Na publicação de hoje falaremos sobre esferas e tetraedros, essa dúvida foi publicada na lista PUC-RIO.

1. ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES
PUC- RIO - ESFERAS E TETRAEDROS
ClAudio Buffara – Rio de Janeiro

2. Na publicação de hoje falaremos sobre esferas e tetraedros, essa dúvida foi
publicada na lista PUC-RIO.

3. DÚVIDA
Gostaria de ajuda para a resolução de esferas inscritas e circunscritas a um
tetraedro regular de lado conhecido (calcular o raio)

4. SOLUÇÃO
Tem também a esfera tangente as arestas...
Sugestão
De coordenadas para cada um dos vértices (pondo 3 no plano x,y de
preferência)
Exemplo
A = (0,0,0), B = (a,0,0), C = (a/2,a*raiz(3)/2,0).

5. O vértice D será um dos dois pontos equidistantes desses 3 (um tem
coordenada z positiva e o outro negativa). Facilita se você perceber que a
projeção dele sobre o plano x,y é justamente o centro H = (A+B+C)/3 do
triângulo equilátero ABC, ou seja, D = (a/2,a*raiz(3)/6,z) para algum z.
Agora é só usar o fato de que |AD| = a.
O centro das esferas é o ponto O = (A+B+C+D)/4 (por que?)

6. Agora fica fácil:
R(inscrita) = |OH|
R(circunscrita) = |OA|
R(tangente as arestas) = |OM|, onde M = ponto médio de AB = (A+B)/2.
Confira a discussão completa em:
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200310/msg00013.html