syb
rxa

13. 1)
2)
Ex:
• O determinante de uma matriz triangular é igual ao
produto dos elementos da diagonal principal
=
797
035
002
427.3.2 =
=
−
2000
5300
6850
0872
602.3.5.2 −=−
Outras propriedades:

14. 1)Ex:
• Quando trocamos a posição de duas filas paralelas, o
determinante troca de sinal
31518
93
52
=−= 31815
39
25
−=−=
2) ,5Se =
tsr
zyx
cba
5então −=
cba
zyx
tsr
Outras propriedades:

15. Ex: 1)
2)
6
94
32
= 306.5
94.5
32.5
==
,10Se =
tsr
zyx
cba
7010.7.7.7.7então ==
tsr
zyx
cba
• Se uma fila for multiplicada por um no
, então o
determinante também fica multiplicado por esse no
Outras propriedades:

16. • det(k.A)=kn.
det(A), onde n é a ordem de A
1)
2)
6
94
32
= 1506.5
9.53.5
4.52.5 2
==
=
=
det(2.A)
então5,det(A)com3x3éASe
=2.det(A)
Ex:
Outras propriedades:
3
405.8 =

17. • det(A.B)=detA.detB
Ex: .
32
14
Be
75
23
ASejam 





=





=
det(A.B)?valeQuanto
11011.10det(A.B) ==
Outras propriedades:
11detA = 10detB =

18. • det(A-1
)=1/detA
Ex:
:iaConsequênc IA.A-1
=
det(I))det(A.A-1
=⇒
1)(Adet(A).det -1
=⇒
/detA1)det(A-1
=⇒
:é
93
52
AdeinversadatedeterminanO 





=
1/3/detA1)det(A-1
==