1) O documento discute um material didático para professores e estudantes de matemática do ensino médio, alinhado com os documentos curriculares de Goiás.
2) O material é organizado em módulos bimestrais e aborda competências, habilidades e objetos de conhecimento específicos da área de matemática.
3) O objetivo é promover as competências matemáticas necessárias para enfrentar os desafios do mundo contemporâneo.
1) O documento apresenta um material didático sobre sólidos geométricos para professores e estudantes do ensino médio, alinhado com o currículo de Matemática do estado de Goiás.
2) Os módulos abordam sólidos geométricos de forma bimestral, respeitando as competências, habilidades e objetivos de aprendizagem definidos no currículo.
3) As atividades sugeridas buscam promover as competências em Matemática necessárias para enfrentar os desafios do mundo contemporâneo.
O documento apresenta um material didático sobre matemática e suas tecnologias para o ensino médio. O material foi desenvolvido de acordo com o currículo estadual de Goiás e aborda conceitos como funções definidas por uma ou mais sentenças, análise de funções por meio de representações algébricas e gráficas, e identificação de domínios, imagens e comportamentos de funções. Sugere atividades para os alunos compreenderem e aplicarem esses conceitos matemáticos.
1. O documento discute sistemas de equações lineares, apresentando conceitos como equações lineares, solução de equações lineares e sistemas lineares.
2. É fornecido um exemplo numérico de um sistema linear com duas equações e duas incógnitas.
3. Cinco atividades de aprendizagem envolvendo a resolução de problemas por meio de sistemas lineares são propostas.
1. O documento introduz o conceito de função matemática, apresentando exemplos de como variáveis podem ser relacionadas através de funções.
2. É explicado que uma função relaciona uma variável dependente e uma variável independente, onde o valor da variável dependente é determinado unicamente pelo valor da variável independente.
3. São apresentados conceitos-chave sobre funções como domínio, contradomínio e conjunto imagem.
O documento discute sólidos geométricos e sua relação com objetos do cotidiano. Ele introduz os conceitos de sólidos geométricos e dá exemplos como esferas, cubos e cilindros. Em seguida, divide a turma em grupos para encontrar objetos na escola que representem diferentes sólidos e relacioná-los. Por fim, define poliedros e corpos redondos e suas características.
O documento apresenta um resumo sobre ímãs e campo magnético. Aborda o conceito de ímã natural, sua descoberta na Grécia antiga e sua composição química. Também define o objetivo de aprendizagem relacionado ao uso conceito de campo magnético para explicar a importância do campo magnético dos planetas, especialmente da Terra, para a manutenção da vida.
Este documento apresenta os objetivos, temas e habilidades de aprendizagem para o ensino de espanhol na 3a série do ensino médio. Os alunos aprenderão sobre biografias e autobiografias de escritores renomados, analisarão textos sobre identidade de gênero e utilizarão o espanhol para a comunicação global.
A geometria estuda as formas e dimensões do que nos rodeia. Ela divide-se em três partes: geometria plana, que calcula áreas; geometria espacial, que mede volumes; e geometria analítica, que estuda objetos em movimento por meio de fórmulas e gráficos. A geometria é fundamental para entender elementos como casas, edifícios e obras de arte.
1) O documento apresenta um material didático sobre sólidos geométricos para professores e estudantes do ensino médio, alinhado com o currículo de Matemática do estado de Goiás.
2) Os módulos abordam sólidos geométricos de forma bimestral, respeitando as competências, habilidades e objetivos de aprendizagem definidos no currículo.
3) As atividades sugeridas buscam promover as competências em Matemática necessárias para enfrentar os desafios do mundo contemporâneo.
O documento apresenta um material didático sobre matemática e suas tecnologias para o ensino médio. O material foi desenvolvido de acordo com o currículo estadual de Goiás e aborda conceitos como funções definidas por uma ou mais sentenças, análise de funções por meio de representações algébricas e gráficas, e identificação de domínios, imagens e comportamentos de funções. Sugere atividades para os alunos compreenderem e aplicarem esses conceitos matemáticos.
1. O documento discute sistemas de equações lineares, apresentando conceitos como equações lineares, solução de equações lineares e sistemas lineares.
2. É fornecido um exemplo numérico de um sistema linear com duas equações e duas incógnitas.
3. Cinco atividades de aprendizagem envolvendo a resolução de problemas por meio de sistemas lineares são propostas.
1. O documento introduz o conceito de função matemática, apresentando exemplos de como variáveis podem ser relacionadas através de funções.
2. É explicado que uma função relaciona uma variável dependente e uma variável independente, onde o valor da variável dependente é determinado unicamente pelo valor da variável independente.
3. São apresentados conceitos-chave sobre funções como domínio, contradomínio e conjunto imagem.
O documento discute sólidos geométricos e sua relação com objetos do cotidiano. Ele introduz os conceitos de sólidos geométricos e dá exemplos como esferas, cubos e cilindros. Em seguida, divide a turma em grupos para encontrar objetos na escola que representem diferentes sólidos e relacioná-los. Por fim, define poliedros e corpos redondos e suas características.
O documento apresenta um resumo sobre ímãs e campo magnético. Aborda o conceito de ímã natural, sua descoberta na Grécia antiga e sua composição química. Também define o objetivo de aprendizagem relacionado ao uso conceito de campo magnético para explicar a importância do campo magnético dos planetas, especialmente da Terra, para a manutenção da vida.
Este documento apresenta os objetivos, temas e habilidades de aprendizagem para o ensino de espanhol na 3a série do ensino médio. Os alunos aprenderão sobre biografias e autobiografias de escritores renomados, analisarão textos sobre identidade de gênero e utilizarão o espanhol para a comunicação global.
A geometria estuda as formas e dimensões do que nos rodeia. Ela divide-se em três partes: geometria plana, que calcula áreas; geometria espacial, que mede volumes; e geometria analítica, que estuda objetos em movimento por meio de fórmulas e gráficos. A geometria é fundamental para entender elementos como casas, edifícios e obras de arte.
Semana 01- Matemática - 2ª Série - Polígonos regulares e suas característicasGernciadeProduodeMat
OBJETIVO DE CONHECIMENTO - (GO-EMMAT505B) Resolver problemas que envolvam espaço e forma (perímetro e área de figuras planas, ladrilhamento de planos, entre outros) empregando estratégias e recursos, observando padrões com ou sem apoio de aplicativos de geometria dinâmica para conjecturar a respeito dos tipos ou composições de polígonos que podem ser usados em ladrilhamento, generalizando padrões observados etc.
Operações com números positivos e negativos. adição e subtração.Adriano Augusto
O documento discute operações com números inteiros positivos e negativos, começando com adição e subtração. Ele apresenta exemplos usando bolas azuis e vermelhas para representar números positivos e negativos, respectivamente, e ensina a técnica do cancelamento para simplificar operações. O documento também fornece respostas para exercícios propostos.
1) O documento apresenta 8 questões sobre funções lineares. As questões fornecem gráficos de funções lineares e pedem a representação algébrica correspondente.
2) As questões abordam conceitos como função linear, coeficiente angular, interseção com o eixo y e representação algébrica y=ax+b.
3) O documento é um teste sobre funções lineares, com ênfase na interpretação gráfica e correspondência com a representação algébrica.
O documento apresenta 30 questões sobre funções matemáticas. As questões abordam conceitos como conjunto domínio e imagem, gráficos de funções, identificação de relações que definem funções e cálculo de valores de funções.
O documento explica o conceito de potenciação, também chamado de exponenciação, que é uma operação matemática que indica a multiplicação de um número por ele mesmo um número x de vezes. Também apresenta as principais propriedades e regras da potenciação, como a elevação de números a expoentes positivos e negativos, a multiplicação e divisão de potências, e a relação entre potenciação e funções exponenciais e logarítmicas.
O documento apresenta exercícios de função exponencial, incluindo resolução de equações e inequações exponenciais, sistemas de equações exponenciais e problemas envolvendo funções exponenciais.
O documento apresenta os conceitos e resolução de equações do 1o e 2o grau. Aborda os objetivos de reconhecer e resolver equações destes graus, além de apresentar exemplos históricos e de aplicações em situações reais. Explica os elementos, métodos de resolução e conceitos fundamentais como raízes, discriminante e composição de equações do 2o grau.
O documento apresenta um projeto para preparação para o Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) contendo 180 questões de matemática aplicadas nos últimos 4 anos do exame, divididas em 17 etapas por tema. O material objetiva otimizar o treinamento dos candidatos para melhor desempenho na prova.
O documento apresenta uma aula sobre funções polinomiais do 1o grau. Nele, são discutidos conceitos como diagrama de flechas, produto cartesiano, domínio, contradomínio e imagem de uma função. Além disso, são fornecidos exercícios interativos para ajudar os alunos a fixarem os conceitos apresentados.
1) O documento apresenta 10 problemas de matemática do ENEM com questões sobre probabilidade, porcentagem, geometria e análise de gráficos.
2) As competências avaliadas pelo ENEM incluem interpretar textos, fenômenos e solucionar problemas matemáticos.
3) As habilidades mais relevantes para a matemática são identificar variáveis, compreender gráficos e calcular probabilidades.
Lista de exercícios de expressões envolvendo fraçõesPriscila Lourenço
Este documento apresenta uma lista de exercícios de expressões envolvendo frações para alunos do 6o ano. A lista contém 5 exercícios com diferentes expressões matemáticas envolvendo operações com frações como adição, subtração, multiplicação e divisão, além de um desafio final para os alunos resolvam. O documento também fornece as respostas corretas para cada exercício.
Uma progressão aritmética (P.A.) é uma sequência de números onde cada termo subsequente é obtido somando-se uma constante à razão anterior. A P.A. possui fórmulas para calcular o termo geral, a soma dos termos e outras propriedades.
O documento apresenta 6 questões sobre representações gráficas de funções polinomiais e afins do 1o grau. As questões 1, 2, 3 e 6 envolvem funções polinomiais do 1o grau, enquanto as questões 4 e 5 tratam de funções afins. As representações gráficas solicitadas são linhas retas na forma y=ax+b.
1. O documento apresenta informações sobre interações atômicas e moleculares, abordando os conceitos de teoria do octeto, ligações químicas iônicas e covalentes.
2. São descritas as propriedades dos compostos iônicos e moleculares, assim como os processos de formação de ligações entre os átomos.
3. Inclui atividade sobre o cloreto de sódio com questões sobre suas propriedades e formação a partir dos íons de sódio e cloro.
CIÊNCIAS DA NATUREZA E SUAS TECNOLOGIAS - BIOLOGIA – MURILO – 2ª SÉRIE – ZOOL...GernciadeProduodeMat
O documento discute animais invertebrados e vertebrados, comparando suas principais características. É dividido em seções sobre zoologia, animais invertebrados terrestres e aquáticos, e grupos de animais vertebrados como peixes, répteis, anfíbios, aves e mamíferos. O objetivo é conhecer as características que definem os animais e identificar as diferenças entre invertebrados e vertebrados.
Microsoft word exercicio matemática com gabarito equações do 2º grauBetão Betão
1. The document contains a math exercise with 26 quadratic equations.
2. Students are asked to solve each quadratic equation for the set of solutions (S).
3. The equations cover a range of standard quadratic forms including factored, unfactored, and equations set to other expressions.
O documento apresenta 30 exercícios sobre funções afins e inequações do 1o grau. Os exercícios envolvem identificar equações de retas a partir de pontos, determinar valores de variáveis para satisfazer propriedades das funções, resolver inequações e sistemas de inequações.
O documento fornece exercícios de ângulos inscritos em circunferências, pedindo para determinar a medida de ângulos ou arcos. Explica que em todo quadrilátero inscrito numa circunferência, os ângulos internos opostos são suplementares.
Este documento apresenta uma apostila sobre Ciências da Natureza e suas Tecnologias para o 3o bimestre do 2o ano do Ensino Médio. A apostila aborda 11 módulos relacionados a Biologia, Física e Química, incluindo Rapidez de Reações Químicas, Animais Invertebrados e Vertebrados, Estudos de Gases e outros.
O documento apresenta exemplos e exercícios sobre conjuntos numéricos, operações com conjuntos, sistemas de numeração e aplicações do máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum. Inclui definições de conjunto, pertinência, união, interseção e diferença. Aborda também subconjuntos, números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais.
Este documento fornece informações sobre o conteúdo de Matemática do 8o ano para o 4o bimestre de 2014, incluindo tópicos como equações de 1o grau, sistemas de equações, triângulos e polígonos. Apresenta também exercícios resolvidos sobre esses assuntos.
Semana 01- Matemática - 2ª Série - Polígonos regulares e suas característicasGernciadeProduodeMat
OBJETIVO DE CONHECIMENTO - (GO-EMMAT505B) Resolver problemas que envolvam espaço e forma (perímetro e área de figuras planas, ladrilhamento de planos, entre outros) empregando estratégias e recursos, observando padrões com ou sem apoio de aplicativos de geometria dinâmica para conjecturar a respeito dos tipos ou composições de polígonos que podem ser usados em ladrilhamento, generalizando padrões observados etc.
Operações com números positivos e negativos. adição e subtração.Adriano Augusto
O documento discute operações com números inteiros positivos e negativos, começando com adição e subtração. Ele apresenta exemplos usando bolas azuis e vermelhas para representar números positivos e negativos, respectivamente, e ensina a técnica do cancelamento para simplificar operações. O documento também fornece respostas para exercícios propostos.
1) O documento apresenta 8 questões sobre funções lineares. As questões fornecem gráficos de funções lineares e pedem a representação algébrica correspondente.
2) As questões abordam conceitos como função linear, coeficiente angular, interseção com o eixo y e representação algébrica y=ax+b.
3) O documento é um teste sobre funções lineares, com ênfase na interpretação gráfica e correspondência com a representação algébrica.
O documento apresenta 30 questões sobre funções matemáticas. As questões abordam conceitos como conjunto domínio e imagem, gráficos de funções, identificação de relações que definem funções e cálculo de valores de funções.
O documento explica o conceito de potenciação, também chamado de exponenciação, que é uma operação matemática que indica a multiplicação de um número por ele mesmo um número x de vezes. Também apresenta as principais propriedades e regras da potenciação, como a elevação de números a expoentes positivos e negativos, a multiplicação e divisão de potências, e a relação entre potenciação e funções exponenciais e logarítmicas.
O documento apresenta exercícios de função exponencial, incluindo resolução de equações e inequações exponenciais, sistemas de equações exponenciais e problemas envolvendo funções exponenciais.
O documento apresenta os conceitos e resolução de equações do 1o e 2o grau. Aborda os objetivos de reconhecer e resolver equações destes graus, além de apresentar exemplos históricos e de aplicações em situações reais. Explica os elementos, métodos de resolução e conceitos fundamentais como raízes, discriminante e composição de equações do 2o grau.
O documento apresenta um projeto para preparação para o Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) contendo 180 questões de matemática aplicadas nos últimos 4 anos do exame, divididas em 17 etapas por tema. O material objetiva otimizar o treinamento dos candidatos para melhor desempenho na prova.
O documento apresenta uma aula sobre funções polinomiais do 1o grau. Nele, são discutidos conceitos como diagrama de flechas, produto cartesiano, domínio, contradomínio e imagem de uma função. Além disso, são fornecidos exercícios interativos para ajudar os alunos a fixarem os conceitos apresentados.
1) O documento apresenta 10 problemas de matemática do ENEM com questões sobre probabilidade, porcentagem, geometria e análise de gráficos.
2) As competências avaliadas pelo ENEM incluem interpretar textos, fenômenos e solucionar problemas matemáticos.
3) As habilidades mais relevantes para a matemática são identificar variáveis, compreender gráficos e calcular probabilidades.
Lista de exercícios de expressões envolvendo fraçõesPriscila Lourenço
Este documento apresenta uma lista de exercícios de expressões envolvendo frações para alunos do 6o ano. A lista contém 5 exercícios com diferentes expressões matemáticas envolvendo operações com frações como adição, subtração, multiplicação e divisão, além de um desafio final para os alunos resolvam. O documento também fornece as respostas corretas para cada exercício.
Uma progressão aritmética (P.A.) é uma sequência de números onde cada termo subsequente é obtido somando-se uma constante à razão anterior. A P.A. possui fórmulas para calcular o termo geral, a soma dos termos e outras propriedades.
O documento apresenta 6 questões sobre representações gráficas de funções polinomiais e afins do 1o grau. As questões 1, 2, 3 e 6 envolvem funções polinomiais do 1o grau, enquanto as questões 4 e 5 tratam de funções afins. As representações gráficas solicitadas são linhas retas na forma y=ax+b.
1. O documento apresenta informações sobre interações atômicas e moleculares, abordando os conceitos de teoria do octeto, ligações químicas iônicas e covalentes.
2. São descritas as propriedades dos compostos iônicos e moleculares, assim como os processos de formação de ligações entre os átomos.
3. Inclui atividade sobre o cloreto de sódio com questões sobre suas propriedades e formação a partir dos íons de sódio e cloro.
CIÊNCIAS DA NATUREZA E SUAS TECNOLOGIAS - BIOLOGIA – MURILO – 2ª SÉRIE – ZOOL...GernciadeProduodeMat
O documento discute animais invertebrados e vertebrados, comparando suas principais características. É dividido em seções sobre zoologia, animais invertebrados terrestres e aquáticos, e grupos de animais vertebrados como peixes, répteis, anfíbios, aves e mamíferos. O objetivo é conhecer as características que definem os animais e identificar as diferenças entre invertebrados e vertebrados.
Microsoft word exercicio matemática com gabarito equações do 2º grauBetão Betão
1. The document contains a math exercise with 26 quadratic equations.
2. Students are asked to solve each quadratic equation for the set of solutions (S).
3. The equations cover a range of standard quadratic forms including factored, unfactored, and equations set to other expressions.
O documento apresenta 30 exercícios sobre funções afins e inequações do 1o grau. Os exercícios envolvem identificar equações de retas a partir de pontos, determinar valores de variáveis para satisfazer propriedades das funções, resolver inequações e sistemas de inequações.
O documento fornece exercícios de ângulos inscritos em circunferências, pedindo para determinar a medida de ângulos ou arcos. Explica que em todo quadrilátero inscrito numa circunferência, os ângulos internos opostos são suplementares.
Este documento apresenta uma apostila sobre Ciências da Natureza e suas Tecnologias para o 3o bimestre do 2o ano do Ensino Médio. A apostila aborda 11 módulos relacionados a Biologia, Física e Química, incluindo Rapidez de Reações Químicas, Animais Invertebrados e Vertebrados, Estudos de Gases e outros.
O documento apresenta exemplos e exercícios sobre conjuntos numéricos, operações com conjuntos, sistemas de numeração e aplicações do máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum. Inclui definições de conjunto, pertinência, união, interseção e diferença. Aborda também subconjuntos, números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais.
Este documento fornece informações sobre o conteúdo de Matemática do 8o ano para o 4o bimestre de 2014, incluindo tópicos como equações de 1o grau, sistemas de equações, triângulos e polígonos. Apresenta também exercícios resolvidos sobre esses assuntos.
O documento fornece informações sobre sentenças matemáticas, equações do 1o e 2o grau, resolução de equações e áreas de polígonos. Explica que sentenças podem ser verdadeiras ou falsas e abertas ou fechadas, define conjuntos universo e verdade. Apresenta a fórmula geral para resolução de equações do 2o grau e fórmulas para cálculo de áreas de retângulo, quadrado, triângulo, losango e trapézio.
Este documento discute equações de 1o grau com uma incógnita. Ele explica como resolver equações de 1o grau, incluindo transformações para reduzir equações a forma padrão ax = b. Exemplos demonstram como resolver equações e aplicar equações na resolução de problemas.
Questão de aula 3 miniteste + critérios 10Pedro Teixeira
Este documento apresenta um questionário de avaliação com questões de múltipla escolha e questões que requerem cálculos. O questionário cobre estatística e inclui itens sobre média, desvio padrão, percentis e diagramas de caixa.
Este documento apresenta um caderno pedagógico de matemática do 8o ano com os seguintes tópicos: equações do primeiro grau, sistemas de equações do primeiro grau, geometria plana e medidas.
Preparação exame nacional matemática 9.º ano - Parte IMaths Tutoring
1. O documento apresenta exercícios sobre números reais, funções e equações. Inclui questões sobre intervalos, aproximações, gráficos de funções e resolução de inequações.
2. São abordados conceitos como números racionais e irracionais, comparação e operações com números reais, representação gráfica de funções, resolução de sistemas de inequações e noções geométricas relacionadas a funções.
3. Os exercícios visam a consolidação destes conteúdos matemáticos essencia
O documento apresenta uma introdução sobre matrizes, definindo-as como tabelas ordenadas de números dispostos em linhas e colunas. Explica que as matrizes permitem expressar situações envolvendo múltiplas variáveis de forma concisa. Em seguida, descreve operações básicas com matrizes e conceitos como matriz quadrada, identidade e nula.
Apostila de matemática aplicada vol i 2004aldobrasilro
Este documento é uma apostila de matemática aplicada dividida em capítulos. O capítulo 1 é uma revisão dos principais tópicos já estudados, incluindo cálculo numérico, percentuais, álgebra e equações do 1o e 2o grau.
1) O documento discute equações diofantinas lineares, que são equações polinomiais com coeficientes inteiros cujas soluções buscadas são também inteiras.
2) Dois exemplos ilustram problemas modelados por equações diofantinas lineares em duas incógnitas, relacionados a vale-transporte e selos de correio.
3) Métodos para resolver essas equações são apresentados, incluindo o uso do máximo divisor comum e soluções paramétricas.
Equação de 2º grau - Resumo e fórmula resolutivarodrigoofeijo
O documento apresenta os conceitos básicos sobre equações de 2o grau, incluindo sua forma geral, identificação de termos, raízes e métodos para resolução de equações completas e incompletas.
Este documento apresenta o plano de estudos independentes de recuperação para alunos da série 1o ano da disciplina de matemática. O plano visa orientar os alunos que não atingiram a média anual nos conteúdos essenciais como números reais, porcentagem e funções do primeiro e segundo grau para que possam prosseguir seus estudos. O plano inclui atividades e avaliação final para verificar o aprendizado dos conteúdos listados.
O documento apresenta uma lista de exercícios de matemática do 8o ano sobre equações produto. A lista inclui 28 exercícios que envolvem resolução de equações do primeiro e segundo grau utilizando fatoração, conjunto solução, números racionais e inteiros.
(1) O documento contém uma ficha de trabalho com 18 questões sobre cálculo, álgebra, geometria e resolução de sistemas de equações. (2) Inclui exercícios sobre expressões algébricas, equações, funções, gráficos e aplicações a problemas do mundo real. (3) A resolução dos exercícios requer vários passos de raciocínio e cálculo.
Recuperação lista exercicios 9º ano 1º bimestreRafael Marques
O documento apresenta os conceitos básicos de matemática sobre números inteiros, racionais, equações de 1o e 2o grau. Inclui regras para adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação de inteiros e operações com frações. Também explica como resolver equações de 1o grau usando a propriedade distributiva e como encontrar as raízes de equações do 2o grau usando a fórmula quadrática.
José américo tarefa 1-plano de aula sobre equação do 2º grau-2ºb 9 a 2013José Américo Santos
Este documento apresenta um plano de trabalho para ensinar conceitos básicos de equações de 2o grau para alunos do 9o ano do ensino fundamental. O plano inclui cinco atividades que utilizam exemplos do mundo real e representações algébricas para ajudar os alunos a desenvolver compreensão sobre equações de 2o grau.
Este documento fornece informações sobre conteúdos de matemática do 7o e 8o ano, incluindo conjuntos numéricos, raiz quadrada e cúbica, mínimo múltiplo comum, máximo divisor comum, sequências numéricas, proporcionalidade direta, porcentagens, semelhança de figuras e classificação de quadriláteros.
Este documento apresenta conceitos básicos de matemática como expressões numéricas, potenciação e números primos. Inclui exemplos e exercícios sobre como resolver expressões numéricas obedecendo a ordem correta de operações e como calcular valores de potenciação e decompor números em fatores primos.
Este documento apresenta conceitos básicos de matemática como expressões numéricas, potenciação e números primos. Inclui exemplos e exercícios sobre como resolver expressões numéricas obedecendo a ordem correta de operações e como calcular valores de potenciação e decompor números em fatores primos.
José américo tarefa 1-plano de aula sobre equação do 2º grau-2ºb 9 a 2013José Américo Santos
Este documento apresenta um plano de trabalho para ensinar conceitos básicos de equações de 2o grau para alunos do 9o ano do ensino fundamental, com atividades que utilizam exemplos do cotidiano e representações algébricas para despertar o interesse dos alunos. O plano inclui cinco atividades que abordam problemas com duas soluções, área de retângulos e identificação de coeficientes em equações.
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O documento resume três tópicos principais sobre a disciplina de Língua Portuguesa no ensino médio: 1) habilidades da Base Nacional Comum Curricular relacionadas à participação cívica e consciência socioambiental; 2) objetivo de aprendizagem do Distrito Federal sobre elaboração crítica de assuntos locais e nacionais; 3) exemplos de gêneros textuais e competências para redação dissertativa.
Telepsiquismo Utilize seu poder extrassensorial para atrair prosperidade (Jos...fran0410
Joseph Murphy ensina como re-apropriar do pode da mente.
Cada ser humano é fruto dos pensamentos e sentimentos que cria, cultiva e coloca em pratica todos os dias.
Ótima leitura!
REGULAMENTO DO CONCURSO DESENHOS AFRO/2024 - 14ª edição - CEIRI /UREI (ficha...Eró Cunha
XIV Concurso de Desenhos Afro/24
TEMA: Racismo Ambiental e Direitos Humanos
PARTICIPANTES/PÚBLICO: Estudantes regularmente matriculados em escolas públicas estaduais, municipais, IEMA e IFMA (Ensino Fundamental, Médio e EJA).
CATEGORIAS: O Concurso de Desenhos Afro acontecerá em 4 categorias:
- CATEGORIA I: Ensino Fundamental I (4º e 5º ano)
- CATEGORIA II: Ensino Fundamental II (do 6º ao 9º ano)
- CATEGORIA III: Ensino Médio (1º, 2º e 3º séries)
- CATEGORIA IV: Estudantes com Deficiência (do Ensino Fundamental e Médio)
Realização: Unidade Regional de Educação de Imperatriz/MA (UREI), através da Coordenação da Educação da Igualdade Racial de Imperatriz (CEIRI) e parceiros
OBJETIVO:
- Realizar a 14ª edição do Concurso e Exposição de Desenhos Afro/24, produzidos por estudantes de escolas públicas de Imperatriz e região tocantina. Os trabalhos deverão ser produzidos a partir de estudo, pesquisas e produção, sob orientação da equipe docente das escolas. As obras devem retratar de forma crítica, criativa e positivada a população negra e os povos originários.
- Intensificar o trabalho com as Leis 10.639/2003 e 11.645/2008, buscando, através das artes visuais, a concretização das práticas pedagógicas antirracistas.
- Instigar o reconhecimento da história, ciência, tecnologia, personalidades e cultura, ressaltando a presença e contribuição da população negra e indígena na reafirmação dos Direitos Humanos, conservação e preservação do Meio Ambiente.
Imperatriz/MA, 15 de fevereiro de 2024.
Produtora Executiva e Coordenadora Geral: Eronilde dos Santos Cunha (Eró Cunha)
1. 1
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
COMPONENTES: MATEMÁTICA
IMERSÃO CURRICULAR
3ª SÉRIE
ORIENTAÇÃO AO/A PROFESSOR/A
O material didático desenvolvido nesta apostila propõe aos/as professores/as e
estudantes um alinhamento com o Documento Curricular para Goiás-Etapa Ensino Médio
para a área de Matemática e suas Tecnologias. Os módulos foram organizados seguindo
a Bimestralização desta área do conhecimento, respeitando as competências específicas,
habilidades específicas, objetivos de aprendizagem e objetos de conhecimento deste
mesmo documento.
Por fim, as sugestões de trabalho, apresentadas neste material didático, refletem a
constante busca da promoção das competências de Matemática e suas Tecnologias,
indispensáveis ao enfrentamento dos desafios sociais, culturais e profissionais do mundo
contemporâneo.
2. 2
HABILIDADES DA BNCC:
(EM13MAT301) Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de
outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando
técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
OBJETIVO DE APRENDIZAGEM:
(GO-EMMAT301A) Determinar o conjunto solução de equações lineares simultâneas,
utilizando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais, para
resolver problemas do cotidiano.
OBJETO DE CONHECIMENTO:
Sistemas de equações lineares.
DESCRITOR(ES) SAEB:
Relacionar a determinação do ponto de interseção de duas ou mais retas com a
resolução de um sistema de equações com duas incógnitas.
Equação polinomial de 1º grau
Vamos pensar em um problema.
Na construção de sua casa, Arthur precisa cortar uma tábua com 120 cm de
comprimento em duas partes, sendo que a parte maior dever ser igual ao triplo do
comprimento da parte menor.
Vamos representar o problema:
VAMOS RECORDAR O CONCEITO DE EQUAÇÃO POLINOMINAL DO 1º GRAU
3. 3
Organizando as informações do esquema acima temos:
x → parte menor
3x → parte maior
120 → tábua inteira
𝑥 + 3𝑥 = 120
Observe que, podemos criar uma sentença matemática representada por uma
igualdade e por letras que representa um número desconhecido. Esta sentença é
denominada de EQUAÇÃO.
Na resolução de problemas por meio de equação é fundamental que se traduza o
enunciado para a linguagem matemática usando letras e símbolos.
Exemplo 1
Em um escritório, 20% dos funcionários, possuem curso superior, sabendo que no
escritório há ainda 12 funcionários que possuem cursos técnicos. Quantos funcionários
há neste escritório?
Vamos representar os números de funcionários deste escritório por x.
Vamos recordar ainda que 20% é igual a
20
100
=
1
5
. Assim temos que
1
5
𝑥 + 12 = 𝑥
𝑥
5
+
60
5
=
5𝑥
5
120 cm
x cm 3 x cm
EQUAÇÃO
É uma sentença matemática que possua uma igualdade, na qual haja uma
letra representando um número desconhecido, podendo ser reduzida à forma
ax = b, onde x é a incógnita e a e b são números reais, com a ≠ 0. a e b são
coeficientes da equação.
4. 4
𝑥 + 60 = 5𝑥
5𝑥 − 𝑥 = 60
4𝑥 = 60
𝑥 =
60
4
𝑥 = 15
Exemplo 2
Uma pesquisa, realizada nas ruas com 42 pessoas, revelou que as pessoas ou gostam de
suco natural, ou gostam de refrigerante, ou gostam de ambos. Na pesquisa 36
entrevistados disseram gostas de suco e 28 disseram gostar de refrigerantes. Nesta
pesquisa quantos alunos gostam ao mesmo tempo de suco e refrigerante ao mesmo
tempo?
Vamos representar, no centro do diagrama, os entrevistados que gostam de suco e
refrigerante ao mesmo tempo.
Vamos representar o número de entrevistado que gosta de suco, mas não gostam de
refrigerante por 36 – x.
Vamos representar o número de entrevistado que gosta de refrigerante, mas não
gostam de suco por 28 – x.
Assim,
(36 − 𝑥) + 𝑥 + (28 − 𝑥) = 42
36 − 𝑥 + 𝑥 + 28 − 𝑥 = 42
−𝑥 = 42 − 36 − 28
−𝑥 = −22
𝑥 = 22
Atividades
1) Milton comprou um lote no centro da cidade e o transformou em um
estacionamento. Em um determinado dia ele contou 84 rodas. Determine quantas
motos e quantos carros havia no estacionamento, sabendo que no total havia 24
veículos.
5. 5
Solução:
Carros 18
Motos 6
2) Uma loja de roupa irá presentear o vendedor que vender o maior número de peças
em só dia. Pedro e Carlos foram os que mais venderam. Juntos eles venderam 52 peças,
mas Carlos vendeu 10 peças a mais que Pedro. Quantas peças de roupa Carlos vendeu?
Solução:
Carlos vendeu 31 peças.
3) Raquel é caixa em um supermercado. Ao fechar o caixa, ela somou duas vezes um
mesmo valor obtendo como resultado de sua soma o total R$ 1 468,00. Se ela não
tivesse somado nenhuma vez o valor, a soma seria R$ 1 288,00.
Qual o valor correto do fechamento do caixa de Raquel?
Solução
R$ 1 378,00
4) O irmão de Carlos é 9 anos mais velho que ele. Somando as duas idades obtemos 39
anos. Qual a idade de Carlos?
Solução
15 anos
5) Para escolher a nova logomarca de uma empresa, foi realizada uma pesquisa entre as
duas logomarcas finalista, A e B. A pesquisa mostra que 40% dos clientes votarão na
logomarca A e 35%, na logomarca B. Se entre os pesquisados ainda há 3 500 indecisos.
Quantos clientes participaram desta pesquisa?
Solução
14 000 clientes
6. 6
HABILIDADES DA BNCC:
(EM13MAT301) Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de
outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando
técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
OBJETIVO DE APRENDIZAGEM:
(GO-EMMAT301B) Identificar problemas do cotidiano relacionados à matemática ou
outras áreas do conhecimento, envolvendo equações lineares simultâneas analisando
informações apresentadas em textos científicos e outros para sua resolução.
OBJETO DE CONHECIMENTO:
Sistemas de equações lineares.
DESCRITOR(ES) SAEB:
Relacionar a determinação do ponto de interseção de duas ou mais retas com a
resolução de um sistema de equações com duas incógnitas.
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
Conceitos Iniciais
É toda equação do tipo: 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥3 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏
Onde: {
𝑎1, 𝑎2, ⋯ , 𝑎𝑛
𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛
𝑏
→ 𝑠ã𝑜 𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠;
→ 𝑠ã𝑜 𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑐ó𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠;
→ é 𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒.
Exemplos:
(i) 4𝑥 – 𝑦 + 9𝑧 = 0
(ii) 3𝑎 + 5𝑏 – 𝑐 + 2𝑑 = 1
(iii) 𝑥 + 𝑦 = 10 ou 𝑥1 + 𝑥2 = 10
7. 7
Observações:
• Uma equação linear é dita ― “homogênea” quando o seu termo independente
é nulo (b = 0).
Por exemplo: 4𝑥 – 𝑦 + 9𝑧 = 0
• Uma equação linear não apresenta termos com 𝑥2
, multiplicação de
incógnitas 𝑥1 ∙ 𝑥2, expoente negativo 𝑥–1
, ..., cada termo tem uma única
incógnita, com expoente 1.
NÃO são equações lineares:
𝑥3
– 5𝑦 = 0
2𝑥𝑦 + 𝑧 = 10
1
𝑥
+
1
𝑦
– 3𝑧 = 12
Solução de uma equação linear:
A sequência ordenada (𝛼1, 𝛼2, ⋯ , 𝛼𝑛 ) é uma solução da equação linear 𝑎1𝑥1 +
𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥3 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏
se 𝑎1(𝛼1) + 𝑎2(𝛼2) + 𝑎3(𝛼3) + ⋯ + 𝑎𝑛(𝛼𝑛) = 𝑏 for sentença verdadeira.
Exemplo: Considere a equação linear: 𝑥 – 3𝑦 + 2𝑧 – 𝑡 = – 8
A sequência (2, 1, –1, 5) é uma das infinitas soluções, pois:
(2)– 3(1) + 2(– 1)– (5) =– 8
2– 3 − 2– 5 =– 8
– 8 =– 8
Professor/a comente que é comum ou usual escrever notação
diferente para as incógnitas/variáveis, tais como:
𝑥 = 𝑥1
𝑦 = 𝑥2
𝑧 = 𝑥3
E assim sucessivamente.
8. 8
Sistema Linear:
É o conjunto de m (m ≥ 1) equações lineares:
{
𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥3 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏
𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥3 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥3 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏
Exemplos:
a) {
𝑥 + 3𝑦 = 1
4𝑥 − 𝑦 = −2
b) {
−𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 1
2𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 0
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 0
Solução de um sistema de equações:
A sequência ordenada (𝛼1, 𝛼2 ⋯ , 𝛼𝑛) será solução do sistema (ou uma das soluções),
se for solução de todas as equações envolvidas no mesmo.
Exemplo:
{
𝑥 − 𝑦 = 1
2𝑥 + 𝑦 = 5
A solução é: 𝑆 = {(2,1)}
SUGESTÃO DE ATIVIDADE
1. Ana Helta comprou 1 blusa e 2 bermudas, gastando R$ 55,00. Dreyd Maria comprou
2 blusas e 1 bermuda, gastando R$ 65,00. Assinale a alternativa que apresenta o sistema
de equações do 1º grau que traduz o problema.
(A) {
𝑥 + 𝑦 = 55,00
𝑥 − 𝑦 = 65,00
(B) {
𝑥 + 2𝑦 = 55,00
2𝑥 − 𝑦 = 65,00
9. 9
(C) {
𝑥 + 2𝑦 = 55,00
2𝑥 + 𝑦 = 65,00
(D) {
𝑥 + 𝑦 = 55,00
𝑥 + 2𝑦 = 65,00
(E) {
𝑥 + 𝑦 = 55,00
𝑥 + 2𝑦 = 65,00
Gabarito: C
2. O preço de um celular é de R$ 810,00 e de um tablet é de R$ 160,00. Foram vendidos
47 aparelhos num determinado dia, 20 tablets e 27 celulares, sendo arrecadado R$ 25
070,00. O sistema de equações do 1º grau que representa o problema é igual a
(A) {
𝑥 + 𝑦 = 47
𝑥 + 𝑦 = 25 070
(B) {
𝑥 + 2𝑦 = 47
810𝑥 − 160𝑦 = 25 070
(C) {
𝑥 + 𝑦 = 47
810𝑥 + 160𝑦 = 25 070
(D) {
810𝑥 + 160𝑦 = 47
𝑥 + 𝑦 = 25 070
(E) {
10𝑥 + 160𝑦 = 47
𝑥 + 𝑦 = 2507
Gabarito: C
3. Sabe-se que todo sistema de duas equações de 1º grau com duas incógnitas pode ser
escrito na forma:
{
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 = 𝑓
Sendo 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓 números inteiros, com 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0, 𝑑 ≠ 0, 𝑒 ≠ 0.
Por exemplo, o sistema: {
𝑥 + 3𝑦 = 5
2𝑥 + 𝑦 = 3
onde
𝑎 = 1, 𝑏 = 3, 𝑐 = 5, 𝑑 = 2, 𝑒 = 1, 𝑓 = 3.
Assinale a alternativa que indica um sistema de 1º grau com duas incógnitas.
(A) {
2𝑥 − 𝑦 = 1
𝑥𝑦 > 6
10. 10
(B) {
2𝑦 = 5
𝑥 − 𝑦 = 2
(C) {𝑥2
+ 5𝑦 = 14
𝑥 = 3
(D) {
3𝑥 + 4𝑦 = 2
5𝑥 + 2𝑦 = 8
(E) {
𝑥 + 4𝑦 = 2
5𝑥 + 2𝑦 = 8
Gabarito: D
4. A adição de dois números reais é menos dez. Sabe-se que a diferença do triplo do
primeiro com o dobro do segundo é zero.
Considerando x o primeiro número e y o segundo, assinale a opção que indica o sistema
associado a essa situação.
(A) {
𝑥 + 𝑦 = 10
3𝑥 = 2 − 𝑦
(B) {
𝑥 + 𝑦 = −10
3𝑥 − 2𝑦 = 0
(C) {
3𝑥 − 2𝑦 = 10
𝑥 + 𝑦 = 0
(D){
3𝑥 − 2𝑦 = 10
3𝑥 + 2𝑦 = 0
(E){
3𝑥 − 2𝑦 = 10
𝑥 + 2𝑦 = 0
Gabarito: B
5. A diferença entre dois números reais é 7. Sabe-se que a soma do dobro do primeiro
com o quádruplo do segundo é 11. Considerando x o primeiro número e y o segundo,
assinale a alternativa que indica o sistema associado a essa situação.
(A) {
𝑥 + 𝑦 = 7
2𝑥 = 4 − 𝑦
(B) {
𝑥 − 𝑦 = 7
2𝑥 + 4𝑦 = 11
(C) {
𝑥 − 𝑦 = 7
11𝑦 = 4𝑥
(D){
𝑥 + 2𝑦 = 7
11𝑥 = 4𝑦
(E){
𝑥 + 𝑦 = 7
11𝑥 = 4𝑦
Gabarito: B
11. 11
6. Um número é o triplo de outro e a soma dos dois é 40. Considerando x um dos
números e y o outro, assinale a alternativa que indica o sistema associado a essa
situação.
(A) {
𝑥 + 𝑦 = 3
𝑥 + 𝑦 = 40
(B) {
𝑥 = 3𝑦
2𝑥 + 𝑦 = 40
(C) {
𝑥 + 𝑦 = 3
𝑥 − 𝑦 = 40
(D) {
𝑥 = 3𝑦
𝑥 + 𝑦 = 40
(E) {
𝑥 = 𝑦
𝑥 + 𝑦 = 40
Gabarito: D
Sistemas de equação de 1° grau – Solução
Problema inicial
Métodos de Resolução
Resolver um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas significa procurar
as soluções comuns às duas equações.
Dentre alguns métodos para chegarmos à solução estudaremos os dois mais utilizados:
o método da substituição e o método da adição.
Os processos ou métodos mais comuns são: o método da substituição, método da
adição, método da comparação, do método gráfico e processo matricial (determinantes
e escalonamento).
Na situação com Juliana, vamos considerar a largura x e o comprimento y, assim temos:
Como o lote de Juliana é retangular, a medida de seu perímetro será 2x + 2y = 78
A diferença das medidas será x – y = 11.
Sistema: {
𝑥 − 𝑦 = 11
2𝑥 + 2𝑦 = 78
Sistemas de equação de 1° grau – Solução: Método da substituição
Juliana comprou um lote retangular cuja medida do perímetro é de 78 m. Sabendo
que a diferença entre a medida da largura e o comprimento é de 11m, determine as
suas medidas.
12. 12
Escrevendo as equações abrigadas por uma chave temos:
{
2𝑥 + 2𝑦 = 78 (1)
𝑥 − 𝑦 = 11 (2)
1º – Vamos isolar uma das variáveis em uma das equações. Vamos isolar x na 2ª
equação.
𝑥 − 𝑦 = 11 → 𝑥 = 11 + 𝑦
2º – Substitui-se a expressão encontrada na equação (1), obtendo assim o valor de y.
2(11 + 𝑦) + 2𝑦 = 78
22 + 2𝑦 + 2𝑦 = 78
22 + 4𝑦 = 78
4𝑦 = 78 − 22
4𝑦 = 56
𝑦 =
56
4
𝑦 = 14
3º – Substitui-se o valor de y em qualquer uma das equações iniciais ou mesmo na
equação onde x está isolado.
𝑥 = 11 + 𝑦
𝑥 = 11 + 14
𝑥 = 25
Logo o par ordenado que satisfaz ao sistema é 𝑆 = {(25,14)}
Sistemas de equação de 1° grau – Solução: Método da Adição
Este método consiste em realizarmos a soma dos respectivos termos de cada uma das
equações, a fim de obtermos uma equação com apenas uma incógnita. Para que isso
aconteça será preciso que multipliquemos algumas vezes as duas equações ou apenas
uma equação por números inteiros para que a soma de uma das incógnitas seja zero.
Retornando ao sistema
13. 13
{
2𝑥 + 2𝑦 = 78 (1)
𝑥 − 𝑦 = 11 (2)
Para adicionarmos as duas equações e a soma de uma das incógnitas de zero, teremos
que multiplicar a equação (2) por – 2.
Agora, o sistema fica assim:
{
2𝑥 + 2𝑦 = 78 (1)
−2 𝑥 + 2𝑦 = −22 (2)
Adicionando as duas equações:
2x + 2y = 78
+ –2x + 2y = – 22
4y = 56
Logo,
4𝑦 = 56
𝑦 =
56
4
𝑦 = 14
Para determinarmos x, substitui o valor encontrado de y em qualquer das duas
equações:
2𝑥 + 2𝑦 = 78
2𝑥 + 2(14) = 78
2𝑥 + 28 = 78
2𝑥 = 78 − 28
2𝑥 = 50
14. 14
𝑥 =
50
2
𝑥 = 25
Assim, o par ordenado solução do sistema é S = {(25, 14)}.
Percebemos que vários problemas podem ser resolvidos utilizando as equações ou
sistema de equações. Procure compreender estas formas e aplique em cada situação
problema.
Sistemas de equação de 1° grau – Solução: Representação Gráfica
Para determinar a solução de um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas
através da representação gráfica, deve-se construir, no plano cartesiano, as duras retas
correspondentes às equações do sistema. E verificar se existe um ponto de intersecção
das duas retas, ou seja, as retas são concorrentes, isto é, se cruzam em um único ponto,
então, esse ponto satisfaz às duas retas ao mesmo tempo.
Retornando ao sistema
{
2𝑥 + 2𝑦 = 78 (1)
𝑥 − 𝑦 = 11 (2)
As retas correspondentes às equações são:
Reta 1: 𝑦 = −𝑥 + 39 e reta 2: 𝑦 = 𝑥– 11. Para construir o gráfico das retas, basta
atribuir valores para x e encontrar o valor de y associado. Ligando-se todos os pontos,
obtém-se o gráfico.
15. 15
Observe que as retas são concorrentes e que o ponto (25 , 14) pertence as duas retas.
Logo, a solução do sistema é o par ordenado (𝑥, 𝑦) = (25 , 14).
SAIBA MAIS:
Para enriquecem o conhecimento sobre o assunto utilizem o geogebra.
Professor/a recomenda-se que, para o melhor entendimento por parte do
estudante, se possível, se trabalhe com o método de solução por representação
Gráfica, no laboratório de informática.
Observação: pode ser utilizado o GeoGebra um Software livre e gratuito.
16. 16
SUGESTÃO DE ATIVIDADE
1. Em um determinado estacionamento na cidade de Goiânia é cobrado o valor de R$
4,00 e R$ 12,00 por carro estacionado por período. Ao final de um período, o caixa
registrou R$ 880,00 para um total de 100 veículos. Quantas motos e carros usaram o
estacionamento nesse dia?
40 motos e 60 carros.
MOMENTO ENEM
1. (Enem – 2018) Visando atingir metas econômicas previamente estabelecidas, é
comum no final do mês algumas lojas colocarem certos produtos em promoção. Uma
determinada loja de departamentos colocou em oferta os seguintes produtos: televisão,
sofá e estante. Na compra da televisão mais o sofá, o cliente pagaria R$ 3 800,00. Se ele
levasse o sofá mais a estante, pagaria R$ 3 400,00. A televisão mais a estante sairiam
por R$ 4 200,00. Um cliente resolveu levar duas televisões e um sofá que estavam na
promoção, conseguindo ainda mais 5% de desconto pelo pagamento à vista.
O valor total, em real, pago pelo cliente foi de
A) 3 610,00.
B) 5 035,00.
C) 5 415,00.
D) 5 795,00.
E) 6 100,00.
Gabarito: D
2. (Enem – 2015) Uma barraca de tiro ao alvo de um parque de diversões dará um
prêmio de R$ 20,00 ao participante, cada vez que ele acertar o alvo. Por outro lado, cada
vez que ele errar o alvo, deverá pagar R$ 10,00. Não há cobrança inicial para participar
do jogo. Um participante deu 80 tiros e, ao final, recebeu R$ 100,00.
Qual foi o número de vezes que esse participante acertou o alvo?
17. 17
A) 30
B) 36
C) 50
D) 60
E) 64
Gabarito: A
3. (Enem – 2017) Uma escola organizou uma corrida de revezamento 4 x 400 metros,
que consiste em uma prova esportiva na qual os atletas correm 400 metros cada um
deles, segurando um bastão, repassando-o de um atleta para outro da mesma equipe,
realizando três trocas ao longo do percurso, até o quarto atleta, que cruzará a linha de
chegada com o bastão. A equipe ganhadora realizou a prova em um tempo total de 325
segundos.
O segundo corredor da equipe ganhadora correu seus 400 metros 15 segundos mais
rápido do que o primeiro; já o terceiro realizou seus 400 metros 5 segundos mais rápido
que o segundo corredor, e o último realizou seu percurso em 3/4 do tempo realizado
pelo primeiro.
Qual foi o tempo, em segundo, em que o último atleta da equipe ganhadora realizou
seu percurso de 400 metros?
A) 58
B) 61
C) 69
D) 72
E) 96
Gabarito: D
4. (Enem – 2018) Uma pessoa encheu o cartão de memória de sua câmera duas vezes,
somente com vídeos e fotos. Na primeira vez, conseguiu armazenar 10 minutos de vídeo
e 190 fotos. Já na segunda, foi possível realizar 15 minutos de vídeo e tirar 150 fotos.
Todos os vídeos possuem a mesma qualidade de imagem entre si, assim como todas as
fotos. Agora, essa pessoa deseja armazenar nesse cartão de memória exclusivamente
fotos, com a mesma qualidade das anteriores.
O número máximo de fotos que ela poderá armazenar é
A) 200.
B) 209.
C) 270.
D) 340.
E) 475.
Gabarito: C
5. (Enem – 2018) Uma loja vende automóveis em N parcelas iguais sem juros. No
momento de contratar o financiamento, caso o cliente queira aumentar o prazo,
acrescentando mais 5 parcelas, o valor de cada uma das parcelas diminui R$ 200,00, ou
se ele quiser diminuir o prazo, com 4 parcelas a menos, o valor de cada uma das parcelas
sobe R$ 232,00. Considere ainda que, nas três possibilidades de pagamento, o valor do
18. 18
automóvel é o mesmo, todas são sem juros e não é dado desconto em nenhuma das
situações.
Nessas condições, qual é a quantidade N de parcelas a serem pagas de acordo com a
proposta inicial da loja?
A) 20
B) 24
C) 29
D) 40
E) 58
Gabarito: B
19. 19
HABILIDADES DA BNCC:
(EM13MAT301) Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de
outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando
técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
OBJETIVO DE APRENDIZAGEM:
(GO-EMMAT301C) Resolver e elaborar problemas que envolvem sistemas de
equações, analisando os resultados e a adequação das soluções propostas, para
construir argumentação consistente.
OBJETO DE CONHECIMENTO:
Sistemas de equações lineares.
DESCRITOR(ES) SAEB:
Relacionar a determinação do ponto de interseção de duas ou mais retas com a
resolução de um sistema de equações com duas incógnitas.
Classificação de um sistema linear quanto ao número de soluções
Um sistema linear por admitir uma única solução, infinitas soluções ou não ter solução.
Observe o diagrama a seguir:
Sendo que:
SP → Admite solução
SI → Não admite solução
SPD → Admite solução única
SPI → Admite infinitas soluções
Sem perda de generalidade, usaremos sistemas lineares no ℝ2
(plano cartesiano) para
representar os 3 casos.
20. 20
a) {
2𝑥 − 𝑦 = 0
𝑥 + 3𝑦 = 7
b) {
𝑥 + 3𝑦 = 6
2𝑥 + 6𝑦 = 12
C) {
𝑥 − 3𝑦 = 1
−2𝑥 + 6𝑦 = 3
SPD 𝑆 = {(1,2)} SPI S = {todos os
pontos da reta}
SI 𝑆 = { }
Retas concorrentes Retas (paralelas)
coincidentes
Retas paralelas distintas
Para facilitar seu entendimento pode-se reescrever os sistemas acima como:
a) {
𝑦 = 2𝑥
𝑦 = −
𝑥
3
+
7
3
b) {
𝑦 = −
𝑥
3
+ 2
𝑦 = −
𝑥
3
+ 2
C) {
𝑦 =
𝑥
3
−
1
3
𝑦 =
𝑥
3
+
1
2
SUGESTÃO DE ATIVIDADE
1. Reescreva os sistemas a seguir e classifique-os:
a) {
𝑥 + 𝑦 = 3
𝑥 − 𝑦 = 7
b) {
3𝑥 − 𝑦 = 12
𝑥 + 𝑦 = 4
c) {
2𝑥 − 𝑦 = 1
−4𝑥 + 2𝑦 = 2
d) {
2𝑥 − 𝑦 = 0
−2𝑥 + 𝑦 = 5
e) {
2𝑥 − 𝑦 = 1
𝑥 + 3𝑦 = −3
21. 21
f) {
𝑥
4
− 𝑦 = −2
−𝑥 + 4𝑦 = 8
Solução:
a) {
𝑥 + 𝑦 = 3
𝑥 − 𝑦 = 7
→ {
𝑦 = −𝑥 + 3
𝑦 = 𝑥 − 7
Sistema possível e determinado – SPD
b) {
3𝑥 − 𝑦 = 12
𝑥 + 𝑦 = 4
→ {
𝑦 = 3𝑥 − 12
𝑦 = −𝑥 + 4
Sistema possível e determinado – SPD
c) {
2𝑥 − 𝑦 = −1
−4𝑥 + 2𝑦 = 2
→ {
𝑦 = 2𝑥 + 1
𝑦 = 2𝑥 + 1
Sistema possível e indeterminado – SPI
d) {
2𝑥 − 𝑦 = 0
−2𝑥 + 𝑦 = 5
→ {
𝑦 = 2𝑥
𝑦 = 2𝑥 + 5
Sistema impossível – SI
e) {
2𝑥 − 𝑦 = 1
𝑥 + 3𝑦 = −3
→ {
𝑦 = 2𝑥 − 1
𝑦 = −
𝑥
3
− 1
Sistema possível e determinado – SPD
f) {
𝑥
4
− 𝑦 = −2
−𝑥 + 4𝑦 = 8
→ {
𝑦 =
𝑥
4
+ 2
𝑦 =
𝑥
4
+ 2
Sistema possível e indeterminado – SPI
Sistemas de equação de 1° grau – Solução: Escalonamento
Uma outra maneira de resolver um sistema qualquer na sua forma original ou na forma
matricial fica para outro momento sua explicação e escalonar o sistema. Para isto deve-
se transformar o sistema em questão em um sistema escalonado equivalente.
Os passos objetivos para realizaremos esse processo é efetuar operações elementares
com as linhas do sistema.
Observe as etapas desse procedimento:
- Trocar duas (ou mais) linhas de posição.
- Multiplicar uma linha por uma constante não nula.
- Somar um múltiplo escalar de uma linha com outra linha.
Veja o exemplo:
Exemplo: Determine o conjunto verdade do sistema linear: {
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 3
2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 9
3𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = −10
Resolução
Observe que o termo em “𝑥” da primeira equação (linha 1) tem coeficiente 1 (um), o
que facilita muito todos os procedimentos. Caso o sistema não apresentasse tal
situação, poderíamos ajustá-lo para essa configuração, utilizando as operações
elementares com as linhas, obviamente.
22. 22
Aplicando as operações elementares com as linhas, para eliminarmos os termos em “𝑥”
da 2ª e 3ª equações, tem-se:
Primeiro: multiplicar a linha 1 por −2 e depois somar com a linha 2, observe:
{
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 3
2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 9
3𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = −10
× (−2)
Uma observação importante a linha 1 permanecerá a mesma, este procedimento é
apenas para modificar a linha 2.
{
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 3
−𝑦 + 3𝑧 = 3
3𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = −10
Segundo: multiplicar a linha 1 por −3 e depois somar com a linha 3, observe:
{
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 3
−𝑦 + 3𝑧 = 3
3𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = −10
× (−3)
Uma observação importante a linha 1 permanecerá a mesma, este procedimento é
apenas para modificar a linha 2.
{
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 3
−𝑦 + 3𝑧 = 3
−7𝑦 + 𝑧 = −19
Agora devemos eliminar o termo em “𝑦” da terceira equação. Então:
Terceiro: multiplicar a linha 2 por −7 e depois somar com a linha 3, observe:
{
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 3
−𝑦 + 3𝑧 = 3
−7𝑦 + 𝑧 = −19
× (−7)
Uma observação importante a linha 2 permanecerá a mesma, este procedimento é
apenas para modificar a linha 3.
{
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 3
−𝑦 + 3𝑧 = 3
−20𝑧 = −40
Quarto: na terceira equação, tem-se que:
– 20𝑧 =– 40
𝑧 = 2
Quinto: substituindo o valor de 𝑧 = 2 na equação da linha 2, temos que:
−𝑦 + 3𝑧 = 3
−𝑦 + 3 ∙ 2 = 3
23. 23
−𝑦 + 6 = 3
−𝑦 = 3 − 6
−𝑦 = −3 ou 𝑦 = 3
Sexto: substituindo os valores de 𝑧 = 2 e 𝑦 = 3 na equação da linha 1, temos que:
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 3
𝑥 + 2 ∙ 3 − (2) = 3
𝑥 + 6 − 2 = 3
𝑥 + 4 = 3
𝑥 = 3 − 4
𝑥 = −1
Logo, o conjunto verdade do sistema dado é: 𝑉 = {(– 1, 3, 2)}.
SUGESTÃO DE ATIVIDADE
1. Resolva e classifique os sistemas lineares a seguir.
a) {
3𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 = 1
4𝑥 − 5𝑦 + 𝑧 = 13
5𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 5
b) {
𝑥 + 2𝑦 = 5
2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = −3
𝑦 + 𝑧 = 1
Professor/a peça para os/as estudantes pesquisarem como seria o escalonamento quando
o sistema for:
Sistema possível e indeterminado – SPI
Sistema impossível – SI
Professor/a incentive seus estudantes a utilizarem, junto com a resolução por escrita, o MS
Excel / GeoGebra / ou similar.
25. 25
Sugestão para o desenvolvimento da Inserção Curricular / Recomposição
1º Momento: apresentação do tema RAZÃO para a matemática
2º Momento: aula invertida (pesquisa do tema razão)
3º Momento: sistematização dos conhecimentos
Neste momento vamos compreender e aplicar as relações lógicas das razões matemáticas em
situações problema.
Professor/a um breve contexto da recomposição:
A recomposição de aprendizagem é um momento que deve ter um olhar sobre
múltiplos aspectos.
Na educação sobre houve uma lógica na sua concepção de ensino-
aprendizagem antes da pandemia. Porém, agora, é necessário reordenar esta
dialética, já não basta só ‘voltar ao que era antes’, é fundamental focar a
atenção nas coisas que devemos olhar.
Na recomposição devemos nos orientarmos com competências e habilidades
não consolidadas e o que foi ou não oportunizado aos estudantes. Analisar o
que não foi consolidado e, depois de tudo isso, construir estratégias para
recompor as aprendizagens.
Professor/a
A participação dos/as estudantes deve ser ativa, por isso a escolha desse
processo educativo para este momento de recomposição.
26. 26
Em matemática a comparação entre dois números racionais, através de uma divisão, chama-se
razão.
Assim, na razão temos uma divisão ou o quociente entre dois números racionais a e b,
representada por 𝑎: 𝑏 ou 𝑎/𝑏 ou
𝑎
𝑏
, com 𝑏 ≠ 0.
Lê-se 𝑎 para 𝑏, ou 𝑎 está para 𝑏.
Exemplo:
3: 5 ou 3/5 ou
3
5
, lê-se 3 para 5, ou 3 está para 5.
Os termos de uma razão recebem nomes específicos: o número 𝒂 é denominado antecedente
e o número 𝒃 é denominado consequente.
Exemplo:
3
5
→ 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑐𝑒𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒
→ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒
Razões inversas
Dizemos que duas razões são inversas quando elas têm o produto igual a 1.
Importante: verifique que nas razões inversas o antecedente de uma é o consequente da outra,
e vice-versa.
Exemplo:
3
5
e
5
3
são razões inversas, pois:
3
5
∙
5
3
= 1
7
4
e
4
7
são razões inversas, pois:
7
4
∙
4
7
= 1
Razões equivalentes
Dada uma razão entre dois números, obtemos uma razão equivalente multiplicando-se ou
dividindo-se os termos de uma razão por um mesmo número racional (diferente de zero).
Obs.: o símbolo + significa equivalente.
Exemplos:
5
6
~
10
12
são razões equivalentes, pois:
5
6
∙
2
2
=
10
12
ou
× 2
→
5
6
=
10
12
→
× 2
15
9
~
5
3
são razões equivalentes, pois:
15
9
÷
3
3
=
5
3
ou
÷ 3
→
15
9
=
5
3
→
÷ 3
27. 27
O que nos interessa neste momento é estudar as razões como representadas na forma
percentual. Antes de definirmos o que é porcentagem, devemos lembrar que fração é uma
divisão e pode ser vista como uma razão. Podemos dizer que na fração o numerador representa
quantas partes foram tomadas e, o denominador, em quantas partes o inteiro foi dividido. Por
exemplo, se dividirmos um bolo em 4 partes iguais e comermos 2 partes, concluímos que
comemos
2
4
do bolo, o que é equivalente a
1
2
(metade). De forma bem simples, podemos
conceituar a porcentagem como sendo uma razão expressa com o denominador 100. E, para
representar a porcentagem, usaremos o símbolo %.
Logo, a expressão 50% significa cinquenta por cento, ou seja, 50% =
50
100
=
1
2
= 0,5 (metade).
Observação a igualdade em: 50% =
50
100
=
1
2
= 0,5 deve ser lida como equivalente, pois são
formas diferentes de representar a mesma proporção.
Vamos olhar as razões matemáticas no estudo das porcentagens através da resolução de
situações problema.
Geralmente, podemos dizer que toda razão na forma
𝑎
𝑏
, onde 𝑏 = 100, pode ser representada
na forma de porcentagem.
Exemplo:
30
100
= 30%, onde lê-se trinta por cento.
Na representação de uma razão
𝑎
𝑏
, tem-se que:
Primeiro caso: Frações equivalentes
O consequente 𝑏 é um fator natural de 100.
Exemplo:
4
5
× 20
→
=
→
× 20
80
100
= 80%
Segundo caso: Forma decimal
O consequente b não é um fator natural de 100.
Exemplo:
3
8
= 0,375 =
0,375∙100
100
=
37,5
100
= 37,5%
razao equivalente de
consequente igual a 100
forma decimal de
3
8
28. 28
Situações problemas
Exemplo 1
No final de ano sempre há liquidação nos shoppings de Goiânia, onde os descontos variam
muito. Suponha que em determinada loja um produto teve o desconto de 7 mil reais sobre o
preço de 20 mil reais. Quanto por cento equivale esse desconto?
Sugestão de solução:
Do enunciado tem-se inicialmente, a razão de 7 para 20, ou seja,
7
20
∙
Aqui podemos resolver este exercício de duas formas:
• Usando frações equivalentes, tem-se:
7
20
× 5
→
=
→
× 5
35
100
= 35%
Para descobrir que devo multiplicar por 5, basta dividir 100 por 20.
• Usando a forma decimal, tem-se:
7
20
= 0,35 =
0,35 ∙ 100
100
=
35
100
= 35%
Portanto, o desconto de 7 mil reais equivale a 35%.
Exemplo 2
O Brasil tem um total de 8.514.876 km² de superfície territorial. A região Centro-Oeste ocupa
cerca de 1.606.371.505 km². A área ocupada pela região Centro-Oeste representa,
aproximadamente, quantos por cento da área total do Brasil?
Sugestão de solução:
Do enunciado temos:
área total do Brasil → 8.514.876 km²
área da região Centro-Oeste → 1.606.371 km²
• Usando a razão:
á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖ã𝑜 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 − 𝑂𝑒𝑠𝑡𝑒
á𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝐵𝑟𝑎𝑠𝑖𝑙
→
1 606 371 km2
8 514 876 km2
• Aplicando a forma decimal, tem-se:
1
606 371 505
8 514 876
≅ 0,188 =
0,188∙100
100
= 18,8%
29. 29
Portanto, a área ocupada pela região Centro-Oeste no Brasil representa, aproximadamente
18,8%.
Exemplo 3
Obtive um lucro de R$ 3,00 sobre o preço de um produto vendido a R$ 120,00. Quanto por cento
obtive de lucro?
Sugestão de solução:
Do enunciado temos inicialmente, a razão de 3 para 120:
lucro → R$ 3,00
preço de um produto vendido → R$ 120,00
• Usando a razão:
lucro
preço de um produto vendido
=
3
120
• Aplicando a forma decimal, tem-se:
3
120
= 0,025 =
0,025 ∙ 100
100
= 2,5%
Portanto, obtive um de lucro 2,5%.
Aplicação dos conhecimentos
Atividade pesquisar:
Taxas tais como:
• Taxa Selic
• Taxa de Juros
• Taxa de inflação
• Taxas municipais / estaduais / federais
• Taxa de Registro do Comércio
• Índice de Desenvolvimento Humano (IDH)
Sistematização dos conhecimentos
Professor/a
Recomenda-se que este momento seja realizado por meio de uma pesquisa, então uma aula
antes desta peça aos estudantes para pesquisarem os temas a seguir.
30. 30
Roda de conversa (Sugestão: alunos dispostos em círculo ou semicírculo).
Primeira conversa.
• Você observou alguma relação entre razão matemática e as taxas e índices?
• Qual a forma mais usual que aparece as taxas e índices (decimal / fracionário
/ percentual)?
• Você encontrou algum índice ou taxa além das que foram listadas para a
pesquisa? Quais?
• Descreva com suas palavras os significados de razão, taxa e índice.
Lista de itens para o nivelamento
1. (ADA – 2015) Numa gincana Renata juntou 220 latinhas, Lívia 350 e Márcia não juntou nada.
Para que ninguém ficasse sem ponto, Renata e Lívia doaram latinhas para Márcia, de tal forma
que todas ficaram com a mesma quantidade.
Qual o percentual de latinhas doado por Lívia à Márcia?
(A) 16,1%
(B) 25%
(C) 30%
(D) 41,5%
(E) 45,7%
Gabarito E
2. (ADA – 2015) O gráfico a seguir apresenta o resultado de uma pesquisa eleitoral que estudou
a intenção de votos nos candidatos A, B e C.
De acordo com o gráfico o candidato B possui
Professor/a
Recomenda-se que este momento seja realizado por meio de uma pesquisa, então
uma aula antes desta peça aos estudantes para pesquisarem os temas a seguir.
31. 31
(A) 40% das intenções de votos dos entrevistados.
(B) 30% das intenções de votos dos entrevistados.
(C) 25% das intenções de votos dos entrevistados.
(D) 20% das intenções de votos dos entrevistados.
(E) 15% das intenções de votos dos entrevistados.
Gabarito: B
3. (ADA – 2015) A tabela de Distribuição de Frequência a seguir apresenta a quantidade de
jovens de até 15 anos de idade que foram selecionados para participar de um time de vôlei.
Sabendo que a estatura ideal para o vôlei deve ser superior ou igual a 1,80m, a porcentagem de
jovens apresentados nessa tabela que satisfazem essa condição é de
(A) 4%.
(B) 24%.
(C) 28%.
(D) 60%.
(E) 64%.
Gabarito: C
4. (ADA – 2015) O gráfico a seguir representa a evolução da população brasileira no período de
1940 a 2007, segundo dados do IBGE.
Observando os dados é correto afirmar que a população brasileira cresceu aproximadamente
32. 32
(A) 62% de 1940 para 1960.
(B) 24 milhões de 1970 para 1980.
(C) 150% de 1960 para 1991.
(D) 17% de 1996 a 2007.
(E) 77 milhões de 1950 para 1980.
Gabarito: D
5. (ADA – 2015) João trabalha em uma empresa com um salário de R$ 890,00. No final do ano,
João receberá um aumento de 10%.
Qual será o novo salário de João no final de ano?
(A) R$ 898,00
(B) R$ 908,00
(C) R$ 979,00
(D) R$ 980,00
Gabarito C
6. (ADA – 2016) Márcia trabalha em uma loja de eletrodomésticos e recebe, mensalmente, um
salário composto de duas partes: um salário fixo de R$ 1 200,00 mais uma comissão de 3% sobre
o total de vendas que efetuar durante o mês.
Admita que no último mês Márcia recebeu de salário R$ 3 300,00.
Assinale a alternativa que apresenta o total, em reais, das vendas que Márcia efetuou para
receber este montante.
(A) R$ 60 000,00
(B) R$ 65 000,00
(C) R$ 70 000,00
(D) R$ 75 000,00
(E) R$ 80 000,00
Gabarito: C
7. (ADA – 2016) A tabela, a seguir, representa o número de habitantes no Brasil no período de
2000 a 2010.
2000 2010
Brasil 169.799.170 190.732.694
Região Norte 12.900.704 15.865.578
Região Nordeste 47.741.711 53.078.137
Região Sudeste 72.412.411 80.353.724
Região sul 25.107.616 27.384.815
Região Central 11.636.728 14.050.340
Disponível em: <https://fernandonogueiracosta.wordpress.com/2010/11/29/censo-2010-
populacao-urbana-sobe-de-8125-para-8435/>. Acesso em: 30 nov. 2015 (Adaptada).
Ao observar os dados da tabela, podemos afirmar que de 2000 para 2010, a população no Brasil
cresce:
(A) 14,3%.
(B) 13,3%.
(C) 12,3%.
(D) 11,3%.
Gabarito: C
8. (ADA – 2016) Mário acertou 84% de uma prova com 50 questões.
33. 33
Assinale a alternativa que apresenta o total de questões que Mário errou.
(A) 8
(B) 16
(C) 34
(D) 40
(E) 42
Gabarito A
9. (ADA – 2016) Uma calça e um par de sapatos foram anunciados, respectivamente, por R$
160,00 e R$ 140,00. No pagamento à vista, a calça terá um desconto de 10% e o par de sapatos
8%.
Assinale a alternativa que apresenta o valor, em reais, do desconto no pagamento à vista dos
dois produtos.
(A) R$ 8,00.
(B) R$ 10,00.
(C) R$ 18,00.
(D) R$ 27,20.
(E) R$ 54,40.
Gabarito: D
9. (ADA – 2016) Para aumentar as vendas de um certo produto que custava R$ 40,00, um
comerciante tirou 15% do preço.
Após uma semana, aumentou em 15% o preço.
Após o aumento, esse produto passou a custar
(A) R$ 34,00.
(B) R$ 34,90.
(C) R$ 39,10.
(D) R$ 40,00.
(E) R$ 41,50.
Gabarito: C
10. (ADA – 2016) O salário mínimo que, em 2015, era igual a R$ 788,00, passou a valer R$ 880,00
em 2016.
O percentual de aumento do salário mínimo de 2016 em relação a 2015 foi de aproximadamente
(A) 10.
(B) 10,5.
(C) 11,68.
(D) 12.
(E) 12,68.
Gabarito: C
11. (ADA – 2016) Um produto cujo valor inicial era igual a R$ 120,00 teve um desconto de 20%
para diminuir o estoque. Após uma semana, o mesmo produto teve um acréscimo de 20%.
O valor atual desse produto é igual a
(A) R$ 96,00.
(B) R$ 98,20.
(C) R$ 88,80.
(D) R$ 109,10.
(E) R$ 115,20.
34. 34
Gabarito: E
12. (ADA – 2016) O gráfico a seguir apresenta a quantidade de carros vendidos em uma loja de
maio a setembro.
Assinale a alternativa que apresenta, aproximadamente, o percentual das vendas do mês de
maio em relação ao total de carros vendidos neste período.
(A) 25,55%
(B) 33,33%
(C) 44,44%
(D) 48,45%
(E) 52,25%
Gabarito: B
13. (ADA – 2017) De 2010 a 2016, a população de uma cidade aumentou 35 284 habitantes,
número que corresponde a 20% de aumento da população.
O número de habitantes dessa cidade, no ano de 2010, era igual a
(A) 167 568.
(B) 176 420 .
(C) 195 284.
(D) 352 840.
Gabarito: B
14. (ADA – 2017) Observe o quadro a seguir:
Nessas condições, pode-se afirmar que essa tv custa
(A) exatamente R$ 4 580,00.
(B) um valor inferior a R$ 4 370,00.
(C) um valor superior a R$ 4 850,00.
(D) um valor entre R$ 4 690,00 e R$ 4 850,00.
Gabarito: A
15. (ADA – 2017) Simone deu 15% de entrada na compra de uma moto, o que corresponde a
𝑅$ 1 170 do valor total da moto.
Assinale a alternativa que corresponde ao valor total da moto.
(A) 𝑅$ 18 000
(B) 𝑅$ 13 550
30% do preço de uma TV LED
equivale a R$ 1 374,00
36. 36
COMPETÊNCIA ESPECÍFICA 3:
Propor ou participar de ações para investigar desafios do mundo contemporâneo e tomar
decisões éticas e socialmente responsáveis, com base na análise de problemas sociais como
os voltados a situações de saúde, sustentabilidade, das implicações da tecnologia no mundo
do trabalho, entre outros, mobilizando e articulando conceitos, procedimentos e linguagens
próprios da Matemática.
HABILIDADES DA BNCC:
(EM13MAT203) Aplicar conceitos matemáticos no planejamento, na execução e na análise de
ações envolvendo a utilização de aplicativos e a criação de planilhas (para o controle de
orçamento familiar, simuladores de cálculos de juros simples e compostos, entre outros), para
tomar decisões.
OBJETIVO DE APRENDIZAGEM:
(GO-EMMAT203A) Determinar os valores de capitais, juros (simples e composto), montantes,
taxas e/ou tempos - com as conversões de medidas necessárias - de aplicações financeiras,
empréstimo etc., utilizando procedimentos matemáticos adequados para compreender
conceitos essenciais de investigação, planejamento, execução, participação e análise do
mundo contemporâneo.
OBJETO DE CONHECIMENTO:
Cálculos envolvendo porcentagens. Conceitos de Matemática Financeira (juros simples,
compostos, taxas de juros etc.). Alguns sistemas de amortização. Noções de fluxo de caixa.
Funções: exponenciais e logarítmicas.
DESCRITOR(ES) SAEB:
Resolver problema que envolva porcentagem.
37. 37
Capitalização Simples e Composta
Considere que duas empresas: a empresa X e a empresa Y, tenham a receber R$3000,00
cada. A empresa X deve receber seus R$3000,00 em 30 dias e a empresa Y em 360 dias.
Pergunta:
Será que os R$3000,00 da empresa X valem o mesmo que os R$3000,00 da empresa Y?
Resposta:
Claro que não! Os R$3000,00 da empresa X valem mais do que os R$3000,00 da empresa
Y, pois o valor do dinheiro varia no tempo. Isso é chamado “valor temporal” do dinheiro.
A matemática financeira é a ciência que estuda o valor do dinheiro no tempo.
São em situações como essas que se percebe como a matemática financeira é um
instrumento útil na análise de algumas alternativas de investimento ou financiamento de bens.
Ela versa em empregar algoritmos matemáticos para simplificar a operação financeira.
Conceitos Fundamentais
Vamos começar com os conceitos fundamentais necessários para um melhor entendimento.
Capital: É a quantia (dinheiro) na “data zero”, ou seja, no início da aplicação ou compra ou venda
ou financiamento. Pode ser o dinheiro investido em uma atividade econômica, o valor
financiado de um bem ou de um empréstimo tomado.
Outras denotações para capital: também chamado de valor presente, valor inicial, valor
principal, entre outros.
Notação: C
Juros: É a remuneração (em dinheiro) obtida pelo uso do capital por um intervalo de tempo, isto
é, é o custo do crédito obtido. Pode ser entendido também como sendo o valor pago (aluguel)
pelo uso do dinheiro.
Notação: J
38. 38
Prazo: É o período ao fim do qual os juros são calculados. É também chamado de período de
capitalização. Os mais usados são: dia, mês, bimestre, trimestre, semestre e ano dentre outros.
Notação: n ou t
Taxa de Juros: É o coeficiente resultante da razão entre o juro e o capital. A cada taxa deverá vir
anexado o período a que ela se refere. Assim, elas devem estar de acordo com o prazo.
Notação: i
Exemplo: 10% ao mês significa que cada R$100,00 de capital aplicado rende $10,00 de juros, a
cada mês de aplicação.
Montante: É a quantia (em dinheiro) no fim da aplicação, sendo a soma do capital aplicado e o
juro produzido em um determinado período.
Outras denotações para montante: é também chamado de valor futuro, valor final, saldo, entre
outros.
Notação: M
Matematicamente, tem-se que: 𝑀 = 𝐶 + 𝐽
SUGESTÃO DE ATIVIDADE
1. Faça um resumo sobre os conceitos estudados.
Resposta pessoal
2. Pesquise e faça um mapa mental sobre capitalização
Resposta pessoal
3. Qual o significado das abreviações a seguir:
a) a.d.
b) a.m.
c) a.b.
d) a.t.
e) a.s.
Professor/a lembre aos estudantes que é usual a utilização de abreviaturas para representar
por exemplo:
ao mês: a.m.
39. 39
f) a.a.
Solução:
a) ao dia: a.d.
b) ao mês: a.m.
c) ao bimestre: a.b.
d) ao trimestre: a.t.
e) ao semestre: a.s.
f) ao ano: a.a.
4. Uma pessoa aplicou R$ 10 000,00 durante 90 dias e recebeu R$ 600,00 de juro no final desse
período. Qual o montante que essa pessoa recebeu?
Solução: 𝑀 = 𝐶 + 𝐽 = 10 000 + 600 = 10 600
5. Dê quatro exemplos de taxa de juros.
Resposta pessoal
Estudo das Taxas (simples)
O estudo sobre taxas equivalentes ou proporcionais é muito importante pois sempre devemos
trabalhar (calcular) as taxas de juros e os períodos na mesma unidade de tempo.
Sabe o isto significa na verdade que se:
2% ao mês e o período é 3 meses – eu posso prosseguir com os cálculos, agora se
3% ao mês e o período é 21 dias – eu não posso prosseguir com os cálculos, antes tenho que
transformar 3% ao mês para 0,1% ao dia ou transformar 21 dias em 0,7 meses.
Então vamos definir taxas proporcionais.
As taxas 𝑖1 e 𝑖2 são ditas proporcionais se, com relação aos períodos 𝑛1 e 𝑛2 , expressos na
mesma unidade de tempo, ocorrer
𝑖1
𝑛1
=
𝑖2
𝑛2
Exemplo: As taxas 32% ao ano, 16% ao semestre, 8% ao trimestre são proporcionais, pois, se
tomarmos meses como unidade de tempo, teremos:
32
12
=
16
6
=
8
3
40. 40
Agora quando queremos trabalhar com referências temporais diferentes, devemos nos referir a
taxas equivalentes, então podemos escrever a seguinte definição.
Taxas equivalentes são taxas que são dadas em referências temporais diferentes, mas produzem
o mesmo montante se aplicadas ao mesmo capital, em um mesmo período.
Observação: Esta definição vale para qualquer tipo de capitalização.
A juros simples, duas taxas equivalentes são também proporcionais. Porém, isso não acontece
quando se trata de juros compostos.
Então vamos as taxas Equivalentes na Capitalização Simples para isto considere que um capital
𝐶 é aplicado por 1 ano 𝑎 taxas equivalentes nas referências descritas na tabela a seguir.
Período Taxa
Ano 𝑖𝑎
Semestre 𝑖𝑠
Trimestre 𝑖𝑡
Bimestre 𝑖𝑏
Mês 𝑖𝑚
Dia 𝑖𝑑
Daí tem-se que:
𝑖𝑎 = 2𝑖𝑠 = 4𝑖𝑡 = 6𝑖𝑏 = 12𝑖𝑚 = 360𝑖𝑑
Exemplo: Na capitalização simples, qual é a taxa equivalente mensal à taxa 24% ao ano?
𝑖𝑎 = 12𝑖𝑚
24% = 12𝑖𝑚
𝑖𝑚 =
24%
12
𝑖𝑚 = 2%
SUGESTÃO DE ATIVIDADE
1. Na capitalização simples, qual é a taxa equivalente semestral à taxa 2,5% ao mês?
Solução: 𝑖𝑠 = 15%
2. Na capitalização simples, qual é a taxa equivalente mensal à taxa 18% ao ano?
Solução: 𝑖𝑚 = 1,5%
3. Na capitalização simples, qual é a taxa equivalente mensal à taxa 0,8% ao dia?
Solução: 𝑖𝑚 = 24%
4. Na capitalização simples, qual é a taxa equivalente diária à taxa 108% ao ano?
41. 41
Solução: 𝑖𝑎 = 0,3%
5. Na capitalização simples, qual é a taxa equivalente semestral à taxa 3,2% ao bimestre?
Solução: 𝑖𝑠 = 9,6%
6. Na capitalização simples, qual é a taxa equivalente semestral à taxa 0,7% ao dia?
Solução: 𝑖𝑠 = 126%
7. Na capitalização simples, qual é a taxa equivalente mensal à taxa 5,4% ao trimestre?
Solução: 𝑖𝑚 = 1,8%
COMPETÊNCIA ESPECÍFICA 3:
Propor ou participar de ações para investigar desafios do mundo contemporâneo e tomar
decisões éticas e socialmente responsáveis, com base na análise de problemas sociais como
os voltados a situações de saúde, sustentabilidade, das implicações da tecnologia no mundo
do trabalho, entre outros, mobilizando e articulando conceitos, procedimentos e linguagens
próprios da Matemática.
HABILIDADES DA BNCC:
(EM13MAT203) Aplicar conceitos matemáticos no planejamento, na execução e na análise de
ações envolvendo a utilização de aplicativos e a criação de planilhas (para o controle de
orçamento familiar, simuladores de cálculos de juros simples e compostos, entre outros), para
tomar decisões.
OBJETIVO DE APRENDIZAGEM:
(GO-EMMAT203B) Compreender os conceitos essenciais da Matemática Financeira,
educação financeira e outros, analisando dados e informações de problemas diversos
(empréstimos, saúde, educação, finanças, sustentabilidade, tecnologia no mundo do trabalho
etc.), para aplicar tais conceitos na busca por soluções de problemas.
OBJETO DE CONHECIMENTO:
Cálculos envolvendo porcentagens. Conceitos de Matemática Financeira (juros simples,
compostos, taxas de juros etc.). Alguns sistemas de amortização. Noções de fluxo de caixa.
Funções: exponenciais e logarítmicas.
42. 42
DESCRITOR(ES) SAEB:
Resolver problema que envolva porcentagem.
Regimes de Capitalização
Considere que um capital foi aplicado a uma determinada taxa por um período ou por vários
períodos. Quando formos calcular qual será o valor do montante, na verdade deseja-se saber o
resultado da capitalização do valor atual. O montante pode ser calculado de acordo com os
seguintes critérios:
1. Regime de Capitalização Simples;
2. Regime de Capitalização Composta;
3. Regime de Capitalização Mista.
Vamos analisar cada uma das capitalizações citadas acima.
Regime de Capitalização Simples
No Regime de Capitalização Simples, a taxa de juros incide diretamente sobre o valor do capital.
Em cada período, o juro é obtido pelo produto do capital inicial pela taxa unitária. Desta forma,
os juros são iguais em cada período. É também chamado de Juros Simples.
Exemplo: Um investidor aplica R$2.000,00 por um prazo de 5 meses a uma taxa mensal de 5%.
Encontre o valor do saldo ao final de cada período usando o Regime de Capitalização Simples.
Vamos resolver:
Primeiro definir o fluxo de caixa (entradas de valor monetário):
Agora lembre da definição de montante 𝑀 = 𝐶 + 𝐽, sendo que:
𝑀1 montante do primeiro mês;
𝑀2 montante do segundo mês;
𝑀3 montante do terceiro mês;
43. 43
𝑀4 montante do quarto mês;
𝑀5 montante do quinto mês.
Assim:
𝑀1 = 2.000 + 2.000(0,05) = 𝑅$2.100
𝑀2 = 2.100 + 2.000(0,05) = 𝑅$2.200
𝑀3 = 2.200 + 2.000(0,05) = 𝑅$2.300
𝑀4 = 2.300 + 2.000(0,05) = 𝑅$2.400
𝑀5 = 2.400 + 2.000(0,05) = 𝑅$2.500
Observe que, a cada mês, o montante é acrescido de R$100,00. Assim, podemos afirmar que os
montantes formam uma Progressão Aritmética de razão 100.
No caso geral, para um capital C aplicado a juros simples durante n períodos a uma taxa unitária
i referida nesse período, tem-se uma Progressão Aritmética cujo primeiro termo é 𝐶 + 𝐶 ∙ 𝑖 e a
razão é 𝐶 ∙ 𝑖.
Tem-se que o montante será dado por:
Professor/a lembre que o investidor recebe mensalmente o juro e não
o montante, ou seja,
2.000 ∙ (0,05)
que é equivalente a R$ 100 mensais.
Observação: se possível peça aos estudantes para montar uma tabela
para esse cálculo no Excel, conforme exemplo abaixo:
44. 44
𝑀1 = 2.000 + 2.000(0,05)
= 𝑅$2.100
ou
𝑀1 = 𝐶 + 𝐶 ∙ 𝑖 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)
𝑀2 = 2.100 + 2.000(0,05)
= 𝑅$2.200
ou
𝑀2 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖) + 𝐶 ∙ 𝑖 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖 + 𝑖)
= 𝐶 ∙ (1 + 2𝑖)
𝑀3 = 2.200 + 2.000(0,05)
= 𝑅$2.300
ou
𝑀3 = 𝐶 ∙ (1 + 2𝑖) + 𝐶 ∙ 𝑖 = 𝐶 ∙ (1 + 2𝑖 + 𝑖)
= 𝐶 ∙ (1 + 3𝑖)
𝑀4 = 2.300 + 2.000(0,05)
= 𝑅$2.400
ou
𝑀4 = 𝐶 ∙ (1 + 3𝑖) + 𝐶 ∙ 𝑖 = 𝐶 ∙ (1 + 3𝑖 + 𝑖)
= 𝐶 ∙ (1 + 4𝑖)
𝑀5 = 2.400 + 2.000(0,05)
= 𝑅$2.500
ou
𝑀5 = 𝐶 ∙ (1 + 4𝑖) + 𝐶 ∙ 𝑖 = 𝐶 ∙ (1 + 4𝑖 + 𝑖)
= 𝐶 ∙ (1 + 5𝑖)
Pode-se generalizar para: 𝑀 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑛 ∙ 𝑖), onde já visto que:
C = capital inicial;
n = tempo em unidade qualquer;
i = taxa de juros;
SUGESTÃO DE ATIVIDADE
1. O preço de um produto à vista é igual a R$700,00. Um senhor deseja compra-lo dando uma
entrada de 20% e o restante para 45 dias. Se a loja cobra juros simples de 8% ao mês, qual o
valor do pagamento devido?
Solução: 𝑀 = 𝑅$ 627,20
2. Carlos adquiriu um empréstimo a uma taxa linear (simples) de 1,8% a.m. Considere que ele
pagou um montante de R$5.667,20 após 20 dias. Qual é o valor do empréstimo?
Solução: R$ 5.600,00
3. Ana uma investidora aplicou R$4.000,00 com capitalização simples à taxa de 5%a.m.
Considere que o montante que ela recebeu foi de R$7.000,00 e determine o prazo dessa
aplicação.
Solução: 𝑛 = 15 meses
4. Ao completar seus 18 anos e adquirir sua independência financeira, João decidiu alugar um
imóvel. Uma prática bastante comum para o aluguel de imóveis é o uso do devedor solidário ou
então o pagamento de um cheque caução. Ambas as opções são para resguardar quem está
alugando o imóvel. A primeira delas consiste em uma terceira pessoa se responsabilizar pelas
dívidas caso o locatário não pague. A segunda é o pagamento, por parte do locatário, de um
45. 45
valor, que fica na conta do locador até o término do contrato. Ao final, esse valor é devolvido
para o locatário.
Como não havia ninguém disposto a ser devedor solidário, João optou pela segunda opção,
pegando dinheiro emprestado com o seu irmão, José. O empréstimo foi de R$ 3.000,00 e, para
que José não ficasse em desvantagem, ele propôs para o seu irmão que o pagasse com juros
simples de 1% a.m. Se, ao final de 1 ano, João pagar a sua dívida com o seu irmão, o valor pago
por ele será de:
Fonte: https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-juros-simples.htm#questao-2
A) R$ 3600,00.
B) R$ 3360,00.
C) R$ 3660,00.
D) R$ 3930,00.
E) R$ 3036,00.
Gabarito: B
5. Durante quanto tempo um capital deve ser mantido em investimento a juros simples com
taxa de 2% a.m. para que ele gere um montante que seja o dobro do capital investido?
Fonte: https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-juros-simples.htm#questao-2
A) 3 anos e 4 meses.
B) 3 anos e 6 meses.
C) 3 anos e 9 meses.
D) 4 anos.
E) 4 anos e 2 meses.
Gabarito: E
Regime de Capitalização Composta
No Regime de Capitalização Composta, a taxa de juros incide diretamente sobre o valor do
montante do período anterior e assim sucessivamente (por isso alguns dizem juros sobre juros).
É também chamado de Juros Compostos.
No exemplo a seguir utilizaremos um valor exato e uma taxa redonda para facilitar os cálculos.
Exemplo: Um investidor aplica R$1.000,00 por um prazo de 6 meses a uma taxa mensal de 10%.
Encontre o valor do saldo ao final de cada período usando o Regime de Capitalização Composta.
Calculando o montante 𝑀𝑛 ao final de cada mês 𝑛, obtem-se:
46. 46
𝑀1 = 1.000 ∙ (0,1) + 1.000 = 1.100
𝑀2 = 1.100 ∙ (0,1) + 1.100 = 1.210
𝑀3 = 1.210 ∙ (0,1) + 1.210 = 1.331
𝑀4 = 1.331 ∙ (0,1) + 1.331 = 1.464,10
𝑀5 = 1.464,10 ∙ (0,1) + 1.464,10 = 1.610,51
𝑀6 = 1.610,51 ∙ (0,1) + 1.610,51 = 1.771,56
Note que, a cada mês, o montante é acrescido de 10% do seu valor. Assim, pode-se afirmar que
os montantes formam uma Progressão Geométrica de razão 1,1.
Da mesma forma que fizemos para capitalização simples pode-se proceder da mesma forma.
Tem-se que o montante será dado por:
𝑀1 = 1.000 ∙ (0,1) + 1.000 = 1.100 ou 𝑀1 = 𝐶 ∙ 𝑖 + 𝐶 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)
𝑀2 = 1.100 ∙ (0,1) + 1.100 = 1.210
ou
𝑀2 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖) ∙ 𝑖 + 𝐶 ∙ (1 + 𝑖) = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)(1 + 𝑖)
= 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)2
𝑀3 = 1.210 ∙ (0,1) + 1.210 = 1.331
ou
𝑀3 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)2
∙ 𝑖 + 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)2
= 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)2(1 + 𝑖)
= 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)3
𝑀4 = 1.331 ∙ (0,1) + 1.331 = 1.464,10
ou
𝑀4 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)3
∙ 𝑖 + 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)3
= 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)3(1 + 𝑖)
= 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)4
𝑀5 = 1.464,10 ∙ (0,1) + 1.464,10 =
1.610,51
ou
𝑀5 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)4
∙ 𝑖 + 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)4
= 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)4(1 + 𝑖)
= 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)5
𝑀6 = 1.610,51 ∙ (0,1) + 1.610,51 =
1.771,56
𝑀6 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)5
∙ 𝑖 + 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)5
= 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)5(1 + 𝑖)
= 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)6
Pode-se generalizar para: 𝑀 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)𝑛
, onde já visto que:
𝐶 = capital inicial;
𝑛 = tempo em unidade qualquer;
𝑖 = taxa de juros;
Observação importante:
O montante na capitalização composta pode ser visto como uma equação ou função
exponencial.
Professor/a comente com os estudantes que:
A expressão (1 + 𝑖)𝑛
é chamada de fator de capitalização ou fator de acumulação
de capital. Antes do advento das calculadoras avançadas, este fator ocupava várias
páginas no final dos livros.
47. 47
Vamos observar o crescimento e a diferença entre a capitalização simples e composta:
𝐶 = R$ 1000,00;
𝑛 = 12 meses;
𝑖 = 2%a.m.
Tempo (n)
Juro
simples
Montante
simples
Juro
composto Montante composto Diferença
0 0,00 1000,00 0,00 1000,00 0
1 20,00 1020,00 20,00 1020,00 0,00
2 40,00 1040,00 40,40 1040,40 0,40
3 60,00 1060,00 61,21 1061,21 1,21
4 80,00 1080,00 82,43 1082,43 2,43
5 100,00 1100,00 104,08 1104,08 4,08
6 120,00 1120,00 126,16 1126,16 6,16
7 140,00 1140,00 148,69 1148,69 8,69
8 160,00 1160,00 171,66 1171,66 11,66
9 180,00 1180,00 195,09 1195,09 15,09
10 200,00 1200,00 218,99 1218,99 18,99
11 220,00 1220,00 243,37 1243,37 23,37
12 240,00 1240,00 268,24 1268,24 28,24
Essa diferença é exponencial, pois, com o transcurso do tempo, o coeficiente angular dos juros
compostos aumenta cada vez mais, enquanto o valor dos juros simples permanece o mesmo até
o final da operação. O gráfico traz um comparativo entre ambos os sistemas de capitalização.
Observa-se pelo gráfico que:
• Para 𝑛 > 1: Capitalização Composta > Capitalização Simples;
• Para 0 < 𝑛 < 1 Capitalização Composta < Capitalização Simples;
• Para 𝑛 = 1: Capitalização Composta = Capitalização Simples.
48. 48
SUGESTÃO DE ATIVIDADE
1. Escreva a diferença entre juros simples e compostos com suas palavras.
Resposta pessoal
2. Faça uma tabela no Excel fator de capitalização ou fator de acumulação de capital para as
taxas de 0,5%, 1%, 1,5%, 2% e 3%.
Resposta pessoal
3. Carlos deseja aplicar a quantidade R$ 6 500,00 durante 2 anos para fazer um fundo de reserva,
o seu gerente ofereceu uma aplicação que rende 1,5% ao mês em regime de juros compostos.
Qual é o montante gerado para Carlos por essa aplicação?
Solução: 𝑀 = 𝑅$ 9 291,77
4. Uma loja financia a venda de um produto no valor de R$2.600,00 da seguinte forma:
Entrada: 10% de R$2.600,00
Ao final de 8 meses: R$3.270,00
Qual é a taxa mensal (composta) cobrada pela loja?
Solução: 𝑖 = 4,27% ao mês
5. Determine o tempo necessário para o capital de R$20.000,00 gerar um montante de
R$28.142,00 quando aplicado à taxa composta de 5% ao mês.
Solução: 𝑛 ≈ 7 meses
COMPETÊNCIA ESPECÍFICA 3:
Propor ou participar de ações para investigar desafios do mundo contemporâneo e tomar
decisões éticas e socialmente responsáveis, com base na análise de problemas sociais como
os voltados a situações de saúde, sustentabilidade, das implicações da tecnologia no mundo
do trabalho, entre outros, mobilizando e articulando conceitos, procedimentos e linguagens
próprios da Matemática.
HABILIDADES DA BNCC:
(EM13MAT203) Aplicar conceitos matemáticos no planejamento, na execução e na análise de
ações envolvendo a utilização de aplicativos e a criação de planilhas (para o controle de
49. 49
orçamento familiar, simuladores de cálculos de juros simples e compostos, entre outros), para
tomar decisões.
OBJETIVO DE APRENDIZAGEM:
(GO-EMMAT203C) Aplicar conceitos matemáticos no planejamento, na execução e na análise
de ações, envolvendo a utilização de aplicativos e a criação de planilhas (controle de
orçamento familiar, simuladores de cálculos de juros simples e composto etc.), identificando
elementos essenciais da Matemática Financeira (capital, tempo, taxas, entre outros) para
resolver problemas relacionados à educação financeira, mercado (cotidiano e de trabalho)
etc. e propor e/ou participar de ações para investigar desafios do mundo contemporâneo.
OBJETO DE CONHECIMENTO:
Cálculos envolvendo porcentagens. Conceitos de Matemática Financeira (juros simples,
compostos, taxas de juros etc.). Alguns sistemas de amortização. Noções de fluxo de caixa.
Funções: exponenciais e logarítmicas.
DESCRITOR(ES) SAEB:
Resolver problema que envolva porcentagem.
Estudo das Taxas (compostas)
A algumas aulas anteriores falamos que o estudo sobre taxas equivalentes é muito importante
pois sempre devemos trabalhar (calcular) as taxas de juros e os períodos na mesma unidade de
tempo.
Neste momento as taxas proporcionais não são válidas para taxas compostas, mas podemos
fazer uso das taxas equivalentes, e mais lembra que falamos que a seguinte definição vale para
qualquer tipo de capitalização, ou seja:
Taxas equivalentes são taxas que são dadas em referências temporais diferentes, mas produzem
o mesmo montante se aplicadas ao mesmo capital, em um mesmo período.
Então vamos as taxas Equivalentes na Capitalização composta para isto considere que um capital
C é aplicado por 1 ano a taxas equivalentes nas referências descritas na tabela a seguir.
Período Taxa
Ano 𝑖𝑎
Semestre 𝑖𝑠
Trimestre 𝑖𝑡
Bimestre 𝑖𝑏
50. 50
Mês 𝑖𝑚
Dia 𝑖𝑑
Daí tem-se que:
(1 + 𝑖𝑎) = (1 + 𝑖𝑠)2
= (1 + 𝑖𝑡 )4
= (1 + 𝑖𝑏)6
= (1 + 𝑖𝑚)12
= (1 + 𝑖𝑑)360
Exemplo: Na capitalização composta, qual é a taxa equivalente mensal à taxa 24% ao ano?
(1 + 𝑖𝑎) = (1 + 𝑖𝑚)12
(1 + 0,24) = (1 + 𝑖𝑚)12
1,24 = (1 + 𝑖𝑚)12
(1,24)
1
12 = ((1 + 𝑖𝑚)12)
1
12
1 + 𝑖𝑚 = √1,24
12
1 + 𝑖𝑚 = 1,01808758
𝑖𝑚 = 1,01808758 − 1
𝑖𝑚 = 0,01808758 ≅ 1,8087%
SUGESTÃO DE ATIVIDADE
1. Na capitalização composta, qual é a taxa equivalente semestral à taxa 2,5% ao mês?
Solução: 𝑖𝑠 = 15,969%
2. Na capitalização composta, qual é a taxa equivalente mensal à taxa 18% ao ano?
Solução: 𝑖𝑚 = 1,3888%
3. Na capitalização composta, qual é a taxa equivalente mensal à taxa 0,8% ao dia?
Solução: 𝑖𝑚 = 27%
4. Na capitalização composta, qual é a taxa equivalente diária à taxa 108% ao ano?
Solução: 𝑖𝑎 = 0,2036%
5. Na capitalização composta, qual é a taxa equivalente semestral à taxa 3,2% ao bimestre?
Solução: 𝑖𝑠 = 9,9104%
6. Na capitalização composta, qual é a taxa equivalente semestral à taxa 0,7% ao dia?
Solução: 𝑖𝑠 = 250,99%
51. 51
7. Na capitalização composta, qual é a taxa equivalente mensal à taxa 5,4% ao trimestre?
Solução: 𝑖𝑚 = 1,7685%
Inflação, Deflação e Atualização Monetária
Duas categorias econômicas que agem diretamente no bolso da população é a Inflação e a
deflação. Você precisa saber que um período de inflacionário é um momento de aumento de
preços, já um período de deflacionário é um momento de queda de preço.
A inflação para entendermos melhor pode ser vista como uma elevação generalizada sem
controle e permanente dos níveis de preços do sistema econômico, o que resulta na perda do
poder aquisitivo da moeda e diminuição dos valores dos ativos.
Os cálculos inflacionários têm sua complexidade decorrente da necessidade de avaliar a variação
de preços de produtos distintos fisicamente, e de serviços, que variam a taxas distintas.
A necessidade de cumprir com essa tarefa nos coloca diante de diversos índices de preços que
buscam medir a inflação ao longo da cadeia produtiva e de comercialização, ou em partes
relevantes dela em toda a cadeia de produção, ou em partes relevantes dela. Daí a existência de
índices gerais para atacado, varejo e construção.
O cálculo da inflação é executado através de uma média da variação dos preços registados para
os diferentes produtos, pelas quantidades produzidas, consumidas ou comercializadas dos bens,
a partir de parâmetros primários do agregado familiar pesquisas orçamentárias e até matrizes
de relacionamento intersetorial.
Os índices de preços mais importantes do país são aqueles produzidos pela Fundação Getúlio
Vargas (FGV), pelo IBGE e pela Fundação Instituto de Pesquisas Econômicas da Universidade de
São Paulo (FIPEUSP).
Índices de Preços
Índices de preços são números que agregam e representam os preços de uma determinada cesta
de produtos. Sua variação mede, portanto, a variação média dos preços dos produtos da cesta.
Podem se referir a, por exemplo, preços ao consumidor, preços ao produtor, custos de produção
ou preços de exportação e importação.
A concepção dos índices varia de conformidade com a abrangência geográfica da pesquisa, com
o universo dos consumidores (classe de renda), com o período a que se refere, além de outros
fatores específicos para cada índice.
Por que existem tantos índices de preços no Brasil?
52. 52
O longo período de convivência com inflação no Brasil fez com que se criassem diversos índices
agregados de preços para medi-la, bem como mecanismos de atualização monetária, que
funcionavam como repositores do poder aquisitivo da moeda, perdido no período anterior.
Os índices de preços foram construídos ao longo do tempo com diferentes finalidades. O IPC-
Fipe, por exemplo, foi criado pela Prefeitura do Município de São Paulo com o objetivo de
reajustar os salários dos servidores municipais. O IGP-M foi criado para ser usado no reajuste de
operações financeiras, especialmente as de longo prazo, e o IGP-DI para balizar o
comportamento dos preços em geral da economia. O INPC é o índice balizador dos reajustes de
salários, enquanto o IPCA corrige os balanços e demonstrações financeiras trimestrais e
semestrais das companhias abertas, além de ser o medidor oficial da inflação no país. Apesar
dessa variedade, os índices calculados no país se classificam em três grupos principais: os índices
de preços ao consumidor de cobertura nacional apurados pelo Instituto Brasileiro de Geografia
e Estatística (IBGE)(www.ibge.gov.br); os índices gerais de preços apurados pelo Instituto
Brasileiro de Economia da Fundação Getúlio Vargas (FGV)(http://www.fgv.br); e os índices de
preços ao consumidor de São Paulo, apurado pela Fundação Instituto de Pesquisas Econômicas
(http://www.fipe.com.br).
Principais Índices Agregados de Preços no Brasil
IGP: Índice Geral de Preços, calculado pela Fundação Getúlio Vargas. É uma média ponderada
do índice de preços no atacado (IPA), com peso 6; de preços ao consumidor (IPC) no Rio e SP,
com peso 3; e do custo da construção civil (INCC), com peso 1. Usado em contratos de prazo
mais longo, como aluguel.
IGP-DI: O Índice Geral de Preços - Disponibilidade Interna, da FGV, reflete as variações de preços
de todo o mês de referência. Ou seja, do dia 1 ao 30 de cada mês. Ele é formado pelo IPA (Índice
de Preços por Atacado), IPC (Índice de Preços ao Consumidor) e INCC (Índice Nacional do Custo
da Construção), com pesos de 60%, 30% e 10%, respectivamente. O indicador apura as variações
de preços de matérias-primas agrícolas e industriais no atacado e de bens e serviços finais no
consumo.
IGP-M: Índice Geral de Preços do Mercado, também da FGV. Metodologia igual à do IGP-DI, mas
pesquisado entre os dias 21 de um mês e 20 do seguinte. O IGP tradicional abrange o mês
fechado. O IGP-M é elaborado para contratos do mercado financeiro.
IGP-10: Índice Geral de Preços 10, também da FGV e elaborado com a mesma metodologia do
IGP e do IGP-M. A única diferença é o período de coleta de preços: entre o dia 11 de um mês e
o dia 10 do mês seguinte.
IPC-RJ: Considera a variação dos preços na cidade do Rio de Janeiro. É calculado mensalmente
pela FGV (Fundação Getúlio Vargas) e toma por base os gastos de famílias com renda de um a
33 salários-mínimos IPCA.
IPC-Fipe: Índice de Preços ao Consumidor da Fundação Instituto de Pesquisas Econômicas, da
USP, pesquisado no município de São Paulo. Reflete o custo de vida de famílias com renda de 1
a 20 salários-mínimos. Divulga também taxas quadrissemanais.
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ICV-Dieese: Índice do Custo de Vida do Departamento Intersindical de Estatística e Estudos
Socioeconômicos, também medido na cidade de São Paulo. Reflete o custo de vida de famílias
com renda média de R$ 2.800 (há também índices para a baixa renda e a intermediária)
INPC: Índice Nacional de Preços ao Consumidor, média do custo de vida nas 11 principais regiões
metropolitanas do país para famílias com renda de 1 até 8 salários-mínimos, medido pelo IBGE
(Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística).
IPCA: Índice de Preços ao Consumidor Amplo, também do IBGE, calculado desde 1980,
semelhante ao INPC, porém refletindo o custo de vida para famílias com renda mensal de 1 a 40
salários mínimos. A pesquisa é feita nas mesmas 11 regiões metropolitanas. Foi escolhido como
alvo das metas de inflação ("inflation targeting") no Brasil.
INCC: Índice Nacional do Custo da Construção, um dos componentes das três versões do IGP, o
de menor peso. Reflete o ritmo dos preços de materiais de construção e da mão-de-obra no
setor. Utilizado em financiamento direto de construtoras/incorporadoras.
Variação dos Índices
A variação ou correção de um determinado período é dada pela variação percentual entre o
índice no final do período indicado e o índice no final do período anterior, ou seja:
𝐶 =
índice período indicado
índice período anterior
− 1
Quando temos os índices de correção de vários períodos, procedemos da forma seguinte:
𝐶𝑎 = (1 + 𝑐1) × (1 + 𝑐2) × (1 + 𝑐3) ×. . .× (1 + 𝑐𝑛)– 1
A taxa média de inflação ou de atualização monetária é dada por:
𝐶𝑚 = [(1 + 𝑖𝑎)
1
𝑛 − 1] × 100
Exemplo:
Considerando os dados de inflação da tabela abaixo, calcule a correção do semestre e a taxa
média mensal de inflação.
PERÍODO MENSAL ÍNDICE
Dezembro 100,00
Janeiro 15,50% 115,50
Fevereiro 17,00% 135,14
Março 12,00% 151,35
Abril 15,00% 174,05
Maio 20,00% 208,86
Junho 22,55% 255,96
Fazendo-se o cálculo pela comparação dos índices acumulados teremos:
𝐶 =
255,96
100
− 1 → C = 1,5596 ou C = 155,96% no semestre
54. 54
𝐶𝑚 = [(1 + 1,5596)
1
6 − 1] × 100 → Cm = 16,96% a. m
Nota: É importante notar que a variação porcentual do índice de um mês em relação ao do mês
anterior é igual à taxa de inflação do mês. Assim, por exemplo, a inflação do mês de fevereiro,
na tabela anterior, poderia ser calculada por
𝐶 = (
135,14
115,50
− 1) × 100 → C = 0,1700 100 = 17,00%
SUGESTÃO DE ATIVIDADE
1- Considere que no mês base o preço médio de uma cesta básica seja R$ 200,00, e nos meses
subsequentes seja R$ 210,00, R$ 220,00 e R$ 240,00. Obtenha as taxas de inflação de cada mês,
em relação ao mês anterior, e os respectivos índices.
Solução: 5%, 4,76% e 9,09% e 1,05, 1,10 e 1,20
2- Qual a taxa média mensal de inflação que deverá vigorar em cada um dos próximos 12 meses,
de modo que a taxa acumulada no período seja 18%?
Solução: 1,39%
3- A tabela abaixo contém os valores mensais do IGP-M de dezembro de 1998 a dezembro de
1999, sendo o mês base agosto de 1994.
Mês IGP-M
Dezembro/1998 148,291
Janeiro/1999 149,533
Fevereiro/1999 154,933
Março/1999 159,325
Abril/1999 160,459
Maio/1999 159,996
Junho/1999 160,573
Julho/1999 163,060
Agosto/1999 165,603
Setembro/1999 167,997
Outubro/1999 170,861
Novembro/1999 174,939
Dezembro/1999 178,099
Com base nos dados da tabela, calcule:
55. 55
a) a taxa de inflação de outubro de 1999; Resposta: 1,70%
b) a taxa de inflação de dezembro de 1999; Resposta: 1,81%
c) a taxa de inflação acumulada no primeiro semestre de 1999; Resposta: 8,28%
d) a taxa de inflação acumulada em 1999. Resposta: 20,10%
Solução:
a) 1,70%
b) 1,81%
c) 8,28%
d) 20,10%
Fonte: BORNATTO, GILBERTO. Matemática financeira – Faculdade Internacional.
4. Pesquise e construa uma tabela no Excel do IGP-M de 2021 a 2022.
Resposta pessoal
Fluxo de Caixa
O Fluxo de Caixa é um registro de uma sequência de movimentações financeiras ao longo do
tempo. É representado por um eixo horizontal no qual marcamos o tempo, seja em ano,
semestre, trimestre, bimestre, mês ou dia. As entradas de recursos são representadas por setas
orientadas para cima, perpendiculares ao eixo horizontal. Já as saídas de recursos são
representadas da mesma forma, porém as setas serão colocadas para baixo.
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Exemplo: Suponha que uma pessoa fez um empréstimo em um banco de R$1.000,00, pagando,
no final do período de 6 meses, R$1.200,00.
Do ponto de vista do recebedor do empréstimo, teremos o seguinte fluxo de caixa:
Do ponto de vista do banco, obtemos o seguinte fluxo de caixa:
Valor Presente de um Fluxo de Caixa
Professor/a
Comente que:
significa saída;
significa entrada.
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Denomina-se valor atual (ou valor presente) de um fluxo de caixa à soma dos valores atuais de
suas parcelas futuras, descontadas com uma determinada taxa de juros. Portanto, o valor atual
é um capital que na data 0(zero) é equivalente ao conjunto de capitais futuros que compõem o
fluxo de caixa em questão.
Assim, dado o fluxo de caixa:
Chamando de VP ou P o valor atual e considerando uma taxa i de juros compostos, segue-se
que:
𝑉𝑃 𝑜𝑢 𝑃 = 𝐶0 +
𝐶1
(1 + 𝑖)1
+
𝐶2
(1 + 𝑖)2
+
𝐶3
(1 + 𝑖)3
+
𝐶4
(1 + 𝑖)4
+ ⋯ +
𝐶𝑛
(1 + 𝑖)𝑛
onde, 𝐶 = capital.
Exemplo:
Determinar o valor atual do fluxo de caixa a seguir, utilizando a taxa de 1,8% a.m., no regime de
juros composto.
Observação os valores estão em milhares de real.
𝑉𝑃 𝑜𝑢 𝑃 = 600 +
500
(1 + 0,018)1
+
550
(1 + 0,018)2
+
650
(1 + 0,018)3
+
900
(1 + 0,018)4
𝑉𝑃 𝑜𝑢 𝑃 = 600 + 491,16 + 530,72 + 616,13 + 838,01 → 𝑉𝑃 𝑜𝑢 𝑃 = 3 076,02
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SUGESTÃO DE ATIVIDADE
1. Pesquise fluxo de caixa equivalentes e escreva um exemplo respondido com os cálculos
desenvolvidos.
Resposta pessoal
2. Pesquise fator de valor atual e escreva três exemplos respondidos com os cálculos
desenvolvidos.
Resposta pessoal
MOMENTO ENEM
1. (Enem – 2021) Um investidor deseja aplicar R$ 10 000,00 durante um mês em um dos fundos
de investimento de um banco. O agente de investimentos desse banco apresentou dois tipos de
aplicações financeiras: a aplicação Básica e a aplicação Pessoal, cujas informações de
rendimentos e descontos de taxas administrativas mensais são apresentadas no quadro.
Consideradas as taxas de rendimento e administrativa, qual aplicação fornecerá maior valor de
rendimento líquido a esse investidor e qual será esse valor?
(A) Básica, com rendimento líquido de R$ 53,90.
(B) Básica, com rendimento líquido de R$ 54,50.
(C) Pessoal, com rendimento líquido de R$ 56,00.
(D) Pessoal, com rendimento líquido de R$ 58,12.
(E) Pessoal, com rendimento líquido de R$ 59,80.
Gabarito: A
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2. (Enem – 2019) Uma pessoa fez um depósito inicial de R$ 200,00 em um fundo de
Investimentos que possui rendimento constante sob juros compostos de 5% ao mês. Esse Fundo
possui cinco planos de carência (tempo mínimo necessário de rendimento do Fundo sem
movimentação do cliente). Os planos são:
• Plano A: carência de 10 meses;
• Plano B: carência de 15 meses;
• Plano C: carência de 20 meses;
• Plano D: carência de 28 meses;
• Plano E: carência de 40 meses.
O objetivo dessa pessoa é deixar essa aplicação rendendo até que o valor inicialmente aplicado
duplique, quando somado aos juros do fundo. Considere as aproximações:
log 2 = 0,30 e log 1,05 = 0,02.
Para que essa pessoa atinja seu objetivo apenas no período de carência, mas com a menor
carência possível, deverá optar pelo plano
(A) A.
(B) B.
(C) C.
(D) D.
(E) E.
Gabarito: B
3. (Enem – 2019) Uma pessoa se interessou em adquirir um produto anunciado em uma loja.
Negociou com o gerente e conseguiu comprá-lo a uma taxa de juros compostos de 1% ao mês.
O primeiro pagamento será um mês após a aquisição do produto, e no valor de R$ 202,00. O
segundo pagamento será efetuado um mês após o primeiro, e terá o valor de R$ 204,02. Para
concretizar a compra, o gerente emitirá uma nota fiscal com o valor do produto à vista
negociado com o cliente, correspondendo ao financiamento aprovado.
O valor à vista, em real, que deverá constar na nota fiscal é de
(A) 398,02.
(B) 400,00.
(C) 401,94.
(D) 404,00.
(E) 406,02.
Gabarito: B
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4. (Enem – 2018) Um contrato de empréstimo prevê que quando uma parcela é paga de forma
antecipada, conceder-se-á uma redução de juros de acordo com o período de antecipação.
Nesse caso, paga-se o valor presente, que é o valor, naquele momento, de uma quantia que
deveria ser paga em uma data futura. Um valor presente P submetido a juros compostos com
taxa i, por um período de tempo n, produz um valor futuro V determinado pela fórmula
𝑉 = 𝑃 ˑ (1 + 𝑖)𝑛
Em um contrato de empréstimo com sessenta parcelas fixas mensais, de R$ 820,00, a uma taxa
de juros de 1,32% ao mês, junto com a trigésima parcela será paga antecipadamente uma outra
parcela, desde que o desconto seja superior a 25% do valor da parcela.
Utilize 0,2877 como aproximação para Imagem associada para resolução da questão e 0,0131
como aproximação para In (1,0132).
A primeira das parcelas que poderá ser antecipada junto com a 30ª é a
(A) 56ª
(B) 55ª
(C) 52ª
(D) 51ª
(E) 45ª
Gabarito: C
5. (Enem – 2017) Um empréstimo foi feito à taxa mensal de i %, usando juros compostos, em
oito parcelas fixas e iguais a P.
O devedor tem a possibilidade de quitar a dívida antecipadamente a qualquer momento,
pagando para isso o valor atual das parcelas ainda a pagar. Após pagar a 5ª parcela, resolve
quitar a dívida no ato de pagar a 6ª parcela.
A expressão que corresponde ao valor total pago pela quitação do empréstimo é
(A)
(B)
(C)
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REFERÊNCIAS
AYRES Jr., Frank. Matemática financeira. São Paulo: Mcgraw-Hill do Brasil, 1981. Coleção
Schaum.
BIANCHINI, Edwaldo. Paccola, Erval. Curso de matemática Ensino Médio. Volume único.
1ª edição. São Paulo. Editora Saraiva. 2001.
BORNATTO, Gilmar. Matemática financeira. Material de Apoio para o Curso de
Administração da Busness & Marketing School Faculdade Internacional.
Giovanni, José Ruy. Bonjorno, José Roberto. Júnior, José Ruy Giovanni. Curso de
matemática: volume único. 2ª edição. São Paulo. Moderna. 1998.
HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. 6. ed. São Paulo:
Saraiva, 2007.
NERY, Chico. Trotta, Fernando. Matemática para o Ensino Médio. Volume único. 2ª
edição. São Paulo. Moderna. 1998.
VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática financeira. 7. ed. São Paulo: Atlas, 2006.
MATEMÁTICA Financeira, Equivalência de Capitais a Juros Simples. Disponível em: <
http://matematicafinanceira.webnode.com.br/capitaliza%C3%A7%C3%A3o%20simple
s/equival%C3%AAncia%20 de%20capitais%20a%20juros%20simples-/ >. Acesso em 10
de janeiro de 2017.
https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-
funcao-exponencial.htm#questao-2
https://exercicios.mundoeducacao.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-
sobre-funcao-exponencial.htm#questao-7423
https://www.todamateria.com.br/funcao-exponencial-exercicios/
https://download.inep.gov.br/download/enem/matriz_referencia.pdf
https://www.gov.br/inep/pt-br/areas-de-atuacao/avaliacao-e-exames-
educacionais/enem/provas-e-gabaritos
https://novoensinomediogoiano.educacao.go.gov.br/dcgoem/