Este documento é uma apostila de matemática básica destinada a alunos do CEFET/SP e UNED de Sertãozinho. A apostila apresenta conceitos matemáticos básicos e intermediários dos ensinos fundamental e médio, incluindo conjuntos numéricos, operações fundamentais, frações, potências, álgebra, equações, proporcionalidade e geometria. O objetivo é fornecer subsídios matemáticos essenciais para os estudos dos alunos.
Este documento fornece uma introdução abrangente à matemática básica, incluindo:
I. Conjuntos numéricos e as quatro operações fundamentais com números decimais.
II. Números relativos, frações ordinárias, potências, radicais e expressões algébricas.
III. Equações do primeiro e segundo grau, inequações, proporcionalidade e geometria plana.
1) O documento discute equações literais, que são equações que contêm pelo menos duas variáveis.
2) Equações literais podem ser resolvidas em relação a qualquer uma das variáveis, isolando-a num dos membros da equação.
3) Ao resolver uma equação literal em relação a uma variável, as outras variáveis passam a funcionar como números.
A apostila trata de matemática básica para o curso de Agronomia e aborda operações algébricas, equações do primeiro e segundo grau. A primeira parte explica expressões algébricas, operações com elas, produtos notáveis e fatoração. A segunda parte trata da resolução de equações do primeiro grau e a terceira, de equações do segundo grau, incluindo o uso da fórmula de Bhaskara.
1) O documento é uma apostila sobre matemática básica para o curso de Agronomia da Pontifícia Universidade Católica do Paraná. 2) A apostila revisa tópicos fundamentais de matemática como conjuntos numéricos, números relativos, frações, potenciação e radicais. 3) O objetivo é preparar os alunos para as disciplinas de Matemática e Física Aplicada a Agronomia.
Este documento apresenta uma matriz de referência para matemática com 74 descritores para os 5o e 9o anos do Ensino Fundamental e 1a, 2a e 3a séries do Ensino Médio. Os descritores estão organizados em 4 temas: Interagindo com os números e funções, Convivendo com a geometria, Vivenciando as medidas e Tratamento da informação. A matriz indica em qual ano/série cada descritor deve ser ensinado.
O documento apresenta um resumo de conceitos fundamentais de matemática, dividido em duas partes:
1) Aritmética em N, que inclui tópicos como sistema de numeração decimal e não decimal, operações algébricas e funções;
2) Geometria Plana, abordando conceitos geométricos como ângulos, polígonos, círculos e suas propriedades.
Este documento apresenta os conceitos básicos sobre equações do segundo grau, incluindo como identificar os coeficientes a, b e c de uma equação ax2 + bx + c = 0 e como resolver equações completas e incompletas do segundo grau. Exemplos ilustram como encontrar as soluções de equações específicas.
Este plano de curso descreve os objetivos e conteúdos programáticos para Matemática do 8o ano. Os objetivos gerais incluem desenvolver o pensamento numérico, proporcional e estatístico, bem como promover uma atitude positiva em relação à matemática. O conteúdo programático cobre tópicos como números naturais, racionais e operações algébricas básicas, proporcionalidade, porcentagem e equações de primeiro grau.
Este documento fornece uma introdução abrangente à matemática básica, incluindo:
I. Conjuntos numéricos e as quatro operações fundamentais com números decimais.
II. Números relativos, frações ordinárias, potências, radicais e expressões algébricas.
III. Equações do primeiro e segundo grau, inequações, proporcionalidade e geometria plana.
1) O documento discute equações literais, que são equações que contêm pelo menos duas variáveis.
2) Equações literais podem ser resolvidas em relação a qualquer uma das variáveis, isolando-a num dos membros da equação.
3) Ao resolver uma equação literal em relação a uma variável, as outras variáveis passam a funcionar como números.
A apostila trata de matemática básica para o curso de Agronomia e aborda operações algébricas, equações do primeiro e segundo grau. A primeira parte explica expressões algébricas, operações com elas, produtos notáveis e fatoração. A segunda parte trata da resolução de equações do primeiro grau e a terceira, de equações do segundo grau, incluindo o uso da fórmula de Bhaskara.
1) O documento é uma apostila sobre matemática básica para o curso de Agronomia da Pontifícia Universidade Católica do Paraná. 2) A apostila revisa tópicos fundamentais de matemática como conjuntos numéricos, números relativos, frações, potenciação e radicais. 3) O objetivo é preparar os alunos para as disciplinas de Matemática e Física Aplicada a Agronomia.
Este documento apresenta uma matriz de referência para matemática com 74 descritores para os 5o e 9o anos do Ensino Fundamental e 1a, 2a e 3a séries do Ensino Médio. Os descritores estão organizados em 4 temas: Interagindo com os números e funções, Convivendo com a geometria, Vivenciando as medidas e Tratamento da informação. A matriz indica em qual ano/série cada descritor deve ser ensinado.
O documento apresenta um resumo de conceitos fundamentais de matemática, dividido em duas partes:
1) Aritmética em N, que inclui tópicos como sistema de numeração decimal e não decimal, operações algébricas e funções;
2) Geometria Plana, abordando conceitos geométricos como ângulos, polígonos, círculos e suas propriedades.
Este documento apresenta os conceitos básicos sobre equações do segundo grau, incluindo como identificar os coeficientes a, b e c de uma equação ax2 + bx + c = 0 e como resolver equações completas e incompletas do segundo grau. Exemplos ilustram como encontrar as soluções de equações específicas.
Este plano de curso descreve os objetivos e conteúdos programáticos para Matemática do 8o ano. Os objetivos gerais incluem desenvolver o pensamento numérico, proporcional e estatístico, bem como promover uma atitude positiva em relação à matemática. O conteúdo programático cobre tópicos como números naturais, racionais e operações algébricas básicas, proporcionalidade, porcentagem e equações de primeiro grau.
O documento descreve o que são equações literais e como resolvê-las. As equações literais são equações que contêm mais de uma variável e podem ser resolvidas em relação a qualquer uma das variáveis. Ao resolver uma equação literal, isola-se a variável desejada em um dos membros da equação usando as mesmas regras para resolver equações numéricas.
Este documento apresenta uma comparação de vários manuais sobre equações de 2o grau ao longo dos anos, desde 1887 até 2004. Resume os principais tópicos tratados nestes manuais, como a resolução algébrica de equações do 2o grau, a dedução e aplicação da fórmula resolvente, e exemplos de problemas envolvendo equações de 2o grau. O documento fornece informações sobre o ano de publicação, nível escolar, número de páginas e autores de cada um dos manuais analisados.
EquaçõEs De 2º Grau,Sistema E Problema Autor Antonio CarlosAntonio Carneiro
O documento apresenta os conceitos básicos sobre equações de 2o grau, incluindo: (1) definição de equação de 2o grau e seus coeficientes; (2) tipos de equações de 2o grau (completas e incompletas); (3) raízes de equações de 2o grau e sua resolução; (4) fórmula de Bhaskara para resolução de equações completas. Também aborda equações literais e relações entre coeficientes e raízes.
1. O documento apresenta um sumário com os principais tópicos de matemática abordados, incluindo conjuntos numéricos, proporcionalidade, regra de três, porcentagem, juros, equações e funções.
2. É introduzido o conjunto dos números naturais N, inteiros Z, racionais Q e reais R, assim como suas principais propriedades e operações.
3. São definidos conceitos como sucessor, antecessor, números primos, critérios de divisibilidade e operações como fatoração, mdc e mmc
1) O documento discute resolução de equações do primeiro grau, incluindo propriedades de igualdades e operações para isolar a variável.
2) É dado o exemplo de resolver a equação 3x - 5 = 0 passo a passo.
3) Brevemente discute-se conceitos de raiz, conjunto solução e resolver equações.
Este problema envolve a formação de números com algarismos x, y e z, onde os números de dois algarismos xy e yx somados resultam no número de três algarismos 1x1. Isso implica que x, y e z devem ser iguais a 1.
Matriz de matemática de 6º ao 9º - 2014andrezafariam
Este documento apresenta a matriz curricular de matemática dos 6o ao 9o anos. Nos primeiros anos, os conteúdos incluem sistemas de numeração, conjuntos numéricos, geometria plana e medidas. Nos anos seguintes, abordam-se equações algébricas, geometria espacial, trigonometria e estatística. Em todos os anos, os objetivos incluem desenvolver habilidades de resolução de problemas e tratamento de informações por meio de gráficos e tabelas.
1) O documento apresenta um resumo sobre progressões aritméticas e geométricas, matrizes, determinantes e sistemas lineares.
2) É introduzido o conceito de sequências numéricas e progressão aritmética, definindo o termo geral de uma PA como an = a1 + (n - 1)r, onde a1 é o primeiro termo e r é a razão.
3) Também são apresentados resumidamente conceitos de matrizes, determinantes e sistemas lineares, com exemplos de operações e métodos de resolução.
O documento discute progressões aritméticas (PAs), incluindo: (1) A definição de PAs como sequências onde cada termo subsequente é obtido adicionando uma razão constante ao termo anterior; (2) A fórmula para calcular qualquer termo geral de uma PA dados o primeiro termo e a razão; (3) Exemplos ilustrando o cálculo de termos em PAs.
O documento descreve os descritores de matemática para o 4o ano/5o ano, organizados em quatro temas: I) Espaço e forma, II) Grandezas e medidas, III) Números e operações/Álgebra e funções, IV) Tratamento da informação. Os descritores definem as habilidades esperadas para cada tema, como identificar formas geométricas, resolver problemas envolvendo medidas e operações matemáticas, e ler e interpretar dados em tabelas e gráficos.
Geometriamar - Prof. Marcelo Lopes - 001 - Conjuntos Numéricosgeometriamar.com.br
1) O documento apresenta os principais conjuntos numéricos (naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais) e suas propriedades.
2) São descritas as operações fundamentais com números inteiros, incluindo adição, subtração, multiplicação e divisão.
3) São listadas as propriedades dessas operações e exemplos para ilustrar cada propriedade.
O documento apresenta o método de completar o quadrado para resolver equações do segundo grau. Inclui exemplos de resolução de equações usando este método e a fórmula de Bhaskhara, além de exercícios relacionados ao tema.
Este plano de curso para o 6o ano descreve os objetivos gerais e o conteúdo programático obrigatório para o ano letivo de 2012. O plano inclui 191 aulas distribuídas entre os eixos temáticos de Números e Operações, Álgebra, Espaço e Forma, Tratamento de Dados e Probabilidade. Os tópicos abordados incluem conjuntos numéricos, porcentagem, linguagem algébrica, figuras planas, medidas, estatística e probabilidade.
As três principais informações do documento são:
1) O documento contém 15 exercícios sobre números naturais, inteiros, racionais e irracionais.
2) Os exercícios incluem classificações, cálculos e resoluções de problemas envolvendo esses tipos de números.
3) Um dos exercícios discute a diferença entre números racionais e irracionais.
Este documento apresenta o planejamento anual de conteúdos, objetivos, metodologias e avaliação para as disciplinas de Matemática do 5o ao 7o ano do Colégio Estadual Dinah Gonçalves. Os conteúdos incluem números naturais, frações, porcentagem e geometria. As metodologias incluem aulas expositivas e avaliações baseadas na participação dos alunos.
Apostilas matematica para concursos - provas gabaritadas 2014SEDUC-PA
Este documento apresenta uma prova de matemática resolvida para o primeiro grau da Universidade de Brasília (UnB). A prova contém 30 questões sobre diferentes tópicos de matemática como expressões, porcentagens, juros, entre outros. O documento também traz o gabarito com as respostas corretas para cada questão.
O documento discute sequências aritméticas e geométricas, apresentando exemplos de cada uma e as fórmulas para calcular termos gerais e soma dos termos. Também apresenta propriedades dos logaritmos e exercícios resolvidos com base nelas.
Este documento apresenta conceitos matemáticos básicos necessários para disciplinas técnicas de mecatrônica, incluindo conjuntos numéricos, operações fundamentais, frações ordinárias e outros tópicos. O material é uma adaptação de uma apostila do Instituto Federal de Educação para fins didáticos no curso de mecatrônica.
1) Para entregar o mesmo trabalho em 10 dias em vez de 12, Carla precisa digitar 24 páginas por dia.
2) Lucas pagou R$135,20 pelo jogo Gears of War 2 e R$159,20 pelo jogo PES 2012 após o desconto de 25% no preço de tabela de cada um.
3) Resolvendo as equações, determina-se que Dom Pedro II iniciou seu reinado com 5 anos de idade e reinou por 57 anos.
1. O documento contém uma lista de exercícios de matemática básica e raciocínio lógico para revisão.
2. As questões incluem adições, subtrações, comparações de tamanhos e quantidades e interpretação de gráficos e tabelas.
3. Há um total de 45 exercícios para o aluno resolver.
O documento descreve o que são equações literais e como resolvê-las. As equações literais são equações que contêm mais de uma variável e podem ser resolvidas em relação a qualquer uma das variáveis. Ao resolver uma equação literal, isola-se a variável desejada em um dos membros da equação usando as mesmas regras para resolver equações numéricas.
Este documento apresenta uma comparação de vários manuais sobre equações de 2o grau ao longo dos anos, desde 1887 até 2004. Resume os principais tópicos tratados nestes manuais, como a resolução algébrica de equações do 2o grau, a dedução e aplicação da fórmula resolvente, e exemplos de problemas envolvendo equações de 2o grau. O documento fornece informações sobre o ano de publicação, nível escolar, número de páginas e autores de cada um dos manuais analisados.
EquaçõEs De 2º Grau,Sistema E Problema Autor Antonio CarlosAntonio Carneiro
O documento apresenta os conceitos básicos sobre equações de 2o grau, incluindo: (1) definição de equação de 2o grau e seus coeficientes; (2) tipos de equações de 2o grau (completas e incompletas); (3) raízes de equações de 2o grau e sua resolução; (4) fórmula de Bhaskara para resolução de equações completas. Também aborda equações literais e relações entre coeficientes e raízes.
1. O documento apresenta um sumário com os principais tópicos de matemática abordados, incluindo conjuntos numéricos, proporcionalidade, regra de três, porcentagem, juros, equações e funções.
2. É introduzido o conjunto dos números naturais N, inteiros Z, racionais Q e reais R, assim como suas principais propriedades e operações.
3. São definidos conceitos como sucessor, antecessor, números primos, critérios de divisibilidade e operações como fatoração, mdc e mmc
1) O documento discute resolução de equações do primeiro grau, incluindo propriedades de igualdades e operações para isolar a variável.
2) É dado o exemplo de resolver a equação 3x - 5 = 0 passo a passo.
3) Brevemente discute-se conceitos de raiz, conjunto solução e resolver equações.
Este problema envolve a formação de números com algarismos x, y e z, onde os números de dois algarismos xy e yx somados resultam no número de três algarismos 1x1. Isso implica que x, y e z devem ser iguais a 1.
Matriz de matemática de 6º ao 9º - 2014andrezafariam
Este documento apresenta a matriz curricular de matemática dos 6o ao 9o anos. Nos primeiros anos, os conteúdos incluem sistemas de numeração, conjuntos numéricos, geometria plana e medidas. Nos anos seguintes, abordam-se equações algébricas, geometria espacial, trigonometria e estatística. Em todos os anos, os objetivos incluem desenvolver habilidades de resolução de problemas e tratamento de informações por meio de gráficos e tabelas.
1) O documento apresenta um resumo sobre progressões aritméticas e geométricas, matrizes, determinantes e sistemas lineares.
2) É introduzido o conceito de sequências numéricas e progressão aritmética, definindo o termo geral de uma PA como an = a1 + (n - 1)r, onde a1 é o primeiro termo e r é a razão.
3) Também são apresentados resumidamente conceitos de matrizes, determinantes e sistemas lineares, com exemplos de operações e métodos de resolução.
O documento discute progressões aritméticas (PAs), incluindo: (1) A definição de PAs como sequências onde cada termo subsequente é obtido adicionando uma razão constante ao termo anterior; (2) A fórmula para calcular qualquer termo geral de uma PA dados o primeiro termo e a razão; (3) Exemplos ilustrando o cálculo de termos em PAs.
O documento descreve os descritores de matemática para o 4o ano/5o ano, organizados em quatro temas: I) Espaço e forma, II) Grandezas e medidas, III) Números e operações/Álgebra e funções, IV) Tratamento da informação. Os descritores definem as habilidades esperadas para cada tema, como identificar formas geométricas, resolver problemas envolvendo medidas e operações matemáticas, e ler e interpretar dados em tabelas e gráficos.
Geometriamar - Prof. Marcelo Lopes - 001 - Conjuntos Numéricosgeometriamar.com.br
1) O documento apresenta os principais conjuntos numéricos (naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais) e suas propriedades.
2) São descritas as operações fundamentais com números inteiros, incluindo adição, subtração, multiplicação e divisão.
3) São listadas as propriedades dessas operações e exemplos para ilustrar cada propriedade.
O documento apresenta o método de completar o quadrado para resolver equações do segundo grau. Inclui exemplos de resolução de equações usando este método e a fórmula de Bhaskhara, além de exercícios relacionados ao tema.
Este plano de curso para o 6o ano descreve os objetivos gerais e o conteúdo programático obrigatório para o ano letivo de 2012. O plano inclui 191 aulas distribuídas entre os eixos temáticos de Números e Operações, Álgebra, Espaço e Forma, Tratamento de Dados e Probabilidade. Os tópicos abordados incluem conjuntos numéricos, porcentagem, linguagem algébrica, figuras planas, medidas, estatística e probabilidade.
As três principais informações do documento são:
1) O documento contém 15 exercícios sobre números naturais, inteiros, racionais e irracionais.
2) Os exercícios incluem classificações, cálculos e resoluções de problemas envolvendo esses tipos de números.
3) Um dos exercícios discute a diferença entre números racionais e irracionais.
Este documento apresenta o planejamento anual de conteúdos, objetivos, metodologias e avaliação para as disciplinas de Matemática do 5o ao 7o ano do Colégio Estadual Dinah Gonçalves. Os conteúdos incluem números naturais, frações, porcentagem e geometria. As metodologias incluem aulas expositivas e avaliações baseadas na participação dos alunos.
Apostilas matematica para concursos - provas gabaritadas 2014SEDUC-PA
Este documento apresenta uma prova de matemática resolvida para o primeiro grau da Universidade de Brasília (UnB). A prova contém 30 questões sobre diferentes tópicos de matemática como expressões, porcentagens, juros, entre outros. O documento também traz o gabarito com as respostas corretas para cada questão.
O documento discute sequências aritméticas e geométricas, apresentando exemplos de cada uma e as fórmulas para calcular termos gerais e soma dos termos. Também apresenta propriedades dos logaritmos e exercícios resolvidos com base nelas.
Este documento apresenta conceitos matemáticos básicos necessários para disciplinas técnicas de mecatrônica, incluindo conjuntos numéricos, operações fundamentais, frações ordinárias e outros tópicos. O material é uma adaptação de uma apostila do Instituto Federal de Educação para fins didáticos no curso de mecatrônica.
1) Para entregar o mesmo trabalho em 10 dias em vez de 12, Carla precisa digitar 24 páginas por dia.
2) Lucas pagou R$135,20 pelo jogo Gears of War 2 e R$159,20 pelo jogo PES 2012 após o desconto de 25% no preço de tabela de cada um.
3) Resolvendo as equações, determina-se que Dom Pedro II iniciou seu reinado com 5 anos de idade e reinou por 57 anos.
1. O documento contém uma lista de exercícios de matemática básica e raciocínio lógico para revisão.
2. As questões incluem adições, subtrações, comparações de tamanhos e quantidades e interpretação de gráficos e tabelas.
3. Há um total de 45 exercícios para o aluno resolver.
Progressão geométrica (Soma dos Termos, Produto e Aplicações)Anderson Dias
O documento discute a história e aplicações de progressões geométricas. Os egípcios usavam progressões para prever enchentes e plantar grãos. Eles podiam somar progressões geométricas de 6 termos multiplicando por um fator comum. A fórmula para a soma de termos finitos de uma progressão geométrica é apresentada, assim como a fórmula para o produto dos termos. Exemplos ilustram como usar as fórmulas.
O documento define e explica vários termos relacionados a funções de variável única, incluindo domínio, contra-domínio, imagem, gráfico, funções definidas por partes, valor absoluto, par, ímpar, crescente, decrescente, linear, polinomial, racional, algébrica, exponencial, logarítmica, transcendental, limites, continuidade e mais.
O documento descreve o conceito e aplicações da regra de três simples e composta. A regra de três simples é usada quando há duas grandezas direta ou inversamente proporcionais. A regra de três composta envolve três ou mais grandezas e podem ser direta ou inversamente proporcionais. Exemplos ilustram como resolver problemas usando essas regras.
O documento discute progressões geométricas, definindo seus termos gerais e fórmulas para a soma e produto dos termos. Apresenta também propriedades e exercícios sobre progressões geométricas, incluindo triângulos retângulos e áreas de figuras fractais.
Slides da disciplina de Análise de Algoritmos, ministrada pelo Prof. Marcelo H. Carvalho no curso de Pós-Graduação em Ciência da Computação, FACOM - UFMS.
1. O documento apresenta definições e propriedades de potenciação e radiciação, incluindo casos particulares, condições de existência e propriedades.
2. A segunda unidade trata de trigonometria no triângulo retângulo, apresentando relações trigonométricas e exemplos de aplicação no triângulo equilátero e no quadrado.
3. A terceira unidade aborda o Teorema dos Cossenos para triângulos quaisquer.
1) Lucas comprou um jogo de Xbox 360 com 20% de desconto no preço de tabela de R$210. O preço pago foi R$168.
2) Felipe deu uma volta completa em um parque em forma de retângulo. A distância percorrida foi de 2,2 km.
3) O ponto com coordenada -2 na reta numérica está representado pela letra Q.
A regra de três composta envolve três ou mais grandezas direta ou inversamente proporcionais. Exemplos mostram como resolver problemas usando o método da regra de três composta, considerando se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais e o produto ou quociente das medidas.
1) O documento contém um teste de 25 questões sobre diversos assuntos como matemática, geometria, interpretação de texto e figuras.
2) As questões envolvem cálculos, interpretação de tabelas, gráficos e figuras geométricas.
3) O teste foi aplicado na Escola Nova em Monte Santo de Minas para o 7o ano em 2016.
Matemática para concursos regra de três simples e composta - 10 exercícios ...Sulaine Almeida
1. O documento apresenta resoluções de exercícios utilizando a regra de três para proporcionalidade direta e inversa.
2. Os exercícios envolvem cálculos com variáveis como área, tempo, quantidade e preço para determinar valores desconhecidos.
3. A regra de três é usada para estabelecer relações entre as variáveis e chegar à resposta correta para cada exercício.
Este documento apresenta o resultado final de um processo seletivo para o cargo de monitor de matemática na primeira Coordenadoria Regional de Educação de Maceió. A lista contém os nomes dos candidatos, seus dados de identificação, as notas obtidas nas provas de português, lógica e conhecimentos específicos, a nota final e a classificação. Muitos candidatos foram eliminados por falta ou na prova objetiva. Os candidatos aprovados estão listados em ordem classificatória.
Este documento apresenta os conceitos básicos da teoria dos conjuntos, incluindo definições de conjunto, subconjunto, igualdade, conjunto vazio, conjunto das partes, operações com conjuntos (união, interseção, diferença, complementar e diferença simétrica), e propriedades destas operações. Exemplos ilustram cada conceito. Exercícios de aplicação são fornecidos no final para testar a compreensão dos conceitos.
Exercícios de regra de três simples e composta 5Alex Cleres
O documento explica o conceito e os passos para resolver problemas usando a regra de três simples e composta. A regra de três simples envolve quatro valores onde três são conhecidos e um é desconhecido. A regra de três composta envolve mais de duas grandezas direta ou inversamente proporcionais. Exemplos ilustram como aplicar os métodos para resolver problemas.
1) Pede para escrever frações decimais na forma de números decimais e vice-versa.
2) Compara decimais usando símbolos de igualdade e desigualdade.
3) Encontra a geratriz de frações periódicas.
4) Classifica frações como exatas ou periódicas.
5) Marca pontos em uma reta representando números reais dados.
Este documento apresenta 20 exercícios de regra de três envolvendo vários tópicos como produção, velocidade, consumo e outras variáveis. As respostas são fornecidas no final, resolvendo cada um dos exercícios propostos de forma a ilustrar aplicações práticas da regra de três.
O documento descreve os principais conjuntos numéricos e suas relações: (1) Os naturais N contém os números inteiros positivos. (2) Os inteiros Z incluem N e os inteiros negativos. (3) Os racionais Q são todas as frações de inteiros. (4) Os irracionais i não podem ser expressos como frações. (5) Os reais R são a união de Q e i.
Este documento apresenta uma apostila de matemática básica com o objetivo de fornecer conhecimentos matemáticos essenciais para estudantes do ensino fundamental e médio. A apostila contém definições, exemplos e exercícios sobre conjuntos numéricos, operações básicas, frações, potências, equações, proporcionalidade e outros tópicos matemáticos fundamentais.
Este documento apresenta uma apostila de matemática básica com o objetivo de fornecer conhecimentos matemáticos essenciais para estudantes do ensino fundamental e médio. A apostila contém definições, exemplos e exercícios sobre conjuntos numéricos, operações básicas, frações, potências, equações, proporcionalidade e outros tópicos matemáticos fundamentais.
Este documento apresenta uma apostila de matemática básica com o objetivo de fornecer conhecimentos matemáticos essenciais para estudantes do ensino fundamental e médio. A apostila contém definições, exemplos e exercícios sobre conjuntos numéricos, operações básicas, frações, potências, equações, proporcionalidade e outros tópicos matemáticos fundamentais.
Este documento é uma apostila de matemática básica destinada a alunos do CEFET/SP e UNED de Sertãozinho. A apostila introduz conceitos matemáticos básicos e intermediários necessários para os cursos oferecidos pelas instituições, incluindo conjuntos numéricos, operações fundamentais, frações, potências, equações e geometria. O material é apresentado de forma clara e objetiva, com exemplos e exercícios para fixação dos conceitos.
Este documento é uma apostila de matemática básica destinada a alunos do CEFET/SP e UNED de Sertãozinho. A apostila aborda conceitos matemáticos básicos e intermediários dos ensinos fundamental e médio, necessários para o progresso nos cursos oferecidos pela instituição. O material contém definições, exemplos e exercícios para fixação dos principais tópicos da matemática.
Lista de exercícios extra campos numéricos (1)Jcraujonunes
O documento discute os diferentes conjuntos numéricos, incluindo números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais. Ele fornece exemplos de cada conjunto e explica a relação entre eles, com os números reais sendo a união dos conjuntos racionais e irracionais. O documento também contém exercícios relacionados aos diferentes conjuntos numéricos.
O documento descreve os principais conjuntos numéricos: (1) os números naturais IN, (2) os números inteiros Z, (3) os números racionais Q, e (4) os números irracionais. Também define o conjunto dos números reais IR como a união dos conjuntos dos números racionais e irracionais.
O documento apresenta informações sobre:
1) Conjuntos numéricos como naturais, inteiros, racionais e irracionais.
2) Conceitos de múltiplos, divisores, MDC e MMC.
3) Exemplos resolvidos de cálculo de MDC e MMC.
O documento descreve a evolução histórica dos conjuntos numéricos, começando pelos números naturais usados para contar e evoluindo para os números inteiros, racionais e reais. Os conjuntos numéricos são representados graficamente em uma reta real.
Este documento apresenta informações sobre números reais para o 9o ano. Apresenta a história dos números, desde os primeiros métodos de contagem até aos diferentes conjuntos numéricos como números naturais, inteiros, racionais e reais. Inclui também tarefas para classificar números nos respetivos conjuntos e exemplos de representação de números racionais e irracionais em forma de dizimas finitas e infinitas.
O documento fornece uma introdução sobre números racionais, incluindo: 1) A definição de números racionais como frações a/b onde a e b são inteiros e b ≠ 0; 2) Os principais subconjuntos dos números racionais Q; 3) Como representar números racionais na reta numérica.
O documento resume os principais conjuntos numéricos (naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais) e fornece exemplos de cada um. Também apresenta listas de exercícios sobre esses temas com questões sobre a comparação e conversão entre diferentes tipos de números.
Este documento apresenta o plano de ensino de Matemática para o 8o ano do 2o bimestre de 2014 na cidade do Rio de Janeiro, contendo os tópicos a serem abordados como números racionais, expressões algébricas e geometria plana.
Este documento apresenta o plano de ensino de Matemática para o 8o ano do 2o bimestre de 2014 na cidade do Rio de Janeiro, contendo os tópicos a serem abordados como números racionais, expressões algébricas e geometria plana.
Este documento apresenta o plano de ensino de Matemática para o 8o ano do 2o bimestre de 2014 na cidade do Rio de Janeiro, incluindo os tópicos a serem abordados como números racionais, expressões algébricas e geometria.
Este documento apresenta o plano de ensino de Matemática para o 8o ano do 2o bimestre de 2014 na cidade do Rio de Janeiro, incluindo os tópicos a serem abordados como números racionais, expressões algébricas e equações de 1o grau.
Este documento apresenta o plano de ensino de Matemática para o 8o ano do 2o bimestre de 2014 na cidade do Rio de Janeiro, incluindo os tópicos a serem abordados como números racionais, expressões algébricas e geometria.
O documento descreve a evolução dos conjuntos numéricos, começando pelos números naturais e chegando aos números reais. Explica como cada novo conjunto foi necessário para resolver problemas matemáticos e como eles se relacionam entre si, com cada um englobando o anterior e acrescentando novos tipos de números.
1) O documento discute seqüências numéricas e séries infinitas, apresentando definições, exemplos e teoremas sobre convergência e monotonicidade de seqüências.
2) Uma seqüência é uma função que associa números reais a números naturais. Pode ser dada por uma fórmula ou recorrência. Se a diferença entre os termos e um limite tende a zero, a seqüência converge.
3) O documento fornece condições para a convergência de seqüências, como os teoremas sobre limites de potências e conf
1) O documento apresenta 10 exercícios de matemática envolvendo números complexos.
2) No exercício 8, pede-se para determinar a hora de um jantar secreto a partir da representação dos ponteiros do relógio como números complexos.
3) No exercício 9, é solicitado calcular o módulo, argumento e representar graficamente o número complexo 2 + 2(√3)i.
O documento apresenta 10 questões de um exercício de matemática. As questões envolvem cálculos de velocidade, volume de água, números naturais, capacidade de tanque de gasolina, área de terreno e lado de cerâmica. A última questão propõe encontrar um valor para p dias com base no vazamento de uma torneira.
O documento apresenta 10 questões de matemática financeira e porcentagem. Na questão 1, calcula-se juros compostos e tempo para duplicação de capital. Na questão 2, calcula-se um valor inicial emprestado. Nas questões 3-4 resolvem-se exercícios de índice de variação de preços. Nas questões 5-8 analisam-se situações envolvendo descontos e porcentagens. Nas questões 9-10 calculam-se preços com descontos e composição de custos.
O documento apresenta 10 questões sobre sistemas lineares, equações matriciais e problemas de matemática financeira. As questões abordam tópicos como determinação de sistemas lineares, solução de equações matriciais, cálculo de custos de transporte e consumo de combustível.
O documento apresenta 10 questões de matemática sobre diversos temas como porcentagem, sistemas de equações, velocidade e outras. A questão 5 pede para calcular o número estimado de brasileiros analfabetos absolutos em matemática usando dados de uma pesquisa. A questão 9 fornece informações sobre códigos de barras e pede para determinar um dígito ausente. A questão 10 apresenta um sistema de equações para calcular o consumo de combustível de um carro em diferentes situações.
I. O documento apresenta uma questão sobre três irmãs: Ana, Beatriz e Clara, onde uma diz a verdade e as outras duas mentem.
II. Ana responde que se perguntarem para cada irmã se a outra mente ou fala a verdade, Beatriz dirá que Clara fala a verdade e Clara dirá que Beatriz mente.
III. O documento também contém outras questões sobre jogos matemáticos e lógica.
Este documento apresenta 10 questões de matemática. A questão 7 pede para calcular a quantidade mínima de metros de barbante necessária para embalar um pacote em forma de prisma retangular. As dimensões do pacote são dadas e 20 cm devem ser reservados para o laço.
Este documento contém 10 questões de matemática sobre polinômios e suas raízes. A primeira questão pede para completar lacunas sobre as raízes de uma equação quarto grau. A segunda pergunta trata de polinômios de terceiro grau com raízes em progressão aritmética. A terceira questão aborda valores que fazem com que as raízes de um polinômio quarto grau estejam em progressão aritmética.
1) O documento apresenta 10 questões de matemática envolvendo polinômios, raízes e funções quadráticas.
2) A questão 5 pede para identificar qual afirmação é correta sobre o número 2 ser uma raiz dupla de um determinado polinômio.
3) A questão 10 pede para esboçar o gráfico do produto de duas funções quadráticas dadas e calcular o quociente de dois polinômios.
O documento apresenta 10 questões de matemática envolvendo álgebra, incluindo polinômios, raízes e divisibilidade. A questão 5 pede para determinar o valor de k para que 2 seja raiz de um polinômio, as outras raízes e os intervalos onde o polinômio é positivo. A questão 8 pede para calcular os valores de p e q sabendo que um polinômio é divisível por x-2 e seu valor em 1.
O documento apresenta 10 questões de matemática sobre vetores e geometria. As questões envolvem cálculos com vetores, ângulos entre vetores, determinação de áreas e perímetros. O gabarito fornece as respostas corretas para cada uma das questões.
O documento apresenta 10 questões de matemática envolvendo vetores e suas operações. As questões 1-5 tratam de cálculos com vetores dados. As questões 6-8 envolvem representações gráficas de rotações de vetores. As questões 9-10 tratam de planos e suas interseções.
1) O documento contém 10 questões sobre números complexos. As questões envolvem cálculos com números complexos, raízes complexas e representações geométricas no plano complexo.
2) As respostas para as questões 1, 3, 4, 6, 7, 8 e 10 envolvem cálculos algébricos e trigonométricos com números complexos.
3) As questões 2, 5 e 9 requerem a representação geométrica de números complexos no plano e cálculos com suas propriedades algébricas e trigonométricas.
Este documento contém 10 questões sobre números complexos. As questões abordam tópicos como operações com números complexos, raízes de polinômios, conjuntos solução de equações e representação geométrica de números complexos no plano.
Este documento contém 10 questões sobre funções trigonométricas, análise de funções e cálculo de Produto Interno Bruto (PIB). A questão 1 calcula o valor de uma expressão trigonométrica. A questão 7 explicita uma função composta e determina seu valor máximo. E a questão 9 calcula o valor do PIB de um país em 2004.
Este documento contém 10 questões sobre cálculo e funções matemáticas. As questões incluem determinar soluções de equações trigonométricas, sistemas de equações, áreas de regiões delimitadas por funções e valores de variáveis que satisfaçam equações envolvendo funções compostas. Há também uma questão sobre interpretar medidas em uma planta de residência.
1) O documento apresenta 10 questões de matemática envolvendo trigonometria e geometria.
2) As questões incluem cálculos de seno, cosseno, tangente e áreas para diferentes figuras geométricas como circunferências e trapézios.
3) São solicitados também cálculos como distância entre cidades e determinação de ângulos e alturas de torres.
O documento apresenta 10 questões de matemática sobre vários tópicos como geometria, trigonometria e física. As questões envolvem cálculos para determinar alturas, distâncias, áreas e tempos.
O documento apresenta 10 questões de matemática sobre geometria plana e trigonometria. As questões envolvem triângulos, circunferências, retas e áreas de figuras planas, como determinar coordenadas de pontos, equações de circunferências e áreas de triângulos e retângulos.
Este documento contém 10 questões sobre círculos e circunferências no plano cartesiano. As questões abordam tópicos como pontos de tangência, cordas, centros e raios de circunferências, regiões determinadas por condições geométricas e sistemas de equações.
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A música 'Espalhe Amor', interpretada pela cantora Anavitória é uma celebração do amor e de sua capacidade de transformar e conectar as pessoas. A letra sugere uma reflexão sobre como o amor, quando verdadeiramente compartilhado, pode ultrapassar barreiras alcançando outros corações e provocando mudanças positivas.
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1. Apostila de Matemática Básica
Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior
APOSTILA MATEMÁTICA BÁSICA
Este material serve como introdução aos conceitos matemáticos,
adequando-se às necessidades dos alunos do CEFET/ SP, UNED de
Sertãozinho.
Nele estão conteúdos dos níveis básico e intermediário da
matemática, dos ensinos fundamental e médio. Os pontos, aqui
abordados, fazem parte de um grupo de requisitos necessários à ascensão
nos cursos oferecidos pela unidade.
Este material tem por objetivo oferecer subsídios e conhecimento
básicos aos alunos que deles necessitam, a modo de proporcionar aos
discentes a base matemática para prosseguir em seus estudos.
O material contém as definições matemáticas de uma maneira
clara e objetiva, exemplos e uma série de exercícios de fixação.
Aluno: _____________________________________________________
Curso: _____________________________________ Turma: ________
1
2. Apostila de Matemática Básica
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ÍNDICE GERAL
I. Conjuntos numéricos 2
II. As quatro operações fundamentais (números decimais) e
Expressões 2
III. Frações Ordinárias 9
IV. Potências 13
V. Operações algébricas 20
VI. Equações do 1º grau 23
VII. Equações do 2º grau 28
VIII. Inequações do 1º grau 30
IX. Proporcionalidade 31
X. Juros 38
XI. Relações Trigonométricas 41
XII. Plano Cartesiano (seu produto, relações e funções) 44
XIII. Noções de Geometria Plana e Espacial 48
2
3. Apostila de Matemática Básica
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I - CONJUNTOS NUMÉRICOS São todos os números na forma decimal exata, periódica
ou na forma de fração.
17 5 4 1 1 1 7
Q= , - ,− ,− ,− ,0, , , ,
6 2 3 2 3 2 4
Exemplos:
Números decimais na forma exata: {1,2 ; 3,654 ; 0,00005 ; 105,27272};
Números decimais na forma periódica:
2,333333 = 2, 3 3,0222 = 3,02 10,232323 = 10, 23
Esta figura representa a classe dos números.
I Irracionais
Veja a seguir:
São todas as decimais não exatas e não periódicas.
2 π
N Naturais I= , - , 3 , π , ,
6 6
São os números positivos inclusive o zero, que representem uma
contagem inteira.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} R Reais
Não há números naturais negativos. É a união dos conjuntos numéricos citados acima. Portanto, todo
número, seja N, Z, Q ou I é um número R (real).
Z Inteiros As raízes em que o radicando seja negativo e o índice par não são
São os números naturais e seus opostos – negativos. reais.
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Não há números inteiros em fração ou decimal. II - AS QUATRO OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS (NÚMEROS
Q Racionais DECIMAIS)
1) Adição
3
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Na adição os números são chamados de parcelas, sendo a operação Na subtração os números são chamados de subtraendo, sendo a
aditiva, e o resultado é a soma. operação a subtração, e o resultado é o minuendo.
2+2=4 Subtração
Parcelas adição Soma 3–2=1
Exemplos: Minuendo Subtraendo diferença
4,32 + 2,3 + 1,429 = 8,049
Exemplos: As regras para a subtração são as mesmas da adição,
4,32 portanto podemos utilizar os mesmos exemplos apenas alterando a
Observe que as parcelas são operação. Numa subtração do tipo 4-7 temos que o minuendo é
+ 2,3 parcelas dispostas de modo que se tenha
1,429 menor que o subtraendo; sendo assim a diferença será negativa e
vírgula sobre vírgula.
igual a -3.
8,049 } soma
3) Multiplicação
Na multiplicação os números são chamados de fatores, sendo a
1 2 1 15 + 40 + 12 67 operação multiplicativa, e o resultado é o produto.
+ + = = ≅ 1,1166
4 3 5 60 60
ou 22 * 3 = 66
1 2 1 2,25 + 6 + 1,8 10,05
+ + = = ≅ 1,1166
4 3 5 9 9 Fatores Multiplicação Produto
Pode-se representar a multiplicação por: *, x ou .
2) Subtração Exemplo:
4
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7,32 * 12,5 = 91,500 Exemplo:
Existe na divisão, o que se pode chamar de resto. Isto é, quando uma
Na multiplicação começa-se divisão não é exata irá sempre sobrar um determinado valor, veja no
7,32
fatores operar da esquerda para a direita.
*12,5 exemplo a seguir:
Quando a multiplicação envolver
3660 números decimais (como no 843 / 5 = 168
exemplo ao lado), soma-se a Para verificar se o resultado é
1464 + 34
quantidade de casas após a verdadeiro basta substituir os valores
732 + 43 na seguinte fórmula:
vírgula.
3 resto (r) D=d*q+r
91,500 } produto 843 = 5 * 168 + 3
1 2 8 16 8
* * = = ≅ 2,6 Se o resto for igual a zero a divisão é chamada exata.
2 3 1 6 3
5) Casos particulares da multiplicação e divisão
Na multiplicação de frações multiplica-se divisor com divisor, dividendo
Multiplicação
com dividendo (ou simplesmente, o de cima pelo de cima e o de baixo
N*1=N
pelo de baixo).
N*0=0
4) Divisão
Divisão
Na divisão, os números são chamados de dividendo( a parte que está
N/1=N
sendo dividida) e divisor (a quantia de vezes que esta parte está
N/N=1
sendo dividida), a operação é a divisão, e o resultado é o quociente.
0 / N = 0 (N ≠ 0 )
Divisão
N / 0 = Não existe!!!!
7 / 4 = 1,75
6) Exercícios
Dividendo (D) Divisor (d) Quociente (q)
a) 2,31 + 4,08 + 3,2 =
5
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b) 4,03 + 200 + 51,2 = −9=9
c) 32,4 – 21,3 = − 2= 2
d) 48 – 33,45 = Exemplos:
0= 0
e) 2,1 * 3,2 =
7= 7
f) 48,2 * 0,031 =
g) 3,21 * 2,003 =
h) 8,4708 / 3,62 = 8) Soma e subtração algébrica
i) 682,29 / 0,513 = Sinais iguais: Somam-se os valores absolutos e dá-se o sinal
j) 2803,5 / 4450 = comum.
Sinais diferentes: Subtraem-se os valores absolutos e dá-se o sinal
0,2 * 0,3
k) (FUVEST) = do maior.
3,2 − 2,0
Exemplos:
l) 0,041 * 21,32 * 401,05 ≅
a) 2 + 4 = 6
m) 0,0281 / 0,432 ≅
b) – 2 – 4 = – 6
2,31 * 4,82 c) 5 – 3 = 2
n) ≅
5,1 d) – 5 + 3 = – 2
0,021 * 4,32 e) 2 + 3 – 1 – 2 = 5 – 3 = 2
o) ≅
0,285 f) – 1 – 3 + 2 – 4 + 21 – 5 – 32 = 23 – 45 = – 22
7) Valor absoluto ou Módulo 9) Multiplicação e divisão algébrica
Representa a distância de um número até o zero (ou origem). Sendo Sinais iguais resposta positiva
assim, o módulo, por representar distância, é sempre positivo e Sinais diferentes resposta negativa
representado por | |.
Isto é: (+ ) * (+ ) = (+ ) (+ ) : (+ ) = (+ )
(− ) * (− ) = (+ ) (− ) : (− ) = (+ )
6
(+ ) * (− ) = (− ) (+ ) : (− ) = (− )
(− ) * (+ ) = (− ) (− ) : (+ ) = (− )
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aparecem sinais de reunião: ( ): parênteses, [ ]: colchetes e { }:
chaves, efetuam-se as operações eliminando-se, na ordem:
parênteses, colchetes e chaves, isto é, dos sinais interiores para os
exteriores. Quando à frente do sinal da reunião eliminado estiver o
sinal negativo, trocam-se todos os sinais dos termos internos.
Exemplos:
Exemplo:
a) 12 * 3 = 36
b) (-12) * (-3) = 36 a) 2 + [ 2 – ( 3 + 2 ) – 1 ] = 2 + [ 2 – 5 – 1 ] = 2 + [ 2 – 6 ]
c) 2 * (-2) = -4 b) 2 + { 3 – [ 1 + ( 2 – 5 + 4 ) ] + 8 } = 11
d) (-2) * 3 = -6 c) { 2 – [ 3 * 4 : 2 – 2 ( 3 – 1 ) ] } + 1 = { 2 – [ 12 : 2 – 2 *
4 2 ] } + 1 = { 2 – [ 6 – 4] } + 1
e) =2
2
20 11) Números Primos
f) = -4
(− 5) São aqueles números divisíveis somente por eles mesmos e por 1.
Obs.: O número 1, por definição, não é primo.
(− 20)
g) =4
(− 5)
Método para obtenção de números primos
(− 20)
h) = -4 Faremos isso através de um exemplo:
5
Encontre os números primos compreendidos entre 1 e 50.
10) Expressões numéricas
Para resolver expressões numéricas realizamos primeiro as operações
1º Passo: Enumera-los
de multiplicação e divisão, na ordem em que estas estiverem
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
indicadas, e depois adições e subtrações. Em expressões que
7
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11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 30 2
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 15 3
30 = 2 * 3 * 5
5 5
2º Passo: Encontrar a raiz quadrada do maior número quadrado dentre 1 30
os indicados, ou seja, encontrar o maior número que se conheça a raiz
quadrada exata.
21 3
No caso, 49 = 7 .
7 7 21 = 3 * 7
1 21
3º Passo: Extrair da lista acima os números múltiplos dos números {2, 3,
4, 5, 6, 7}, nesta ordem, onde o 7 provém do 2º passo.
OBS: Número primo é aquele divisível somente por ele mesmo e pelo
4º Passo: Os números que sobraram são os números primos procurados: número 1.
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47}.
13) Mínimo múltiplo comum (m.m.c.)
Obs.: O número 2 é o único número primo e par. O mínimo múltiplo comum a vários números é o menor número
divisível por todos eles.
12) Decomposição de um número em um produto de fatores Exemplo:
primos
A decomposição de um número em um produto de fatores primos é a) Calcular o m.m.c. entre 12, 16 e 45
feita por meio do dispositivo prático que será mostrado nos exemplos
a seguir.
Exemplos:
8
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12 12 45 2 Agora tomemos as menores potências dos fatores em comum
06 08 45 2 apresentados acima:
03 04 45 2 m.d.c.(12, 18, 36) = 2.3 = 6.
03 02 45 2
03 01 45 3 Quando o m.d.c. entre dois números é igual a 1, dizemos que eles são
01 01 15 3 relativamente primos.
01 01 05 5 Exemplo: 5 e 9 são relativamente primos, pois 5 = 5.1 e 9 = 32.1.
01 01 01 720 Sendo 1 o único fator comum a estes números.
O m.m.c. entre 12, 16 e 45 é 720
Confirme os resultados abaixo:
Confirme os resultados abaixo.
b) m.m.c. (9, 6) = 3
b) m.m.c. (4, 3) = 12
c) m.m.c. (36, 45) = 9
c) m.m.c. (3, 5, 8) = 120
d) m.m.c. (12, 64) = 4
d) m.m.c. (8, 4) = 8
e) m.m.c. (20, 35, 45) = 5
e) m.m.c. (60, 15, 20, 12) = 60
14)Máximo Divisor Comum (m.d.c.)
15) Exercícios:
O m.d.c. a vários números é o maior número que os divide.
Exemplo: Encontrar o m.d.c. entre 12, 18 e 36.
a) 2 + 3 – 1 =
b) – 2 – 5 + 8 =
Fatorando cada um dos números em fatores primos, temos:
c) – 1 – 3 – 8 + 2 – 5 =
12 = 22.3
d) 2 * (-3) =
18 = 2.32
e) (-2) * (-5) =
36 = 22.32.
f) (-10) * (-1) =
9
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g) (-1) * (-1) * (-2) = c. 12, 18 e 32
4
h) =
− 2 IV - FRAÇÕES ORDINÁRIAS
−8
i) =
2 Definição: Fração é um quociente indicado onde o dividendo é o
− 20 numerador e o divisor é o denominador.
j) =
− 5
As frações que serão apresentadas a seguir, partem de um círculo
inteiro que ao ser dividido em partes iguais formam as frações
(− 4) * (− 1)
k) =
− 2
(− 1 + 3 - 5) * (2 - 7)
l) =
−1 1 3
(2 + 3 * 4 - 2 * 5 - 3) 2 4
m) = =0,5 =0,75
−1
n) 2 { 2 - 2 [ 2 - 4 ( 3 * 2 : 3 ) + 2 ] } + 1 =
o) 8 - { - 20 [ ( - 3 + 3 ) : ( - 58 )] + 2 ( - 5 ) } =
p) 0,5 * 0,4 : 0,2 = 1 1
4 8
q) 0,6 : 0,03 * 0,05 = =0,25 =0,125
r) 5 : 10 =
s) 3 : 81 * 0,5 =
t) Calcule o m.m.c. e o m.d.c. entre:
a. 36 e 60 7
b. 18, 20 e 30 8
= 0,875
1
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Exemplos:
A fração é própria quando o numerador é menor do que o
1 1* 2 2
1 3 120 a) = =
denominador: , , , etc. 2 2*2 4
2 5 210
3 3 * 5 15
A fração e imprópria quando o numerador é maior que o b) = =
4 4 * 5 20
denominador, sendo possível representá-la por um número misto e
20 20 :10 2
reciprocamente. c) = =
30 30 :10 3
Exemplos:
4 4:4 1
d) - = - = -
8 8: 4 2
10 3 10
a) =1 pois possui resto 3
7 7 7
17) Soma algébrica de frações
28 25 + 3 25 3 3 28
b) = = + =5 pois possui resto 3 Reduzem-se ao menor denominador comum e somam-se
5 5 5 5 5 5
algebricamente os numeradores.
11 2
c) =3 OBS: O menor denominador comum é o m.m.c. dos denominadores.
3 3
1 7
d) 2 = Exemplos:
3 3
1 5
e) -1 =- 1 1 3 2 3+ 2 5
4 4 a) + = + = =
2 3 6 6 6 6
1 5 2 3 5 4 3+ 5-4 4 2
16) Propriedade b) + - = + - = = =
2 6 3 6 6 6 6 6 3
Multiplicando ou dividindo os termos de uma fração por um número
1 3 4 1 9 16 24 1 - 9 + 16 - 24 16 4 1
diferente de zero obtém-se uma fração equivalente à inicial. c) - + -2= - + - = = - = - = -1
12 4 3 12 12 12 12 12 12 3 3
1
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1
2 = 1 * 3 = 3 = 11
18) Multiplicação de frações a)
1 2 1 2 2
Multiplicam-se os numeradores entre si, da mesma maneira se faz 3
com os denominadores. (− 2 3 ) = - 2 * 2 = - 4 = - 1 1
b)
1 3 1 3 3
Exemplos: 2
1
c) 2 = 1*1 = 1
1 3 3 3 2 3 6
a) * =
2 5 10
5 5 3 15 1
1 1 1 d) 2 = 1 * 2 = 2 = 7 2
b) − * = - 3
4 2 8
41 13
1 2 2 3 = 3 = 13 * − 4 = - 52 = - 1 25
c) − * − =
3 5 15
e)
( − 21
4
) (
− 9
4
)
3 9
27 27
d) ( − 3) * − 1 2
* − = -
3
4 7 14
3 1 11 16 44 4 20) Comparação de Frações
e) 2 * 3 = * = =8
4 5 4 5 5 5 Para comparar as frações devemos reduzi-las ao mesmo denominador
e comparar os numeradores, a qual tiver o numerados maior será a
19) Divisão de frações maior fração.
Multiplica-se a fração dividenda pelo inverso da fração divisora. OBS.: a < b lê-se “a é menor do que b”
a > b lê-se “a é maior do que b”
Exemplos:
1
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6 2 2
Exemplo: Comparar e : a) =
7 3 4
Para isto, calculamos o m.m.c. entre 7 e 3: 9
b) =
m.m.c.(3, 7) = 21. 27
Então, ao transformar os denominadores em 21, devemos multiplicar 12
os numeradores pelo fatores de transformações.
c) =
48
6 * 3 2 * 7 ⇒ 18 14
e e
7 *3 3* 7 21 21 Comparar as frações :
Como 18 é maior que 14, podemos afirmar que: 1 2
a) ,
18 14 2 3
> .
21 21 2 5
b) ,
3 6
O fator de transformação da fração é 3
pois 3*7 = 21, e o da fração é 7, pois 3*7 = 4 3
21. c) ,
7 8
Resolva:
1 1
a) + =
5 10
2 4
b) - =
3 3
21) Exercícios
1 1 1
c) - + =
2 3 6
Simplifique as frações, ou coloque-as na forma irredutível:
1
14. Apostila de Matemática Básica
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1 2 Simplifique:
d) * =
3 5
3 1 2 1
e) * * = 1+
7 3 5 1+ 1 =
a) 1
1 2 1+
f) - * - = 1
1+
6 5 1+ 1
1 1 1 1
g)
3= + +
1 2 3 4 : 9 + 1 =
2 b)
2 3 17
+
2 1 3 4
h) : - =
3 5 V - POTÊNCIAS
1 2 1
i) : * = Definição: Potência de grau n de um número A é o produto de n
2 3 4
fatores iguais a A.
2 1
j) 2 :1 = A n =
A∗A∗.. .∗A
5 5
n vezes
1 2 1
k) + : = A é a base da potência e n é o expoente da potência, que determina
3 4 2
seu grau.
1+ 1 Assim:
l) 3=
3 2³ = 2 * 2 * 2 = 8 ∴ 2³ = 8
(- 1) = (- 1) * (- 1) * (- 1) * (- 1) = 1 ∴
4
(- 1)4 = 1
1+ 1
1+ 2
m) 2 = CASOS PARTICULARES:
1
2 a) A potência de expoente 1 (1º grau) é igual à base:
1
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A1 = A; 21 = 2 6 vezes
6
b) Toda potência de 1 é igual a 1: 5 5*5*5*5*5*5
Realmente: = = 56 - 4 = 52
4 5 * 55 * 5
*
1² = 1; 1³ = 1 5
4 vezes
c) Toda potência de 0 é igual a 0:
Exemplo: 37 : 33 = 34 = 3 * 3 * 3 * 3 = 81
0² = 0; 0³ = 0
d) Toda potência de expoente par é positiva:
24) Multiplicação de potências de mesmo grau (semelhantes)
(- 2)4 = 16; 24 = 16; (- 3)² = 9; 3² = 9
Multiplicam-se as bases e conserva-se o expoente comum.
e) Toda potência de expoente ímpar tem o sinal da base:
3³ = 27 ; (- 3)³ = - 27
Realmente: 2² * 7² = 2 * 2 * 7 * 7 = (2 * 7)²
25 = 32 ; (- 2)5 = - 32
Exemplo: 3³ * 5³ = 3 * 3 * 3 * 5 * 5 * 5 = (3 * 5)³ = 15³ = 3 375
22) Multiplicação de potências de mesma base
25) Divisão de potências de mesmo grau (semelhantes)
Mantém-se a base comum e soma-se os expoentes.
Dividem-se as bases e conserva-se o expoente comum.
2³ * 2² = 2 ** 2 * 2 * 2 = 2 3 + 2 = 2 5
2
2
Realmente:
vezesvezes
3 2 22 2*2 2 2 2
Realmente: = = * =
5 vezes 72 7*7 7 7 7
Exemplo:
5² * 57 = 59 = 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 = 1 953 125 Exemplo: 8³ : 2³ = 4³ = 64
23) Divisão de potências de mesma base 26) Potenciação de potência
Mantém-se a base comum e diminuem-se os expoentes. Eleva-se a base ao produto dos expoentes.
3 2 3∗2 6.
Realmente: 2 =2 =2
1
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Exemplo: (35 )2 = 310 = 59 049 Exemplo: 5
−2
=
1
52
=
1
=
1
5 * 5 25
27) Expoente nulo
29) Potências de 10
Toda potência de base diferente de zero e expoente zero é igual a
Efetuam-se as potências de 10 escrevendo à direita da unidade tantos
unidade.
zeros quantas forem as unidades do expoente.
a4 :a4 = a4 - 4 = a0
Exemplos:
Realmente: a0 = 1
a4 :a4 = 1
a) 10² = 100
Exemplo: (- 5)0 = 1 b) 107 = 10 000 000
c) 200 = 2 * 100 = 2 * 10²
28) Expoente negativo d) 4000 = 4 * 10³
Qualquer número diferente de zero, elevado a expoente negativo é e) 300 000 = 3 * 105
igual a uma fração cujo numerador é a unidade e cujo denominador é f) 3 * 108 = 300 000 000
a mesma base da potência elevada ao mesmo expoente com o sinal
positivo. 30) Números decimais
Todo número decimal equivalente a um produto do qual um fator é o
23 23 1 número escrito como inteiro, e outro é uma potência de dez com
7 = 3 4= 4
2 2 *2 2 1 expoente negativo, com tantas unidades no expoente quantas são as
Realmente: 2-4 =
23 3-7 24 ordens decimais.
7 = 2 = 2- 4
2
−n 1
a = n
a 1
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2 Definição: Denomina-se raiz de índice n (ou raiz n-ésima) de A, ao
aa) −4 =
3 número ou expressão que, elevado à potência n reproduz A.
bb) (2-3 * 5-2)-4 = OBS: Representa-se a raiz pelo símbolo
cc) 2x + 1 * 4x = n - índice da raiz
dd) 32x * 24x = n A A - radicando
ee) 54x : 252x = - radical
Exprimir, utilizando potências de 10: Assim:
a) 20 000 =
b) 4 800 000 =
a) 16 = 4 porque 4² = 16
c) 0,01 =
d) 0,000045 = b) 3 8 = 2 porque 2³ = 8
c) 4 81 = 3 porque 34 = 81
Efetuar, utilizando potência de 10:
2 000 * 48 000
a) = 32) Propriedade
80
É possível retirar um fator do radical, bastante que se divida o
28 * 0,000032 expoente do radicando pelo índice do radical.
b) =
0,00002
Exemplos:
a) 12 = 22 * 3 = 2 3
RADICAIS
b) 180 = 2 2 * 32 5 = 2 * 3 5 = 6 5
1
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Exemplo:
c) 4 38 * 5 4 * 2 = 3 2 * 5 4 2
a) 2* 3= 2*3 = 6
d) 4 38 = 38 : 4 = 3 2
6 6
b) = = 3
2 2
Reciprocamente, para introduzir um fator no radical, multiplica-se o
expoente do fator pelo índice do radical. Assim: c) 3* 5* 2 = 3*5* 2 = 30
4 5 *4 3 4 15 15
d) = = 4
3 3 42 42 2
33 2 = 3 *2
33) Adição e subtração de radicais semelhantes 35) Potenciação de radicais
Radicais de mesmo índice e mesmo radicando são semelhantes. Na Eleva-se o radicando à potência indicada e conserva-se o índice.
adição e subtração de radicais semelhantes, operam-se os coeficientes
e conserva-se o radical. Exemplo:
a) (4 3 )3 = 4 33 = 4 27
Exemplos:
( )
2 2
b) 5 2 2 * 3 = 5 2 2 * 3 = 5 2 4 * 3 2
a) 3 2 + 5 2 - 10 2 = 8 2 - 10 2 = - 2 2
36) Radiciação de radicais
b) 3 3 2 + 6 3 2 - 5 3 2 - 3 2 = 9 3 2 - 6 3 2 = 3 3 2 Multiplicam-se os índices e conserva-se o radicando.
34) Multiplicação e divisão de radicais de mesmo índice Exemplos:
Multiplicam-se (dividem-se) os radicandos e dá-se ao produto
a) 3 = 2*2 3 = 4 3
(quociente) o índice comum.
1
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b) 3 4 3 = 24 3 1 1* 2 2 2
a) = = =
2 2* 2 4 2
37) Expoente fracionário 1 1* 3 3 3 3
b) = = = =
Uma potência com expoente fracionário pode ser convertida numa 2 3 2 3* 3 2 9 2*3 6
raiz, cujo radicando é a base, o índice é o denominador do expoente, 2 2* 3 6 6
c) = = =
sendo o numerador o expoente do radicando. 3 3* 3 9 3
2 2 2 2* 6 2 12 2 12 2 12 12
Exemplos: d) = = = = =
5 6 5 6* 6 5 36 5*6 30 15
p
a) q
a q = ap
2º Caso: O denominador é uma soma ou diferença de dois termos em
1
b) a 2 = a que um deles, ou ambos, são radicais do 2º grau. Neste caso
2 multiplica-se o numerador e o denominador pela expressão conjugada
c) 2 3 = 3 2 2 = 3 4
do denominador.
3 OBS: A expressão conjugada de a + b é a – b.
d) 4 6 3 = 6 4
Na racionalização aparecerá no denominador um produto do tipo:
(a + b) * (a – b) = a² - b²
38) Racionalização de denominadores
Assim:
1º Caso: O denominador é um radical do 2º grau. Neste caso
(5 + 3) * (5 – 3) = 5² - 3² = 25 – 9 = 16
multiplica-se pelo próprio radical o numerador e o denominador da
fração.
Exemplos:
1
=
(
1* 5 - 2 ) =
5- 2
=
5- 2
=
5- 2
Exemplo: a)
5+ 2 ( )(
5+ 2 * 5- 2 ) ( 5)2 - ( 2)2 5-2 3
2
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5
e) =
4 - 11 41) Operações com expressões algébricas
1. Soma algébrica
Simplifique: Somente é possível somar ou subtrair termos semelhantes
(monômios que possuem a mesma parte literal). Para somar ou
50 - 8
a) = subtrair termos semelhantes (reduzir termos semelhantes)
2
repete-se a parte literal e opera-se com os coeficientes.
b) 2352 = Exemplo:
1 1 3x²y – 4xy² + 7xy² + 5x²y = 8x²y + 3xy²
c) - =
1- 2 2+1
2. Multiplicação
VII – OPERAÇÕES ALGÉBRICAS Multiplica-se cada termo do primeiro fator por todos
os termos do segundo fator e reproduzem-se os
40) Expressões algébricas termos semelhantes.
São indicações de operações envolvendo letras ou letras e números. Exemplo:
(3a²y) * (2ay) = 6a³y²
Exemplos:
a) 5ax – 4b
b) ax² + bx + c
c) 7a²b
OBS: No exemplo 3, onde não aparece indicação de soma ou de
diferença, temos um monômio em que 7 é o coeficiente numérico e
a²b é a parte literal.
2
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3. Divisão
(a - b)² = a² - 2ab + b²
1º Caso: Divisão de monômios: Divide-se o
coeficiente numérico do dividendo pelo 1º O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro
coeficiente do divisor, e a parte literal do dividendo menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado
pela do divisor, observando-se as regras para do segundo.
divisão de potências de mesma base.
2º Caso: Divisão de polinômio por monômio: Divide-se cada Exemplo:
termo do dividendo pelo monômio divisor. (x – 3) = x² + 2 * x * (- 3) + (- 3)² = x² - 6x + 9
Exemplo: III. Produto da soma de dois termos por sua diferença:
(42a³bx4) : (7ax²) = 6a²bx²
(a + b) * (a – b) = a2 – b2
42) Produtos notáveis
Há certos produtos de polinômios, que, por sua importância, devem O produto da soma de dois termos por sua diferença é igual ao quadrado
ser conhecidos desde logo. Vejamos alguns deles: do primeiro menos o quadrado do segundo.
I. Quadrado da soma de dois termos:
Exemplo:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(1 - 3 ) * (1 + 3 ) = 1² - ( 3 )² = 1 – 3 = - 2
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro mais
duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do
43) Fatoração
segundo.
Fatorar um polinômio é escreve-lo sob a forma de um produto
indicado.
Exemplo:
(2 + x)² = 2² + 2 * 2x + x² = 4 + 4x + x²
Fator comum dos termos de um polinômio é o monômio cujo
coeficiente numérico é o máximo divisor comum dos coeficientes dos
II. Quadrado da diferença de dois termos:
2
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termos do polinômio e cuja parte literal é formada pelas letras comuns e) (x 3 - 3x 2 y + x ) * (x 2 - y) =
com os menores expoentes.
Apresentando um fator comum, o polinômio pode ser escrito como o f) (6 x 2 - 4x 5 + 2x 4 - 2x 2 ) : 2x =
produto de dois fatores: o 1º é o fator comum e o 2º é obtido g) (2a 2 bc + 3a 3 b 3 c 2 − abc ) : abc =
dividindo-se o polinômio original pelo fator comum.
h) ( x + 2) 2 + ( 3x - 3) 2 =
Exemplos:
a) Fatorando o polinômio 4ax² + 8a²x³ + 2a³x tem-se:
i) (3xy + 8a 2 )2 =
j) ( 5ab + 3c ) * ( 5ab − 3c ) =
4ax ² 8a ² x ³ 2a ³x
4ax ² + 8a ² x ³ + 2a ³x = 2ax + + = 2ax ( 2x + 4ax² + a² )
2ax 2ax 2ax
Fatorar:
b) Fatorar: 5x²y + x4y³ + 2x². O fator comum é x².
a) 15a² - 10ab =
Assim: 5x²y + x4y³ + 2x² = x² (5y + x²y³ + 2)
b) 3a²x – 6b²x + 12x =
44) Exercícios
VIII – EQUAÇÕES DO 1º GRAU
Efetuar:
UM BREVE RELATO DA HISTÓRIA DA EQUAÇÃO
a) 3a 2 - 7ab + 4b 2 - 5a 2 + 3ab - 4b 2 = As equações foram introduzidas pelo conselheiro do rei da França,
b) (3xy 2 - 7x 2 y + 3y3 ) - (2y3 - 8x 2 y + 3xy 2 ) = Henrique IV, o francês François Viète, nascido em 1540. Através da
matemática Viète decifrava códigos secretos que era mensagens escritas
c) (7xy 2 ) * (- 8x 2 y) * ( xy) = com a substituição de letras por numerais. Desta forma Viète teve uma
d) (a + b + c) * ( a - b) =
2
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idéia simples, mas genial: fez o contrário, ou seja, usou letras para Incógnita: Quantidade desconhecida de uma equação ou de um
representar os números nas equações. problema; aquilo que é desconhecido e se procura saber; enigma;
O sinal de igualdade foi introduzido por Robert Recorde mistério. (Dicionário Silveira Bueno – Editora LISA)
(matemático inglês) que escreveu em um de seus livros que para ele não
existiam duas coisas mais parecidas que duas retas paralelas. Um outro Exemplo:
matemático inglês, Thomas Harriot, gostou da idéia de seu colega e
a) - =
x2 5
só é verdade para x = 7
começou a desenhar duas retas para representar que duas quantidades 1º membro 2º membro
são iguais: b) 3x + y = 7 só é verdade para alguns valores de x e y,
Exemplo: como por exemplo x = 2 e y = 1 ou x = 1 e y = 4.
_________
400 cm _________ 4m Os valores atribuídos às incógnitas que tornam verdadeiras as
igualdades denominam-se raízes da equação.
Assim, diminuiu-se um pouco este sinal, =, passando a usá-lo nas Se a equação contiver apenas uma incógnita e se o maior expoente
equações de Viète. dessa incógnita for 1 então a equação é dita equação do 1º grau a
Até o surgimento deste sistema de notação as equações eram uma incógnita.
expressas em palavras e eram resolvidas com muita dificuldade. A
notação de Viète significou o passo mais decisivo e fundamental para 46) Resolução de uma equação do 1º grau a uma incógnita
construção do verdadeiro idioma da Álgebra: as equações. Por isso, Resolver uma equação é determinar sua raiz. No caso de uma
Fraçois Viète é conhecido como o Pai da Álgebra. equação do 1º grau a uma incógnita, consegue-se resolvê-la isolando-
se a incógnita no 1º membro, transferindo-se para o 2º membro os
45) Equação termos que não contenham a incógnita efetuando-se a operação
Equação é uma igualdade que só se verifica para determinados inversa (as operações inversas são: adição e subtração; multiplicação
valores atribuídos às letras (que se denominam incógnitas). e divisão; potenciação e radiciação).
2
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Exemplos: 3x - 2 3x + 1 4x - 6
- =
a) x + 2 = 7 ⇒ x+2–2=7–2 ⇒ x=5 2 3 5
b) x – 3 = 0 ⇒ x–3+3=0+3 ⇒ x=3
1º Passo: Eliminam-se os denominadores, se houver:
2x 8
c) 2 x = 8 ⇒ = ⇒ x= 4 m.m.c. (2; 3; 5) = 30
2 2
Logo: 15 * (3x – 2) – 10 * (3x + 1) = 6 * (4x – 6)
x 3* x
d) =5⇒ = 3 * 5 ⇒ x = 15
3 3
2º Passo: Eliminam-se os parênteses, efetuando as multiplicações
indicadas:
Se o coeficiente da incógnita for negativo, convém utilizar as
45x – 30 – 30x – 10 = 24x – 36
operações dos sinais:
3º Passo: Transpõem-se os termos que contém a incógnita para o 1º
- 2x - 8
− 2x = - 8 ⇒ = ∴ x= 4 membro, e os independentes (os que não contém a incógnita) para o
-2 -2
2º, efetuando as operações necessárias:
Se a equação envolver simultaneamente denominadores e adição ou
45x – 30x – 24x = - 36 + 30 + 10
subtração, o primeiro passo será eliminar os denominadores, o que se
faz mediante a aplicação da seguinte regra:
4º Passo: Reduzem-se os termos semelhantes em cada membro:
-9x = 4
Calcula-se o m.m.c. dos denominadores; divide-se o m.m.c.
encontrado por cada um dos denominadores e 5º Passo: Divide-se os dois membros pelo valor que o x está sendo
multiplicam-se os resultados pelos respectivos multiplicado, desta maneira isola-se a incógnita:
numeradores.
− 9x 4
=
− 9 -9
Os passos seguintes são descritos no exemplo a seguir:
2
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6º Passo: Sendo o divisor ou o dividendo negativo, a fração passa a valores de x e y que satisfaçam simultaneamente às duas
ser negativa também: equações. Por exemplo, o sistema:
x= -
4 5x + y = 16 x = 3
tem solução para
9 2 x − 3y = 3 y= 1
Pois apenas estes valores satisfazem simultaneamente às
VERIFICAÇÃO OU “PROVA REAL” duas igualdades. (Verifique!)
Substitui-se a raiz encontrada em cada um dos membros da equação Estudar-se-á nesta apostila três métodos de solução para um sistema,
dada. Os valores numéricos devem ser iguais são eles: Substituição, comparação e adição.
47) Sistema de equação do 1º grau com duas incógnitas SUBSTITUIÇÃO
A forma genérica de um sistema é:
2 x + 3y = 8 equação 1
ax + by = c 1º) Seja o sistema:
onde a, b, c, m, n, p ∈ ℜ (Reais) e x e y são as 5x − 2 y = 1 equação 2
mx + ny = p
ingógnitas. 2º) Isola-se uma das incógnitas em uma das equações, por exemplo,
o valor de x na equação 1:
a. Equação a duas incógnitas: Uma equação a duas incógnitas 2 x + 3y = 8
admite infinitas soluções. Por exemplo, a equação 2x – y = 2 x = 8 − 3y
4 é verificada para um número ilimitado de pares de valores 8 − 3y
x= equação 3
de x e y; entre estes pares estariam: 2
(x = 4; y = 4), (x = 2; y = 0), (x = -1; y = -6), etc.
3º) Substitui-se x da equação 2 pelo seu valor (equação 3):
b. Sistema de duas equações a duas incógnitas: resolver um
sistema de suas equações a duas incógnitas é determinar os
2
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8 - 3y 2º) Isola-se a mesma incógnita nas duas equações:
5* − 2y = 1 equação 4
2 33 − 3y 7 + 2y
x= e x=
4º) Resolve-se a equação 4 determinando-se o valor de y: 7 5
5 * ( 8 − 3y ) − 4 y = 2
3º) Igualam-se os segundos membros pois os primeiros são iguais (x
40 − 15 y − 4 y = 2
19 y = 38 = x):
∴ y= 2 33 - 3y 7 + 2 y
=
7 5
5º) O valor obtido para y é levado à equação 3 (em que já está
4º) Resolve-se a equação e determina-se y:
isolado) e determina-se x:
5 * ( 33 − 3y ) = 7 * ( 7 + 2 y )
8 − 3 * ( 2)
x= 165 − 15 y = 49 + 14 y
2
8− 6 29 y = 16
x=
2 ∴ y= 4
∴ x= 1
5º) O valor de y é levado a qualquer das equações em que x está
6º) A solução do sistema é: isolado e determina-se o valor de x:
x=1 e y=2 33 - 3y 33 − 3 * ( 4 ) 33 − 12 21
x= = = =
7 7 7 7
COMPARAÇÃO ∴ x= 3
7 x + 3y = 33 6º) A solução do sistema é:
1º) Seja o sistema:
5x − 2 y = 7 x=3 e y=4
2
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ADIÇÃO 3 *1 + 2y = 7 ∴ 3 + 2y = 7 ∴ 2y = 4 ∴ y = 2
Este método consiste em somar, membro a membro, as duas 48) Exercícios
equações com o objetivo de, nesta operação, eliminar uma das
incógnitas e só é vantajoso no caso de os coeficientes de uma das Resolver as seguintes equações:
incógnitas serem simétricos.
a) 4 x = 8
b) − 5x = 10
Exemplos:
c) 7 + x = 8
d) 3 − 2 x = − 7
x+ y= 4 equação 1
a) e) 16 + 4 x − 4 = x + 12
x− y= 0 equação 2
Somando, membro a membro, vem: f) 8 + 7 x − 13 = x − 27 − 5x
2x = 4 ∴ x = 2 2x 3
g) =
Substituindo o valor de x na equação 1 (ou na equação 2, fica a 3 4
critério do aluno), vem: 1 3x
h) =
2+ y = 4 ∴ y = 2 4 10
i) 9 x + 2 − ( 4 x + 5) = 4 x + 3
3x + 2 y = 7 3x + 2y = 7 j) 3 * ( 2 − x ) − 5 * ( 7 − 2 x ) = 10 − 4x + 5
b) ⇒
5x − y = 3 → * (2) 10x - 2y = 6 x − 2 12 − x 5x − 36
k) − = −1
Somando, membro a membro, vem: 3 2 4
13x = 13 ∴ x = 1 5x + 3 3 − 4 x x 31 9 − 5x
l) − + = −
Substituindo o valor de x na 1ª equação (ou na 2ª, fica a critério 8 3 2 2 6
do aluno), vem:
2
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Resolver os seguintes sistemas de equações: A equação é chamada de 2º grau ou quadrática devido à incógnita x
x + y = 12 apresentar o maior expoente igual a 2.
a) Se tivermos b ≠ 0 e c ≠ 0 teremos uma equação completa.
3x + y = 24
Se tivermos b = 0 ou c = 0 teremos uma equação incompleta.
5x + 6 y = 19
b)
7x + 2y = 1
49) Resolvendo Equações de 2º Grau
x + 5 y = 12
c)
3x − 4 y = − 2 Quando a equação de 2º grau for incompleta sua resolução é bastante
simples, veja:
x y
4+ 5= 2
d)
2x + 1 − y − 3 = 2 1º caso: b = 0 e c = 0; temos então:
3
2
a . x² = 0
Considere o problema: Exemplo:
A idade do pai é o dobro da idade do filho. Há 10 anos atrás, a idade 3 x² = 0 ⇒ x² = 0 ⇒ x = 0 ⇒ S = {0}
do pai era o triplo da idade do filho. Qual é a idade do pai e do filho?
2º caso: c = 0 e b ≠ 0; temos então:
IX – EQUAÇÕES DO 2º GRAU
a . x² + b . x = 0
Equação do 2º grau na incógnita x, é toda igualdade do tipo: Exemplo:
a . x² + b . x + c = 0 3 x² - 12 x = 0 ⇒ x . (3 x – 12) = 0 ⇒ x = 0 ou 3 x – 12 =
0 ⇒ 3 x = 12 ⇒ x = 4 ⇒ S = {0; 4}
onde a, b, c são números reais e a é não nulo (a ≠ 0).
3º caso: b = 0 e c ≠ 0; temos então:
3
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50) Exercícios
a . x² + c = 0
Determinar as raízes das seguintes equações quadráticas:
Exemplo: a) x 2 − 7 x + 6 = 0
x² - 4 = 0 ⇒ x² = 4 ⇒ x= ± 4 ⇒ x’ = 2 e x’’ = -2 ⇒
b) x 2 + 3x − 28 = 0
⇒ S = {-2; 2}
c) 3x 2 − 5x + 2 = 0
A resolução da equação completa de 2º grau é obtida através de uma d) 16 x 2 + 16 x + 3 = 0
fórmula que foi demonstrada por Bhaskara, matemático hindu nascido
e) 4 x 2 − 16 = 0
em 1 114, por meio dela sabemos que o valor da incógnita satisfaz a
igualdade: f) 2 x 2 − 18 = 0
g) 3x 2 = 5x
− b± b ² − 4.a.c
Fórmula de Bhaskara x =
2.a h) 2 x 2 + 8x = 0
i) ( 2x − 3) 2 = ( 4x − 3) 2
A fórmula apresentada é uma simplificação de duas fo’rmulas; veja:
Prever a natureza das raízes das equações:
∆ = b 2 − 4ac
a) 2 x 2 − 3x + 1 = 0
∆ > 0 têm-se duas raízes reais e diferentes
∆ = 0 têm-se duas raízes reais e iguais b) x 2 + x + 3 = 0
∆ < 0 têm-se duas raízes imaginárias
c) 2 x 2 − 4 x + 2 = 0
OBS: Nunca teremos a = 0, pois se houver, não existirá a equação de
Determinar mentalmente as raízes das equações:
segundo grau visto que o x² seria anulado.
a) x 2 − 6 x + 5 = 0
3
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b) x 2 + 2x − 15 = 0 d) y ≥ 4 (y é maior ou igual a 4).
e) 1 < x ≤ 4 (x é maior do que 1 e menor ou igual a
c) x 2 − 4 x − 12 = 0
4).
d) x 2 − 10x + 21 = 0
e) x 2 + 5x − 50 = 0 51) Inequação do 1º grau
Inequação do 1º grau é uma desigualdade condicionada em
que a incógnita é de 1º grau.
Resolver as seguintes equações:
Exemplo:
a) ax 2 = b
2x > 4
b) x ( x − 1) = x ( 2 x − 1) − 18 A veracidade da desigualdade está condicionada ao valor de x.
Observa-se que o 1º membro será maior do que o 2º membro quando
XI – INEQUAÇÕES DO 1º GRAU se atribui a x qualquer valor maior do que 2. Isto é:
Símbolos de desigualdades x>2
São símbolos que permitem uma comparação entre duas grandezas. x > 2 indica um conjunto de valores denominado solução da
inequação. Para determinar-se o conjunto-solução de uma inequação
a > b (a é maior do que b)
do 1º grau isola-se x no 1º membro de forma à solução de uma
a < b (a é menor do que b)
equação do 1º grau, e sempre que se multiplicar ou dividir a
a ≥ b (a é maior ou igual a b) inequação por um número negativo, inverte-se o sinal da
a ≤ b (a é menor ou igual a b) desigualdade.
Exemplos:
Exemplos:
a) 7 > 5 (7 é maior do que 5).
b) 3 < 6 (3 é menor do que 6).
c) x ≤ 1 (x é menor ou igual a 1).
3
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4− x ≤ 2 2x + 1 ≥ 1 Seja dois números genéricos a e b. A razão entre a e b é
− x ≤ 2− 4 2x ≥ 1− 1
a) b) a
− x≤ −2 2x ≥ 0 representada por , a/b ou a : b, sendo b ≠ 0.
b
x≥ 2 x≥ 0
VII - PROPORÇÃO
52) Exercícios
Proporção é a igualdade de duas razões.
a c
Resolver as seguintes inequações: Seja a proporção: = ou a : b = c : d ou a : b :: c : d.
b d
Seus elementos se denominam:
a) 2 x + 1 ≤ − 1
b) − 3x ≤ x + 2 a - primeiro termo a e b - extremos
c) x > 5x − 16 b - segundo termo b e c - meios
d) 2( x + 1) + 3x > 5 − 7 x c - terceiro termo a e c - antecedentes
2 1 4x d - quarto termo b e d - conseqüentes
e) x− ≥ −1
5 2 5
PROPRIEDADE FUNDAMENTAL: Em toda proporção o produto dos
7x 2
f) − 7≤ x+ meios é igual ao produto dos extremos.
3 3
Considerando as proporções:
3x 2x
g) − 9< + 4 a c
4 7 = então a * d = b * c
b d
4 8
XII – PROPORCIONALIDADE = então 4 * 6 = 3 * 8
3 6
53) Razão
3