(Curso extensivo) números complexos 01.08 e 02.08

MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio
Números complexos e suas propriedades
Autor de uma fórmula geral para
resolver equações do tipo
x2 + px = q, com p e q reais. Mas não
chegou a publicar sua obra.
Nicollo Tartaglia
(~1500-1557)
Quebrou um juramento feito a Tartaglia
publicou Arts Magna, com a fórmula
criada por Tartaglia para resolver
equações cúbicas (x3 - 15x = 4), onde
aparece a raiz quadrada de um número
negativo, inexistente na época.
Gerônimo Cardano
(~1501-1576)
Imagem:(a)MagnusManske/NicolloTartaglia/PublicDomain;(b)Mattes/Gerônimo
Cardano/PublicDomain

Deu continuidade à fórmula
publicada por Cardano, e usando o
que chamou de “ideia louca”,
considerou a raiz quadrada de – 1
um número imaginário.
Raphael Bombelli
(~1526-1573)
Usou pela primeira vez a letra i para
representar a raiz quadrada de – 1.
Leonhard Euler
(~1707-1783)
Imagem:Soerfm/LeonhardEuler/PublicDomain
Imagem:SEE-PE

Em 1801 usou o símbolo i, criado
por Euler e, após o seu uso
amplificou a aceitação deste
símbolo, criou a expressão Número
Complexo.
Carl Friderich Gauss
(1777-1855)
Imagem:GottliebBiermannA.Wittmann/Public
Domain

A MATEMÁTICA É UMA CONSTRUÇÃO HUMANA!
O que diz a História da Matemática?
Bombelli tentou encontrar regras para trabalhar com raízes quadradas de
números negativos. Ele chamava esses novos “números” de “fictícios”,
“impossíveis”, “místicos” e “imaginários”.
Ele resolveu chamar como um número qualquer (imaginário, fictício)
e, usando as mesmas regras já conhecidas na Álgebra elementar, deu a
partida para a ampliação do Conjunto dos Números Reais.
1

Números Complexos
SITUANDO HISTORICAMENTE O CONCEITO
Com a chegada deste novo CONJUNTO, os conjuntos
numéricos podem ser representados pelo diagrama:
C
R
Q
Z
N
I

Onde usar os números complexos?
Os números complexos deram grandes contribuições para o
avanço da Engenharia.
A modelagem de circuitos
elétricos, o movimento de líquidos
e gases ao redor de obstáculos, o
cálculo da força de sustentação da
asa de um avião e o estudo da
interferência em linhas de
transmissão de energia e telefonia
são alguns exemplos de aplicações
destes números.
Imagem: (a) Axwel / Avião / Creative Commons Attribution 2.0 Generic; (b) Glogger / Celular / GNU Free Documentation License

Matemática, 3º ano, Forma trigonométrica dos
números complexos
CONHECIMENTOS PRÉVIOS
Disponível em http://piadasnerds.com/wp-content/uploads/2010/04/sei-lah.jpg, acesso em 02/08/2015

Exemplo: Resolva a equação no campo dos números complexos.
Resposta: S = { 1 – i ; 1 + i }

3. FORMA ALGÉBRICA DE UM
NÚMERO COMPLEXO:
biaz 

,IRb,a 
 






real)(númeroIRm,0.i)(mz
puro)o(imaginári*IRk,k.i0z
2
1
onde
“a” é a parte real do complexo “z” e “b” é sua parte imaginária .
3. FORMA ALGÉBRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO:
biaz 
Exemplos: z1 = 2 + 3.i ; z2 = – 1 + i ; z3 = 5.i

4. OPERAÇÕES COM COMPLEXOS
NA FORMA ALGÉBRICA

4. OPERAÇÕES COM COMPLEXOS NA FORMA ALGÉBRICA
4.1. Igualdade de números complexos:
4.2. Adição / Subtração:
A operação de multiplicação de dois números complexos ocorre de acordo
1i
2

Resolução:
)i2()i31(zz 21

  
i55zz
21

Exemplo: Sendo os números complexos e , calcule 21
zz )i31(z1
 )i2(z2

devemos lembrar que
com a regra de multiplicação de binômios, entretanto,

4.4. Conjugado:
"ibaz"  ibaz O conjugado do complexo , a e b reais, é o complexo
Exemplo: i3z24z Determine C, tal quez
Resolução:
Fazendo-se z = a + b.i biaz  , teremos:
i3)i.ba.(24bia 
i).3b2()a2(i).b()4a( 





b3b2
a24a
1be4a 
i4z 
Inverte-se o sinal
da parte imaginária
e

2
1
z
z
0z2

22
21
2
1
zz
zz
z
z



i1zei.31z 21

2
1
z
z
i21
z
z
2
1

4.5. DIVISÃO DE COMPLEXOS:
Exemplo: Sendo os números complexos , calcule o valor de
Resolução:
Para efetuarmos a divisão de dois números complexos ,
num procedimento semelhante à operação
de racionalização de denominadores, ou seja:
utilizaremos o conjugado do denominador
2
1
z
z
)i1()i1(
)i1()i31(


 
2
1
z
z
22
2
)i()1(
)i.(3i41



2
1
z
z
)1(1
)1.(3i41


2
i42
z
z
2
1 

i1
i31
z
z
2
1



Sendo o denominador
na forma ( a + b.i ),
com b  0.

)INn(i
n

4n 
Os resultados de , com o expoente “n” variando,
Para o cálculo da potência I n , com “n” inteiro e
se repetem com um período de quatro.
divide-se n por 4, obtendo-se resto inteiro “r”.
Tem-se então rn
ii 
,
5. POTÊNCIAS DE “ i ”

a) Calcular i10 b) Calcular i53

números complexos
NÚMEROS COMPLEXOS NO PLANO
Assim como os Números Reais, os Números Complexos, também
podem ser representados no plano. O plano para representar os
Números Complexos é chamado de plano complexo ou plano de
Argand-Gauss. O plano complexo associa o ponto (a, b) do plano
ao número complexo a + bi.
O plano recebe este nome em homenagem aos matemáticos, Jean-Robert Argand (1768 –
1822) e Carl Gauss (1777 – 1855), que associaram os números a e b de um número
complexo a coordenadas de um ponto no plano, criando assim uma representação
geométrica para os números complexos.

números complexos
NÚMEROS COMPLEXOS NO PLANO
O número complexo z = a + bi é representado no plano pelo ponto
P de coordenadas (a, b). Dizemos que P é o afixo de z.
b
a eixo real (Re)
P (a, b)
eixo imaginário (Im)
0

números complexos
NÚMERO COMPLEXO COMO UM VETOR
Todo número complexo z = a + bi (não nulo), com a e b reais, pode
ser representado por um vetor de origem no ponto O (0, 0) e
extremidade no ponto P (a, b).
b
a eixo real (Re)
P (a, b) ou z = a + bi
O
PARA LEMBRAR
Vetor é uma entidade matemática
que define grandezas que se
caracterizam por módulo, direção e
sentido, como velocidade e força, por
exemplo. Um vetor é representado
por um segmento de reta orientado.
O módulo é expresso pelo
comprimento do segmento, a direção
é dada pelo ângulo entre a reta
suporte e a horizontal, o sentido é
indicado pela seta.

números complexos
MÓDULO DE UM NÚMERO COMPLEXO
b
a eixo real (Re)
P (a, b) ou z = a + bi
O
Dado o complexo z = a + bi, sendo a e b números reais, denominamos
módulo de z, e indica-se por |z| ou ρ(lê-se: rô), o número real não-
negativo dado por 𝑎2 + 𝑏2.
𝐳 = 𝛒 = 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐
𝛒

números complexos
Exemplos:
Calcular o módulo dos números complexos:
a) z1 = 3 + i
b) z2 =
1
1+i
Resolução:
a) ρ = a2 + b2 ⇒ ρ = ( 3)2+12 ⇒ ρ = 4 ⇒ ρ = 2
b) Neste caso, vamos inicialmente escrever z2 na forma algébrica
(a + bi). Para isso, fazemos (divisão de números complexos):
z2 =
1
1+i
.
1 − i
1−i
⇒z2 =
1 − i
12−i2 . Lembrando que i2 = - 1, temos:
z2=
1 − i
1+1
.⇒z2 =
1 − i
2
ou ainda: z2 =
1
2
-
1
2
i
Finalmente, calculando o módulo de z2, temos:
ρ =
1
2
2
+
1
2
2
⇒ ρ =
1
4
+
1
4
⇒ ρ =
2
4
⇒ ρ =
2
2

números complexos
ARGUMENTO DE UM NÚMERO COMPLEXO
Considerando o número complexo z = a + bi, sendo a e b números
reais, denominamos argumento o número θ (0 ≤ θ < 2π).
z = a + bi

 = arg(z)
a
b

números complexos
DETERMINANDO O ARGUMENTO DE UM NÚMERO COMPLEXO
POR MEIO DA TRIGONOMETRIA
Sendo z = a + bi, o argumento θ (0 ≤ θ < 2π)
pode ser determinado pelas razões:

=arg(z)
O
b
𝒔𝒆𝒏 𝜽 =
𝒃
𝝆
e𝒄𝒐𝒔 𝜽 =
𝒂
𝝆
Você compreendeu o porquê
destas razões trigonométricas?
Observe o triângulo OAP
formado no plano!
Disponívelem
http://commons.wikimedia.org/wi
ki/File:Jonata_Boy_with_headph
one.svg,acessoem02/08/2015
P
A
a

números complexos
Com o que aprendemos até
aqui, já podemos escrever um
número complexo na forma
trigonométrica.
Disponívelem
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Jonata_Boy_w
ith_headphone.svg,acessoem02/08/2015

números complexos
FORMA TRIGONOMÉTRICA OU POLAR DE UM NÚMERO
COMPLEXO
Dado um complexo, não nulo, z = a + bi, sendo
a e b reais, ρ o módulo de z e 𝜽 o argumento
de z, podemos representá-lo na forma:
𝒛 = 𝝆(𝒄𝒐𝒔 𝜽 + 𝒊 𝒔𝒆𝒏 𝜽)
Esta é a forma trigonométrica (ou polar) do
número complexo.
Disponível em
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Jo
nata_Boy_with_headphone.svg, acesso
em 02/08/2015

números complexos
Exemplo:
Um certo número complexo z tem parte real igual a – 2 e parte
imaginária igual a 2. Escreva z na forma trigonométrica.
Resolução:
Forma algébrica de z: z = -2 + 2i. Para representar z na forma trigonométrica, devemos
determinar 𝜌 e 𝜃 :
ρ = a2 + b2 ⇒ ρ = (−2)2+22 ⇒ ρ = 8 ⇒ ρ = 2 2
𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
𝑏
𝜌
⇒ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
2
2 2
⇒ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
2
2
e 𝑐𝑜𝑠 𝜃 =
𝑎
𝜌
= −
2
2 2
⇒ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = −
2
2
.
Qual o ângulo, da primeira volta, com as razões seno e cosseno obtidas?
Então: 𝜃 =135° ou
3𝜋
4
𝑟𝑎𝑑. Forma trigonométrica de z:
z = 𝟐 𝟐 𝐜𝐨𝐬
𝟑𝝅
𝟒
+ 𝒊. 𝒔𝒆𝒏
𝟑𝝅
𝟒
ou ainda: z = 𝟐 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟏𝟑𝟓° + 𝒊. 𝒔𝒆𝒏𝟏𝟑𝟓°

números complexos
Represente no plano de Argand-Gauss o número complexo da questão
anterior, z = - 2 + 2i.
Resolução:
Dos cálculos já realizados temos que:
ρ = 2 2 e 𝜃 =135° ou
3𝜋
4
𝑟𝑎𝑑.
Também, sabemos que z no plano é representado pelo par ordenado (-2, 2),
afixo P. Assim:
APLICAÇÃO 1
=arg(z)
- 2
Im
Re
2
P
0

números complexos
Dado o número complexo z = 𝐜𝐨𝐬
𝝅
𝟐
+ 𝒊. 𝒔𝒆𝒏
𝝅
𝟐
, qual a forma
algébrica de z?
Resolução:
Para escrever z na forma algébrica é preciso identificar o valor de a e de
b, o que pode ser feito determinando as razões trigonométricas. Assim:
z = cos
𝜋
2
+ 𝑖. 𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
⇒ z = 0 + i. 1 ⇒ z = i
Resposta: A forma algébrica de z é z = i
APLICAÇÃO 2

números complexos
Sabendo que um número complexo w tem módulo igual a 20
e argumento igual a
𝜋
3
rad (ou 60°). Escreva a forma algébrica
de w.
Resposta: w = 10 + 10 3𝑖
APLICAÇÃO 3

números complexos
Escreva a forma algébrica do número complexo z, sabendo
que z =2 cos
3𝜋
4
+ 𝑖. 𝑠𝑒𝑛
3𝜋
4
.
Resposta: z = - 2 + 𝑖 2
APLICAÇÃO 4

números complexos
A Professora Eduarda passou a seguinte questão para
os seus alunos:
Qual resposta você daria a esta questão?
Resposta: w= cos 𝝅 + i sen𝝅
APLICAÇÃO 5
Escreva na forma trigonométrica o número
𝑣 = 𝑖 + 𝑖2
+ 𝑖3
+ 𝑖4
+ … + 𝑖51

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