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A Unicamp     COMISSÃO PERMANENTE
              PARA OS VESTIBULARES



comenta
suas provas
Matemática


                         As questões da segunda fase da prova de matemática procuram avaliar os conteúdos usualmente
                      presentes no Ensino Fundamental e no Ensino Médio. As primeiras questões envolvem apenas as
                      noções básicas de matemática além da capacidade de leitura e raciocínio; as questões intermediárias
                      enfocam, normalmente, os conteúdos de quinta a oitava séries e as últimas dizem respeito ao Ensino
                      Médio. Em quase todas as questões, mesmo nas mais complexas, um dos itens é uma pergunta simples
                      cujo objetivo é levar o candidato até o final da prova. Além disso, a maioria das questões envolve, cada
                      uma delas, diversos tópicos do conteúdo programático.



QUESTÃO 1
                    Um determinado ano da última década do século XX é representado, na base 10, pelo número abba e um
                    outro, da primeira década do século XXI, é representado, também na base 10, pelo número cddc.
                    a) Escreva esses dois números.
                    b) A que século pertencerá o ano representado pela soma abba+cddc ?

         Resposta   a) abba = 1991 e cddc = 2002
         esperada      Resposta: Os números pedidos são 1991 e 2002.                                             (2 pontos)

                    b) 1991 + 2002 = 3993 (século 40)
                       Resposta: A soma é igual a 3993, que representa um ano do século XL .                     (3 pontos)

                       Questão simples, cujo objetivo é saber representar um número e reconhecer o século ao qual um dado
      Comentários
                    ano pertenceu. Muitos candidatos não sabem escrever um número em algarismos romanos – esta forma
                    ainda é usada em situações específicas. Entretanto, quando o candidato respondeu corretamente, escre-
                    vendo apenas século 40, isto foi considerado satisfatório. A nota média, considerados os candidatos pre-
                    sentes [13.910], foi de 3,94 na escala [0 – 5].


QUESTÃO 2
                    A soma de dois números positivos é igual ao triplo da diferença entre esses mesmos dois números. Essa
                    diferença, por sua vez, é igual ao dobro do quociente do maior pelo menor.
                    a) Encontre esses dois números.
                                                      2
                    b) Escreva uma equação do tipo x + bx + c = 0 cujas raízes são aqueles dois números.
         Resposta
                    a) Sejam x e y os dois números, e suponhamos que x > y. A partir do enunciado, podemos escrever o
         esperada
                       seguinte sistema linear de duas equações e duas incógnitas:


                       x + y = 3(x – y)
                       
                                    x
                        x – y = 2 -----
                                     y
                                       -
                       

                       Da primeira equação obtemos x = 2y e, fazendo-se a substituição na segunda equação, tem-se:
                                  2y
                       2y – y = 2 ----- = 4, ou seja, y = 4 e, portanto, x = 8.
                                      -
                                    y

                       Resposta: Os números pedidos são 8 e 4.                                                   (3 pontos)

                    b) Das relações entre raízes e coeficientes de uma equação do segundo grau com a=1, podemos escrever:
                       x + y = 8 + 4 = 12 = –b e xy = 8 ⋅ 4 = 32 = c.

                                                                 2
                       Resposta: A equação do segundo grau é x – 12x + 32 = 0                                    (2 pontos)

                        Um dos objetivos dessa questão foi a transcrição em linguagem matemática. O candidato deveria dei-
      Comentários
                    xar claro qual dos números, x ou y, seria tomado como o maior deles, para equacionar corretamente. Um
                    erro freqüente foi apresentar a resposta como um polinômio e não como equação. A questão foi resolvida
                    corretamente pela maioria dos candidatos e a média nessa questão foi de 3,04 na escala [0 – 5].
128
Matemática


QUESTÃO 3
                  a) Quantos são os triângulos não congruentes cujas medidas dos lados são números inteiros e cujos perí-
                     metros medem 11 metros ?
                  b) Quantos dos triângulos considerados no item anterior são eqüiláteros ? E quantos são isósceles ?

       Resposta   a) Sejam a, b e c as medidas, em metros, de 3 segmentos. Para que esses 3 segmentos formem um triân-
       esperada
                     gulo de perímetro 11, devemos ter:

                     a + b + c =11; a < b + c; b < a + c e c < a + b.

                     Então: 11 = a + b + c < b + c + b + c = 2 (b + c).

                     Como a, b e c são números naturais e b + c > 5,5, segue-se que b + c ≥ 6. Somando a aos dois mem-
                     bros dessa última desigualdade, temos:

                     11 ≥ 6 + a o que implica a ≤ 5.

                     O mesmo vale para b e c, ou seja, todos os 3 números são menores ou iguais a 5. Podemos então
                     construir a seguinte tabela:


                                                        a           b          c

                                                        5          5           1

                                                        5          4           2

                                                        5          3           3

                                                        4          4           3


                     Observando que permutações dos mesmos números produzem triângulos congruentes, podemos con-
                     cluir que existem apenas os 4 triângulos não congruentes apresentados na tabela acima.

                     Resposta: Existem apenas 4 triângulos não congruentes cujos lados são números inteiros (positivos) e
                     cujos perímetros medem 11 metros. São eles: (5, 5, 1), (5, 4, 2), (5, 3, 3) e (4, 4, 3). (3 pontos)

                  b) Para que um triângulo de lados a, b e c seja equilátero é necessário que a = b = c e, portanto, 3a =
                     3b = 3c = 11.

                     Como 11 não é divisível por 3, segue-se que a, b e c não podem ser inteiros, ou seja, não existe triân-
                     gulo equilátero com lados inteiros e perímetro igual a 11. Esta mesma conclusão pode ser obtida a par-
                     tir da resposta (a), observando-se que nenhum dos 4 triângulos possíveis é equilátero. Os triângulos
                     isósceles são: (5, 5, 1), (4, 4, 3) e (3, 3, 5), totalizando 3 triângulos.

                     Resposta: Nenhum triângulo é equilátero e três triângulos são isósceles.                   (2 pontos)

                     Esta questão avalia vários conceitos básicos de geometria e aritmética, especialmente as condições
    Comentários
                  para a existência de triângulos e a noção fundamental de congruência de triângulos. A média foi muito
                  menor que a da questão anterior, ficando em 1,47 na escala [0 – 5].


QUESTÃO 4
                  Em um certo jogo são usadas fichas de cores e valores diferentes. Duas fichas brancas equivalem a três
                  fichas amarelas, uma ficha amarela equivale a cinco fichas vermelhas, três fichas vermelhas equivalem a
                  oito fichas pretas e uma ficha preta vale quinze pontos.
                  a) Quantos pontos vale cada ficha ?
                  b) Encontre todas as maneiras possíveis para totalizar 560 pontos, usando, em cada soma, no máximo
                      cinco fichas de cada cor.

                                                                                                                         129
Matemática

         Resposta   a) Seja a o número de pontos de uma ficha amarela, b o número de pontos de uma ficha branca, v o
         esperada      número de pontos de uma ficha vermelha e p = 15 o número de pontos de uma ficha preta. Então:
                       2b = 3a, a = 5v, 3v = 8p e p =15.

                       Logo: v = 40, a = 200 e b = 300.

                       Resposta: Cada ficha vermelha vale 40 pontos; cada ficha amarela, 200 pontos; cada ficha branca,
                       300 pontos.                                                                           (2 pontos)

                    b) Para totalizar 560 pontos podemos usar, no máximo, 1 ficha branca. Usando uma ficha branca, restam
                       260 pontos que podem ser obtidos com 1 ficha amarela e 4 pretas ou com 5 vermelhas e 4 pretas. Não
                       usando ficha branca, podemos usar 2 amarelas e 4 vermelhas. Estas são as únicas respostas possíveis.

                       Resposta: (i) 1 ficha branca, 1 amarela e 4 pretas. (ii) 1 ficha branca, 5 vermelhas e 4 pretas. (iii) 2
                       amarelas e 4 vermelhas.                                                                    (3 pontos)

                        A solução dessa questão exige uma análise cuidadosa mas nenhum conteúdo matemático mais pro-
      Comentários
                    fundo. A parte (b) desta questão poderia também ser colocada no contexto de soluções inteiras não nega-
                    tivas da equação: 15x + 40y + 200z + 300w = 560, onde x, y, z e w são as quantidades de fichas
                    pretas, que valem 15 pontos, de fichas vermelhas, 40 pontos, fichas amarelas, 200 pontos e fichas bran-
                    cas, 300 pontos. A maioria dos candidatos foi bem sucedida na resolução dessa questão, o que se refletiu
                    na média de 3,84 na escala [0 – 5].


QUESTÃO 5
                    As diagonais D e d de um quadrilátero convexo, não necessariamente regular, formam um ângulo agudo.
                                                              D⋅d
                                                                       -sen α .
                    a) Mostre que a área desse quadrilátero é ----------
                                                                  2
                    b) Calcule a área de um quadrilátero convexo para o qual D = 8 cm, d = 6 cm e α = 30°.

         Resposta   a) No quadrilátero ABCF da figura abaixo:
         esperada
                                                                       B

                                                                  h1
                                                              A                d
                                                                                   E
                                                                                       α            D

                                                                                               h2       C


                                                                                           F

                       Seja E o ponto de intersecção das diagonais D e d e sejam h1 e h2 as alturas dos triângulos ABC e ACF,
                       respectivamente. Então temos: h1 = BE ⋅ sen α e h2 = FE ⋅ sen α.

                       A área S do quadrilátero é igual à soma das áreas dos triângulos ABC e ACF, ou seja:

                             1                  1                  1                          1
                       S = ------ ⋅ AC ⋅ h1 + ------ ⋅ AC ⋅ h2 = ------ ⋅ AC ⋅ BE ⋅ sen α + ------ ⋅ AC ⋅ FE ⋅ sen α =
                                -                  -                  -                          -
                             2                  2                  2                          2

                             1                                      1
                         = ------ ⋅ AC ⋅ ( BE + FE ) ⋅ sen α =
                                -                                 ------ D ⋅ d ⋅ sen α
                                                                       -                                                 (3 pontos)
                             2                                      2

                    b) Para calcular a área do quadrilátero para o qual D = 8 cm, d = 6 cm e α = 30°, basta observar que
                                   1
                       sen 30° = ------ e substituir na fórmula acima:
                                      -
                                   2
                             1                1
                       S = ------ ⋅ 8 ⋅ 6 ⋅ ------ = 12 cm
                                                          2
                                -                -
                             2                2
                                                                           2
                       Resposta: A área do quadrilátero é de 12 cm .                                                     (2 pontos)

130
Matemática

                      Os candidatos tiveram a oportunidade para “demonstrar” uma fórmula de geometria e, em seguida,
    Comentários
                  aplicá-la. A decomposição de uma figura plana em triângulos é um procedimento importante e, nesse
                  caso, muito simples. Convém observar que a parte (b) pode ser resolvida usando a parte (a) mesmo que o
                  candidato não tenha demonstrado a fórmula e muitos fizeram isso, o que contribuiu para que a nota média
                  dessa questão se aproximasse de 2, na escala [0 – 5]. Convém também salientar a dificuldade generali-
                  zada com demonstrações – conseqüência do descuido com essa componente importante da matemática, e
                  não somente da geometria, no ensino médio e no ensino fundamental. Além disso, muitos vestibulandos
                  particularizaram o quadrilátero, considerando-o um quadrado, ou um losango, um paralelogramo ou até
                  mesmo um trapézio. Outros consideraram que as diagonais se cortam nos seus pontos médios ou que são
                  perpendiculares. Na parte (b) a omissão da unidade foi o erro mais freqüente.


QUESTÃO 6
                  Suponha que o número de indivíduos de uma determinada população seja dado pela função: F(t) = a ⋅ 2 ,
                                                                                                                                                                         –bt


                  onde a variável t é dada em anos e a e b são constantes.
                  a) Encontre as constantes a e b de modo que a população inicial (t = 0) seja igual a 1024 indivíduos e a
                     população após 10 anos seja a metade da população inicial.
                  b) Qual o tempo mínimo para que a população se reduza a 1/8 da população inicial?
                  c) Esboce o gráfico da função F(t) para t ∈ [0, 40].

      Resposta    a) Fazendo t = 0 na expressão F(t) = a ⋅ 2–bt tem-se: F(0) = a ⋅ 2–b0 ⇒ a = 1024 = 210
      esperada

                                                                                                                  ⋅ 2         = (2 )
                                                      10                                                     10         –bt         10 – bt
                     De modo que já temos a = 2            e, conseqüentemente, F(t) = 2

                                                                                    1               1
                                                                                = ------ ⋅ 1024 = ------ ⋅ 2 = 2 , de onde podemos concluir que:
                                                                10 – 10.b
                     Fazendo t = 10, tem-se: F(10) = 2                                 -               - 10     9
                                                                                    2               2

                                                        1
                     10 – 10 ⋅ b = 9 e, portanto: b = ------
                                                           -
                                                      10

                                                10           1
                     Resposta: a = 1024 = 2          e b = ------
                                                                -                                                                                           (2 pontos)
                                                           10

                                                                                                                                                               x
                     Observação: Para esta última conclusão estamos usando a “injetividade” da função exponencial y=2 , isto é:
                                                                                           x1           x2                                    10 – 10 . b      9
                                   “Se x1 e x2 são números reais tais que 2 = 2 , então x1=x2”. No caso, 2           = 2 implica
                                   10 – 10 ⋅ b = 9. Esta propriedade (injetividade) não é válida para todas as funções. Por exem-
                                   plo: cos(x1) = cos(x2) não implica x1=x2.

                                                                       1
                  b) Vamos encontrar o valor de t para o qual F(t) = ------ ⋅ 2 = 2
                                                                          - 10      7
                                                                       8

                                             10    t
                     Como a função F(t) = 2 – ------ = 7 é decrescente (ou seja, diminui à medida que t aumenta), o valor de
                                                     -
                                                  10
                                           7
                     t para o qual F(t) = 2 é o tempo mínimo para que a população se reduza a 1/8 da população inicial.

                                                                          t
                                                                  10 – ------
                                                                            -
                                                                       10           7                    t
                     Então, basta resolver a equação: 2                          = 2 , ou seja : 10 – ------ = 7, o que significa t = 30
                                                                                                           -
                                                                                                      10

                     Resposta: O tempo mínimo para que a população se reduza a 1/8 da população inicial é de 30 anos.
                                                                                                             (1 ponto)

                  c) Devemos usar o resultados obtidos em (a) e (b) para escrever a tabela abaixo e depois traçar o gráfico
                     da função no intervalo [0, 40].

                                          t             0                        10             20           30                 40
                                         F(t)          2
                                                           10
                                                                                 2
                                                                                     9
                                                                                                2
                                                                                                    8
                                                                                                              2
                                                                                                                  7
                                                                                                                                2
                                                                                                                                    6
                                                                                                                                                                               v




                                                                                                                                                                    131
Matemática




               v
                    Note que após cada período de 10 anos, F(t) se reduz à metade do valor no início do período.



                                                              210




                                                  população
                                                              29


                                                              28
                                                              27
                                                              26
                                                                    10           20   30   40    anos

                                                                                                                        (2 pontos)

                                                                             x
                        O conhecimento da função exponencial y = a é indispensável, visto que esta função descreve muitos
      Comentários
                    fenômenos naturais importantes, como é o caso da variação populacional apresentada nesse exemplo.
                    Observe que “à medida que t cresce, F(t) decresce”; entretanto, F(t) nunca será igual a zero, ou seja, o
                    gráfico não deve cortar o eixo horizontal, mesmo que t seja tomado como “arbitrariamente grande”. Seria
                    interessante analisar o que ocorre com a população descrita por essa função depois de 90 anos! A nota
                    média dessa questão, foi de 3,39 na escala [0 – 5].


QUESTÃO 7
                    Seja A a matriz formada pelos coeficientes do sistema linear abaixo:

                     λx + y + z = λ + 2
                    
                     x + λy + z = λ + 2
                    
                     x + y + λz = λ + 2
                    a) Ache as raízes da equação: det(A)=0.
                    b) Ache a solução geral desse sistema para= –2.

         Resposta   a) A matriz dos coeficientes do sistema linear dado é:
         esperada
                          λ 11
                       A= 1 λ 1
                          11 λ

                       Desenvolvendo-se pela primeira linha, temos:

                                                                         2
                       det(A) = λ (λ – 1) – (λ – 1) + (1 – λ) = λ (λ – 1) – 2 (λ – 1) = (λ – 1) [ λ (λ+1) – 2] = (λ – 1) [λ + λ – 2].
                                    2                                                                                     2




                       As raízes da equação:

                       det(A) = (λ – 1) (λ + λ – 2) = 0 são dadas por:
                                            2




                       λ – 1 = 0 e λ + λ – 2 = 0, ou seja, λ1=1, λ2=1, λ3= –2.
                                        2




                       Resposta: As raízes da equação det(A) = 0 são: λ = 1 (dupla) e λ = –2.                           (3 pontos)

                    b) Para λ = –2, o sistema linear é:

                        – 2x + y + z = 0
                       
                        x – 2y + z = 0
                       
                        x + y – 2z = 0
                                                                                                                                        v




132
Matemática




             v
                     Tal sistema é homogêneo, isto é, os termos constantes são todos iguais a zero, e, por isso, x = y = z = 0, ou
                     seja (0, 0, 0) é uma solução. Assim sendo, este sistema é possível, isto é, possui pelo menos uma solução.
                     Como para λ = –2, det(A) = 0, o sistema em questão é indeterminado. Isto quer dizer que o sistema tem
                     mais de uma solução e, por ser linear, tem na verdade infinitas soluções. Estas soluções podem ser encontra-
                     das por escalonamento, por exemplo. Este método produz o seguinte sistema, equivalente ao inicial:


                     x – z = 0
                     
                     y – z = 0

                     Podemos então concluir que x = z e y = z, ou seja: para cada valor atribuído à variável z, podemos
                     encontrar os valores correspondentes para x e y. Fazendo então z = α tem-se: x = α e y = α.

                     Resposta: O conjunto solução do sistema para λ = –2 é {(α, α, α); ∀α ∈ R}                       (2 pontos)

                      Esta questão pretende avaliar: (i) O conceito de matriz dos coeficientes de um sistema linear e o cál-
    Comentários
                  culo de seu determinante. (ii) Raízes de uma equação do terceiro grau e raízes múltiplas. (iii) Resolução de
                  um sistema linear homogêneo indeterminado.
                      A média obtida pelos candidatos nessa questão foi de 1,25, bem abaixo da média esperada pela Banca.


QUESTÃO 8

                  Sejam A e B os pontos de intersecção da parábola com a circunferência de centro na origem e raio             2.
                  a) Quais as coordenadas dos pontos A e B ?
                                                                                                                            ˆ
                  b) Se P é um ponto da circunferência diferente de A e de B, calcule as medidas possíveis para os ângulos AP B .

       Resposta
                  a) A equação da circunferência de centro na origem e raio        2 é:
       esperada

                                                 2
                     (x – 0) + (y – 0) = ( 2 ) , ou seja, x + y = 2.
                            2          2                         2    2



                                                                                                               2
                     As coordenadas dos pontos de intersecção dessa circunferência com a parábola y = x são as soluções
                     do sistema não linear:

                     x + y = 2
                        2    2

                     
                     y – x = 0
                           2




                                           2                                                        4    2
                     Substituindo y = x na primeira equação obtemos a equação biquadrada: x + x – 2 = 0, cujas raízes
                     reais são: x1 = 1 e x2 = –1.

                                  2
                     Como y = x , temos um único valor correspondente para y, a saber: y = 1.

                     Resposta: Os pontos de intersecção são: A(1, 1) e B(–1, 1).                                     (2 pontos)



                                                                              P’

                                                             B            135°          A




                                                                 –1
                                                             45°          O         1

                                                       P’’
                                                                                                                                     v




                                                                                                                               133
Matemática




               v
                                                                                                                            2   2
                    b) Vamos mostrar que o triângulo AOB, onde O é o centro da circunferência x + y = 2 e A e B são os
                       pontos obtidos anteriormente, é retângulo.

                                        2               2              2               2           2
                        De fato: AB = (–1 – 1) + (1 – 1) = 4 e AO + BO = 4.

                                       2          2         2
                        Assim, AO + BO = AB e pela recíproca do teorema de Pitágoras, o triângulo AOB é retângulo.

                        Se P’ está no arco correspondente ao ângulo central de 90°, então o arco correspondente ao ângulo
                        AP’B mede 270° e, portanto, o ângulo AP’B mede 135°.
                        Se P’’ está no arco correspondente ao ângulo central de 270°, então o arco correspondente ao ângulo
                        AP”B mede 90° e, portanto, o ângulo AP”B mede 45°.

                        Resposta: As medidas possíveis para o ângulo APB são 45° e 135°.                                             (3 pontos)

                        Esta questão procura relacionar conhecimentos de álgebra e geometria. O fato matemático fundamen-
      Comentários
                    tal é: a medida do ângulo central é o dobro da medida do ângulo cujo vértice está sobre a circunferência,
                    ambos subentendendo o mesmo arco. A nota média foi muito baixa, talvez refletindo a separação álgebra/
                    geometria que ainda é muito comum no Ensino Fundamental e no Ensino Médio.


QUESTÃO 9
                    Os lados de um triângulo têm, como medidas, números inteiros ímpares consecutivos cuja soma é 15.
                    a) Quais são esses números ?
                    b) Calcule a medida do maior ângulo desse triângulo.
                                                                                                                         1
                    c) Sendo α e β os outros dois ângulos do referido triângulo, com β > α, mostre que sen β – sen α < ------ .
                                                                                                          2       2
                                                                                                                            -
                                                                                                                         4
         Resposta   a) Sejam a, a + 2 e a + 4 os 3 números ímpares consecutivos que são as medidas dos lados do triângulo.
         esperada

                        Então: a+ (a + 2) + (a + 4) = 15 o que implica de imediato a = 3.

                        Resposta: Os números são: 3, 5 e 7.                                                                          (1 ponto)

                    b) Sabendo-se que o maior ângulo é oposto ao maior lado e utilizando a lei dos cosenos, temos:
                                                                 –1
                       7 = 3 + 5 – 2 ⋅ 3 ⋅ 5 cos θ ⇒ cos θ = ------ .
                        2    2    2
                                                                  2

                        Resposta: O maior ângulo é θ = 120°                                                                         (2 pontos)

                                                     7                   5                3
                    c) Pela lei dos senos: ---------------------- = ------------- = ------------- de onde concluímos que:
                                                                -               -               -
                                           sen 120°                 sen β           sen α

                                3 3                  5 3                                   3
                        sen α = ---------- e sen β = ---------- uma vez que sen 120° = ------- .
                                         -                    -
                                  14                   14                                2
                                                     75           27           48           1
                        Então: (sen β) – (sen α) = ---------- – ---------- = ---------- < ------
                                   2         2
                                                                                               -
                                                   196 196                   196            4

                                                        1
                        Resposta: (sen β) – (sen α) < ------
                                      2         2
                                                           -                                                                        (2 pontos)
                                                        4

                        Esta questão explorou a trigonometria de um triângulo qualquer, em particular as leis do seno e do co-
      Comentários
                    seno. Consideramos importante observar que θ > β > α visto que a omissão desse cuidado produziu erros
                                                                                                                    –1
                    para muitos candidatos. Também é importante observar que o ângulo para o qual cos θ = ------ é θ =120°
                                                                                                                      2
                                                                                 1
                    e não θ = 60°. Muitos candidatos chegaram a cos θ = ------ e, conseqüentemente, erraram tudo.
                                                                                  -
                                                                                 2
                        A média final dos presentes nessa questão foi de 1,67; observamos que tal média é conseqüência da facilidade
                    da parte (a) que proporcionou 1 ponto aos candidatos que não desistiram antes de chegar a essa altura da prova.
134
Matemática


QUESTÃO 10
                  Para representar um número natural positivo na base 2, escreve-se esse número como soma de potências
                  de 2. Por exemplo: 13 = 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 2 + 0 ⋅ 2 + 1 ⋅ 2 = 1101.
                                                                      3               2           1        0

                                                     6
                  a) Escreva o número 2 + 13 na base 2.
                  b) Quantos números naturais positivos podem ser escritos na base 2 usando-se exatamente cinco algarismos?
                  c) Escolhendo-se ao acaso um número natural n tal que 1 ≤ n ≤ 2 , qual a probabilidade de que sejam
                                                                                                               50


                     usados exatamente quarenta e cinco algarismos para representar o número n na base 2?

       Resposta                                                           6
                  a) Devemos escrever o número 2 + 13 como soma de potências de 2, isto é:
       esperada

                      2 + 13 = 1 ⋅ 2 + 0 ⋅ 2 + 0 ⋅ 2 + 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 2 + 0 ⋅ 2 + 1 ⋅ 2 = 10011012.
                       6                         6                5               4           3       2        1    0



                                                         6
                      Resposta: O número 2 + 13 = 7710 escreve-se na base 2 como 1001101.                                   (1 ponto)

                  b) Um número que se escreve na base 2 com exatamente 5 algarismos é da forma:

                      1 ⋅ 2 + a ⋅ 2 + b ⋅ 2 + c ⋅ 2 + d ⋅ 2 onde a, b, c e d podem assumir valores 0 ou 1.
                              4             3                 2               1           0




                      De modo que temos duas possibilidades para cada uma dessas quatro letras; pelo princípio multiplica-
                                                                                  4
                      tivo, podemos concluir que temos 2 possibilidades, ou seja, são exatamente 16 estes números.

                      Resposta: São 16 os números que se escrevem na base 2 usando exatamente 5 algarismos.                 (2 pontos)

                                      50                 50
                  c) Entre 1 e 2           temos 2            números naturais.

                                                                                                      44
                      Representados na base 2 com 45 algarismos existem 2 números naturais – para ver isto basta repetir
                      o raciocínio usado na parte (b). Portanto, a probabilidade pedida é igual a:

                        44
                      2          1        1
                      ------- = ----- = ------
                          50
                            -       6
                                             -
                      2         2       64


                                                            1
                      Resposta: A probabilidade é igual a ------ .
                                                               -                                                            (2 pontos)
                                                          64

                      Essa questão abordou as noções básicas de contagem, sistema de numeração na base 2 e probabilidade. O
    Comentários
                  resultado evidencia que esses conceitos fundamentais ainda não são dominados pelos vestibulandos e, como
                  conseqüência, a média final foi uma das menores da prova de matemática: 0,73 na escala [0 – 5].


QUESTÃO 11

                  Considere a equação: 2  x + ------  + 7  x + ------  + 4 = 0 .
                                            2    1                  1
                                                    -                  -
                                               x 
                                                   2               x
                  a) Mostre que x = i é raiz dessa equação.
                  b) Encontre as outras raízes da mesma equação.

       Resposta   a) Substituindo x = i na equação dada e lembrando que, para esse valor de x, x = –1, tem-se:
                                                                                                                        2

       esperada

                      2  i + ------ + 7  i + ------ + 4 = 0 ⇒ 2  – 1 + ------ + 7 ⋅ 0 + 4 = 2 ⋅ (–2) + 4 = 0
                           2    1                 1                           1
                                   -                 -                           -
                               i 
                                  2               i                       –i 


                      Resposta: x = i é raiz da equação dada.                                                               (2 pontos)

                  b) Se x = i é raiz da equação, como os coeficientes são reais, x = –i, que é o conjugado de i, também é
                     raiz da mesma equação. Além disso:
                                                                                                                                          v




                                                                                                                                    135
Matemática




               v
                                                                                        4         3           2
                         2  x + ------ + 7  x + ------ + 4 ⇒ ------------------------------------------------------------- = 0
                              2    1                 1           2x + 7x + 4x + 7x + 2
                                      -                 -                                                                    -
                                 x 
                                     2              x                                       x
                                                                                                 2




                                                            4           3           2
                         se, e somente se, 2x + 7x + 4x + 7x + 2 = 0.

                                                                                                                                          4   3   2
                         Como x = i e x = –i são raízes dessa equação, segue-se que o polinômio p(x) = 2x + 7x + 4x + 7x + 2 é
                                                                        2
                         divisível por (x – i) (x + i) = x + 1.

                                                   4            3           2                         2                   2
                         Na verdade: 2x + 7x + 4x + 7x + 2 = (x + 1) (2x + 7x + 2).

                                                                                                  2
                         Resolvendo a equação do segundo grau 2x + 7x + 2 = 0, obteremos as raízes;


                               – 7 + 33                          – 7 – 33
                         x 3 = ------------------------- e x 4 = ------------------------ .
                                                                                        -
                                          2                                 2


                                                                                – 7 + 33 – 7 – 33
                         Resposta: As quatro raízes da equação dada são: i, –i, ------------------------- , ------------------------ .
                                                                                                                                   -                  (3 pontos)
                                                                                           2                           2

                       Números complexos e raízes de polinômios são os tópicos envolvidos nessa questão. Estes conteúdos
      Comentários
                    são, em geral, os últimos no programa do Ensino Médio e, por isso mesmo, nem sempre são tratados ade-
                    quadamente. A média final foi de 1,86 pontos na escala de zero a cinco.


QUESTÃO 12
                    Seja P um ponto do espaço eqüidistante dos vértices A, B e C de um triângulo cujos lados medem 8 cm, 8 cm
                    e 9,6 cm. Sendo d(P, A)=10 cm, calcule:
                    a) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC;
                    b) a altura do tetraedro, não regular, cujo vértice é o ponto P e cuja base é o triângulo ABC.

         Resposta   a)
         esperada
                                                                                                                  A




                                                                                              8                   R               8



                                                                                                  R               O           R

                                                                                                                      M
                                                                                B                                                     C
                                                                                                          9,6


                         Sejam O o centro e R o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC; seja ainda M o ponto
                         médio do lado BC. O triângulo AMC é retângulo, de modo que:

                               2   2                                                2
                         AM + (4,8) = 64, ou seja, AM = 40,96 e, portanto, AM = 6,4 cm.

                                                                            2           2                 2
                         No triângulo OMC, temos: R = OM + (4,8) .


                         Como OM = AM – R = 6,4 – R, segue-se que:

                           2                      2                 2
                         R = (6,4 – R) + (4,8) de onde tiramos que R = 5 cm.

                         Resposta: O raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC mede 5 cm.                                                  (2 pontos)
                                                                                                                                                                   v




136
Matemática




         v
              b)
                                                                       P




                                                                                 B




                                                                           H=0

                                                    A
                                                                                      C



                   O ponto H, pé da perpendicular ao plano do triângulo ABC, baixada a partir do ponto P, coincide com o
                   ponto O.


                   De fato: como PA = PB = PC , os triângulos retângulos PHA, PHB e PHC são congruentes e, por-
                   tanto, o ponto H é eqüidistante de A, B e C ou seja H é o centro da circunferência circunscrita ao triân-
                   gulo ABC, isto é, H coincide com O.

                                                                   2
                   Então, a altura PH do tetraedro é dada por: AH = 102 – 53 = 75, ou seja, AH = 5 3 cm.


                   Resposta: a altura do tetraedro mede 5 3 cm.                                                 (3 pontos)


Comentários       Este é um problema clássico de geometria no espaço e a matemática necessária para resolvê-lo, além da
              visão espacial indispensável, se reduz ao uso apropriado do teorema de Pitágoras. A média final de 0,27
              nessa questão foi a mais baixa da prova, como tem acontecido nos últimos anos com a questão envolvendo
              geometria espacial. Isto que dizer que o entendimento dessa parte da geometria continua deficiente.




                                                                                                                         137

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Mat exercicios resolvidos e comentados 010

  • 1. A Unicamp COMISSÃO PERMANENTE PARA OS VESTIBULARES comenta suas provas
  • 2. Matemática As questões da segunda fase da prova de matemática procuram avaliar os conteúdos usualmente presentes no Ensino Fundamental e no Ensino Médio. As primeiras questões envolvem apenas as noções básicas de matemática além da capacidade de leitura e raciocínio; as questões intermediárias enfocam, normalmente, os conteúdos de quinta a oitava séries e as últimas dizem respeito ao Ensino Médio. Em quase todas as questões, mesmo nas mais complexas, um dos itens é uma pergunta simples cujo objetivo é levar o candidato até o final da prova. Além disso, a maioria das questões envolve, cada uma delas, diversos tópicos do conteúdo programático. QUESTÃO 1 Um determinado ano da última década do século XX é representado, na base 10, pelo número abba e um outro, da primeira década do século XXI, é representado, também na base 10, pelo número cddc. a) Escreva esses dois números. b) A que século pertencerá o ano representado pela soma abba+cddc ? Resposta a) abba = 1991 e cddc = 2002 esperada Resposta: Os números pedidos são 1991 e 2002. (2 pontos) b) 1991 + 2002 = 3993 (século 40) Resposta: A soma é igual a 3993, que representa um ano do século XL . (3 pontos) Questão simples, cujo objetivo é saber representar um número e reconhecer o século ao qual um dado Comentários ano pertenceu. Muitos candidatos não sabem escrever um número em algarismos romanos – esta forma ainda é usada em situações específicas. Entretanto, quando o candidato respondeu corretamente, escre- vendo apenas século 40, isto foi considerado satisfatório. A nota média, considerados os candidatos pre- sentes [13.910], foi de 3,94 na escala [0 – 5]. QUESTÃO 2 A soma de dois números positivos é igual ao triplo da diferença entre esses mesmos dois números. Essa diferença, por sua vez, é igual ao dobro do quociente do maior pelo menor. a) Encontre esses dois números. 2 b) Escreva uma equação do tipo x + bx + c = 0 cujas raízes são aqueles dois números. Resposta a) Sejam x e y os dois números, e suponhamos que x > y. A partir do enunciado, podemos escrever o esperada seguinte sistema linear de duas equações e duas incógnitas: x + y = 3(x – y)   x  x – y = 2 ----- y -  Da primeira equação obtemos x = 2y e, fazendo-se a substituição na segunda equação, tem-se: 2y 2y – y = 2 ----- = 4, ou seja, y = 4 e, portanto, x = 8. - y Resposta: Os números pedidos são 8 e 4. (3 pontos) b) Das relações entre raízes e coeficientes de uma equação do segundo grau com a=1, podemos escrever: x + y = 8 + 4 = 12 = –b e xy = 8 ⋅ 4 = 32 = c. 2 Resposta: A equação do segundo grau é x – 12x + 32 = 0 (2 pontos) Um dos objetivos dessa questão foi a transcrição em linguagem matemática. O candidato deveria dei- Comentários xar claro qual dos números, x ou y, seria tomado como o maior deles, para equacionar corretamente. Um erro freqüente foi apresentar a resposta como um polinômio e não como equação. A questão foi resolvida corretamente pela maioria dos candidatos e a média nessa questão foi de 3,04 na escala [0 – 5]. 128
  • 3. Matemática QUESTÃO 3 a) Quantos são os triângulos não congruentes cujas medidas dos lados são números inteiros e cujos perí- metros medem 11 metros ? b) Quantos dos triângulos considerados no item anterior são eqüiláteros ? E quantos são isósceles ? Resposta a) Sejam a, b e c as medidas, em metros, de 3 segmentos. Para que esses 3 segmentos formem um triân- esperada gulo de perímetro 11, devemos ter: a + b + c =11; a < b + c; b < a + c e c < a + b. Então: 11 = a + b + c < b + c + b + c = 2 (b + c). Como a, b e c são números naturais e b + c > 5,5, segue-se que b + c ≥ 6. Somando a aos dois mem- bros dessa última desigualdade, temos: 11 ≥ 6 + a o que implica a ≤ 5. O mesmo vale para b e c, ou seja, todos os 3 números são menores ou iguais a 5. Podemos então construir a seguinte tabela: a b c 5 5 1 5 4 2 5 3 3 4 4 3 Observando que permutações dos mesmos números produzem triângulos congruentes, podemos con- cluir que existem apenas os 4 triângulos não congruentes apresentados na tabela acima. Resposta: Existem apenas 4 triângulos não congruentes cujos lados são números inteiros (positivos) e cujos perímetros medem 11 metros. São eles: (5, 5, 1), (5, 4, 2), (5, 3, 3) e (4, 4, 3). (3 pontos) b) Para que um triângulo de lados a, b e c seja equilátero é necessário que a = b = c e, portanto, 3a = 3b = 3c = 11. Como 11 não é divisível por 3, segue-se que a, b e c não podem ser inteiros, ou seja, não existe triân- gulo equilátero com lados inteiros e perímetro igual a 11. Esta mesma conclusão pode ser obtida a par- tir da resposta (a), observando-se que nenhum dos 4 triângulos possíveis é equilátero. Os triângulos isósceles são: (5, 5, 1), (4, 4, 3) e (3, 3, 5), totalizando 3 triângulos. Resposta: Nenhum triângulo é equilátero e três triângulos são isósceles. (2 pontos) Esta questão avalia vários conceitos básicos de geometria e aritmética, especialmente as condições Comentários para a existência de triângulos e a noção fundamental de congruência de triângulos. A média foi muito menor que a da questão anterior, ficando em 1,47 na escala [0 – 5]. QUESTÃO 4 Em um certo jogo são usadas fichas de cores e valores diferentes. Duas fichas brancas equivalem a três fichas amarelas, uma ficha amarela equivale a cinco fichas vermelhas, três fichas vermelhas equivalem a oito fichas pretas e uma ficha preta vale quinze pontos. a) Quantos pontos vale cada ficha ? b) Encontre todas as maneiras possíveis para totalizar 560 pontos, usando, em cada soma, no máximo cinco fichas de cada cor. 129
  • 4. Matemática Resposta a) Seja a o número de pontos de uma ficha amarela, b o número de pontos de uma ficha branca, v o esperada número de pontos de uma ficha vermelha e p = 15 o número de pontos de uma ficha preta. Então: 2b = 3a, a = 5v, 3v = 8p e p =15. Logo: v = 40, a = 200 e b = 300. Resposta: Cada ficha vermelha vale 40 pontos; cada ficha amarela, 200 pontos; cada ficha branca, 300 pontos. (2 pontos) b) Para totalizar 560 pontos podemos usar, no máximo, 1 ficha branca. Usando uma ficha branca, restam 260 pontos que podem ser obtidos com 1 ficha amarela e 4 pretas ou com 5 vermelhas e 4 pretas. Não usando ficha branca, podemos usar 2 amarelas e 4 vermelhas. Estas são as únicas respostas possíveis. Resposta: (i) 1 ficha branca, 1 amarela e 4 pretas. (ii) 1 ficha branca, 5 vermelhas e 4 pretas. (iii) 2 amarelas e 4 vermelhas. (3 pontos) A solução dessa questão exige uma análise cuidadosa mas nenhum conteúdo matemático mais pro- Comentários fundo. A parte (b) desta questão poderia também ser colocada no contexto de soluções inteiras não nega- tivas da equação: 15x + 40y + 200z + 300w = 560, onde x, y, z e w são as quantidades de fichas pretas, que valem 15 pontos, de fichas vermelhas, 40 pontos, fichas amarelas, 200 pontos e fichas bran- cas, 300 pontos. A maioria dos candidatos foi bem sucedida na resolução dessa questão, o que se refletiu na média de 3,84 na escala [0 – 5]. QUESTÃO 5 As diagonais D e d de um quadrilátero convexo, não necessariamente regular, formam um ângulo agudo. D⋅d -sen α . a) Mostre que a área desse quadrilátero é ---------- 2 b) Calcule a área de um quadrilátero convexo para o qual D = 8 cm, d = 6 cm e α = 30°. Resposta a) No quadrilátero ABCF da figura abaixo: esperada B h1 A d E α D h2 C F Seja E o ponto de intersecção das diagonais D e d e sejam h1 e h2 as alturas dos triângulos ABC e ACF, respectivamente. Então temos: h1 = BE ⋅ sen α e h2 = FE ⋅ sen α. A área S do quadrilátero é igual à soma das áreas dos triângulos ABC e ACF, ou seja: 1 1 1 1 S = ------ ⋅ AC ⋅ h1 + ------ ⋅ AC ⋅ h2 = ------ ⋅ AC ⋅ BE ⋅ sen α + ------ ⋅ AC ⋅ FE ⋅ sen α = - - - - 2 2 2 2 1 1 = ------ ⋅ AC ⋅ ( BE + FE ) ⋅ sen α = - ------ D ⋅ d ⋅ sen α - (3 pontos) 2 2 b) Para calcular a área do quadrilátero para o qual D = 8 cm, d = 6 cm e α = 30°, basta observar que 1 sen 30° = ------ e substituir na fórmula acima: - 2 1 1 S = ------ ⋅ 8 ⋅ 6 ⋅ ------ = 12 cm 2 - - 2 2 2 Resposta: A área do quadrilátero é de 12 cm . (2 pontos) 130
  • 5. Matemática Os candidatos tiveram a oportunidade para “demonstrar” uma fórmula de geometria e, em seguida, Comentários aplicá-la. A decomposição de uma figura plana em triângulos é um procedimento importante e, nesse caso, muito simples. Convém observar que a parte (b) pode ser resolvida usando a parte (a) mesmo que o candidato não tenha demonstrado a fórmula e muitos fizeram isso, o que contribuiu para que a nota média dessa questão se aproximasse de 2, na escala [0 – 5]. Convém também salientar a dificuldade generali- zada com demonstrações – conseqüência do descuido com essa componente importante da matemática, e não somente da geometria, no ensino médio e no ensino fundamental. Além disso, muitos vestibulandos particularizaram o quadrilátero, considerando-o um quadrado, ou um losango, um paralelogramo ou até mesmo um trapézio. Outros consideraram que as diagonais se cortam nos seus pontos médios ou que são perpendiculares. Na parte (b) a omissão da unidade foi o erro mais freqüente. QUESTÃO 6 Suponha que o número de indivíduos de uma determinada população seja dado pela função: F(t) = a ⋅ 2 , –bt onde a variável t é dada em anos e a e b são constantes. a) Encontre as constantes a e b de modo que a população inicial (t = 0) seja igual a 1024 indivíduos e a população após 10 anos seja a metade da população inicial. b) Qual o tempo mínimo para que a população se reduza a 1/8 da população inicial? c) Esboce o gráfico da função F(t) para t ∈ [0, 40]. Resposta a) Fazendo t = 0 na expressão F(t) = a ⋅ 2–bt tem-se: F(0) = a ⋅ 2–b0 ⇒ a = 1024 = 210 esperada ⋅ 2 = (2 ) 10 10 –bt 10 – bt De modo que já temos a = 2 e, conseqüentemente, F(t) = 2 1 1 = ------ ⋅ 1024 = ------ ⋅ 2 = 2 , de onde podemos concluir que: 10 – 10.b Fazendo t = 10, tem-se: F(10) = 2 - - 10 9 2 2 1 10 – 10 ⋅ b = 9 e, portanto: b = ------ - 10 10 1 Resposta: a = 1024 = 2 e b = ------ - (2 pontos) 10 x Observação: Para esta última conclusão estamos usando a “injetividade” da função exponencial y=2 , isto é: x1 x2 10 – 10 . b 9 “Se x1 e x2 são números reais tais que 2 = 2 , então x1=x2”. No caso, 2 = 2 implica 10 – 10 ⋅ b = 9. Esta propriedade (injetividade) não é válida para todas as funções. Por exem- plo: cos(x1) = cos(x2) não implica x1=x2. 1 b) Vamos encontrar o valor de t para o qual F(t) = ------ ⋅ 2 = 2 - 10 7 8 10 t Como a função F(t) = 2 – ------ = 7 é decrescente (ou seja, diminui à medida que t aumenta), o valor de - 10 7 t para o qual F(t) = 2 é o tempo mínimo para que a população se reduza a 1/8 da população inicial. t 10 – ------ - 10 7 t Então, basta resolver a equação: 2 = 2 , ou seja : 10 – ------ = 7, o que significa t = 30 - 10 Resposta: O tempo mínimo para que a população se reduza a 1/8 da população inicial é de 30 anos. (1 ponto) c) Devemos usar o resultados obtidos em (a) e (b) para escrever a tabela abaixo e depois traçar o gráfico da função no intervalo [0, 40]. t 0 10 20 30 40 F(t) 2 10 2 9 2 8 2 7 2 6 v 131
  • 6. Matemática v Note que após cada período de 10 anos, F(t) se reduz à metade do valor no início do período. 210 população 29 28 27 26 10 20 30 40 anos (2 pontos) x O conhecimento da função exponencial y = a é indispensável, visto que esta função descreve muitos Comentários fenômenos naturais importantes, como é o caso da variação populacional apresentada nesse exemplo. Observe que “à medida que t cresce, F(t) decresce”; entretanto, F(t) nunca será igual a zero, ou seja, o gráfico não deve cortar o eixo horizontal, mesmo que t seja tomado como “arbitrariamente grande”. Seria interessante analisar o que ocorre com a população descrita por essa função depois de 90 anos! A nota média dessa questão, foi de 3,39 na escala [0 – 5]. QUESTÃO 7 Seja A a matriz formada pelos coeficientes do sistema linear abaixo:  λx + y + z = λ + 2   x + λy + z = λ + 2   x + y + λz = λ + 2 a) Ache as raízes da equação: det(A)=0. b) Ache a solução geral desse sistema para= –2. Resposta a) A matriz dos coeficientes do sistema linear dado é: esperada λ 11 A= 1 λ 1 11 λ Desenvolvendo-se pela primeira linha, temos: 2 det(A) = λ (λ – 1) – (λ – 1) + (1 – λ) = λ (λ – 1) – 2 (λ – 1) = (λ – 1) [ λ (λ+1) – 2] = (λ – 1) [λ + λ – 2]. 2 2 As raízes da equação: det(A) = (λ – 1) (λ + λ – 2) = 0 são dadas por: 2 λ – 1 = 0 e λ + λ – 2 = 0, ou seja, λ1=1, λ2=1, λ3= –2. 2 Resposta: As raízes da equação det(A) = 0 são: λ = 1 (dupla) e λ = –2. (3 pontos) b) Para λ = –2, o sistema linear é:  – 2x + y + z = 0   x – 2y + z = 0   x + y – 2z = 0 v 132
  • 7. Matemática v Tal sistema é homogêneo, isto é, os termos constantes são todos iguais a zero, e, por isso, x = y = z = 0, ou seja (0, 0, 0) é uma solução. Assim sendo, este sistema é possível, isto é, possui pelo menos uma solução. Como para λ = –2, det(A) = 0, o sistema em questão é indeterminado. Isto quer dizer que o sistema tem mais de uma solução e, por ser linear, tem na verdade infinitas soluções. Estas soluções podem ser encontra- das por escalonamento, por exemplo. Este método produz o seguinte sistema, equivalente ao inicial: x – z = 0  y – z = 0 Podemos então concluir que x = z e y = z, ou seja: para cada valor atribuído à variável z, podemos encontrar os valores correspondentes para x e y. Fazendo então z = α tem-se: x = α e y = α. Resposta: O conjunto solução do sistema para λ = –2 é {(α, α, α); ∀α ∈ R} (2 pontos) Esta questão pretende avaliar: (i) O conceito de matriz dos coeficientes de um sistema linear e o cál- Comentários culo de seu determinante. (ii) Raízes de uma equação do terceiro grau e raízes múltiplas. (iii) Resolução de um sistema linear homogêneo indeterminado. A média obtida pelos candidatos nessa questão foi de 1,25, bem abaixo da média esperada pela Banca. QUESTÃO 8 Sejam A e B os pontos de intersecção da parábola com a circunferência de centro na origem e raio 2. a) Quais as coordenadas dos pontos A e B ? ˆ b) Se P é um ponto da circunferência diferente de A e de B, calcule as medidas possíveis para os ângulos AP B . Resposta a) A equação da circunferência de centro na origem e raio 2 é: esperada 2 (x – 0) + (y – 0) = ( 2 ) , ou seja, x + y = 2. 2 2 2 2 2 As coordenadas dos pontos de intersecção dessa circunferência com a parábola y = x são as soluções do sistema não linear: x + y = 2 2 2  y – x = 0 2 2 4 2 Substituindo y = x na primeira equação obtemos a equação biquadrada: x + x – 2 = 0, cujas raízes reais são: x1 = 1 e x2 = –1. 2 Como y = x , temos um único valor correspondente para y, a saber: y = 1. Resposta: Os pontos de intersecção são: A(1, 1) e B(–1, 1). (2 pontos) P’ B 135° A –1 45° O 1 P’’ v 133
  • 8. Matemática v 2 2 b) Vamos mostrar que o triângulo AOB, onde O é o centro da circunferência x + y = 2 e A e B são os pontos obtidos anteriormente, é retângulo. 2 2 2 2 2 De fato: AB = (–1 – 1) + (1 – 1) = 4 e AO + BO = 4. 2 2 2 Assim, AO + BO = AB e pela recíproca do teorema de Pitágoras, o triângulo AOB é retângulo. Se P’ está no arco correspondente ao ângulo central de 90°, então o arco correspondente ao ângulo AP’B mede 270° e, portanto, o ângulo AP’B mede 135°. Se P’’ está no arco correspondente ao ângulo central de 270°, então o arco correspondente ao ângulo AP”B mede 90° e, portanto, o ângulo AP”B mede 45°. Resposta: As medidas possíveis para o ângulo APB são 45° e 135°. (3 pontos) Esta questão procura relacionar conhecimentos de álgebra e geometria. O fato matemático fundamen- Comentários tal é: a medida do ângulo central é o dobro da medida do ângulo cujo vértice está sobre a circunferência, ambos subentendendo o mesmo arco. A nota média foi muito baixa, talvez refletindo a separação álgebra/ geometria que ainda é muito comum no Ensino Fundamental e no Ensino Médio. QUESTÃO 9 Os lados de um triângulo têm, como medidas, números inteiros ímpares consecutivos cuja soma é 15. a) Quais são esses números ? b) Calcule a medida do maior ângulo desse triângulo. 1 c) Sendo α e β os outros dois ângulos do referido triângulo, com β > α, mostre que sen β – sen α < ------ . 2 2 - 4 Resposta a) Sejam a, a + 2 e a + 4 os 3 números ímpares consecutivos que são as medidas dos lados do triângulo. esperada Então: a+ (a + 2) + (a + 4) = 15 o que implica de imediato a = 3. Resposta: Os números são: 3, 5 e 7. (1 ponto) b) Sabendo-se que o maior ângulo é oposto ao maior lado e utilizando a lei dos cosenos, temos: –1 7 = 3 + 5 – 2 ⋅ 3 ⋅ 5 cos θ ⇒ cos θ = ------ . 2 2 2 2 Resposta: O maior ângulo é θ = 120° (2 pontos) 7 5 3 c) Pela lei dos senos: ---------------------- = ------------- = ------------- de onde concluímos que: - - - sen 120° sen β sen α 3 3 5 3 3 sen α = ---------- e sen β = ---------- uma vez que sen 120° = ------- . - - 14 14 2 75 27 48 1 Então: (sen β) – (sen α) = ---------- – ---------- = ---------- < ------ 2 2 - 196 196 196 4 1 Resposta: (sen β) – (sen α) < ------ 2 2 - (2 pontos) 4 Esta questão explorou a trigonometria de um triângulo qualquer, em particular as leis do seno e do co- Comentários seno. Consideramos importante observar que θ > β > α visto que a omissão desse cuidado produziu erros –1 para muitos candidatos. Também é importante observar que o ângulo para o qual cos θ = ------ é θ =120° 2 1 e não θ = 60°. Muitos candidatos chegaram a cos θ = ------ e, conseqüentemente, erraram tudo. - 2 A média final dos presentes nessa questão foi de 1,67; observamos que tal média é conseqüência da facilidade da parte (a) que proporcionou 1 ponto aos candidatos que não desistiram antes de chegar a essa altura da prova. 134
  • 9. Matemática QUESTÃO 10 Para representar um número natural positivo na base 2, escreve-se esse número como soma de potências de 2. Por exemplo: 13 = 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 2 + 0 ⋅ 2 + 1 ⋅ 2 = 1101. 3 2 1 0 6 a) Escreva o número 2 + 13 na base 2. b) Quantos números naturais positivos podem ser escritos na base 2 usando-se exatamente cinco algarismos? c) Escolhendo-se ao acaso um número natural n tal que 1 ≤ n ≤ 2 , qual a probabilidade de que sejam 50 usados exatamente quarenta e cinco algarismos para representar o número n na base 2? Resposta 6 a) Devemos escrever o número 2 + 13 como soma de potências de 2, isto é: esperada 2 + 13 = 1 ⋅ 2 + 0 ⋅ 2 + 0 ⋅ 2 + 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 2 + 0 ⋅ 2 + 1 ⋅ 2 = 10011012. 6 6 5 4 3 2 1 0 6 Resposta: O número 2 + 13 = 7710 escreve-se na base 2 como 1001101. (1 ponto) b) Um número que se escreve na base 2 com exatamente 5 algarismos é da forma: 1 ⋅ 2 + a ⋅ 2 + b ⋅ 2 + c ⋅ 2 + d ⋅ 2 onde a, b, c e d podem assumir valores 0 ou 1. 4 3 2 1 0 De modo que temos duas possibilidades para cada uma dessas quatro letras; pelo princípio multiplica- 4 tivo, podemos concluir que temos 2 possibilidades, ou seja, são exatamente 16 estes números. Resposta: São 16 os números que se escrevem na base 2 usando exatamente 5 algarismos. (2 pontos) 50 50 c) Entre 1 e 2 temos 2 números naturais. 44 Representados na base 2 com 45 algarismos existem 2 números naturais – para ver isto basta repetir o raciocínio usado na parte (b). Portanto, a probabilidade pedida é igual a: 44 2 1 1 ------- = ----- = ------ 50 - 6 - 2 2 64 1 Resposta: A probabilidade é igual a ------ . - (2 pontos) 64 Essa questão abordou as noções básicas de contagem, sistema de numeração na base 2 e probabilidade. O Comentários resultado evidencia que esses conceitos fundamentais ainda não são dominados pelos vestibulandos e, como conseqüência, a média final foi uma das menores da prova de matemática: 0,73 na escala [0 – 5]. QUESTÃO 11 Considere a equação: 2  x + ------  + 7  x + ------  + 4 = 0 . 2 1 1 - -  x  2  x a) Mostre que x = i é raiz dessa equação. b) Encontre as outras raízes da mesma equação. Resposta a) Substituindo x = i na equação dada e lembrando que, para esse valor de x, x = –1, tem-se: 2 esperada 2  i + ------ + 7  i + ------ + 4 = 0 ⇒ 2  – 1 + ------ + 7 ⋅ 0 + 4 = 2 ⋅ (–2) + 4 = 0 2 1 1 1 - - -  i  2  i   –i  Resposta: x = i é raiz da equação dada. (2 pontos) b) Se x = i é raiz da equação, como os coeficientes são reais, x = –i, que é o conjugado de i, também é raiz da mesma equação. Além disso: v 135
  • 10. Matemática v 4 3 2 2  x + ------ + 7  x + ------ + 4 ⇒ ------------------------------------------------------------- = 0 2 1 1 2x + 7x + 4x + 7x + 2 - - -  x  2  x x 2 4 3 2 se, e somente se, 2x + 7x + 4x + 7x + 2 = 0. 4 3 2 Como x = i e x = –i são raízes dessa equação, segue-se que o polinômio p(x) = 2x + 7x + 4x + 7x + 2 é 2 divisível por (x – i) (x + i) = x + 1. 4 3 2 2 2 Na verdade: 2x + 7x + 4x + 7x + 2 = (x + 1) (2x + 7x + 2). 2 Resolvendo a equação do segundo grau 2x + 7x + 2 = 0, obteremos as raízes; – 7 + 33 – 7 – 33 x 3 = ------------------------- e x 4 = ------------------------ . - 2 2 – 7 + 33 – 7 – 33 Resposta: As quatro raízes da equação dada são: i, –i, ------------------------- , ------------------------ . - (3 pontos) 2 2 Números complexos e raízes de polinômios são os tópicos envolvidos nessa questão. Estes conteúdos Comentários são, em geral, os últimos no programa do Ensino Médio e, por isso mesmo, nem sempre são tratados ade- quadamente. A média final foi de 1,86 pontos na escala de zero a cinco. QUESTÃO 12 Seja P um ponto do espaço eqüidistante dos vértices A, B e C de um triângulo cujos lados medem 8 cm, 8 cm e 9,6 cm. Sendo d(P, A)=10 cm, calcule: a) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC; b) a altura do tetraedro, não regular, cujo vértice é o ponto P e cuja base é o triângulo ABC. Resposta a) esperada A 8 R 8 R O R M B C 9,6 Sejam O o centro e R o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC; seja ainda M o ponto médio do lado BC. O triângulo AMC é retângulo, de modo que: 2 2 2 AM + (4,8) = 64, ou seja, AM = 40,96 e, portanto, AM = 6,4 cm. 2 2 2 No triângulo OMC, temos: R = OM + (4,8) . Como OM = AM – R = 6,4 – R, segue-se que: 2 2 2 R = (6,4 – R) + (4,8) de onde tiramos que R = 5 cm. Resposta: O raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC mede 5 cm. (2 pontos) v 136
  • 11. Matemática v b) P B H=0 A C O ponto H, pé da perpendicular ao plano do triângulo ABC, baixada a partir do ponto P, coincide com o ponto O. De fato: como PA = PB = PC , os triângulos retângulos PHA, PHB e PHC são congruentes e, por- tanto, o ponto H é eqüidistante de A, B e C ou seja H é o centro da circunferência circunscrita ao triân- gulo ABC, isto é, H coincide com O. 2 Então, a altura PH do tetraedro é dada por: AH = 102 – 53 = 75, ou seja, AH = 5 3 cm. Resposta: a altura do tetraedro mede 5 3 cm. (3 pontos) Comentários Este é um problema clássico de geometria no espaço e a matemática necessária para resolvê-lo, além da visão espacial indispensável, se reduz ao uso apropriado do teorema de Pitágoras. A média final de 0,27 nessa questão foi a mais baixa da prova, como tem acontecido nos últimos anos com a questão envolvendo geometria espacial. Isto que dizer que o entendimento dessa parte da geometria continua deficiente. 137