O capítulo descreve conceitos fundamentais de determinantes, incluindo: 1) definições de determinantes de ordem 2 e 3; 2) técnicas para cálculo de determinantes como regra de Sarrus e eliminação de Gauss; 3) aplicações como cálculo da inversa de uma matriz.

1. ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica
Engenharia Electrot´ecnica
Escola Superior de Tecnologia e Gest˜ao de Viseu
´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica
Cap´ıtulo 4 - Determinantes
4.1 Definic¸ ˜oes
4.2 T´ecnicas para o C´alculo de Determinantes
4.3 Aplicac¸ ˜oes dos Determinantes

2. Cap´ıtulo 4 - Determinantes 4.1 Definic¸ ˜oes
Determinante de Ordem 2
O determinante de uma matriz quadrada A de ordem 2 ´e por definic¸ ˜ao
a aplicac¸ ˜ao:
det : M2×2(K) −→ K
A =
a11 a12
a21 a22
−→ det(A) =
a11 a12
a21 a22
= a11a22 − a21a12
Exemplo
det(A) =
1 3
2 5
= 1 × 5 − 2 × 3 = −1
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Cap´ıtulo 4 - Determinantes 4.1 Definic¸ ˜oes
Determinante de Ordem 3
O determinante de uma matriz quadrada A de ordem 3 ´e por definic¸ ˜ao a aplicac¸ ˜ao:
det : M3×3(K) −→ K
A =


a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

 −→ det(A)
em que
det(A) =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= a11
a22 a23
a32 a33
− a12
a21 a23
a31 a33
+ a13
a21 a22
a31 a32
= a11det(A11) − a12det(A12) + a13det(A13)
onde
A1j ´e a matriz de ordem 2 que se obt´em eliminando a linha 1 e a coluna j, j = 1, 2, 3
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3. Cap´ıtulo 4 - Determinantes 4.1 Definic¸ ˜oes
Exemplo
1 −2 3
0 1 2
1 4 1
= 1
1 2
4 1
− (−2)
0 2
1 1
+ 3
0 1
1 4
= 1(1 − 8) + 2(0 − 2) + 3(0 − 1)
= −7 − 4 − 3
= −14
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Cap´ıtulo 4 - Determinantes 4.1 Definic¸ ˜oes
Determinante de Ordem n
O determinante de uma matriz quadrada A de ordem n ´e por definic¸ ˜ao a aplicac¸ ˜ao:
det : Mn×n(K) −→ K
A −→ det(A) = a11det(A11) − a12det(A12) + · · · + (−1)n+1
a1ndet(A1n)
onde
Aij ´e a matriz obtida de A por eliminac¸ ˜ao da linha i e coluna j
Exemplo
0 1 0 1
1 0 1 0
0 1 1 0
1 2 3 4
= −1
1 1 0
0 1 0
1 3 4
− 1
1 0 1
0 1 1
1 2 3
= −1 × 1
1 0
3 4
− 1 × 1
1 1
2 3
− 1 × 1
0 1
1 2
= (4 − 0) − (3 − 2) − (0 − 1) = −4 − 1 + 1 = −4
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4. Cap´ıtulo 4 - Determinantes 4.1 Definic¸ ˜oes
Propriedades
Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n.
◮ O determinante de uma matriz triangular (inferior ou superior) ´e
igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
◮ det(A) = det(AT )
◮ Se A tiver uma linha ou coluna nula, ent˜ao det(A) = 0.
◮ Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, ent˜ao det(A) = 0.
◮ O determinante de A n˜ao se altera quando se adiciona a uma
linha (ou coluna) de A uma combinac¸ ˜ao linear das outras linhas
(ou colunas).
◮ det(AB) = det(A)det(B)
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Cap´ıtulo 4 - Determinantes 4.1 Definic¸ ˜oes
Propriedades
Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n.
◮ Se B ´e uma matriz obtida de A por meio de troca de duas linhas (ou
duas colunas) entre si, ent˜ao det(B) = −det(A) .
◮ Seja A = [ A1 · · · Aj + Bj · · · An ] uma representac¸ ˜ao de A
indicando as suas colunas. Ent˜ao:
det(A) = det([ A1 · · · Aj · · · An ]) + det([ A1 · · · Bj · · · An ])
A mesma propriedade aplica-se `as linhas.
◮ Seja A = [ A1 · · · αAj · · · An ] uma representac¸ ˜ao de A indicando
as suas colunas. Ent˜ao:
det(A) = αdet([ A1 · · · Aj · · · An ])
A mesma propriedade aplica-se `as linhas.
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5. Cap´ıtulo 4 - Determinantes 4.1 Definic¸ ˜oes
Propriedades
Seja A uma matriz quadrada de ordem n.
◮ As linhas (ou colunas) de uma matriz A s˜ao linearmente dependentes
se e s´o se det(A) = 0.
Logo,
A ´e invert´ıvel ⇔ A ´e n˜ao singular ⇔ det(A) = 0
◮ Se A ´e invert´ıvel ent˜ao
det(A−1
) =
1
det(A)
Nota
Em geral:
◮ det(A + B) = det(A) + det(B)
◮ det(αA) = αdet(A). De facto, det(αA) = αn
det(A).
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Cap´ıtulo 4 - Determinantes 4.2 T´ecnicas para o C´alculo de Determinantes
Regra de Sarrus (s´o para matrizes de ordem 3)
Os ‘termos positivos” de uma matriz A de ordem 3 obtˆem-se do
produto dos elementos da diagonal principal e dos produtos dos
v´ertices dos triˆangulos que tˆem um dos lados paralelo `a diagonal
principal:
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Assim, os “termos positivos” s˜ao:
a11a22a33, a12a23a31, a21a13a32
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6. Cap´ıtulo 4 - Determinantes 4.2 T´ecnicas para o C´alculo de Determinantes
Os “termos negativos” da matriz A obtˆem-se multiplicando os
elementos da diagonal secund´aria e multiplicando os v´ertices dos
triˆangulos que tˆem um dos lados paralelo `a diagonal secund´aria:
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Assim, os “termos negativos” s˜ao:
a13a22a31, a21a12a33, a11a23a32
Ent˜ao:
det(A) = a11a22a33 +a12a23a31 +a21a13a32 −a13a22a31 −a21a12a33 −a11a23a32
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Cap´ıtulo 4 - Determinantes 4.2 T´ecnicas para o C´alculo de Determinantes
Exemplo
2 1 2
−1 0 1
1 −1 1
= + 2 × 0 × 1
0
+ 1 × 1 × 1
1
+ (−1) × 2 × (−1)
2
− 2 × 0 × 1
0
− (−1) × 1 × 1
−1
− 2 × 1 × (−1)
−2
= +0 + 1 + 2 − 0 + 1 + 2
= +6
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7. Cap´ıtulo 4 - Determinantes 4.2 T´ecnicas para o C´alculo de Determinantes
Eliminac¸ ˜ao de Gauss
Consiste em transformar uma matriz quadrada de ordem n numa
matriz triangular aplicando algumas das propriedades enunciadas
anteriormente.
Exemplo
0 2 3
1
3
2
3 1
4 5 6
=
L1↔L2
−
1
3
2
3 1
0 2 3
4 5 6
=
L3−4L1
−
1
3
1 2 3
0 2 3
0 −3 −6
=
=
L3+ 3
2
L2
−
1
3
1 2 3
0 2 3
0 0 −
3
2
= −
1
3
× 1 × 2 × −
3
2
= 1
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Cap´ıtulo 4 - Determinantes 4.2 T´ecnicas para o C´alculo de Determinantes
F´ormula de Laplace
Por definic¸ ˜ao, o determinante de uma matriz quadrada A de ordem n ´e
calculado usando o desenvolvimento segundo a primeira linha.
Este, no entanto, pode ser calculado usando o desenvolvimento segundo
qualquer linha i ou qualquer coluna j do seguinte modo:
F´ormula de Laplace segundo a linha i:
det(A) = (−1)i+1
ai1det(Ai1) + (−1)i+2
ai2det(Ai2) + ... + (−1)i+n
aindet(Ain)
F´ormula de Laplace segundo a coluna j:
det(A) = (−1)1+j
a1j det(A1j ) + (−1)2+j
a2j det(A2j ) + ... + (−1)n+j
anj det(Anj )
onde Aij ´e a matriz de ordem n − 1 obtida de A por eliminac¸ ˜ao da linha i e da
coluna j.
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8. Cap´ıtulo 4 - Determinantes 4.2 T´ecnicas para o C´alculo de Determinantes
Chama-se a Aij o menor-ij da matriz A e chama-se a (−1)i+j
det(Aij ) o
cofactor-ij ou complemento alg´ebrico ij de A.
Os sinais (−1)i+j
podem ser obtidos da seguinte matriz de sinais:





+ − + · · ·
− + − · · ·
+ − + · · ·
...
...
...
...





Exerc´ıcio
Calcule
0 1 0 0
1 0 1 0
0 1 0 1
0 0 1 0
usando a f´ormula de Laplace, desenvolvendo
segundo a 3a
coluna.
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Cap´ıtulo 4 - Determinantes 4.3 Aplicac¸ ˜oes dos Determinantes
C´alculo da Inversa
Dada uma matriz A de ordem n, chama-se matriz adjunta de A, e
denota-se por adj(A), `a matriz de ordem n
adj(A) = (−1)i+j
det(Aij)
onde Aij ´e o menor-ij da matriz A, ou seja, os elementos de adj(A) s˜ao
os complementos alg´ebricos de A.
Se A for invert´ıvel, det(A) = 0 e a inversa de A ´e dada por:
A−1
=
(adj(A))T
det(A)
=
1
det(A)
(adj(A))T
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9. Cap´ıtulo 4 - Determinantes 4.3 Aplicac¸ ˜oes dos Determinantes
Exemplo
A =


1 −1 2
2 0 1
3 −1 2

 det(A) = −2
det(A11) =
0 1
−1 2
= 1 det(A12) =
2 1
3 2
= 1 det(A13) =
2 0
3 −1
= −2
det(A21) =
−1 2
−1 2
= 0 det(A22) =
1 2
3 2
= −4 det(A23) =
1 −1
3 −1
= 2
det(A31) =
−1 2
0 1
= −1 det(A32) =
1 2
2 1
= −3 det(A33) =
1 −1
2 0
= 2
adj(A) =


+det(A11) −det(A12) +det(A13)
−det(A21) +det(A22) −det(A23)
+det(A31) −det(A32) +det(A33)

 =


1 −1 −2
0 −4 −2
−1 3 2


A−1 = 1
−2


1 −1 −2
0 −4 −2
−1 3 2


T
= − 1
2


1 0 −1
−1 −4 3
−2 −2 2

 =


− 1
2
0 1
2
1
2
2 − 3
2
1 1 −1


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Cap´ıtulo 4 - Determinantes 4.3 Aplicac¸ ˜oes dos Determinantes
Regra de Cramer
Seja A uma matriz quadrada de ordem n n˜ao singular, isto ´e,
car(A) = n ⇔ det(A) = 0
Ent˜ao, a soluc¸ ˜ao do sistema Ax = b, com x = x1 x2 · · · xn
T
´e
dada por
xj =
det(Cj)
det(A)
onde Cj ´e a matriz que se obt´em de A substituindo a coluna j pela
matriz coluna b.
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10. Cap´ıtulo 4 - Determinantes 4.3 Aplicac¸ ˜oes dos Determinantes
Exemplo


x1 − x2 + x3 = 2
2x1 + x2 − x3 = 1
3x1 − x2 − x3 = −2
A matriz dos coeficientes do sistema ´e:
A =


1 −1 1
2 1 −1
3 −1 −1


det(A) = −6 = 0 ⇒ A ´e n˜ao singular.
A soluc¸ ˜ao do sistema ´e:
x1 =
2 −1 1
1 1 −1
−2 −1 −1
−6
=
−6
−6
= 1; x2 =
1 2 1
2 1 −1
3 −2 −1
−6
=
−12
−6
= 2; x3 =
1 −1 2
2 1 1
3 −1 −2
−6
=
−18
−6
= 3
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