O documento discute como aproximar o logaritmo natural de 2 (ln(2)) com precisão de 10^-3 usando expansões de McLaurin. Sua solução sugere usar as expansões de ln(1+x) e ln(1-x) para obter ln((1+x)/(1-x)) = 2*(x + x^3/3 + ...) e igualar a (1+x)/(1-x) = 2 para obter x = 1/3 e assim aproximar ln(2) = 0,693.

1. ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES
PUC-RIO - APROXIMAÇÃO DE LOG
ClAudio Buffara – Rio de Janeiro

2. Hoje veremos mais uma dúvida publicada na lista PUC-RIO. Confira:

3. DÚVIDA
Como resolvo esse problema? Calcule uma aproximação para ln(2) com
precisão de 10^(-3). Tentei usar as fórmulas de McLauren para ln(x + 1) e ln(1
- x) e não deu muito certo... Precisaria de um polinômio de grau gigantesco
(999) para aproximar com essa precisão.
Alguém sabe indicar uma função que torne isso possível?

4. SOLUÇÃO
Que tal usar as expansões de McLaurin de ambas?
Para 0 < x < 1:
ln((1+x)/(1-x)) =
ln(1+x) - ln(1-x) =
= (x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ...) + (x + x^2/2 + x^3/3 + x^4/4 + ...) =
= 2*(x + x^3/3 + x^5/5 + x^7/7 + ...)
Agora, (1+x)/(1-x) = 2 ==> x = 1/3 (pertence ao intervalo de convergência)
Assim, ln(2) = 2*(1/3 + 1/81 + 1/1215 + ...) = 0,693 (com 3 casas de precisão).

5. Confira a discussão completa em:
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200310/msg00597.html