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COLÉGIO DE APLICAÇÃO – UFRJ

3o Trimestre –1º EM - 2013

SETOR CURRICULAR DE MATEMÁTICA

http://cursos.cap.ufrj.br

Material produzido pelo Licenciando Luiz Antonio Claro Neto.
Progressão Aritmética - P.A.
Sequências:
É comum percebermos em nosso dia a dia conjuntos cujos elementos estão dispostos em certa ordem,
obedecendo a uma sequência.
Por exemplo, todos nós sabemos que o Brasil é penta campeão mundial de futebol e os anos, em ordem
cronológica, em que ele foi campeão mundial são: 1958, 1962, 1970, 1994 e 2002. Essas datas formam
um conjunto com os elementos dispostos numa determinada ordem.
O estudo de sequência dentro da matemática é o conjunto de números reais dispostos em certa ordem.
Assim chamado de Sequência Numérica.
Exemplos:
• (2, 4, 6, 8, 10, 12, ...) é a sequência de números pares positivos.
• (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11...) é a sequência de números naturais.
• (10, 15, 20, 25, 30) é a sequência de números múltiplos de 5, maiores que cinco e menores que
35.
• (1, 1, 2, 3, 5, 8, ...) é a sequência de Fibonacci.
• O conjunto ordenado (2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, 200) é uma sequência de números que começam
com a letra D.
Matematicamente, quando temos uma Sequência Numérica qualquer, representamos o seu 1º
termo por 𝑎1 , o 2º por 𝑎2 , assim sucessivamente, sendo o n-ésimo termo 𝑎 𝑛 .
Exemplo:
• (2, 4, 6, 8, 10) temos: 𝑎1 = 2; 𝑎2 = 4; 𝑎3 = 6; 𝑎4 = 8; 𝑎5 = 10.
A sequência acima é uma sequência finita, sua representação geral é (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 , 𝑎5 ).
Para as sequências que são infinitas a representação geral é (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 , ...).
Para determinarmos uma sequência numérica precisamos de uma Lei de Formação.
Exemplo:
A sequência definida pela Lei de Formação 𝑎 𝑛 = 3.n - 1, onde n = 1, 2, 3, 4, 5,... e 𝑎 𝑛 é o termo que
ocupa a n-ésima posição na sequência. Por esse motivo, 𝑎 𝑛 é chamado de Termo Geral da Sequência.
Utilizando a Lei de Formação 𝑎 𝑛 = 3.n - 1, atribuindo valores para n , encontramos alguns termos da
sequência:
•
•
•
•

n
n
n
n

=
=
=
=

1
2
3
4

→
→
→
→

𝑎1
𝑎2
𝑎3
𝑎4

=
=
=
=

3.n
3.n
3.n
3.n

-

1
1
1
1

=
=
=
=

3
3
3
3

.
.
.
.

1
2
3
4

-

1
1
1
1

→
→
→
→

𝑎1
𝑎2
𝑎3
𝑎4

=2
=5
=8
= 11

Progressão Aritmética:
São comuns, na vida real, grandezas que sofrem variações iguais em intervalos de tempo iguais.
Tome o exemplo:
Uma fábrica de automóveis produziu em Janeiro 400 carros e aumenta sua produção mensalmente em 30
carros. Quantos carros foram fabricados em Junho?

Definição:
Portanto, uma Progressão Aritmética é uma sequência na qual a diferença entre cada termo e o
termo anterior é constante. Essa diferença constante é chamada razão da progressão e é
representada pela letra r.
Exemplo:
As sequências (5, 8, 11, ...) e (7, 5, 3, 1, -1, ...) são P.A.’ s, quais são suas razões?
Em uma P.A., para avançar 1 termo basta somar a razão uma vez, para avançar 2 termos, basta
somar 2 vezes a razão, e assim por diante.
Tome os exemplos:

𝑎13 = 𝑎5 + 8.r

𝑎12 = 𝑎7 + 5.r

𝑎4 = 𝑎1 + 3.r
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De modo geral:

𝒂 𝒏 = 𝒂 𝒑 + (n – p).r , n ∊ (1, 2, 3, ...)
𝑜𝑢
𝒂 𝒏 = 𝒂 𝟏 + (𝒏 − 𝟏).r , n ∊ (1, 2, 3, ...)
(Chamada Fórmula do Termo Geral)

Exemplo:
Em uma P.A., o quinto termo vale 30 e o vigésimo vale 50. Quanto vale o oitavo termo dessa progressão?

Algumas Propriedades das P.A.’ s:

Três termos consecutivos:
Numa P.A., qualquer termo, a partir do segundo, é a média aritmética do seu antecessor e
do seu sucessor.
Demonstração:
Exemplo:
Consideremos a P.A. (𝑎1 , 𝑎2 , 20, 𝑎4 , 28), qual o termo 𝑎4 ?

Termo Médio:
Numa P.A. finita com quantidade ímpar de termos, o termo do meio (médio) é a média
aritmética do primeiro termo e do último.
Exemplo:
Consideremos a P.A. (3, 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 , 𝑎5 , 𝑎6 , 21), qual o valor do termo médio?

Classificação das P.A.’ s:

P.A. crescente: r > 0, então os elementos estarão em ordem crescente.

P.A. constante: r = 0, então os elementos serão todos iguais.

P.A. decrescente: r < 0, então os elementos estarão em ordem decrescente.
Dica 1: Para resolver alguns problemas representando uma P.A. com número ímpar de termos,
começar pelo termo central.
Exemplo:
Os lados de um triângulo retângulo formam uma P.A. crescente. Mostre que a razão dessa progressão é
igual ao raio do círculo inscrito R.
𝑆
Dica: O raio do círculo inscrito de um triângulo retângulo é dado por R =
, onde S é a área e p, o
semiperímetro, ou seja, metade do perímetro.

x-r

𝑝

x+r

x

Dica 2: Para resolver alguns problemas representando uma P.A. com número par de termos,
chamar os dois termos centrais de (x – y) e (x + y). Isso faz que a razão r seja:
r = (x + y) – (x – y) ⇒ r = 2.y .
Exemplo:
Determine 4 números em P.A. crescente, conhecendo sua soma 8 e a soma de seus quadrados 36.
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Como em uma progressão aritmética 𝑎 𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1).r , a função que associa a cada número
natural n o valor de 𝑎 𝑛 , é a restrição aos números naturais da Função Afim:
𝑓(𝑛) = 𝑓(1) + (𝑛 − 1).r .
Portanto, pensando em uma P.A. como uma função que associa a cada número natural n o valor
𝑎 𝑛 , o gráfico dessa função é formado por uma sequência de pontos colineares no plano.
Exemplo:
Temos a seguinte P.A. (10, 12, 14, 16, ...), de r = 2.
Agora vamos substituir na Fórmula do Termo Geral para descobrirmos o valor de 𝑎 𝑛 .
𝑎 𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1).r ⇒

Agora, observe o gráfico da Função Afim:

Exercícios:
1. Qual é o valor de x, de modo que os números 3.x – 1, x + 3 e x + 9 estejam, nessa ordem, em
P.A.?
2. Qual é o centésimo número natural par não negativo?
3. Quantos números ímpares há entre 18 e 272?
4. Um estacionamento cobra R$ 6,00 pela primeira hora. A partir da segunda hora, os preços caem
em progressão aritmética. O valor da segunda hora é R$ 4,00 e o da sétima é R$ 0,50. Quanto
gastará o proprietário de um automóvel estacionado 5 horas nesse local?
5. Ache o 5º termo da P.A. (a+b; 3a-2b; ...).
6. Ache o sexagésimo número natural ímpar.
7. Numa P.A. de razão 5, o primeiro termo é 4. Qual é a posição do termo igual a 44?
8. Ache 𝑎1 numa P.A., sabendo que r = 1/4 e 𝑎17 = 21.
9. Quantos termos tem uma P.A. finita, de razão 3, sabendo-se que o primeiro termo é -5 e o último
é 16?
10. Calcule o número de termos da P.A. (5, 10, ..., 785).
11. Qual é o primeiro termo de uma P.A. cujo sétimo termo é 46, sendo o termo precedente 39?
12. Quantos múltiplos de 7 podemos escrever com 3 algarismos?
13. Quantos são os números naturais menores que 98 e divisíveis por 5?
14. Quantos números inteiros existem, de 100 a 500, que não são divisíveis por 8?
15. Interpole 11 meios aritméticos entre 1 e 37.
16. Quantos termos aritméticos devemos interpolar entre 2 e 66 para que a razão da interpolação seja
8?
17. Determine a média aritmética dos seis meios aritméticos que podem ser interpolados entre 10 e
500.
18. Numa estrada existem dois telefones instalados no acostamento: um no km 3 e outro no km 88.
Entre eles serão colocados mais 16 telefones, mantendo-se entre dois telefones consecutivos
sempre a mesma distância. Determine em quais marcos quilométricos deverão ficar esses novos
telefones.
19. (ITA-SP) Quantos números inteiros existem, de 1000 a 10000, que não são divisíveis nem por 5
nem por 7?

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  • 1. COLÉGIO DE APLICAÇÃO – UFRJ 3o Trimestre –1º EM - 2013 SETOR CURRICULAR DE MATEMÁTICA http://cursos.cap.ufrj.br Material produzido pelo Licenciando Luiz Antonio Claro Neto. Progressão Aritmética - P.A. Sequências: É comum percebermos em nosso dia a dia conjuntos cujos elementos estão dispostos em certa ordem, obedecendo a uma sequência. Por exemplo, todos nós sabemos que o Brasil é penta campeão mundial de futebol e os anos, em ordem cronológica, em que ele foi campeão mundial são: 1958, 1962, 1970, 1994 e 2002. Essas datas formam um conjunto com os elementos dispostos numa determinada ordem. O estudo de sequência dentro da matemática é o conjunto de números reais dispostos em certa ordem. Assim chamado de Sequência Numérica. Exemplos: • (2, 4, 6, 8, 10, 12, ...) é a sequência de números pares positivos. • (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11...) é a sequência de números naturais. • (10, 15, 20, 25, 30) é a sequência de números múltiplos de 5, maiores que cinco e menores que 35. • (1, 1, 2, 3, 5, 8, ...) é a sequência de Fibonacci. • O conjunto ordenado (2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, 200) é uma sequência de números que começam com a letra D. Matematicamente, quando temos uma Sequência Numérica qualquer, representamos o seu 1º termo por 𝑎1 , o 2º por 𝑎2 , assim sucessivamente, sendo o n-ésimo termo 𝑎 𝑛 . Exemplo: • (2, 4, 6, 8, 10) temos: 𝑎1 = 2; 𝑎2 = 4; 𝑎3 = 6; 𝑎4 = 8; 𝑎5 = 10. A sequência acima é uma sequência finita, sua representação geral é (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 , 𝑎5 ). Para as sequências que são infinitas a representação geral é (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 , ...). Para determinarmos uma sequência numérica precisamos de uma Lei de Formação. Exemplo: A sequência definida pela Lei de Formação 𝑎 𝑛 = 3.n - 1, onde n = 1, 2, 3, 4, 5,... e 𝑎 𝑛 é o termo que ocupa a n-ésima posição na sequência. Por esse motivo, 𝑎 𝑛 é chamado de Termo Geral da Sequência. Utilizando a Lei de Formação 𝑎 𝑛 = 3.n - 1, atribuindo valores para n , encontramos alguns termos da sequência: • • • • n n n n = = = = 1 2 3 4 → → → → 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 = = = = 3.n 3.n 3.n 3.n - 1 1 1 1 = = = = 3 3 3 3 . . . . 1 2 3 4 - 1 1 1 1 → → → → 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 =2 =5 =8 = 11 Progressão Aritmética: São comuns, na vida real, grandezas que sofrem variações iguais em intervalos de tempo iguais. Tome o exemplo: Uma fábrica de automóveis produziu em Janeiro 400 carros e aumenta sua produção mensalmente em 30 carros. Quantos carros foram fabricados em Junho? Definição: Portanto, uma Progressão Aritmética é uma sequência na qual a diferença entre cada termo e o termo anterior é constante. Essa diferença constante é chamada razão da progressão e é representada pela letra r. Exemplo: As sequências (5, 8, 11, ...) e (7, 5, 3, 1, -1, ...) são P.A.’ s, quais são suas razões? Em uma P.A., para avançar 1 termo basta somar a razão uma vez, para avançar 2 termos, basta somar 2 vezes a razão, e assim por diante. Tome os exemplos:  𝑎13 = 𝑎5 + 8.r  𝑎12 = 𝑎7 + 5.r  𝑎4 = 𝑎1 + 3.r
  • 2. COLÉGIO DE APLICAÇÃO – UFRJ 3o Trimestre –1º EM - 2013 SETOR CURRICULAR DE MATEMÁTICA http://cursos.cap.ufrj.br De modo geral: 𝒂 𝒏 = 𝒂 𝒑 + (n – p).r , n ∊ (1, 2, 3, ...) 𝑜𝑢 𝒂 𝒏 = 𝒂 𝟏 + (𝒏 − 𝟏).r , n ∊ (1, 2, 3, ...) (Chamada Fórmula do Termo Geral) Exemplo: Em uma P.A., o quinto termo vale 30 e o vigésimo vale 50. Quanto vale o oitavo termo dessa progressão? Algumas Propriedades das P.A.’ s:  Três termos consecutivos: Numa P.A., qualquer termo, a partir do segundo, é a média aritmética do seu antecessor e do seu sucessor. Demonstração: Exemplo: Consideremos a P.A. (𝑎1 , 𝑎2 , 20, 𝑎4 , 28), qual o termo 𝑎4 ?  Termo Médio: Numa P.A. finita com quantidade ímpar de termos, o termo do meio (médio) é a média aritmética do primeiro termo e do último. Exemplo: Consideremos a P.A. (3, 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 , 𝑎5 , 𝑎6 , 21), qual o valor do termo médio? Classificação das P.A.’ s:  P.A. crescente: r > 0, então os elementos estarão em ordem crescente.  P.A. constante: r = 0, então os elementos serão todos iguais.  P.A. decrescente: r < 0, então os elementos estarão em ordem decrescente. Dica 1: Para resolver alguns problemas representando uma P.A. com número ímpar de termos, começar pelo termo central. Exemplo: Os lados de um triângulo retângulo formam uma P.A. crescente. Mostre que a razão dessa progressão é igual ao raio do círculo inscrito R. 𝑆 Dica: O raio do círculo inscrito de um triângulo retângulo é dado por R = , onde S é a área e p, o semiperímetro, ou seja, metade do perímetro. x-r 𝑝 x+r x Dica 2: Para resolver alguns problemas representando uma P.A. com número par de termos, chamar os dois termos centrais de (x – y) e (x + y). Isso faz que a razão r seja: r = (x + y) – (x – y) ⇒ r = 2.y . Exemplo: Determine 4 números em P.A. crescente, conhecendo sua soma 8 e a soma de seus quadrados 36.
  • 3. COLÉGIO DE APLICAÇÃO – UFRJ 3o Trimestre –1º EM - 2013 SETOR CURRICULAR DE MATEMÁTICA http://cursos.cap.ufrj.br Como em uma progressão aritmética 𝑎 𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1).r , a função que associa a cada número natural n o valor de 𝑎 𝑛 , é a restrição aos números naturais da Função Afim: 𝑓(𝑛) = 𝑓(1) + (𝑛 − 1).r . Portanto, pensando em uma P.A. como uma função que associa a cada número natural n o valor 𝑎 𝑛 , o gráfico dessa função é formado por uma sequência de pontos colineares no plano. Exemplo: Temos a seguinte P.A. (10, 12, 14, 16, ...), de r = 2. Agora vamos substituir na Fórmula do Termo Geral para descobrirmos o valor de 𝑎 𝑛 . 𝑎 𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1).r ⇒ Agora, observe o gráfico da Função Afim: Exercícios: 1. Qual é o valor de x, de modo que os números 3.x – 1, x + 3 e x + 9 estejam, nessa ordem, em P.A.? 2. Qual é o centésimo número natural par não negativo? 3. Quantos números ímpares há entre 18 e 272? 4. Um estacionamento cobra R$ 6,00 pela primeira hora. A partir da segunda hora, os preços caem em progressão aritmética. O valor da segunda hora é R$ 4,00 e o da sétima é R$ 0,50. Quanto gastará o proprietário de um automóvel estacionado 5 horas nesse local? 5. Ache o 5º termo da P.A. (a+b; 3a-2b; ...). 6. Ache o sexagésimo número natural ímpar. 7. Numa P.A. de razão 5, o primeiro termo é 4. Qual é a posição do termo igual a 44? 8. Ache 𝑎1 numa P.A., sabendo que r = 1/4 e 𝑎17 = 21. 9. Quantos termos tem uma P.A. finita, de razão 3, sabendo-se que o primeiro termo é -5 e o último é 16? 10. Calcule o número de termos da P.A. (5, 10, ..., 785). 11. Qual é o primeiro termo de uma P.A. cujo sétimo termo é 46, sendo o termo precedente 39? 12. Quantos múltiplos de 7 podemos escrever com 3 algarismos? 13. Quantos são os números naturais menores que 98 e divisíveis por 5? 14. Quantos números inteiros existem, de 100 a 500, que não são divisíveis por 8? 15. Interpole 11 meios aritméticos entre 1 e 37. 16. Quantos termos aritméticos devemos interpolar entre 2 e 66 para que a razão da interpolação seja 8? 17. Determine a média aritmética dos seis meios aritméticos que podem ser interpolados entre 10 e 500. 18. Numa estrada existem dois telefones instalados no acostamento: um no km 3 e outro no km 88. Entre eles serão colocados mais 16 telefones, mantendo-se entre dois telefones consecutivos sempre a mesma distância. Determine em quais marcos quilométricos deverão ficar esses novos telefones. 19. (ITA-SP) Quantos números inteiros existem, de 1000 a 10000, que não são divisíveis nem por 5 nem por 7?