1) O documento introduz os números complexos, definidos como pares ordenados (a, b) onde a é a parte real e b é a parte imaginária. 2) Os números complexos formam um conjunto maior que os números reais, permitindo resolver equações que antes não tinham solução. 3) São apresentadas operações básicas com números complexos, como adição, subtração, multiplicação e divisão.

1. NÚMEROS COMPLEXOS

2. Quantas vezes, ao calcularmos o valor de Delta( b² - 4ac) na resolução de equação de 2º grau, nos deparamos com um valor negativo (Delta <0). Neste caso, sempre dizemos que não existe solução no campo dos números reais. Uma equação que tirou o sono de muitos matemáticos do século XV, foi a equação x² +1 = 0, uma vez que não existe no campo dos reais raiz quadrada de número negativo (x = √-1). Para que as equações sempre fosse possíveis, houve a necessidade de ampliar o universo dos números. Criou-se, então, um número cujo quadrado é -1.

3. Esse número, representado pela letra i, denominado unidade imaginária , é definido por: i² = -1 A partir dessa definição, surge um novo conjunto de números, denominado conjunto dos números complexos , que indicamos por C. Mas não se assustem o complexo só está no nome. Vocês verão que esse conjunto é muito fácil de aprender.

4. Definição de números complexos Dados dois números reais a e b , define-se o número complexo z como sendo: z = a + b i , onde i = √-1 é a unidade imaginária . Ex: z = 2 + 3 i ( a = 2 e b = 3) w = -3 -5 i (a = -3 e b = -5) u = 100 i ( a = 0 e b = 100)

5. NOTAS: a) diz-se que z = a + b i é a forma binômia ou algébrica do complexo z . b) dado o número complexo z = a + b i , a é denominada parte real e b parte imaginária. Escreve-se : a = Re(z) ; b = Im(z) . c) se em z = a + b i tivermos a = 0 e b diferente de zero, dizemos que z é um imaginário puro . Ex: z = 3 i . d) se em z = a + b i tivermos b = 0 , dizemos que z é um número real . Ex: z = 5 = 5 + 0 i . e) Seja z = a + b i , chama-se conjugado de z e representa-se por , a um outro número complexo que possui a mesma parte real de z e a parte imaginária o simétrico aditivo da parte imaginária de z. Ex: z= 4 + 5 i -> = 4 – 5 i

6. f) do item (c) acima concluímos que todo número real é complexo, ou seja, o conjunto dos números reais é um subconjunto do conjunto dos números complexos . g) um número complexo z = a + b i pode também ser representado como um par ordenado z = ( a , b ) .

7. Forma Algébrica Os números complexos são formados por um par ordenado ( a , b ) onde os valores de a estão situados no eixo x (abscissa) e os valores de b no eixo y (ordenadas). Sobre o eixo x marcamos os pontos relacionados à parte real do número complexo e sobre o eixo y os pontos relacionados à parte imaginária. Sendo P o ponto de coordenadas ( a , b ), a forma algébrica pela qual representaremos um número complexo será a + b i, como a e b Є R. A forma algébrica de representar um número complexo é mais prática e mais utilizada nos cálculos.

9.  Multiplicação: A multiplicação de dois números complexos se dá de acordo com a regra de multiplicação de binômios e lembrando que i²=1,temos: ( a + b i)( c + d i)= ac + a d i+ b c i+ bd i² ( a + b i)( c + d i)= ac + a d i+ b c i – bd ( a + b i)( c + d i)=( ac – bd )+( a d + b c )i Ex: ( 2 + 4 i)( 1 + 3 i)=2+6i+4i+12i² ( 2 + 4 i)( 1 + 3 i)=2+6i+4i - 12 ( 2 + 4 i)( 1 + 3 i)=(2-12)+(6+4)i ( 2 + 4 i)( 1 + 3 i)= - 10 + 10 i

10.  Divisão: A divisão de dois números complexos pode ser obtida escrevendo-se o quociente sob a forma de fração; a seguir, procedendo-se de modo análogo ao utilizado na racionalização do denominador de uma fração, multiplicam-se ambos os termos da fração pelo número complexo conjugado do denominador. Ex: = =

11. Por: Andréia Caetano da Silva Bibliografia: Matemática Fundamental, 2ºgrau: volume único/José Ruy Giovanni, José Roberto Bonjorno, José Ruy Giovanni Jr. – São Paulo:FTD,1994