Dando sequência a dúvidas interessantes publicadas na lista PUC-RIO, hoje demonstrarei uma resolução bem legal utilizando frações.

1. ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES
PUC-RIO - PROBLEMA FRAÇÕES
ClAudio Buffara – Rio de Janeiro

2. Dando sequência a dúvidas interessantes publicadas na lista PUC-RIO, hoje
demonstrarei uma resolução bem legal utilizando frações.

3. PROBLEMA
Dentre todas as frações da forma a/b com a, b inteiros; a maior que 0 e
menor que b ,e a+b menor que 40, aquela mais próxima de 5/48 é tal que a+b
vale: R: 32
A soma de todas as frações de numerador 1 e denominador 2, 3, 4, ..., n é tal
que:
a) Pode ser igual a 1992
b) Pode ser igual a qualquer inteiro
c) Nunca pode ser inteiro para qualquer n
d) É irracional
e) É sempre menor que 1
Sabendo que na equação SHE=(HE)^2, mesmas letras representam mesmos
dígitos e letras diferentes representam dígitos diferentes, o valor da soma
S+H+E é igual a: R:13

4. Se você estiver precisando estudar números primos, talvez seja uma boa ideia
imprimir uma dessas tabelas e afixar próxima à sua mesa de estudos. Vai
ajudar com certeza!
Agora, uma curiosidade: a descoberta de novos números primos não cessou!
Na realidade, ainda não se sabe sequer qual o maior número primo existente.
Este é um desafio que tem intrigado gerações de matemáticos. Que tal
estudar bastante para tentar ser o primeiro a desvendar esse mistério?

5. SOLUÇÃO
Dentre todas as frações da forma a/b com a, b inteiros; a
maior que 0 e menor que b ,e a+b menor que 40, aquela mais
próxima de 5/48 é tal que a+b vale: R: 32
O problema é minimizar | a/b - 5/48 | sujeito a
0 < a < b e a+b < 40 | a/b - 5/48 | = | 48a - 5b | / | 48b |
mdc(5,48) = 1 ==> o menor valor de | 48a - 5b | é igual a 1 e
ocorrerá para:
a = 2 + 5m e b = 19 + 48m ( 48a - 5b = 1 ) para algum m inteiro
ou então

6. a = 3 + 5n e b = 29 + 48n ( 48a - 5b = -1 ) para algum n inteiro
No primeiro caso, teremos:
m = 0 ==> a = 2 e b = 19 ==> | a/b - 5/48 | = | 2/19 - 5/48 | =
1/(19*48) = 1/912
(todos os outros valores de m produzem valores de a e b que
desobedecem às restrições)
No segundo caso, teremos:
n = 0 ==> a = 3 e b = 29 ==> | a/b - 5/48 | = | 3/29 - 5/48 | =
1/(29*48) = 1/1392
(idem)

7. Logo, o valor de a/b que melhor aproxima 5/48 e obedece às
restrições é 3/29 ==> 3 + 29 = 32.
A soma de todas as frações de numerador 1 e denominador 2,
3, 4, ..., n é tal que:
a) Pode ser igual a 1992
b) Pode ser igual a qualquer inteiro
c) Nunca pode ser inteiro para qualquer n
d) É irracional
e) É sempre menor que 1

8. Esse é um problema bem conhecido.
Ponha S = 1/2 + 1/3 + ... + 1/n.
Agora, sejam:
2^k = maior potência de 2 que é <= n
e
P = 1*3*5*.... = produto dos ímpares positivos <= n
Então: 2^(k-1)*P*S é uma soma de (n-1) termos dos quais
apenas um não é inteiro (justamente aquele que corresponde
ao termo 1/2^k na soma original S).
Logo, 2^(k-1)*P*S não é inteiro ==>
S não é inteiro ==>alternativa (c)

9. Sabendo que na equação SHE=(HE)^2, mesmas letras
representam mesmos dígitos e letras diferentes representam
dígitos diferentes, o valor da soma S+H+E é igual a:
100*S + (HE) = (HE)^2 ==> HE^2 - HE - 100*S = 0
Delta = 1 + 400*S = quadrado perfeito
Testando os 9 valores possíveis de S (1,2,...,9), teremos:

10. 1 + 400*S = 2401 = 49^2 ⇒ S = 6
Além disso, HE = (1 + raiz(Delta))/2 = (1 + 49)/2 = 25
Logo, SHE = 625 ==> S+H+E = 13.
R:13
Leia a discussão completa em:
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200303/msg00476.
html