Uma pessoa perguntou se os auto-espaços associados a autovalores distintos de uma transformação linear sempre são ortogonais. O resposta explicou que isso não é verdade, a menos que a transformação seja autoadjunta, caso em que os auto-espaços são ortogonais um ao outro. Um exemplo mostrou auto-espaços não ortogonais para uma transformação cuja multiplicidade algébrica dos autovalores era 1.

1. ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES
PUC-RIO - AUTO-ESPAÇOS
ClAudio Buffara – Rio de Janeiro

2. Na publicação de hoje uma dúvida de nível universitário compartilhada na
lista PUC-RIO.

3. DÚVIDA
É um fato conhecido sobre transformações lineares que os auto-espaços
pertencentes a autovalores distintos da transformação são independentes(ou
seja, a intersecção de dois quaisquer é o subespaço nulo). Em quais casos
estes auto-espaços são ortogonais? Existe alguma condição necessária e
suficiente para isso?
Eu acho que se a multiplicidade algébrica dos autovalores for sempre 1 dá
para garantir, mas pode haver outros casos…

4. SOLUÇÃO
Considere T:R^2 -> R^2 dada por: T(x,y) = (x+y,2y).
O polinômio característico de T é x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) os autovalores 1
e 2 têm ambos multiplicidade algébrica 1 e os autoespaços associados são,
respectivamente, aqueles gerados por (1,0) e por (1,1), os quais nao sao
ortogonais (pelo menos em relação ao produto interno usual de R^2).
Por outro lado, se T for autoadjunto, então acho que autoespaços associados a
autovalores distintos são ortogonais, pois se Tv1 = k1v1 e Tv2 = k2v2, onde k1
e k2 são autovalores distintos, então:

5. (k1 - k2)*<v1,v2> = <k1v1,v2> - <v1,k2v2> = <tv1,v2> - <v1,tv2> = 0
Pois T é autoadjunto (um operador auto-adjunto tem autovalores reais).
Infelizmente, não tenho certeza de se a condição de T ser auto-adjunto
também é necessária.
Confira a discussão completa em:
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200310/msg00734.html