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 Proporção. Regra de três simples
 Constante de proporcionalidade
 Proporcionalidade direta como função:
  •Expressão algébrica
  •Representação gráfica
É uma relação numérica estabelecida com um
    objeto. Assim, a altura de uma árvore, o
 volume de um tanque, o peso de um corpo, a
 quantidade pães, entre outros, são grandezas.
 Grandeza é tudo que você pode contar, medir,
            pesar, enfim, enumerar.
RAZÃO



Dados dois números a e b, com b ≠ 0, a razão entre a
e b representa-se por:

       a   ou   a :b   e lê-se razão de a para b.
       b
Razão é uma relação entre os valores correspondentes
                 de duas grandezas
a      Antecedente
 Termos
                b      Consequente



Antecedente   a: b     Consequente

              Termos
PROPORÇÃO

    Definição:

Uma proporção é uma igualdade entre duas razões.


a=c                         lê-se
b d      “a está para b assim como c está para d”…

…onde a, b, c e d são os termos da proporção: a e d
são extremos e b e c são os meios.
PROPRIEDADE DAS PROPORÇÕES

Numa proporção o produto dos meios é igual
ao produto dos extremos.




      2               4         3 X 4 = 12

               X
      3               6         2 X 6 = 12
Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente
proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é
igual a razão entre os valores correspondentes da 2ª
Dadas duas grandezas x e y, diz-se que y é diretamente proporcional a x:
                              y
se x 0 e y 0 e o quociente    entre dois quaisquer valores correspondentes
for constante.             x

Esse número chama-se constante de proporcionalidade.            y
 se x = 0 também y = 0.
                                                                   =K
                                                                x
  Exemplo:           x        1            2       3    4
                     y        3            6       9    12

                    3             6            9            12
                         =3           =3           =3            =3
                    1             2            3             4

       x e y são diretamente proporcionais e a constante de
                       proporcionalidade é 3.
A Lara demorou 2 horas a ler 16 páginas de um livro.

Quanto tempo demorará a ler 48 páginas, supondo que
continuará a ler ao mesmo ritmo?




   Resposta: Demorará 6 horas a ler 48 páginas
A mãe da Lara abasteceu o carro com 5 litros e pagou 6,5 euros. Se ela encher o
depósito do carro com 45 litros, quanto é que vai pagar?




           Resposta: Vai pagar 58,5€.
A Lara comprou no inicio do ano escolar um estojo de Lápis de Cor. Com o tempo,
alguns lápis ficaram mais gastos que outros. Foi então necessário comprar os lápis
que se tinham gasto mais. Na papelaria da escola, havia a seguinte tabela de preços:




  Sabendo que a Lara precisa de comprar 11 lápis de cor, indica quanto
  é que ela vai pagar.
                                    0,5 € é a constante de proporcionalidade. As
                                    duas grandezas - Preço e o nº de lápis - são
                                    diretamente proporcionais. O preço de cada
                                    lápis é 0,5 €

     11x0,5 €= 5,5 €

     Resposta: a Lara vai pagar 5,5€ pelos lápis.
Observa a tabela onde estão registadas algumas das alturas do Bruno
quando era mais pequeno. Consegues prever qual a altura do Bruno
quando tiver 8 anos? Justifica.




  Através da tabela verifica-se que não há um valor constante entre os
  valores da altura e da idade, ou seja, não existe a constante de
  proporcionalidade. As duas grandezas não são diretamente proporcional.
Quando duas grandezas são diretamente proporcionais, os
pontos do gráfico encontram-se sobre uma reta que passa
pela origem do referencial.



      É uma função?
Sim, porque a cada
valor de x corresponde
 um único valor de y.
A tabela seguinte mostra como
    varia a despesa semanal em função
    do número de gelados comprados:

     Nº de gelados           1       2        3       4       5
Despesa semanal (€)          2       4        6       8      10

Observando a tabela podemos concluir que, à medida que o número de
gelados aumenta, aumenta também a despesa semanal. Assim, se
duplicarmos o número de gelados a despesa duplica; de igual modo, se
triplicarmos o número de gelados triplicamos a despesa e assim
sucessivamente.
Nº de gelados (x)      1   2   3    4     5
Despesa semanal (€) (y)   2   4   6    8     10




 Concluímos que este tem sempre o mesmo valor.
Nº de gelados (x)      1     2      3      4     5
Despesa semanal (€) (y)   2     4      6      8     10

Podemos afirmar que a relação existente entre as variáveis
Número de gelados e Despesa semanal é uma relação de
proporcionalidade direta pois o quociente entre o valor da
despesa e o número de gelados correspondente é constante.
Nº de gelados (x)        1      2      3      4       5
Despesa semanal (€) (y)     2      4      6      8       10




  y
      =k   em que k é a constante de proporcionalidade
  x

  y
      =k   y=kx        expressão algébrica de uma função de
  x                    proporcionalidade direta
Como se pode observar os
pontos do gráfico estão
alinhados segundo uma linha
reta à qual pertence a origem
do referencial cartesiano, o
ponto de coordenadas (0,0).




   Numa situação de proporcionalidade direta a imagem de 1 é a
   constante de proporcionalidade.
Toda a função f que se pode representar por
                      y = k x, com k ≠ 0
ou, com o mesmo significado
                     f(x) = k x, com k ≠ 0
traduz uma situação de proporcionalidade direta em que:
     k é a constante de proporcionalidade;
     k é a imagem de 1 por meio de f: f (1) = k.

O seu gráfico é um conjunto de pontos situados sobre uma
reta que passa pela origem do referencial.
Um     gráfico    representa    uma     função      de
proporcionalidade direta, ou função linear, se os seus
pontos estão alinhados sobre uma reta à qual pertence
a origem do referencial.
Quanto maior for o valor de k, em valor absoluto, maior é a
inclinação da reta (mais perto está da posição vertical).




Quanto maior for o valor de         Quanto menor for o valor
k (k>0) maior é a inclinação          de k (k<0) maior é a
         da reta.                      inclinação da reta.

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Proporcionalidade direta

  • 1.  Proporção. Regra de três simples  Constante de proporcionalidade  Proporcionalidade direta como função: •Expressão algébrica •Representação gráfica
  • 2. É uma relação numérica estabelecida com um objeto. Assim, a altura de uma árvore, o volume de um tanque, o peso de um corpo, a quantidade pães, entre outros, são grandezas. Grandeza é tudo que você pode contar, medir, pesar, enfim, enumerar.
  • 3. RAZÃO Dados dois números a e b, com b ≠ 0, a razão entre a e b representa-se por: a ou a :b e lê-se razão de a para b. b
  • 4. Razão é uma relação entre os valores correspondentes de duas grandezas
  • 5. a Antecedente Termos b Consequente Antecedente a: b Consequente Termos
  • 6. PROPORÇÃO Definição: Uma proporção é uma igualdade entre duas razões. a=c lê-se b d “a está para b assim como c está para d”… …onde a, b, c e d são os termos da proporção: a e d são extremos e b e c são os meios.
  • 7. PROPRIEDADE DAS PROPORÇÕES Numa proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. 2 4 3 X 4 = 12 X 3 6 2 X 6 = 12
  • 8. Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual a razão entre os valores correspondentes da 2ª
  • 9. Dadas duas grandezas x e y, diz-se que y é diretamente proporcional a x: y se x 0 e y 0 e o quociente entre dois quaisquer valores correspondentes for constante. x Esse número chama-se constante de proporcionalidade. y  se x = 0 também y = 0. =K x Exemplo: x 1 2 3 4 y 3 6 9 12 3 6 9 12 =3 =3 =3 =3 1 2 3 4 x e y são diretamente proporcionais e a constante de proporcionalidade é 3.
  • 10.
  • 11. A Lara demorou 2 horas a ler 16 páginas de um livro. Quanto tempo demorará a ler 48 páginas, supondo que continuará a ler ao mesmo ritmo? Resposta: Demorará 6 horas a ler 48 páginas
  • 12. A mãe da Lara abasteceu o carro com 5 litros e pagou 6,5 euros. Se ela encher o depósito do carro com 45 litros, quanto é que vai pagar? Resposta: Vai pagar 58,5€.
  • 13. A Lara comprou no inicio do ano escolar um estojo de Lápis de Cor. Com o tempo, alguns lápis ficaram mais gastos que outros. Foi então necessário comprar os lápis que se tinham gasto mais. Na papelaria da escola, havia a seguinte tabela de preços: Sabendo que a Lara precisa de comprar 11 lápis de cor, indica quanto é que ela vai pagar. 0,5 € é a constante de proporcionalidade. As duas grandezas - Preço e o nº de lápis - são diretamente proporcionais. O preço de cada lápis é 0,5 € 11x0,5 €= 5,5 € Resposta: a Lara vai pagar 5,5€ pelos lápis.
  • 14. Observa a tabela onde estão registadas algumas das alturas do Bruno quando era mais pequeno. Consegues prever qual a altura do Bruno quando tiver 8 anos? Justifica. Através da tabela verifica-se que não há um valor constante entre os valores da altura e da idade, ou seja, não existe a constante de proporcionalidade. As duas grandezas não são diretamente proporcional.
  • 15. Quando duas grandezas são diretamente proporcionais, os pontos do gráfico encontram-se sobre uma reta que passa pela origem do referencial. É uma função?
  • 16. Sim, porque a cada valor de x corresponde um único valor de y.
  • 17. A tabela seguinte mostra como varia a despesa semanal em função do número de gelados comprados: Nº de gelados 1 2 3 4 5 Despesa semanal (€) 2 4 6 8 10 Observando a tabela podemos concluir que, à medida que o número de gelados aumenta, aumenta também a despesa semanal. Assim, se duplicarmos o número de gelados a despesa duplica; de igual modo, se triplicarmos o número de gelados triplicamos a despesa e assim sucessivamente.
  • 18. Nº de gelados (x) 1 2 3 4 5 Despesa semanal (€) (y) 2 4 6 8 10 Concluímos que este tem sempre o mesmo valor.
  • 19. Nº de gelados (x) 1 2 3 4 5 Despesa semanal (€) (y) 2 4 6 8 10 Podemos afirmar que a relação existente entre as variáveis Número de gelados e Despesa semanal é uma relação de proporcionalidade direta pois o quociente entre o valor da despesa e o número de gelados correspondente é constante.
  • 20. Nº de gelados (x) 1 2 3 4 5 Despesa semanal (€) (y) 2 4 6 8 10 y =k em que k é a constante de proporcionalidade x y =k y=kx expressão algébrica de uma função de x proporcionalidade direta
  • 21. Como se pode observar os pontos do gráfico estão alinhados segundo uma linha reta à qual pertence a origem do referencial cartesiano, o ponto de coordenadas (0,0). Numa situação de proporcionalidade direta a imagem de 1 é a constante de proporcionalidade.
  • 22. Toda a função f que se pode representar por y = k x, com k ≠ 0 ou, com o mesmo significado f(x) = k x, com k ≠ 0 traduz uma situação de proporcionalidade direta em que:  k é a constante de proporcionalidade;  k é a imagem de 1 por meio de f: f (1) = k. O seu gráfico é um conjunto de pontos situados sobre uma reta que passa pela origem do referencial.
  • 23. Um gráfico representa uma função de proporcionalidade direta, ou função linear, se os seus pontos estão alinhados sobre uma reta à qual pertence a origem do referencial.
  • 24. Quanto maior for o valor de k, em valor absoluto, maior é a inclinação da reta (mais perto está da posição vertical). Quanto maior for o valor de Quanto menor for o valor k (k>0) maior é a inclinação de k (k<0) maior é a da reta. inclinação da reta.