Este documento apresenta conceitos sobre potências e suas propriedades. Discute definições de potências com expoentes naturais, inteiros e racionais, e apresenta exemplos ilustrativos. Também aborda cálculo de potências com expoentes negativos e racionais, além de exercícios sobre o tema.

1. PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSA DE INICIAÇÃO À DOCÊNCIA –
PIBID
SUBPROJETO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA DO CERES CURSO
DE MATEMÁTICA
APOSTILA 3 – EXPRESSÕES ARITMÉTICAS III
POTÊNCIAS
Conta a lenda que um rei solicitou aos seus
súditos que lhe inventassem um novo jogo, a fim
de diminuir o seu tédio. O melhor jogo teria
direito a realizar qualquer desejo.
Um dos seus súditos inventou, então, o jogo
de xadrez.
O astuto inventor pediu então que a 64 casas
as
do tabuleiro do jogo de xadrez fossem
preenchidas com moedas de ouro, seguindo a
seguinte condição: na primeira casa seria colocada uma moeda e em cada casa seguinte seria
colocado o dobro de moedas que havia na casa anterior.
Tal foi sua surpresa quando os tesoureiros do reino lhe apresentaram a suposta conta, pois
resa
apenas na última casa o total de moedas era de
de:
263 ≈ 9.223.372.036.854.775.808
36.854.775.808 O rei estava falido!
Um produto de factores iguais pode escrever se de forma abreviada.
escrever-se
Considere um número qualquer positivo a. Para todo número natural n maior que 1,
a potência an é o produto de n fatores iguais ao número a.
a n = a . a . a . ... . a n fato res
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2. 72 = 7.7 = 49
25 = 2.2.2.2.2 = 32
63 = 6.6.6 = 216
107 = 10.10.10.10.10.10.10 = 10000000 (dez milhões)
106 = 10.10.10.10.10.10 = 1000000 (um milhão)
Nota:
Observe que a potência
10n é igual a 1 seguido de n zeros.
Assim, por exemplo,
1010 = 10000000000 (dez bilhões).
Todo número real a, não
não-nulo, elevado a zero é igual a 1.
Ex:
45670 = 1
2430 = 1
(- 2001)0 = 1
Todo número real a, elevado a 1, é igual a ele mesmo.
Ex:
231 = 23
20011 = 2001
As potências de expoente 2 e 3 recebem nomes especiais:
a2 = a.a, é lido como a ao quadrado
quadrado.
3
a = a.a.a, é lido como a ao cubo.
A partir da definição de potências (com expoentes com números naturais, números
inteiros e números racionais), é possível observar algumas de suas características.
Essas características (ou atributos) das potências são decorrentes unicamente da
relação entre a definição de potência e as operações de multiplicação e divisão.
multiplicação
Considere a, b números quaisquer diferente de zero e m, n números racionais.
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3. Propriedade Exemplo
Produto de potências de mesma base 3 1 3 1
+
11
P1 5 ⋅5 = 5
5 2 5 2
=5 10
am . an = am + n
Quociente de potências de mesma base
P2 128 :12−2 =128−( −2) =1210
am : an = am - n
2
Potência de uma potência  1 3 1⋅2 1
P3
(am)n = am . n  3 2  = 32 3 = 33
 
 
Potência de produto
P4 (4 ⋅3) −2 = 4 −2 ⋅3−2
(a . b)n = an . bn
Potência de quociente
P5 (5: 4) 3 = 53 :43
(a : b)n = an : bn
Calcule o valor da expressão a seguir:
A = {[(23.24 : 43)]5}2
(32)3 . 34 = 35 . 34 = 39
Para o cálculo de potências cuja base é um número qualquer positivo e o expoente é
um número inteiro negativo, que iremos representar por -n, sendo n um número natural,
n,
temos:
Exemplos: 1 1
• 2 −1 = =
21 2
1 2
−3
3
3
a −n = n •   = 
3 2
a −2  1 
2
• ( 4) = 
 4
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4. Por que a-n = ?
Como já vimos anteriomente todo número não nulo elevado a zero é 1, com isso
não-nulo
vem:
=1 =1 . =1
Um número a é chamado raiz enésima aritmética exata de um número b, isto é,
radical
índice
n n n
b = a raiz Então b = a b = a
radicando
m
n
a .b = n
a. n
b (Com a e b maior que zero) ( a)
n 1
= n am
n
a a
n = b≠0
b n
b
m n
a = m. n a
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5. a m = n a1 = n a
mn
a b = a .b
n n n
= = =3
=
= . = 3 . 4 = 12
= =
. = = = 2² = 4
: = = = = =
= = = . = 6.
= =
É possível calcular 40,5?
Veja: 40,5 =
A potência com a maior que zero, sendo m um número inteiro e n um número
natural não-nulo vale a seguinte definição:
nulo
=
=
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6. Uma consequência imediata da definição de potências com expoe racional é:
expoente
= para qualquer valor de p natural não
não-nulo.
, por exemplo, pode ter outra expressão:
= = = =
e são chamados de radicais equivalentes.
• “Os impactos ambientais aumentaram muito a partir do séc. XVIII, como
consequencia da revolução industrial e do avanço das tecnologias de exploração e
transformação da natureza. Além disso, houve um crescimento exponencial da
população do planeta, composto de pobres em sua maioria”
Sene, Eustáquio de. Espaço geográfico mundial e global
globalizado, 8º série pág. 184. São Paulo:
,
Scipione, 2000.
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7. • Supondo que uma certa bactéria se duplica a cada minuto, e que ao meio
meio-dia um
vasilhame fique cheio de bactérias, e que momento o vasilhame estava ocupado
em
apenas até a metade?
EXERCÍCIOS
1. Efetue apresentando a resposta em forma decimal
ando decimal:
-3
a) 10
d) f)
b) 2-4
c) (-4)-2 g)
e)
h)
2. Efetue apresentando a resposta em forma de fração:
a) e)
b) f) 5-2 . (-25)-1 :
c)
d) .
3. Calcule o valor das expressões:
a) d) 7 .
b)
c)
4. Pense em um número inteiro, multiplique por 6, subtraia por 21, divida por 3,
subtraia o dobro do número pensado. O resultado é -7. Encontre uma explicação
7.
para isso.
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