MAT 3ª Série 3º Bimestre Estudante.pdf

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MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
COMPONENTES: MATEMÁTICA
IMERSÃO CURRICULAR
3ª SÉRIE
HABILIDADES DA BNCC:
(EM13MAT301) Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de
outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando
técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
OBJETIVO DE APRENDIZAGEM:
(GO-EMMAT301A) Determinar o conjunto solução de equações lineares simultâneas,
utilizando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais, para
resolver problemas do cotidiano.
OBJETO DE CONHECIMENTO:
Sistemas de equações lineares.
DESCRITOR(ES) SAEB:
Relacionar a determinação do ponto de interseção de duas ou mais retas com a
resolução de um sistema de equações com duas incógnitas.
Equação polinomial de 1º grau
VAMOS RECORDAR O CONCEITO DE EQUAÇÃO POLINOMINAL DO 1º GRAU

2
Vamos pensar em um problema.
Na construção de sua casa, Arthur precisa cortar uma tábua com 120 cm de
comprimento em duas partes, sendo que a parte maior dever ser igual ao triplo do
comprimento da parte menor.
Vamos representar o problema:
Organizando as informações do esquema acima temos:
x → parte menor
3x → parte maior
120 → tábua inteira
𝑥 + 3𝑥 = 120
Observe que, podemos criar uma sentença matemática representada por uma
igualdade e por letras que representa um número desconhecido. Esta sentença é
denominada de EQUAÇÃO.
Na resolução de problemas por meio de equação é fundamental que se traduza o
enunciado para a linguagem matemática usando letras e símbolos.
Exemplo 1
Em um escritório, 20% dos funcionários, possuem curso superior, sabendo que no
escritório há ainda 12 funcionários que possuem cursos técnicos. Quantos funcionários
há neste escritório?
Vamos representar os números de funcionários deste escritório por x.
120 cm
x cm 3 x cm
EQUAÇÃO
É uma sentença matemática que possua uma igualdade, na qual haja uma
letra representando um número desconhecido, podendo ser reduzida à forma
ax = b, onde x é a incógnita e a e b são números reais, com a ≠ 0. a e b são
coeficientes da equação.

3
Vamos recordar ainda que 20% é igual a
20
100
=
1
5
. Assim temos que
1
5
𝑥 + 12 = 𝑥
𝑥
5
+
60
5
=
5𝑥
5
𝑥 + 60 = 5𝑥
5𝑥 − 𝑥 = 60
4𝑥 = 60
𝑥 =
60
4
𝑥 = 15
Exemplo 2
Uma pesquisa, realizada nas ruas com 42 pessoas, revelou que as pessoas ou gostam de
suco natural, ou gostam de refrigerante, ou gostam de ambos. Na pesquisa 36
entrevistados disseram gostas de suco e 28 disseram gostar de refrigerantes. Nesta
pesquisa quantos alunos gostam ao mesmo tempo de suco e refrigerante ao mesmo
tempo?
Vamos representar, no centro do diagrama, os entrevistados que gostam de suco e
refrigerante ao mesmo tempo.
Vamos representar o número de entrevistado que gosta de suco, mas não gostam de
refrigerante por 36 – x.
Vamos representar o número de entrevistado que gosta de refrigerante, mas não
gostam de suco por 28 – x.
Assim,
(36 − 𝑥) + 𝑥 + (28 − 𝑥) = 42
36 − 𝑥 + 𝑥 + 28 − 𝑥 = 42
−𝑥 = 42 − 36 − 28
−𝑥 = −22
𝑥 = 22

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ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM
1) Milton comprou um lote no centro da cidade e o transformou em um
estacionamento. Em um determinado dia ele contou 84 rodas. Determine quantas
motos e quantos carros havia no estacionamento, sabendo que no total havia 24
veículos.
2) Uma loja de roupa irá presentear o vendedor que vender o maior número de peças
em só dia. Pedro e Carlos foram os que mais venderam. Juntos eles venderam 52 peças,
mas Carlos vendeu 10 peças a mais que Pedro. Quantas peças de roupa Carlos vendeu?
3) Raquel é caixa em um supermercado. Ao fechar o caixa, ela somou duas vezes um
mesmo valor obtendo como resultado de sua soma o total R$ 1 468,00. Se ela não
tivesse somado nenhuma vez o valor, a soma seria R$ 1 288,00.
Qual o valor correto do fechamento do caixa de Raquel?
4) O irmão de Carlos é 9 anos mais velho que ele. Somando as duas idades obtemos 39
anos. Qual a idade de Carlos?
5) Para escolher a nova logomarca de uma empresa, foi realizada uma pesquisa entre as
duas logomarcas finalista, A e B. A pesquisa mostra que 40% dos clientes votarão na
logomarca A e 35%, na logomarca B. Se entre os pesquisados ainda há 3 500 indecisos.
Quantos clientes participaram desta pesquisa?

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(GO-EMMAT301B) Identificar problemas do cotidiano relacionados à matemática ou
outras áreas do conhecimento, envolvendo equações lineares simultâneas analisando
informações apresentadas em textos científicos e outros para sua resolução.
DESCRITOR(ES) SAEB:
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
Conceitos Iniciais
É toda equação do tipo: 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥3 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏
Onde: {
𝑎1, 𝑎2, ⋯ , 𝑎𝑛
𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛
𝑏
→ 𝑠ã𝑜 𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠;
→ 𝑠ã𝑜 𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑐ó𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠;
→ é 𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒.
Exemplos:
(i) 4𝑥 – 𝑦 + 9𝑧 = 0
(ii) 3𝑎 + 5𝑏 – 𝑐 + 2𝑑 = 1
(iii) 𝑥 + 𝑦 = 10 ou 𝑥1 + 𝑥2 = 10

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Observações:
• Uma equação linear é dita ― “homogênea” quando o seu termo independente
é nulo (b = 0).
Por exemplo: 4𝑥 – 𝑦 + 9𝑧 = 0
• Uma equação linear não apresenta termos com 𝑥2
, multiplicação de
incógnitas 𝑥1 ∙ 𝑥2, expoente negativo 𝑥–1
, ..., cada termo tem uma única
incógnita, com expoente 1.
NÃO são equações lineares:
𝑥3
– 5𝑦 = 0
2𝑥𝑦 + 𝑧 = 10
1
𝑥
+
1
𝑦
– 3𝑧 = 12
Solução de uma equação linear:
A sequência ordenada (𝛼1, 𝛼2, ⋯ , 𝛼𝑛 ) é uma solução da equação linear 𝑎1𝑥1 +
𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥3 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏
se 𝑎1(𝛼1) + 𝑎2(𝛼2) + 𝑎3(𝛼3) + ⋯ + 𝑎𝑛(𝛼𝑛) = 𝑏 for sentença verdadeira.
Exemplo: Considere a equação linear: 𝑥 – 3𝑦 + 2𝑧 – 𝑡 = – 8
A sequência (2, 1, –1, 5) é uma das infinitas soluções, pois:
(2)– 3(1) + 2(– 1)– (5) =– 8
2– 3 − 2– 5 =– 8
– 8 =– 8
É comum ou usual escrever notação diferente para as
incógnitas/variáveis, tais como:
𝑥 = 𝑥1
𝑦 = 𝑥2
𝑧 = 𝑥3
E assim sucessivamente.

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Sistema Linear:
É o conjunto de m (m ≥ 1) equações lineares:
{
𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥3 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏
𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥3 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥3 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏
Exemplos:
a) {
𝑥 + 3𝑦 = 1
4𝑥 − 𝑦 = −2
b) {
−𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 1
2𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 0
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 0
Solução de um sistema de equações:
A sequência ordenada (𝛼1, 𝛼2 ⋯ , 𝛼𝑛) será solução do sistema (ou uma das soluções),
se for solução de todas as equações envolvidas no mesmo.
Exemplo:
{
𝑥 − 𝑦 = 1
2𝑥 + 𝑦 = 5
A solução é: 𝑆 = {(2,1)}
1. Ana Helta comprou 1 blusa e 2 bermudas, gastando R$ 55,00. Dreyd Maria comprou
2 blusas e 1 bermuda, gastando R$ 65,00. Assinale a alternativa que apresenta o sistema
de equações do 1º grau que traduz o problema.
(A) {
𝑥 + 𝑦 = 55,00
𝑥 − 𝑦 = 65,00
(B) {
𝑥 + 2𝑦 = 55,00
2𝑥 − 𝑦 = 65,00
(C) {
𝑥 + 2𝑦 = 55,00
2𝑥 + 𝑦 = 65,00

8
(D) {
𝑥 + 𝑦 = 55,00
𝑥 + 2𝑦 = 65,00
(E) {
𝑥 + 𝑦 = 55,00
𝑥 + 2𝑦 = 65,00
2. O preço de um celular é de R$ 810,00 e de um tablet é de R$ 160,00. Foram vendidos
47 aparelhos num determinado dia, 20 tablets e 27 celulares, sendo arrecadado R$ 25
070,00. O sistema de equações do 1º grau que representa o problema é igual a
(A) {
𝑥 + 𝑦 = 47
𝑥 + 𝑦 = 25 070
(B) {
𝑥 + 2𝑦 = 47
810𝑥 − 160𝑦 = 25 070
(C) {
𝑥 + 𝑦 = 47
810𝑥 + 160𝑦 = 25 070
(D) {
810𝑥 + 160𝑦 = 47
𝑥 + 𝑦 = 25 070
(E) {
10𝑥 + 160𝑦 = 47
𝑥 + 𝑦 = 2507
3. Sabe-se que todo sistema de duas equações de 1º grau com duas incógnitas pode ser
escrito na forma:
{
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 = 𝑓
Sendo 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓 números inteiros, com 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0, 𝑑 ≠ 0, 𝑒 ≠ 0.
Por exemplo, o sistema: {
𝑥 + 3𝑦 = 5
2𝑥 + 𝑦 = 3
onde
𝑎 = 1, 𝑏 = 3, 𝑐 = 5, 𝑑 = 2, 𝑒 = 1, 𝑓 = 3.
Assinale a alternativa que indica um sistema de 1º grau com duas incógnitas.
(A) {
2𝑥 − 𝑦 = 1
𝑥𝑦 > 6
(B) {
2𝑦 = 5
𝑥 − 𝑦 = 2
(C) {𝑥2
+ 5𝑦 = 14
𝑥 = 3

9
(D) {
3𝑥 + 4𝑦 = 2
5𝑥 + 2𝑦 = 8
(E) {
𝑥 + 4𝑦 = 2
5𝑥 + 2𝑦 = 8
4. A adição de dois números reais é menos dez. Sabe-se que a diferença do triplo do
primeiro com o dobro do segundo é zero.
Considerando x o primeiro número e y o segundo, assinale a opção que indica o sistema
associado a essa situação.
(A) {
𝑥 + 𝑦 = 10
3𝑥 = 2 − 𝑦
(B) {
𝑥 + 𝑦 = −10
3𝑥 − 2𝑦 = 0
(C) {
3𝑥 − 2𝑦 = 10
𝑥 + 𝑦 = 0
(D){
3𝑥 − 2𝑦 = 10
3𝑥 + 2𝑦 = 0
(E){
3𝑥 − 2𝑦 = 10
𝑥 + 2𝑦 = 0
5. A diferença entre dois números reais é 7. Sabe-se que a soma do dobro do primeiro
com o quádruplo do segundo é 11. Considerando x o primeiro número e y o segundo,
assinale a alternativa que indica o sistema associado a essa situação.
(A) {
𝑥 + 𝑦 = 7
2𝑥 = 4 − 𝑦
(B) {
𝑥 − 𝑦 = 7
2𝑥 + 4𝑦 = 11
(C) {
𝑥 − 𝑦 = 7
11𝑦 = 4𝑥
(D){
𝑥 + 2𝑦 = 7
11𝑥 = 4𝑦
(E){
𝑥 + 𝑦 = 7
11𝑥 = 4𝑦
6. Um número é o triplo de outro e a soma dos dois é 40. Considerando x um dos
números e y o outro, assinale a alternativa que indica o sistema associado a essa
situação.

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(A) {
𝑥 + 𝑦 = 3
𝑥 + 𝑦 = 40
(B) {
𝑥 = 3𝑦
2𝑥 + 𝑦 = 40
(C) {
𝑥 + 𝑦 = 3
𝑥 − 𝑦 = 40
(D) {
𝑥 = 3𝑦
𝑥 + 𝑦 = 40
(E) {
𝑥 = 𝑦
𝑥 + 𝑦 = 40
Sistemas de equação de 1° grau – Solução
Problema inicial
Métodos de Resolução
Resolver um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas significa procurar
as soluções comuns às duas equações.
Dentre alguns métodos para chegarmos à solução estudaremos os dois mais utilizados:
o método da substituição e o método da adição.
Os processos ou métodos mais comuns são: o método da substituição, método da
adição, método da comparação, do método gráfico e processo matricial (determinantes
e escalonamento).
Na situação com Juliana, vamos considerar a largura x e o comprimento y, assim temos:
Como o lote de Juliana é retangular, a medida de seu perímetro será 2x + 2y = 78
A diferença das medidas será x – y = 11.
Sistema: {
𝑥 − 𝑦 = 11
2𝑥 + 2𝑦 = 78
Juliana comprou um lote retangular cuja medida do perímetro é de 78 m. Sabendo
que a diferença entre a medida da largura e o comprimento é de 11m, determine as
suas medidas.

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Sistemas de equação de 1° grau – Solução: Método da substituição
Escrevendo as equações abrigadas por uma chave temos:
{
2𝑥 + 2𝑦 = 78 (1)
𝑥 − 𝑦 = 11 (2)
1º – Vamos isolar uma das variáveis em uma das equações. Vamos isolar x na 2ª
equação.
𝑥 − 𝑦 = 11 → 𝑥 = 11 + 𝑦
2º – Substitui-se a expressão encontrada na equação (1), obtendo assim o valor de y.
2(11 + 𝑦) + 2𝑦 = 78
22 + 2𝑦 + 2𝑦 = 78
22 + 4𝑦 = 78
4𝑦 = 78 − 22
4𝑦 = 56
𝑦 =
56
4
𝑦 = 14
3º – Substitui-se o valor de y em qualquer uma das equações iniciais ou mesmo na
equação onde x está isolado.
𝑥 = 11 + 𝑦
𝑥 = 11 + 14
𝑥 = 25
Logo o par ordenado que satisfaz ao sistema é 𝑆 = {(25,14)}
Sistemas de equação de 1° grau – Solução: Método da Adição
Este método consiste em realizarmos a soma dos respectivos termos de cada uma das
equações, a fim de obtermos uma equação com apenas uma incógnita. Para que isso
aconteça será preciso que multipliquemos algumas vezes as duas equações ou apenas
uma equação por números inteiros para que a soma de uma das incógnitas seja zero.

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Retornando ao sistema
{
2𝑥 + 2𝑦 = 78 (1)
𝑥 − 𝑦 = 11 (2)
Para adicionarmos as duas equações e a soma de uma das incógnitas de zero, teremos
que multiplicar a equação (2) por – 2.
Agora, o sistema fica assim:
{
2𝑥 + 2𝑦 = 78 (1)
−2 𝑥 + 2𝑦 = −22 (2)
Adicionando as duas equações:
2x + 2y = 78
+ –2x + 2y = – 22
4y = 56
Logo,
4𝑦 = 56
𝑦 =
56
4
𝑦 = 14
Para determinarmos x, substitui o valor encontrado de y em qualquer das duas
equações:
2𝑥 + 2𝑦 = 78
2𝑥 + 2(14) = 78
2𝑥 + 28 = 78
2𝑥 = 78 − 28

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2𝑥 = 50
𝑥 =
50
2
𝑥 = 25
Assim, o par ordenado solução do sistema é S = {(25, 14)}.
Percebemos que vários problemas podem ser resolvidos utilizando as equações ou
sistema de equações. Procure compreender estas formas e aplique em cada situação
problema.
Sistemas de equação de 1° grau – Solução: Representação Gráfica
Para determinar a solução de um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas
através da representação gráfica, deve-se construir, no plano cartesiano, as duras retas
correspondentes às equações do sistema. E verificar se existe um ponto de intersecção
das duas retas, ou seja, as retas são concorrentes, isto é, se cruzam em um único ponto,
então, esse ponto satisfaz às duas retas ao mesmo tempo.
Retornando ao sistema
{
2𝑥 + 2𝑦 = 78 (1)
𝑥 − 𝑦 = 11 (2)
As retas correspondentes às equações são:
Reta 1: 𝑦 = −𝑥 + 39 e reta 2: 𝑦 = 𝑥– 11. Para construir o gráfico das retas, basta
atribuir valores para x e encontrar o valor de y associado. Ligando-se todos os pontos,
obtém-se o gráfico.

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Observe que as retas são concorrentes e que o ponto (25 , 14) pertence as duas retas.
Logo, a solução do sistema é o par ordenado (𝑥, 𝑦) = (25 , 14).
SAIBA MAIS
Para enriquecem o conhecimento sobre o assunto utilizem o geogebra.
1. Em um determinado estacionamento na cidade de Goiânia é cobrado o valor de R$
4,00 e R$ 12,00 por carro estacionado por período. Ao final de um período, o caixa
registrou R$ 880,00 para um total de 100 veículos. Quantas motos e carros usaram o
estacionamento nesse dia?

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MOMENTO ENEM
1. (Enem – 2018) Visando atingir metas econômicas previamente estabelecidas, é
comum no final do mês algumas lojas colocarem certos produtos em promoção. Uma
determinada loja de departamentos colocou em oferta os seguintes produtos: televisão,
sofá e estante. Na compra da televisão mais o sofá, o cliente pagaria R$ 3 800,00. Se ele
levasse o sofá mais a estante, pagaria R$ 3 400,00. A televisão mais a estante sairiam
por R$ 4 200,00. Um cliente resolveu levar duas televisões e um sofá que estavam na
promoção, conseguindo ainda mais 5% de desconto pelo pagamento à vista.
O valor total, em real, pago pelo cliente foi de
A) 3 610,00.
B) 5 035,00.
C) 5 415,00.
D) 5 795,00.
E) 6 100,00.
2. (Enem – 2015) Uma barraca de tiro ao alvo de um parque de diversões dará um
prêmio de R$ 20,00 ao participante, cada vez que ele acertar o alvo. Por outro lado, cada
vez que ele errar o alvo, deverá pagar R$ 10,00. Não há cobrança inicial para participar
do jogo. Um participante deu 80 tiros e, ao final, recebeu R$ 100,00.
Qual foi o número de vezes que esse participante acertou o alvo?
A) 30
B) 36
C) 50
D) 60
E) 64
3. (Enem – 2017) Uma escola organizou uma corrida de revezamento 4 x 400 metros,
que consiste em uma prova esportiva na qual os atletas correm 400 metros cada um
deles, segurando um bastão, repassando-o de um atleta para outro da mesma equipe,
realizando três trocas ao longo do percurso, até o quarto atleta, que cruzará a linha de
chegada com o bastão. A equipe ganhadora realizou a prova em um tempo total de 325
segundos.
O segundo corredor da equipe ganhadora correu seus 400 metros 15 segundos mais
rápido do que o primeiro; já o terceiro realizou seus 400 metros 5 segundos mais rápido
que o segundo corredor, e o último realizou seu percurso em 3/4 do tempo realizado
pelo primeiro.

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Qual foi o tempo, em segundo, em que o último atleta da equipe ganhadora realizou
seu percurso de 400 metros?
A) 58
B) 61
C) 69
D) 72
E) 96
4. (Enem – 2018) Uma pessoa encheu o cartão de memória de sua câmera duas vezes,
somente com vídeos e fotos. Na primeira vez, conseguiu armazenar 10 minutos de vídeo
e 190 fotos. Já na segunda, foi possível realizar 15 minutos de vídeo e tirar 150 fotos.
Todos os vídeos possuem a mesma qualidade de imagem entre si, assim como todas as
fotos. Agora, essa pessoa deseja armazenar nesse cartão de memória exclusivamente
fotos, com a mesma qualidade das anteriores.
O número máximo de fotos que ela poderá armazenar é
A) 200.
B) 209.
C) 270.
D) 340.
E) 475.
5. (Enem – 2018) Uma loja vende automóveis em N parcelas iguais sem juros. No
momento de contratar o financiamento, caso o cliente queira aumentar o prazo,
acrescentando mais 5 parcelas, o valor de cada uma das parcelas diminui R$ 200,00, ou
se ele quiser diminuir o prazo, com 4 parcelas a menos, o valor de cada uma das parcelas
sobe R$ 232,00. Considere ainda que, nas três possibilidades de pagamento, o valor do
automóvel é o mesmo, todas são sem juros e não é dado desconto em nenhuma das
situações.
Nessas condições, qual é a quantidade N de parcelas a serem pagas de acordo com a
proposta inicial da loja?
A) 20
B) 24
C) 29
D) 40
E) 58

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(GO-EMMAT301C) Resolver e elaborar problemas que envolvem sistemas de
equações, analisando os resultados e a adequação das soluções propostas, para
construir argumentação consistente.
DESCRITOR(ES) SAEB:
Classificação de um sistema linear quanto ao número de soluções
Um sistema linear por admitir uma única solução, infinitas soluções ou não ter solução.
Observe o diagrama a seguir:
Sendo que:
SP → Admite solução
SI → Não admite solução
SPD → Admite solução única
SPI → Admite infinitas soluções
Sem perda de generalidade, usaremos sistemas lineares no ℝ2
(plano cartesiano) para
representar os 3 casos.

18
a) {
2𝑥 − 𝑦 = 0
𝑥 + 3𝑦 = 7
b) {
𝑥 + 3𝑦 = 6
2𝑥 + 6𝑦 = 12
C) {
𝑥 − 3𝑦 = 1
−2𝑥 + 6𝑦 = 3
SPD  𝑆 = {(1,2)} SPI  S = {todos os
pontos da reta}
SI  𝑆 = { }
Retas concorrentes Retas (paralelas)
coincidentes
Retas paralelas distintas
Para facilitar seu entendimento pode-se reescrever os sistemas acima como:
a) {
𝑦 = 2𝑥
𝑦 = −
𝑥
3
+
7
3
b) {
𝑦 = −
𝑥
3
+ 2
𝑦 = −
𝑥
3
+ 2
C) {
𝑦 =
𝑥
3
−
1
3
𝑦 =
𝑥
3
+
1
2
1. Reescreva os sistemas a seguir e classifique-os:
a) {
𝑥 + 𝑦 = 3
𝑥 − 𝑦 = 7
b) {
3𝑥 − 𝑦 = 12
𝑥 + 𝑦 = 4
c) {
2𝑥 − 𝑦 = 1
−4𝑥 + 2𝑦 = 2
d) {
2𝑥 − 𝑦 = 0
−2𝑥 + 𝑦 = 5
e) {
2𝑥 − 𝑦 = 1
𝑥 + 3𝑦 = −3

19
f) {
𝑥
4
− 𝑦 = −2
−𝑥 + 4𝑦 = 8
Sistemas de equação de 1° grau – Solução: Escalonamento
Uma outra maneira de resolver um sistema qualquer na sua forma original ou na forma
matricial fica para outro momento sua explicação e escalonar o sistema. Para isto deve-
se transformar o sistema em questão em um sistema escalonado equivalente.
Os passos objetivos para realizaremos esse processo é efetuar operações elementares
com as linhas do sistema.
Observe as etapas desse procedimento:
- Trocar duas (ou mais) linhas de posição.
- Multiplicar uma linha por uma constante não nula.
- Somar um múltiplo escalar de uma linha com outra linha.
Veja o exemplo:
Exemplo: Determine o conjunto verdade do sistema linear: {
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 3
2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 9
3𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = −10
Resolução
Observe que o termo em “𝑥” da primeira equação (linha 1) tem coeficiente 1 (um), o
que facilita muito todos os procedimentos. Caso o sistema não apresentasse tal
situação, poderíamos ajustá-lo para essa configuração, utilizando as operações
elementares com as linhas, obviamente.
Aplicando as operações elementares com as linhas, para eliminarmos os termos em “𝑥”
da 2ª e 3ª equações, tem-se:
Primeiro: multiplicar a linha 1 por −2 e depois somar com a linha 2, observe:
{
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 3
2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 9
3𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = −10
× (−2)
Uma observação importante a linha 1 permanecerá a mesma, este procedimento é
apenas para modificar a linha 2.
{
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 3
−𝑦 + 3𝑧 = 3
3𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = −10
Segundo: multiplicar a linha 1 por −3 e depois somar com a linha 3, observe:

20
{
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 3
−𝑦 + 3𝑧 = 3
3𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = −10
× (−3)
{
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 3
−𝑦 + 3𝑧 = 3
−7𝑦 + 𝑧 = −19
Agora devemos eliminar o termo em “𝑦” da terceira equação. Então:
Terceiro: multiplicar a linha 2 por −7 e depois somar com a linha 3, observe:
{
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 3
−𝑦 + 3𝑧 = 3
−7𝑦 + 𝑧 = −19
× (−7)
{
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 3
−𝑦 + 3𝑧 = 3
−20𝑧 = −40
Quarto: na terceira equação, tem-se que:
– 20𝑧 =– 40
𝑧 = 2
Quinto: substituindo o valor de 𝑧 = 2 na equação da linha 2, temos que:
−𝑦 + 3𝑧 = 3
−𝑦 + 3 ∙ 2 = 3
−𝑦 + 6 = 3
−𝑦 = 3 − 6
−𝑦 = −3 ou 𝑦 = 3
Sexto: substituindo os valores de 𝑧 = 2 e 𝑦 = 3 na equação da linha 1, temos que:
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 3
𝑥 + 2 ∙ 3 − (2) = 3
𝑥 + 6 − 2 = 3
𝑥 + 4 = 3
𝑥 = 3 − 4
𝑥 = −1

21
Logo, o conjunto verdade do sistema dado é: 𝑉 = {(– 1, 3, 2)}.
1. Resolva e classifique os sistemas lineares a seguir.
a) {
3𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 = 1
4𝑥 − 5𝑦 + 𝑧 = 13
5𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 5
b) {
𝑥 + 2𝑦 = 5
2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = −3
𝑦 + 𝑧 = 1
c) {
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 1
3𝑥 + 7𝑦 + 2𝑧 = 0
2𝑥 − 5𝑦 + 11𝑧 = 13
d) {
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2
3𝑥 + 7𝑦 + 2𝑧 = 2
5𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 12
e) {
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 12
3𝑎 − 𝑏 + 2𝑐 = 14
2𝑎 − 2𝑏 + 𝑐 = −3
Estudantes pesquisem como seria o escalonamento quando o sistema for:
Sistema possível e indeterminado – SPI
Sistema impossível – SI
Estudantes utilizem, junto com a resolução por escrita, o MS Excel / GeoGebra / ou similar.

22
1º Momento: apresentação do tema RAZÃO para a matemática
2º Momento: aula invertida (pesquisa do tema razão)
3º Momento: sistematização dos conhecimentos
Neste momento vamos compreender e aplicar as relações lógicas das razões matemáticas em
situações problema.
Em matemática a comparação entre dois números racionais, através de uma divisão, chama-se
razão.
Assim, na razão temos uma divisão ou o quociente entre dois números racionais a e b,
representada por 𝑎: 𝑏 ou 𝑎/𝑏 ou
𝑎
𝑏
, com 𝑏 ≠ 0.
Lê-se 𝑎 para 𝑏, ou 𝑎 está para 𝑏.
Exemplo:
3: 5 ou 3/5 ou
3
5
, lê-se 3 para 5, ou 3 está para 5.
Os termos de uma razão recebem nomes específicos: o número 𝒂 é denominado antecedente
e o número 𝒃 é denominado consequente.
Exemplo:
3
5
→ 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑐𝑒𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒
→ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒
Razões inversas
Dizemos que duas razões são inversas quando elas têm o produto igual a 1.
Importante: verifique que nas razões inversas o antecedente de uma é o consequente da outra,
e vice-versa.
Exemplo:
3
5
e
5
3
são razões inversas, pois:
3
5
∙
5
3
= 1
7
4
e
4
7
são razões inversas, pois:
7
4
∙
4
7
= 1

23
Razões equivalentes
Dada uma razão entre dois números, obtemos uma razão equivalente multiplicando-se ou
dividindo-se os termos de uma razão por um mesmo número racional (diferente de zero).
Obs.: o símbolo + significa equivalente.
Exemplos:
5
6
~
10
12
são razões equivalentes, pois:
5
6
∙
2
2
=
10
12
ou
× 2
→
5
6
=
10
12
→
× 2
15
9
~
5
3
são razões equivalentes, pois:
15
9
÷
3
3
=
5
3
ou
÷ 3
→
15
9
=
5
3
→
÷ 3
O que nos interessa neste momento é estudar as razões como representadas na forma
percentual. Antes de definirmos o que é porcentagem, devemos lembrar que fração é uma
divisão e pode ser vista como uma razão. Podemos dizer que na fração o numerador representa
quantas partes foram tomadas e, o denominador, em quantas partes o inteiro foi dividido. Por
exemplo, se dividirmos um bolo em 4 partes iguais e comermos 2 partes, concluímos que
comemos
2
4
do bolo, o que é equivalente a
1
2
(metade). De forma bem simples, podemos
conceituar a porcentagem como sendo uma razão expressa com o denominador 100. E, para
representar a porcentagem, usaremos o símbolo %.
Logo, a expressão 50% significa cinquenta por cento, ou seja, 50% =
50
100
=
1
2
= 0,5 (metade).
Observação a igualdade em: 50% =
50
100
=
1
2
= 0,5 deve ser lida como equivalente, pois são
formas diferentes de representar a mesma proporção.
Vamos olhar as razões matemáticas no estudo das porcentagens através da resolução de
situações problema.
Geralmente, podemos dizer que toda razão na forma
𝑎
𝑏
, onde 𝑏 = 100, pode ser representada
na forma de porcentagem.
Exemplo:
30
100
= 30%, onde lê-se trinta por cento.
Na representação de uma razão
𝑎
𝑏
, tem-se que:
Primeiro caso: Frações equivalentes
O consequente 𝑏 é um fator natural de 100.

24
Exemplo:
4
5
× 20
→
=
→
× 20
80
100
= 80%
Segundo caso: Forma decimal
O consequente b não é um fator natural de 100.
Exemplo:
3
8
= 0,375 =
0,375∙100
100
=
37,5
100
= 37,5%
Situações problemas
Exemplo 1
No final de ano sempre há liquidação nos shoppings de Goiânia, onde os descontos variam
muito. Suponha que em determinada loja um produto teve o desconto de 7 mil reais sobre o
preço de 20 mil reais. Quanto por cento equivale esse desconto?
Sugestão de solução:
Do enunciado tem-se inicialmente, a razão de 7 para 20, ou seja,
7
20
∙
Aqui podemos resolver este exercício de duas formas:
• Usando frações equivalentes, tem-se:
7
20
× 5
→
=
→
× 5
35
100
= 35%
Para descobrir que devo multiplicar por 5, basta dividir 100 por 20.
• Usando a forma decimal, tem-se:
7
20
= 0,35 =
0,35 ∙ 100
100
=
35
100
= 35%
razao equivalente de
consequente igual a 100
forma decimal de
3
8

25
Portanto, o desconto de 7 mil reais equivale a 35%.
Exemplo 2
O Brasil tem um total de 8.514.876 km² de superfície territorial. A região Centro-Oeste ocupa
cerca de 1.606.371.505 km². A área ocupada pela região Centro-Oeste representa,
aproximadamente, quantos por cento da área total do Brasil?
Do enunciado temos:
área total do Brasil → 8.514.876 km²
área da região Centro-Oeste → 1.606.371 km²
• Usando a razão:
á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖ã𝑜 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 − 𝑂𝑒𝑠𝑡𝑒
á𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝐵𝑟𝑎𝑠𝑖𝑙
→
1 606 371 km2
8 514 876 km2
• Aplicando a forma decimal, tem-se:
1
606 371 505
8 514 876
≅ 0,188 =
0,188∙100
100
= 18,8%
Portanto, a área ocupada pela região Centro-Oeste no Brasil representa, aproximadamente
18,8%.
Exemplo 3
Obtive um lucro de R$ 3,00 sobre o preço de um produto vendido a R$ 120,00. Quanto por cento
obtive de lucro?
Do enunciado temos inicialmente, a razão de 3 para 120:
lucro → R$ 3,00
preço de um produto vendido → R$ 120,00
• Usando a razão:
lucro
preço de um produto vendido
=
3
120
• Aplicando a forma decimal, tem-se:
3
120
= 0,025 =
0,025 ∙ 100
100
= 2,5%

26
Portanto, obtive um de lucro 2,5%.
Aplicação dos conhecimentos
PESQUISAR :
Taxas tais como:
• Taxa Selic
• Taxa de Juros
• Taxa de inflação
• Taxas municipais / estaduais / federais
• Taxa de Registro do Comércio
• Índice de Desenvolvimento Humano (IDH)
Sistematização dos conhecimentos
Roda de conversa - alunos em círculo ou semicírculo).
Primeira conversa.
• Você observou alguma relação entre razão matemática e as taxas e índices?
• Qual a forma mais usual que aparece as taxas e índices (decimal / fracionário
/ percentual)?
• Você encontrou algum índice ou taxa além das que foram listadas para a
pesquisa? Quais?
• Descreva com suas palavras os significados de razão, taxa e índice.
Recomenda-se que este momento seja realizado por meio de uma pesquisa, então uma aula
antes pesquise os temas a seguir:

27
LISTA DE ITENS PARA O NIVELAMENTO
1. (ADA – 2015) Numa gincana Renata juntou 220 latinhas, Lívia 350 e Márcia não juntou nada.
Para que ninguém ficasse sem ponto, Renata e Lívia doaram latinhas para Márcia, de tal forma
que todas ficaram com a mesma quantidade.
Qual o percentual de latinhas doado por Lívia à Márcia?
(A) 16,1%
(B) 25%
(C) 30%
(D) 41,5%
(E) 45,7%
2. (ADA – 2015) O gráfico a seguir apresenta o resultado de uma pesquisa eleitoral que estudou
a intenção de votos nos candidatos A, B e C.
De acordo com o gráfico o candidato B possui
(A) 40% das intenções de votos dos entrevistados.
(B) 30% das intenções de votos dos entrevistados.
(C) 25% das intenções de votos dos entrevistados.
(D) 20% das intenções de votos dos entrevistados.
(E) 15% das intenções de votos dos entrevistados.
3. (ADA – 2015) A tabela de Distribuição de Frequência a seguir apresenta a quantidade de
jovens de até 15 anos de idade que foram selecionados para participar de um time de vôlei.
Sabendo que a estatura ideal para o vôlei deve ser superior ou igual a 1,80m, a porcentagem de
jovens apresentados nessa tabela que satisfazem essa condição é de

28
(A) 4%.
(B) 24%.
(C) 28%.
(D) 60%.
(E) 64%.
4. (ADA – 2015) O gráfico a seguir representa a evolução da população brasileira no período de
1940 a 2007, segundo dados do IBGE.
Observando os dados é correto afirmar que a população brasileira cresceu aproximadamente
(A) 62% de 1940 para 1960.
(B) 24 milhões de 1970 para 1980.
(C) 150% de 1960 para 1991.
(D) 17% de 1996 a 2007.
(E) 77 milhões de 1950 para 1980.
5. (ADA – 2015) João trabalha em uma empresa com um salário de R$ 890,00. No final do ano,
João receberá um aumento de 10%.
Qual será o novo salário de João no final de ano?
(A) R$ 898,00
(B) R$ 908,00
(C) R$ 979,00
(D) R$ 980,00
6. (ADA – 2016) Márcia trabalha em uma loja de eletrodomésticos e recebe, mensalmente, um
salário composto de duas partes: um salário fixo de R$ 1 200,00 mais uma comissão de 3% sobre
o total de vendas que efetuar durante o mês.
Admita que no último mês Márcia recebeu de salário R$ 3 300,00.
Assinale a alternativa que apresenta o total, em reais, das vendas que Márcia efetuou para
receber este montante.
(A) R$ 60 000,00

29
(B) R$ 65 000,00
(C) R$ 70 000,00
(D) R$ 75 000,00
(E) R$ 80 000,00
7. (ADA – 2016) A tabela, a seguir, representa o número de habitantes no Brasil no período de
2000 a 2010.
2000 2010
Brasil 169.799.170 190.732.694
Região Norte 12.900.704 15.865.578
Região Nordeste 47.741.711 53.078.137
Região Sudeste 72.412.411 80.353.724
Região sul 25.107.616 27.384.815
Região Central 11.636.728 14.050.340
Disponível em: <https://fernandonogueiracosta.wordpress.com/2010/11/29/censo-2010-
populacao-urbana-sobe-de-8125-para-8435/>. Acesso em: 30 nov. 2015 (Adaptada).
Ao observar os dados da tabela, podemos afirmar que de 2000 para 2010, a população no Brasil
cresce:
(A) 14,3%.
(B) 13,3%.
(C) 12,3%.
(D) 11,3%.
8. (ADA – 2016) Mário acertou 84% de uma prova com 50 questões.
Assinale a alternativa que apresenta o total de questões que Mário errou.
(A) 8
(B) 16
(C) 34
(D) 40
(E) 42
9. (ADA – 2016) Uma calça e um par de sapatos foram anunciados, respectivamente, por R$
160,00 e R$ 140,00. No pagamento à vista, a calça terá um desconto de 10% e o par de sapatos
8%.
Assinale a alternativa que apresenta o valor, em reais, do desconto no pagamento à vista dos
dois produtos.
(A) R$ 8,00.
(B) R$ 10,00.
(C) R$ 18,00.
(D) R$ 27,20.
(E) R$ 54,40.

30
10. (ADA – 2016) Para aumentar as vendas de um certo produto que custava R$ 40,00, um
comerciante tirou 15% do preço.
Após uma semana, aumentou em 15% o preço.
Após o aumento, esse produto passou a custar
(A) R$ 34,00.
(B) R$ 34,90.
(C) R$ 39,10.
(D) R$ 40,00.
(E) R$ 41,50.
11. (ADA – 2016) O salário mínimo que, em 2015, era igual a R$ 788,00, passou a valer R$ 880,00
em 2016.
O percentual de aumento do salário mínimo de 2016 em relação a 2015 foi de aproximadamente
(A) 10.
(B) 10,5.
(C) 11,68.
(D) 12.
(E) 12,68.
12. (ADA – 2016) Um produto cujo valor inicial era igual a R$ 120,00 teve um desconto de 20%
para diminuir o estoque. Após uma semana, o mesmo produto teve um acréscimo de 20%.
O valor atual desse produto é igual a
(A) R$ 96,00.
(B) R$ 98,20.
(C) R$ 88,80.
(D) R$ 109,10.
(E) R$ 115,20.
13. (ADA – 2016) O gráfico a seguir apresenta a quantidade de carros vendidos em uma loja de
maio a setembro.

31
Assinale a alternativa que apresenta, aproximadamente, o percentual das vendas do mês de
maio em relação ao total de carros vendidos neste período.
(A) 25,55%
(B) 33,33%
(C) 44,44%
(D) 48,45%
(E) 52,25%
14. (ADA – 2017) De 2010 a 2016, a população de uma cidade aumentou 35 284 habitantes,
número que corresponde a 20% de aumento da população.
O número de habitantes dessa cidade, no ano de 2010, era igual a
(A) 167 568.
(B) 176 420 .
(C) 195 284.
(D) 352 840.
15. (ADA – 2017) Observe o quadro a seguir:
Nessas condições, pode-se afirmar que essa tv custa
(A) exatamente R$ 4 580,00.
(B) um valor inferior a R$ 4 370,00.
(C) um valor superior a R$ 4 850,00.
(D) um valor entre R$ 4 690,00 e R$ 4 850,00.
16. (ADA – 2017) Simone deu 15% de entrada na compra de uma moto, o que corresponde a
𝑅$ 1 170 do valor total da moto.
Assinale a alternativa que corresponde ao valor total da moto.
(A) 𝑅$ 18 000
(B) 𝑅$ 13 550
(C) 𝑅$ 7 800
(D) 𝑅$ 6 250
30% do preço de uma TV LED
equivale a R$ 1 374,00

32
COMPETÊNCIA ESPECÍFICA 3:
Propor ou participar de ações para investigar desafios do mundo contemporâneo e tomar
decisões éticas e socialmente responsáveis, com base na análise de problemas sociais como
os voltados a situações de saúde, sustentabilidade, das implicações da tecnologia no mundo
do trabalho, entre outros, mobilizando e articulando conceitos, procedimentos e linguagens
próprios da Matemática.
(EM13MAT203) Aplicar conceitos matemáticos no planejamento, na execução e na análise de
ações envolvendo a utilização de aplicativos e a criação de planilhas (para o controle de
orçamento familiar, simuladores de cálculos de juros simples e compostos, entre outros), para
tomar decisões.
(GO-EMMAT203A) Determinar os valores de capitais, juros (simples e composto), montantes,
taxas e/ou tempos - com as conversões de medidas necessárias - de aplicações financeiras,
empréstimo etc., utilizando procedimentos matemáticos adequados para compreender
conceitos essenciais de investigação, planejamento, execução, participação e análise do
mundo contemporâneo.
Cálculos envolvendo porcentagens. Conceitos de Matemática Financeira (juros simples,
compostos, taxas de juros etc.). Alguns sistemas de amortização. Noções de fluxo de caixa.
Funções: exponenciais e logarítmicas.
DESCRITOR(ES) SAEB:
Resolver problema que envolva porcentagem.

33
Capitalização Simples e Composta
Considere que duas empresas: a empresa X e a empresa Y, tenham a receber R$3000,00
cada. A empresa X deve receber seus R$3000,00 em 30 dias e a empresa Y em 360 dias.
Pergunta:
Será que os R$3000,00 da empresa X valem o mesmo que os R$3000,00 da empresa Y?
Resposta:
Claro que não! Os R$3000,00 da empresa X valem mais do que os R$3000,00 da empresa
Y, pois o valor do dinheiro varia no tempo. Isso é chamado “valor temporal” do dinheiro.
A matemática financeira é a ciência que estuda o valor do dinheiro no tempo.
São em situações como essas que se percebe como a matemática financeira é um
instrumento útil na análise de algumas alternativas de investimento ou financiamento de bens.
Ela versa em empregar algoritmos matemáticos para simplificar a operação financeira.
Conceitos Fundamentais
Vamos começar com os conceitos fundamentais necessários para um melhor entendimento.
Capital: É a quantia (dinheiro) na “data zero”, ou seja, no início da aplicação ou compra ou venda
ou financiamento. Pode ser o dinheiro investido em uma atividade econômica, o valor
financiado de um bem ou de um empréstimo tomado.
Outras denotações para capital: também chamado de valor presente, valor inicial, valor
principal, entre outros.
Notação: C
Juros: É a remuneração (em dinheiro) obtida pelo uso do capital por um intervalo de tempo, isto
é, é o custo do crédito obtido. Pode ser entendido também como sendo o valor pago (aluguel)
pelo uso do dinheiro.
Notação: J

34
Prazo: É o período ao fim do qual os juros são calculados. É também chamado de período de
capitalização. Os mais usados são: dia, mês, bimestre, trimestre, semestre e ano dentre outros.
Notação: n ou t
Taxa de Juros: É o coeficiente resultante da razão entre o juro e o capital. A cada taxa deverá vir
anexado o período a que ela se refere. Assim, elas devem estar de acordo com o prazo.
Notação: i
Exemplo: 10% ao mês significa que cada R$100,00 de capital aplicado rende $10,00 de juros, a
cada mês de aplicação.
Montante: É a quantia (em dinheiro) no fim da aplicação, sendo a soma do capital aplicado e o
juro produzido em um determinado período.
Outras denotações para montante: é também chamado de valor futuro, valor final, saldo, entre
outros.
Notação: M
Matematicamente, tem-se que: 𝑀 = 𝐶 + 𝐽
1. Faça um resumo sobre os conceitos estudados.
Resposta pessoal
2. Pesquise e faça um mapa mental sobre capitalização
Resposta pessoal
3. Qual o significado das abreviações a seguir:
a) a.d.
b) a.m.
Estudantes é usual a utilização de abreviaturas para representar por exemplo:
ao mês: a.m.

35
c) a.b.
d) a.t.
e) a.s.
f) a.a.
4. Uma pessoa aplicou R$ 10 000,00 durante 90 dias e recebeu R$ 600,00 de juro no final desse
período. Qual o montante que essa pessoa recebeu?
5. Dê quatro exemplos de taxa de juros.
Resposta pessoal
Estudo das Taxas (simples)
O estudo sobre taxas equivalentes ou proporcionais é muito importante pois sempre devemos
trabalhar (calcular) as taxas de juros e os períodos na mesma unidade de tempo.
Sabe o isto significa na verdade que se:
2% ao mês e o período é 3 meses – eu posso prosseguir com os cálculos, agora se
3% ao mês e o período é 21 dias – eu não posso prosseguir com os cálculos, antes tenho que
transformar 3% ao mês para 0,1% ao dia ou transformar 21 dias em 0,7 meses.
Então vamos definir taxas proporcionais.
As taxas 𝑖1 e 𝑖2 são ditas proporcionais se, com relação aos períodos 𝑛1 e 𝑛2 , expressos na
mesma unidade de tempo, ocorrer
𝑖1
𝑛1
=
𝑖2
𝑛2
Exemplo: As taxas 32% ao ano, 16% ao semestre, 8% ao trimestre são proporcionais, pois, se
tomarmos meses como unidade de tempo, teremos:
32
12
=
16
6
=
8
3
Agora quando queremos trabalhar com referências temporais diferentes, devemos nos referir a
taxas equivalentes, então podemos escrever a seguinte definição.
Taxas equivalentes são taxas que são dadas em referências temporais diferentes, mas produzem
o mesmo montante se aplicadas ao mesmo capital, em um mesmo período.
Observação: Esta definição vale para qualquer tipo de capitalização.

36
A juros simples, duas taxas equivalentes são também proporcionais. Porém, isso não acontece
quando se trata de juros compostos.
Então vamos as taxas Equivalentes na Capitalização Simples para isto considere que um capital
𝐶 é aplicado por 1 ano 𝑎 taxas equivalentes nas referências descritas na tabela a seguir.
Período Taxa
Ano 𝑖𝑎
Semestre 𝑖𝑠
Trimestre 𝑖𝑡
Bimestre 𝑖𝑏
Mês 𝑖𝑚
Dia 𝑖𝑑
Daí tem-se que:
𝑖𝑎 = 2𝑖𝑠 = 4𝑖𝑡 = 6𝑖𝑏 = 12𝑖𝑚 = 360𝑖𝑑
Exemplo: Na capitalização simples, qual é a taxa equivalente mensal à taxa 24% ao ano?
𝑖𝑎 = 12𝑖𝑚
24% = 12𝑖𝑚
𝑖𝑚 =
24%
12
𝑖𝑚 = 2%
1. Na capitalização simples, qual é a taxa equivalente semestral à taxa 2,5% ao mês?
2. Na capitalização simples, qual é a taxa equivalente mensal à taxa 18% ao ano?
3. Na capitalização simples, qual é a taxa equivalente mensal à taxa 0,8% ao dia?
4. Na capitalização simples, qual é a taxa equivalente diária à taxa 108% ao ano?
5. Na capitalização simples, qual é a taxa equivalente semestral à taxa 3,2% ao bimestre?
6. Na capitalização simples, qual é a taxa equivalente semestral à taxa 0,7% ao dia?
7. Na capitalização simples, qual é a taxa equivalente mensal à taxa 5,4% ao trimestre?

37
tomar decisões.
(GO-EMMAT203B) Compreender os conceitos essenciais da Matemática Financeira,
educação financeira e outros, analisando dados e informações de problemas diversos
(empréstimos, saúde, educação, finanças, sustentabilidade, tecnologia no mundo do trabalho
etc.), para aplicar tais conceitos na busca por soluções de problemas.
DESCRITOR(ES) SAEB:
Regimes de Capitalização
Considere que um capital foi aplicado a uma determinada taxa por um período ou por vários
períodos. Quando formos calcular qual será o valor do montante, na verdade deseja-se saber o
resultado da capitalização do valor atual. O montante pode ser calculado de acordo com os
seguintes critérios:
1. Regime de Capitalização Simples;
2. Regime de Capitalização Composta;

38
3. Regime de Capitalização Mista.
Vamos analisar cada uma das capitalizações citadas acima.
Regime de Capitalização Simples
No Regime de Capitalização Simples, a taxa de juros incide diretamente sobre o valor do capital.
Em cada período, o juro é obtido pelo produto do capital inicial pela taxa unitária. Desta forma,
os juros são iguais em cada período. É também chamado de Juros Simples.
Exemplo: Um investidor aplica R$2.000,00 por um prazo de 5 meses a uma taxa mensal de 5%.
Encontre o valor do saldo ao final de cada período usando o Regime de Capitalização Simples.
Vamos resolver:
Primeiro definir o fluxo de caixa (entradas de valor monetário):
Agora lembre da definição de montante 𝑀 = 𝐶 + 𝐽, sendo que:
𝑀1 montante do primeiro mês;
𝑀2 montante do segundo mês;
𝑀3 montante do terceiro mês;
𝑀4 montante do quarto mês;
𝑀5 montante do quinto mês.
Assim:
𝑀1 = 2.000 + 2.000(0,05) = 𝑅$2.100
𝑀2 = 2.100 + 2.000(0,05) = 𝑅$2.200
𝑀3 = 2.200 + 2.000(0,05) = 𝑅$2.300
𝑀4 = 2.300 + 2.000(0,05) = 𝑅$2.400
𝑀5 = 2.400 + 2.000(0,05) = 𝑅$2.500

39
Observe que, a cada mês, o montante é acrescido de R$100,00. Assim, podemos afirmar que os
montantes formam uma Progressão Aritmética de razão 100.
No caso geral, para um capital C aplicado a juros simples durante n períodos a uma taxa unitária
i referida nesse período, tem-se uma Progressão Aritmética cujo primeiro termo é 𝐶 + 𝐶 ∙ 𝑖 e a
razão é 𝐶 ∙ 𝑖.
Tem-se que o montante será dado por:
𝑀1 = 2.000 + 2.000(0,05)
= 𝑅$2.100
ou
𝑀1 = 𝐶 + 𝐶 ∙ 𝑖 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)
𝑀2 = 2.100 + 2.000(0,05)
= 𝑅$2.200
ou
𝑀2 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖) + 𝐶 ∙ 𝑖 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖 + 𝑖)
= 𝐶 ∙ (1 + 2𝑖)
𝑀3 = 2.200 + 2.000(0,05)
= 𝑅$2.300
ou
𝑀3 = 𝐶 ∙ (1 + 2𝑖) + 𝐶 ∙ 𝑖 = 𝐶 ∙ (1 + 2𝑖 + 𝑖)
= 𝐶 ∙ (1 + 3𝑖)
𝑀4 = 2.300 + 2.000(0,05)
= 𝑅$2.400
ou
𝑀4 = 𝐶 ∙ (1 + 3𝑖) + 𝐶 ∙ 𝑖 = 𝐶 ∙ (1 + 3𝑖 + 𝑖)
= 𝐶 ∙ (1 + 4𝑖)
𝑀5 = 2.400 + 2.000(0,05)
= 𝑅$2.500
ou
𝑀5 = 𝐶 ∙ (1 + 4𝑖) + 𝐶 ∙ 𝑖 = 𝐶 ∙ (1 + 4𝑖 + 𝑖)
= 𝐶 ∙ (1 + 5𝑖)
Pode-se generalizar para: 𝑀 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑛 ∙ 𝑖), onde já visto que:
C = capital inicial;
Estudante lembre que o investidor recebe mensalmente o juro e não o
montante, ou seja,
2.000 ∙ (0,05)
que é equivalente a R$ 100 mensais.
Observação: estudantes monte uma tabela para esse cálculo no Excel,
conforme exemplo abaixo:

40
n = tempo em unidade qualquer;
i = taxa de juros;
1. O preço de um produto à vista é igual a R$700,00. Um senhor deseja compra-lo dando uma
entrada de 20% e o restante para 45 dias. Se a loja cobra juros simples de 8% ao mês, qual o
valor do pagamento devido?
2. Carlos adquiriu um empréstimo a uma taxa linear (simples) de 1,8% a.m. Considere que ele
pagou um montante de R$5.667,20 após 20 dias. Qual é o valor do empréstimo?
3. Ana uma investidora aplicou R$4.000,00 com capitalização simples à taxa de 5%a.m.
Considere que o montante que ela recebeu foi de R$7.000,00 e determine o prazo dessa
aplicação.
4. Ao completar seus 18 anos e adquirir sua independência financeira, João decidiu alugar um
imóvel. Uma prática bastante comum para o aluguel de imóveis é o uso do devedor solidário ou
então o pagamento de um cheque caução. Ambas as opções são para resguardar quem está
alugando o imóvel. A primeira delas consiste em uma terceira pessoa se responsabilizar pelas
dívidas caso o locatário não pague. A segunda é o pagamento, por parte do locatário, de um
valor, que fica na conta do locador até o término do contrato. Ao final, esse valor é devolvido
para o locatário.
Como não havia ninguém disposto a ser devedor solidário, João optou pela segunda opção,
pegando dinheiro emprestado com o seu irmão, José. O empréstimo foi de R$ 3.000,00 e, para
que José não ficasse em desvantagem, ele propôs para o seu irmão que o pagasse com juros
simples de 1% a.m. Se, ao final de 1 ano, João pagar a sua dívida com o seu irmão, o valor pago
por ele será de:
Fonte: https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-juros-simples.htm#questao-2
A) R$ 3600,00.
B) R$ 3360,00.
C) R$ 3660,00.
D) R$ 3930,00.
E) R$ 3036,00.

41
5. Durante quanto tempo um capital deve ser mantido em investimento a juros simples com
taxa de 2% a.m. para que ele gere um montante que seja o dobro do capital investido?
Fonte: https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-juros-simples.htm#questao-2
A) 3 anos e 4 meses.
B) 3 anos e 6 meses.
C) 3 anos e 9 meses.
D) 4 anos.
E) 4 anos e 2 meses.
Regime de Capitalização Composta
No Regime de Capitalização Composta, a taxa de juros incide diretamente sobre o valor do
montante do período anterior e assim sucessivamente (por isso alguns dizem juros sobre juros).
É também chamado de Juros Compostos.
No exemplo a seguir utilizaremos um valor exato e uma taxa redonda para facilitar os cálculos.
Exemplo: Um investidor aplica R$1.000,00 por um prazo de 6 meses a uma taxa mensal de 10%.
Encontre o valor do saldo ao final de cada período usando o Regime de Capitalização Composta.
Calculando o montante 𝑀𝑛 ao final de cada mês 𝑛, obtem-se:
𝑀1 = 1.000 ∙ (0,1) + 1.000 = 1.100
𝑀2 = 1.100 ∙ (0,1) + 1.100 = 1.210
𝑀3 = 1.210 ∙ (0,1) + 1.210 = 1.331
𝑀4 = 1.331 ∙ (0,1) + 1.331 = 1.464,10
𝑀5 = 1.464,10 ∙ (0,1) + 1.464,10 = 1.610,51
𝑀6 = 1.610,51 ∙ (0,1) + 1.610,51 = 1.771,56
Note que, a cada mês, o montante é acrescido de 10% do seu valor. Assim, pode-se afirmar que
os montantes formam uma Progressão Geométrica de razão 1,1.
Da mesma forma que fizemos para capitalização simples pode-se proceder da mesma forma.
Tem-se que o montante será dado por:
𝑀1 = 1.000 ∙ (0,1) + 1.000 = 1.100 ou 𝑀1 = 𝐶 ∙ 𝑖 + 𝐶 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)

42
𝑀2 = 1.100 ∙ (0,1) + 1.100 = 1.210
ou
𝑀2 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖) ∙ 𝑖 + 𝐶 ∙ (1 + 𝑖) = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)(1 + 𝑖)
= 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)2
𝑀3 = 1.210 ∙ (0,1) + 1.210 = 1.331
ou
𝑀3 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)2
∙ 𝑖 + 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)2
= 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)2(1 + 𝑖)
= 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)3
𝑀4 = 1.331 ∙ (0,1) + 1.331 = 1.464,10
ou
𝑀4 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)3
∙ 𝑖 + 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)3
= 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)3(1 + 𝑖)
= 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)4
𝑀5 = 1.464,10 ∙ (0,1) + 1.464,10 =
1.610,51
ou
𝑀5 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)4
∙ 𝑖 + 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)4
= 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)4(1 + 𝑖)
= 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)5
𝑀6 = 1.610,51 ∙ (0,1) + 1.610,51 =
1.771,56
𝑀6 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)5
∙ 𝑖 + 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)5
= 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)5(1 + 𝑖)
= 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)6
Pode-se generalizar para: 𝑀 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)𝑛
, onde já visto que:
𝐶 = capital inicial;
𝑛 = tempo em unidade qualquer;
𝑖 = taxa de juros;
Observação importante:
O montante na capitalização composta pode ser visto como uma equação ou função
exponencial.
Vamos observar o crescimento e a diferença entre a capitalização simples e composta:
𝐶 = R$ 1000,00;
𝑛 = 12 meses;
𝑖 = 2%a.m.
Tempo (n)
Juro
simples
Montante
simples
Juro
composto Montante composto Diferença
0 0,00 1000,00 0,00 1000,00 0
1 20,00 1020,00 20,00 1020,00 0,00
2 40,00 1040,00 40,40 1040,40 0,40
3 60,00 1060,00 61,21 1061,21 1,21
4 80,00 1080,00 82,43 1082,43 2,43
5 100,00 1100,00 104,08 1104,08 4,08
6 120,00 1120,00 126,16 1126,16 6,16
7 140,00 1140,00 148,69 1148,69 8,69
8 160,00 1160,00 171,66 1171,66 11,66
A expressão (1 + 𝑖)𝑛
é chamada de fator de capitalização ou fator de acumulação
de capital. Antes do advento das calculadoras avançadas, este fator ocupava várias
páginas no final dos livros.

43
9 180,00 1180,00 195,09 1195,09 15,09
10 200,00 1200,00 218,99 1218,99 18,99
11 220,00 1220,00 243,37 1243,37 23,37
12 240,00 1240,00 268,24 1268,24 28,24
Essa diferença é exponencial, pois, com o transcurso do tempo, o coeficiente angular dos juros
compostos aumenta cada vez mais, enquanto o valor dos juros simples permanece o mesmo até
o final da operação. O gráfico traz um comparativo entre ambos os sistemas de capitalização.
Observa-se pelo gráfico que:
• Para 𝑛 > 1: Capitalização Composta > Capitalização Simples;
• Para 0 < 𝑛 < 1 Capitalização Composta < Capitalização Simples;
• Para 𝑛 = 1: Capitalização Composta = Capitalização Simples.
1. Escreva a diferença entre juros simples e compostos com suas palavras.
Resposta pessoal
2. Faça uma tabela no Excel fator de capitalização ou fator de acumulação de capital para as
taxas de 0,5%, 1%, 1,5%, 2% e 3%.
Resposta pessoal

44
3. Carlos deseja aplicar a quantidade R$ 6 500,00 durante 2 anos para fazer um fundo de reserva,
o seu gerente ofereceu uma aplicação que rende 1,5% ao mês em regime de juros compostos.
Qual é o montante gerado para Carlos por essa aplicação?
4. Uma loja financia a venda de um produto no valor de R$2.600,00 da seguinte forma:
Entrada: 10% de R$2.600,00
Ao final de 8 meses: R$3.270,00
Qual é a taxa mensal (composta) cobrada pela loja?
5. Determine o tempo necessário para o capital de R$20.000,00 gerar um montante de
R$28.142,00 quando aplicado à taxa composta de 5% ao mês.
tomar decisões.
(GO-EMMAT203C) Aplicar conceitos matemáticos no planejamento, na execução e na análise
de ações, envolvendo a utilização de aplicativos e a criação de planilhas (controle de
orçamento familiar, simuladores de cálculos de juros simples e composto etc.), identificando
elementos essenciais da Matemática Financeira (capital, tempo, taxas, entre outros) para
resolver problemas relacionados à educação financeira, mercado (cotidiano e de trabalho)
etc. e propor e/ou participar de ações para investigar desafios do mundo contemporâneo.

45
DESCRITOR(ES) SAEB:
Estudo das Taxas (compostas)
A algumas aulas anteriores falamos que o estudo sobre taxas equivalentes é muito importante
pois sempre devemos trabalhar (calcular) as taxas de juros e os períodos na mesma unidade de
tempo.
Neste momento as taxas proporcionais não são válidas para taxas compostas, mas podemos
fazer uso das taxas equivalentes, e mais lembra que falamos que a seguinte definição vale para
qualquer tipo de capitalização, ou seja:
Taxas equivalentes são taxas que são dadas em referências temporais diferentes, mas produzem
o mesmo montante se aplicadas ao mesmo capital, em um mesmo período.
Então vamos as taxas Equivalentes na Capitalização composta para isto considere que um capital
C é aplicado por 1 ano a taxas equivalentes nas referências descritas na tabela a seguir.
Período Taxa
Ano 𝑖𝑎
Semestre 𝑖𝑠
Trimestre 𝑖𝑡
Bimestre 𝑖𝑏
Mês 𝑖𝑚
Dia 𝑖𝑑
Daí tem-se que:
(1 + 𝑖𝑎) = (1 + 𝑖𝑠)2
= (1 + 𝑖𝑡 )4
= (1 + 𝑖𝑏)6
= (1 + 𝑖𝑚)12
= (1 + 𝑖𝑑)360
Exemplo: Na capitalização composta, qual é a taxa equivalente mensal à taxa 24% ao ano?
(1 + 𝑖𝑎) = (1 + 𝑖𝑚)12
(1 + 0,24) = (1 + 𝑖𝑚)12
1,24 = (1 + 𝑖𝑚)12
(1,24)
1
12 = ((1 + 𝑖𝑚)12)
1
12

46
1 + 𝑖𝑚 = √1,24
12
1 + 𝑖𝑚 = 1,01808758
𝑖𝑚 = 1,01808758 − 1
𝑖𝑚 = 0,01808758 ≅ 1,8087%
1. Na capitalização composta, qual é a taxa equivalente semestral à taxa 2,5% ao mês?
2. Na capitalização composta, qual é a taxa equivalente mensal à taxa 18% ao ano?
3. Na capitalização composta, qual é a taxa equivalente mensal à taxa 0,8% ao dia?
4. Na capitalização composta, qual é a taxa equivalente diária à taxa 108% ao ano?
5. Na capitalização composta, qual é a taxa equivalente semestral à taxa 3,2% ao bimestre?
6. Na capitalização composta, qual é a taxa equivalente semestral à taxa 0,7% ao dia?
7. Na capitalização composta, qual é a taxa equivalente mensal à taxa 5,4% ao trimestre?
Inflação, Deflação e Atualização Monetária
Duas categorias econômicas que agem diretamente no bolso da população é a Inflação e a
deflação. Você precisa saber que um período de inflacionário é um momento de aumento de
preços, já um período de deflacionário é um momento de queda de preço.
A inflação para entendermos melhor pode ser vista como uma elevação generalizada sem
controle e permanente dos níveis de preços do sistema econômico, o que resulta na perda do
poder aquisitivo da moeda e diminuição dos valores dos ativos.
Os cálculos inflacionários têm sua complexidade decorrente da necessidade de avaliar a variação
de preços de produtos distintos fisicamente, e de serviços, que variam a taxas distintas.
A necessidade de cumprir com essa tarefa nos coloca diante de diversos índices de preços que
buscam medir a inflação ao longo da cadeia produtiva e de comercialização, ou em partes

47
relevantes dela em toda a cadeia de produção, ou em partes relevantes dela. Daí a existência de
índices gerais para atacado, varejo e construção.
O cálculo da inflação é executado através de uma média da variação dos preços registados para
os diferentes produtos, pelas quantidades produzidas, consumidas ou comercializadas dos bens,
a partir de parâmetros primários do agregado familiar pesquisas orçamentárias e até matrizes
de relacionamento intersetorial.
Os índices de preços mais importantes do país são aqueles produzidos pela Fundação Getúlio
Vargas (FGV), pelo IBGE e pela Fundação Instituto de Pesquisas Econômicas da Universidade de
São Paulo (FIPEUSP).
Índices de Preços
Índices de preços são números que agregam e representam os preços de uma determinada cesta
de produtos. Sua variação mede, portanto, a variação média dos preços dos produtos da cesta.
Podem se referir a, por exemplo, preços ao consumidor, preços ao produtor, custos de produção
ou preços de exportação e importação.
A concepção dos índices varia de conformidade com a abrangência geográfica da pesquisa, com
o universo dos consumidores (classe de renda), com o período a que se refere, além de outros
fatores específicos para cada índice.
Por que existem tantos índices de preços no Brasil?
O longo período de convivência com inflação no Brasil fez com que se criassem diversos índices
agregados de preços para medi-la, bem como mecanismos de atualização monetária, que
funcionavam como repositores do poder aquisitivo da moeda, perdido no período anterior.
Os índices de preços foram construídos ao longo do tempo com diferentes finalidades. O IPC-
Fipe, por exemplo, foi criado pela Prefeitura do Município de São Paulo com o objetivo de
reajustar os salários dos servidores municipais. O IGP-M foi criado para ser usado no reajuste de
operações financeiras, especialmente as de longo prazo, e o IGP-DI para balizar o
comportamento dos preços em geral da economia. O INPC é o índice balizador dos reajustes de
salários, enquanto o IPCA corrige os balanços e demonstrações financeiras trimestrais e
semestrais das companhias abertas, além de ser o medidor oficial da inflação no país. Apesar
dessa variedade, os índices calculados no país se classificam em três grupos principais: os índices
de preços ao consumidor de cobertura nacional apurados pelo Instituto Brasileiro de Geografia
e Estatística (IBGE)(www.ibge.gov.br); os índices gerais de preços apurados pelo Instituto
Brasileiro de Economia da Fundação Getúlio Vargas (FGV)(http://www.fgv.br); e os índices de
preços ao consumidor de São Paulo, apurado pela Fundação Instituto de Pesquisas Econômicas
(http://www.fipe.com.br).
Principais Índices Agregados de Preços no Brasil

48
IGP: Índice Geral de Preços, calculado pela Fundação Getúlio Vargas. É uma média ponderada
do índice de preços no atacado (IPA), com peso 6; de preços ao consumidor (IPC) no Rio e SP,
com peso 3; e do custo da construção civil (INCC), com peso 1. Usado em contratos de prazo
mais longo, como aluguel.
IGP-DI: O Índice Geral de Preços - Disponibilidade Interna, da FGV, reflete as variações de preços
de todo o mês de referência. Ou seja, do dia 1 ao 30 de cada mês. Ele é formado pelo IPA (Índice
de Preços por Atacado), IPC (Índice de Preços ao Consumidor) e INCC (Índice Nacional do Custo
da Construção), com pesos de 60%, 30% e 10%, respectivamente. O indicador apura as variações
de preços de matérias-primas agrícolas e industriais no atacado e de bens e serviços finais no
consumo.
IGP-M: Índice Geral de Preços do Mercado, também da FGV. Metodologia igual à do IGP-DI, mas
pesquisado entre os dias 21 de um mês e 20 do seguinte. O IGP tradicional abrange o mês
fechado. O IGP-M é elaborado para contratos do mercado financeiro.
IGP-10: Índice Geral de Preços 10, também da FGV e elaborado com a mesma metodologia do
IGP e do IGP-M. A única diferença é o período de coleta de preços: entre o dia 11 de um mês e
o dia 10 do mês seguinte.
IPC-RJ: Considera a variação dos preços na cidade do Rio de Janeiro. É calculado mensalmente
pela FGV (Fundação Getúlio Vargas) e toma por base os gastos de famílias com renda de um a
33 salários-mínimos IPCA.
IPC-Fipe: Índice de Preços ao Consumidor da Fundação Instituto de Pesquisas Econômicas, da
USP, pesquisado no município de São Paulo. Reflete o custo de vida de famílias com renda de 1
a 20 salários-mínimos. Divulga também taxas quadrissemanais.
ICV-Dieese: Índice do Custo de Vida do Departamento Intersindical de Estatística e Estudos
Socioeconômicos, também medido na cidade de São Paulo. Reflete o custo de vida de famílias
com renda média de R$ 2.800 (há também índices para a baixa renda e a intermediária)
INPC: Índice Nacional de Preços ao Consumidor, média do custo de vida nas 11 principais regiões
metropolitanas do país para famílias com renda de 1 até 8 salários-mínimos, medido pelo IBGE
(Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística).
IPCA: Índice de Preços ao Consumidor Amplo, também do IBGE, calculado desde 1980,
semelhante ao INPC, porém refletindo o custo de vida para famílias com renda mensal de 1 a 40
salários mínimos. A pesquisa é feita nas mesmas 11 regiões metropolitanas. Foi escolhido como
alvo das metas de inflação ("inflation targeting") no Brasil.
INCC: Índice Nacional do Custo da Construção, um dos componentes das três versões do IGP, o
de menor peso. Reflete o ritmo dos preços de materiais de construção e da mão-de-obra no
setor. Utilizado em financiamento direto de construtoras/incorporadoras.
Variação dos Índices
A variação ou correção de um determinado período é dada pela variação percentual entre o
índice no final do período indicado e o índice no final do período anterior, ou seja:

49
𝐶 =
índice período indicado
índice período anterior
− 1
Quando temos os índices de correção de vários períodos, procedemos da forma seguinte:
𝐶𝑎 = (1 + 𝑐1) × (1 + 𝑐2) × (1 + 𝑐3) ×. . .× (1 + 𝑐𝑛)– 1
A taxa média de inflação ou de atualização monetária é dada por:
𝐶𝑚 = [(1 + 𝑖𝑎)
1
𝑛 − 1] × 100
Exemplo:
Considerando os dados de inflação da tabela abaixo, calcule a correção do semestre e a taxa
média mensal de inflação.
PERÍODO MENSAL ÍNDICE
Dezembro 100,00
Janeiro 15,50% 115,50
Fevereiro 17,00% 135,14
Março 12,00% 151,35
Abril 15,00% 174,05
Maio 20,00% 208,86
Junho 22,55% 255,96
Fazendo-se o cálculo pela comparação dos índices acumulados teremos:
𝐶 =
255,96
100
− 1 → C = 1,5596 ou C = 155,96% no semestre
𝐶𝑚 = [(1 + 1,5596)
1
6 − 1] × 100 → Cm = 16,96% a. m
Nota: É importante notar que a variação porcentual do índice de um mês em relação ao do mês
anterior é igual à taxa de inflação do mês. Assim, por exemplo, a inflação do mês de fevereiro,
na tabela anterior, poderia ser calculada por
𝐶 = (
135,14
115,50
− 1) × 100 → C = 0,1700  100 = 17,00%

50
1- Considere que no mês base o preço médio de uma cesta básica seja R$ 200,00, e nos meses
subsequentes seja R$ 210,00, R$ 220,00 e R$ 240,00. Obtenha as taxas de inflação de cada mês,
em relação ao mês anterior, e os respectivos índices.
2- Qual a taxa média mensal de inflação que deverá vigorar em cada um dos próximos 12 meses,
de modo que a taxa acumulada no período seja 18%?
3- A tabela abaixo contém os valores mensais do IGP-M de dezembro de 1998 a dezembro de
1999, sendo o mês base agosto de 1994.
Mês IGP-M
Dezembro/1998 148,291
Janeiro/1999 149,533
Fevereiro/1999 154,933
Março/1999 159,325
Abril/1999 160,459
Maio/1999 159,996
Junho/1999 160,573
Julho/1999 163,060
Agosto/1999 165,603
Setembro/1999 167,997
Outubro/1999 170,861
Novembro/1999 174,939
Dezembro/1999 178,099
Com base nos dados da tabela, calcule:
a) a taxa de inflação de outubro de 1999; Resposta: 1,70%
b) a taxa de inflação de dezembro de 1999; Resposta: 1,81%
c) a taxa de inflação acumulada no primeiro semestre de 1999; Resposta: 8,28%
d) a taxa de inflação acumulada em 1999. Resposta: 20,10%
Fonte: BORNATTO, GILBERTO. Matemática financeira – Faculdade Internacional.
4. Pesquise e construa uma tabela no Excel do IGP-M de 2021 a 2022.
Resposta pessoal
Fluxo de Caixa

51
O Fluxo de Caixa é um registro de uma sequência de movimentações financeiras ao longo do
tempo. É representado por um eixo horizontal no qual marcamos o tempo, seja em ano,
semestre, trimestre, bimestre, mês ou dia. As entradas de recursos são representadas por setas
orientadas para cima, perpendiculares ao eixo horizontal. Já as saídas de recursos são
representadas da mesma forma, porém as setas serão colocadas para baixo.
Exemplo: Suponha que uma pessoa fez um empréstimo em um banco de R$1.000,00, pagando,
no final do período de 6 meses, R$1.200,00.
Do ponto de vista do recebedor do empréstimo, teremos o seguinte fluxo de caixa:
Do ponto de vista do banco, obtemos o seguinte fluxo de caixa:
Professor/a
Comente que:
significa saída;
significa entrada.

52
Valor Presente de um Fluxo de Caixa
Denomina-se valor atual (ou valor presente) de um fluxo de caixa à soma dos valores atuais de
suas parcelas futuras, descontadas com uma determinada taxa de juros. Portanto, o valor atual
é um capital que na data 0(zero) é equivalente ao conjunto de capitais futuros que compõem o
fluxo de caixa em questão.
Assim, dado o fluxo de caixa:
Chamando de VP ou P o valor atual e considerando uma taxa i de juros compostos, segue-se
que:
𝑉𝑃 𝑜𝑢 𝑃 = 𝐶0 +
𝐶1
(1 + 𝑖)1
+
𝐶2
(1 + 𝑖)2
+
𝐶3
(1 + 𝑖)3
+
𝐶4
(1 + 𝑖)4
+ ⋯ +
𝐶𝑛
(1 + 𝑖)𝑛
onde, 𝐶 = capital.
Exemplo:
Determinar o valor atual do fluxo de caixa a seguir, utilizando a taxa de 1,8% a.m., no regime de
juros composto.
Observação os valores estão em milhares de real.

53
𝑉𝑃 𝑜𝑢 𝑃 = 600 +
500
(1 + 0,018)1
+
550
(1 + 0,018)2
+
650
(1 + 0,018)3
+
900
(1 + 0,018)4
𝑉𝑃 𝑜𝑢 𝑃 = 600 + 491,16 + 530,72 + 616,13 + 838,01 → 𝑉𝑃 𝑜𝑢 𝑃 = 3 076,02
1. Pesquise fluxo de caixa equivalentes e escreva um exemplo respondido com os cálculos
desenvolvidos.
Resposta pessoal
2. Pesquise fator de valor atual e escreva três exemplos respondidos com os cálculos
desenvolvidos.
Resposta pessoal
MOMENTO ENEM
1. (Enem – 2021) Um investidor deseja aplicar R$ 10 000,00 durante um mês em um dos fundos
de investimento de um banco. O agente de investimentos desse banco apresentou dois tipos de
aplicações financeiras: a aplicação Básica e a aplicação Pessoal, cujas informações de
rendimentos e descontos de taxas administrativas mensais são apresentadas no quadro.

54
Consideradas as taxas de rendimento e administrativa, qual aplicação fornecerá maior valor de
rendimento líquido a esse investidor e qual será esse valor?
(A) Básica, com rendimento líquido de R$ 53,90.
(B) Básica, com rendimento líquido de R$ 54,50.
(C) Pessoal, com rendimento líquido de R$ 56,00.
(D) Pessoal, com rendimento líquido de R$ 58,12.
(E) Pessoal, com rendimento líquido de R$ 59,80.
2. (Enem – 2019) Uma pessoa fez um depósito inicial de R$ 200,00 em um fundo de
Investimentos que possui rendimento constante sob juros compostos de 5% ao mês. Esse Fundo
possui cinco planos de carência (tempo mínimo necessário de rendimento do Fundo sem
movimentação do cliente). Os planos são:
• Plano A: carência de 10 meses;
• Plano B: carência de 15 meses;
• Plano C: carência de 20 meses;
• Plano D: carência de 28 meses;
• Plano E: carência de 40 meses.
O objetivo dessa pessoa é deixar essa aplicação rendendo até que o valor inicialmente aplicado
duplique, quando somado aos juros do fundo. Considere as aproximações:
log 2 = 0,30 e log 1,05 = 0,02.
Para que essa pessoa atinja seu objetivo apenas no período de carência, mas com a menor
carência possível, deverá optar pelo plano
(A) A.
(B) B.
(C) C.
(D) D.
(E) E.

55
3. (Enem – 2019) Uma pessoa se interessou em adquirir um produto anunciado em uma loja.
Negociou com o gerente e conseguiu comprá-lo a uma taxa de juros compostos de 1% ao mês.
O primeiro pagamento será um mês após a aquisição do produto, e no valor de R$ 202,00. O
segundo pagamento será efetuado um mês após o primeiro, e terá o valor de R$ 204,02. Para
concretizar a compra, o gerente emitirá uma nota fiscal com o valor do produto à vista
negociado com o cliente, correspondendo ao financiamento aprovado.
O valor à vista, em real, que deverá constar na nota fiscal é de
(A) 398,02.
(B) 400,00.
(C) 401,94.
(D) 404,00.
(E) 406,02.
4. (Enem – 2018) Um contrato de empréstimo prevê que quando uma parcela é paga de forma
antecipada, conceder-se-á uma redução de juros de acordo com o período de antecipação.
Nesse caso, paga-se o valor presente, que é o valor, naquele momento, de uma quantia que
deveria ser paga em uma data futura. Um valor presente P submetido a juros compostos com
taxa i, por um período de tempo n, produz um valor futuro V determinado pela fórmula
𝑉 = 𝑃 ˑ (1 + 𝑖)𝑛
Em um contrato de empréstimo com sessenta parcelas fixas mensais, de R$ 820,00, a uma taxa
de juros de 1,32% ao mês, junto com a trigésima parcela será paga antecipadamente uma outra
parcela, desde que o desconto seja superior a 25% do valor da parcela.
Utilize 0,2877 como aproximação para Imagem associada para resolução da questão e 0,0131
como aproximação para In (1,0132).
A primeira das parcelas que poderá ser antecipada junto com a 30ª é a
(A) 56ª
(B) 55ª
(C) 52ª
(D) 51ª
(E) 45ª

56
5. (Enem – 2017) Um empréstimo foi feito à taxa mensal de i %, usando juros compostos, em
oito parcelas fixas e iguais a P.
O devedor tem a possibilidade de quitar a dívida antecipadamente a qualquer momento,
pagando para isso o valor atual das parcelas ainda a pagar. Após pagar a 5ª parcela, resolve
quitar a dívida no ato de pagar a 6ª parcela.
A expressão que corresponde ao valor total pago pela quitação do empréstimo é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)

57
REFERÊNCIAS
AYRES Jr., Frank. Matemática financeira. São Paulo: Mcgraw-Hill do Brasil, 1981. Coleção
Schaum.
BIANCHINI, Edwaldo. Paccola, Erval. Curso de matemática Ensino Médio. Volume único.
1ª edição. São Paulo. Editora Saraiva. 2001.
BORNATTO, Gilmar. Matemática financeira. Material de Apoio para o Curso de
Administração da Busness & Marketing School Faculdade Internacional.
Giovanni, José Ruy. Bonjorno, José Roberto. Júnior, José Ruy Giovanni. Curso de
matemática: volume único. 2ª edição. São Paulo. Moderna. 1998.
HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. 6. ed. São Paulo:
Saraiva, 2007.
NERY, Chico. Trotta, Fernando. Matemática para o Ensino Médio. Volume único. 2ª
edição. São Paulo. Moderna. 1998.
VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática financeira. 7. ed. São Paulo: Atlas, 2006.
MATEMÁTICA Financeira, Equivalência de Capitais a Juros Simples. Disponível em: <
http://matematicafinanceira.webnode.com.br/capitaliza%C3%A7%C3%A3o%20simple
s/equival%C3%AAncia%20 de%20capitais%20a%20juros%20simples-/ >. Acesso em 10
de janeiro de 2017.
https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-
funcao-exponencial.htm#questao-2
https://exercicios.mundoeducacao.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-
sobre-funcao-exponencial.htm#questao-7423
https://www.todamateria.com.br/funcao-exponencial-exercicios/
https://download.inep.gov.br/download/enem/matriz_referencia.pdf
https://www.gov.br/inep/pt-br/areas-de-atuacao/avaliacao-e-exames-
educacionais/enem/provas-e-gabaritos
https://novoensinomediogoiano.educacao.go.gov.br/dcgoem/

58
GABARITO
Atividade de Aprendizagem
1- Solução:
Carros 18
Motos 6
2- Solução:
Carlos vendeu 31 peças.
3- Solução
R$ 1 378,00
4- Solução
15 anos
5- Solução
14 000 clientes
1- Gabarito: C
2- Gabarito: C
3- Gabarito: D
4- Gabarito: B
5- Gabarito: B
6- Gabarito: D
40 motos e 60 carros.
MOMENTO ENEM
1- Gabarito: D
2- Gabarito: A

59
3- Gabarito: D
4- Gabarito: C
5- Gabarito: B
Solução:
a) {
𝑥 + 𝑦 = 3
𝑥 − 𝑦 = 7
→ {
𝑦 = −𝑥 + 3
𝑦 = 𝑥 − 7
Sistema possível e determinado – SPD
b) {
3𝑥 − 𝑦 = 12
𝑥 + 𝑦 = 4
→ {
𝑦 = 3𝑥 − 12
𝑦 = −𝑥 + 4
c) {
2𝑥 − 𝑦 = −1
−4𝑥 + 2𝑦 = 2
→ {
𝑦 = 2𝑥 + 1
𝑦 = 2𝑥 + 1
d) {
2𝑥 − 𝑦 = 0
−2𝑥 + 𝑦 = 5
→ {
𝑦 = 2𝑥
𝑦 = 2𝑥 + 5
Sistema impossível – SI
e) {
2𝑥 − 𝑦 = 1
𝑥 + 3𝑦 = −3
→ {
𝑦 = 2𝑥 − 1
𝑦 = −
𝑥
3
− 1
f) {
𝑥
4
− 𝑦 = −2
−𝑥 + 4𝑦 = 8
→ {
𝑦 =
𝑥
4
+ 2
𝑦 =
𝑥
4
+ 2
Solução:
a) 𝑆 = {(2,0,5)} portanto SPD
b) 𝑆 = {(1,2, – 1)} portanto SPD
c) SPI ou SI
d) 𝑆 = {(1, – 1,3)} portanto SPD
e) 𝑆 = {} portanto SI

60
GABARITO – ITENS DO NIVELAMENTO
1- Gabarito E
2- Gabarito: B
3- Gabarito: C
4- Gabarito: D
5- Gabarito C
6- Gabarito: C
7-Gabarito: C
8-Gabarito A
9- Gabarito: D
10-Gabarito: C
11 -Gabarito: C
12 - Gabarito: E
13 - Gabarito: B
14- Gabarito: B
15 -Gabarito: A
16 - Gabarito: C
3- Solução:
a) ao dia: a.d.
b) ao mês: a.m.
c) ao bimestre: a.b.
d) ao trimestre: a.t.
e) ao semestre: a.s.
f) ao ano: a.a.
4- Solução: 𝑀 = 𝐶 + 𝐽 = 10 000 + 600 = 10 600

61
1- Solução: 𝑖𝑠 = 15%
2- Solução: 𝑖𝑚 = 1,5%
3- Solução: 𝑖𝑚 = 24%
4-Solução: 𝑖𝑎 = 0,3%
5- Solução: 𝑖𝑠 = 9,6%
6- Solução: 𝑖𝑠 = 126%
7- Solução: 𝑖𝑚 = 1,8%
1-Solução: 𝑀 = 𝑅$ 627,20
2- Solução: R$ 5.600,00
3- Solução: 𝑛 = 15 meses
4- Gabarito: B
5- Gabarito: E
3- Solução: 𝑀 = 𝑅$ 9 291,77
4- Solução: 𝑖 = 4,27% ao mês
5- Solução: 𝑛 ≈ 7 meses
1- Solução: 𝑖𝑠 = 15,969%
2-Solução: 𝑖𝑚 = 1,3888%

62
3- Solução: 𝑖𝑚 = 27%
4- Solução: 𝑖𝑎 = 0,2036%
5- Solução: 𝑖𝑠 = 9,9104%
6-Solução: 𝑖𝑠 = 250,99%
7- Solução: 𝑖𝑚 = 1,7685%
1-Solução: 5%, 4,76% e 9,09% e 1,05, 1,10 e 1,20
2- Solução: 1,39%
3- Solução:
a) 1,70%
b) 1,81%
c) 8,28%
d) 20,10%
MOMENTO ENEM
1-Gabarito: A
2-Gabarito: B
3- Gabarito: B
4-Gabarito: C
5-Gabarito: A

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