Progressão aritmética, esta é uma dúvida com uma resolução bem interessante que foi publicada na lista PUC-RIO.

1. ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES
PUC-RIO - PROGRESSÃO ARITMÉTICA
ClAudio Buffara – Rio de Janeiro

2. Progressão aritmética, esta é uma dúvida com uma resolução bem
interessante que foi publicada na lista PUC-RIO.

3. DÚVIDA
Olá a todos, alguém poderia me dar uma ajuda nessas questão?, eu nem
sequer consegui desenvolvê-las direito e o livro não expõe respostas.
1) Prove que, se (a1, a2, a3, ..., an) é P.A., com n > 2, então {(a2)^2 - (a1)^2,
(a3)^2 - (a2)^2, (a4)^2 - (a3)^2, ..., (an)^2 - [a(n-1)]^2} também é.
2) Prove que, se uma P.A. apresenta am = x, an = y e ap = z, então verifica-se a
relação: (n-p)x + (p-m)y + (m-n)z = 0.
3) Prove os termos de uma P.A. qualquer em que 0 nã participa verificam a
relação:
1/a1.a2 + 1/a2.a3 + 1/a3.a4 + ... + 1/a(n-1).an = (n - 1)/a1.an

4. SOLUÇÃO
1) Prove que, se (a1, a2, a3, ..., an) é P.A., com n > 2, então {(a2)^2 - (a1)^2,
(a3)^2 - (a2)^2, (a4)^2 - (a3)^2, ..., (an)^2 - [a(n-1)]^2} também é.
Seja r = razão da PA.
a(k+1)^2 - a(k)^2 = (a(k+1) - a(k))*(a(k+1) + a(k)) = r*(a(k+1) + a(k)) (*)
Mas se a(1), a(2), a(3), .... eh uma PA de razão = r
então
a(1)+a(2), a(2)+a(3), a(3)+a(4) também é uma PA de razão = 2r
Logo, multiplicando esta última PA por r, continuamos com uma PA (de razão
2r^2), que por (*) acima é igual a sequencia que queremos provar ser uma PA.

5. 2) Prove que, se uma P.A. apresenta am = x, an = y e ap = z, então verifica-se a
relação:
(n-p)x + (p-m)y + (m-n)z = 0.
Seja S = (n-p)x + (p-m)y + (m-n)z
Seja r = razão da PA e ponhamos a(0) = a.
Então:
a(m) = a + m*r = x ==> (n-p)x = (n-p)a + (n-p)mr
a(n) = a + n*r = y ==> (p-m)y = (p-m)a + (p-m)nr
a(p) = a + p*r = z ==> (m-n)z = (m-n)a + (m-n)pr
Somando as três equações e já levando em conta que (n-p)a + (p-m)a + (m-n)a
= 0, teremos:
S = [(n-p)m + (p-m)n + (m-n)p]r = [nm - pm + pn - mn + mp - np]r = 0r = 0.

6. 3) Prove os termos de uma P.A. qualquer em que 0 não participa verificam a
relação:
1/a1.a2 + 1/a2.a3 + 1/a3.a4 + ... + 1/a(n-1).an = (n - 1)/a1.an
Seja r a razão da PA e seja a(0) = a.
Entao, ak = a + kr.
O k-ésimo termo da soma será igual a:
1/(ak.a(k+1)) = 1/((a+kr)(a+(k+1)r)) = (1/r)*(1/(a+kr) - 1/(a+(k+1)r))
(essa é uma técnica muito útil chamada expansão em frações parciais)

7. Assim:
1/(a1.a2) = (1/r)*(1/(a+r) - 1/(a+2r))
1/(a2.a3) = (1/r)*(1/(a+2r) - 1/(a+3r))
1/(a3.a4) = (1/r)*(1/(a+3r) - 1/(a+4r))
1/(a(n-1).an) = (1/r)*(1/(a+(n-1)r) - 1/(a+nr))
Mas então, a soma tornou-se telescópica, ou seja:
SOMA = (1/r)*(1/(a+r) - 1/(a+nr)) = (1/r)*(n-1)r/((a+r)(a+nr)) = (n-1)/(a1.an)
Confira a discussão completa em:
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200309/msg00016.html