1. Equações do 2.º Grau

2. Entre os vários tipos de equações, encontram-se as equações do 2.º grau com uma incógnita, com as quais já tomámos contacto no 8.º ano, mas, apenas em algumas das formas que estas equações podem tomar. O que se pretende neste capítulo é estudar a resolução de qualquer tipo de equações do 2.º grau com uma incógnita, escolhendo a maneira mais adequada de o fazer.

3. Problema: O campo de jogos da nossa escola tem 2800 m 2 de área. Determina as dimensões do campo de futebol.

4. A equação que permite determinar o comprimento e a largura é

6. Quando a equação está escrita na forma canónica, dizemos que: é o termo de grau 2 e a o seu coeficiente em x (de grau 1) e b o seu coeficiente independente (de grau zero) é o termo é o termo Assim, e voltando ao nosso problema, temos que é uma equação do 2.º grau, em que:  a= 1 coeficiente do termo de grau 2 ou do 2.º grau;  b=30, coeficiente do termo de grau 1;  c=-2800, coeficiente do termo de grau zero ou termo independente.

7. Exemplos: x 2 - 5x + 6 = 0 , onde a = 1, b = -5 e c = 6. 7x 2 - x = 0 , onde a = 7, b = -1 e c = 0. - x 2 - 36 = 0 , onde a = -1, b = 0 e c = -36. Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero (porque para ser do segundo grau o valor de a tem de ser sempre diferente de zero). A equação que dá resposta ao nosso problema diz-se completa , porque tem os 3 termos (2.º, 1.º e grau 0).

10. Resolução de Equações Incompletas Equações incompletas do tipo Exemplos: De uma forma geral a solução deste tipo de equações é zero.

12. Exemplos: Se x є R , y є R , x² = y x = √ y ou x = - √ y

13. Equações incompletas do tipo Equações da forma: ax² +bx = 0, (c = 0) A equação do tipo ax² +bx = 0 tem como soluções: x = 0 e x = - b/a

14. Exemplos: Primeiro: Forma canónica; Segundo: Factorização do polinómio; Terceiro: LAP

16. Equações de 2.º grau completas Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero. Denomina-se equação do 2º grau, na incógnita x , toda equação da forma: a x 2 + b x + c=0 ; a ≠ 0. Observa que: a representa o coeficiente de x²; b representa o coeficiente de x; c representa o termo independente. Exemplos: x 2 - 5x + 6 = 0 , onde a = 1, b = -5 e c = 6. 7x 2 – x-10 = 0 , onde a = 7, b = -1 e c =-10. x 2 - 36 = 0 , onde a = 1, b = 0 e c = -36. Incompleta Reparem que nas eq. completas b e c são diferentes de zero.

20. Fórmula resolvente das equações do 2.º grau Em que: a é o coeficiente do termo de grau 2 . b é o coeficiente do termo de grau 1 . c é o coeficiente do termo independente .

21. Nota: S ó se pode aplicar a f ó rmula resolvente quanto uma equa ç ão do 2. º grau est á na forma can ó nica. Exemplo: 1. º Colocar a equa ç ão na forma can ó nica (não est á na forma can ó nica porque o 2. º membro não é zero)

22. Equa ç ões do 2.º grau em que o 1. º membro é o desenvolvimento do quadrado de um bin ó mio Se conseguirmos identificar estes casos, não precisamos de aplicar a fórmula resolvente. Repara: Surgiram duas solu ç ões (ou ra í zes) iguais. Diz-se que -3 é uma solu ç ão ou raiz dupla .

23. Equa ç ões em que o 1. º membro não é o desenvolvimento do quadrado de um bin ó mio, como no primeiro caso que resolvemos, encontram-se as raízes, aplicando a fórmula resolvente. Nota: É possível resolver sempre qualquer equação do 2.º grau , completa ou incompleta , pela fórmula resolvente.

24. Mas, é muito mais simples, resolver aplicando de imediato, a definição da raiz quadrada: É óbvio que:

27. NÚMERO DE SOLUÇÕES DE UMA EQUAÇÃO DO 2.º GRAU Resolve, utilizando a f ó rmula resolvente, cada uma das seguintes equa ç ões. A equação tem duas raízes diferentes. A equação tem uma raiz dupla ou duas raízes iguais. A equação não tem solução. É impossível em R . S={ } Como não há nenhum número real que elevado ao quadrado dê um número negativo, a ex- pressão não tem significado em R.

30. Δ > O Δ = O Δ < O O valor de √ Δ é real e a equação tem duas raízes reais diferentes , assim representadas: O valor de √ Δ é nulo e a equação tem duas raízes reais e iguais (solução dupla) , assim representadas: O valor de √ Δ não existe em IR , não existindo, portanto, raízes reais. Em R a equação é impossível S= As raízes da equação são número complexos .

31. Se, dada uma determinada equa ç ão, pretendermos saber apenas o n ú mero de solu ç ões (e não necessariamente quais as solu ç ões), basta determinar o bin ó mio discriminante. Δ = b 2 - 4ac

32. Gráfico de uma equação do 2.º grau A representa ç ão gr á fica de uma equa ç ão do 2. º grau é uma curva que se denomina par á bola.

33. Relações entre os Coeficientes e as Raízes 1ª Relação: Soma das Raízes ( S ) Concretamente:

34. 2ª Relação: Produto das Raízes ( P ) Mas como , podemos escrever:

35. Concretamente:

38. Exemplos: Somando (S) as duas soluções vem -8 + 5 = -3 Fazendo o produto (P) obtemos Comparemos agora os valores obtidos com a nossa equa ç ão inicial. . S=-b/a P=c/a

39. Vejamos ainda um outro exemplo : CS= {-1, 2} S= 1 P=-2 Neste caso verificamos que, Podemos então concluir: Numa equação do 2.º grau, temos que a soma das soluções é igual a e o produto é igual a .

42. Resolve mentalmente a equa ç ão S = 0 P = - 9/4 É necess á rio descobrir dois n ú meros cujo produto dê -9/4 e a soma dê 0. Assim: S = Exercício:

43. Resolu ç ão de problemas que envolvem equa ç ões do 2. º grau.

44. Existem numerosos e variad í ssimos problemas que se traduzem matematicamente por equa ç ões do 2. º grau, cuja resolu ç ão permite, portanto, encontrar as respostas procuradas. Chamam-se por isso problemas do 2. º grau. Recordemos como se equaciona um problema e de que forma se pode resolver. PROBLEMA EQUAÇÃO SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO ANÁLISE DAS SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO NO CONTEXTO DO PROBLEMA SOLUÇÕES DO PROBLEMA

45. A Rita é três anos mais nova que a sua irmã e o produto das suas idades é 18. Quantos anos tem a Rita? Exemplo 1 Resolução: Traduzindo em linguagem matemática, vem: Idade da Rita- Idade da irmã da Rita- ou Idade da Rita- Idade da irmã da Rita- Equacionando o problema e resolvendo a equação: A equação tem duas soluções, mas apenas uma é solução do problema, atendendo que a idade da Rita só pode ser 3. R.: A Rita tem 3 anos e a irmã tem 6 anos.

46. Exemplo 2 De um campo de voleibol sabemos que o seu perímetro mede 27 metros e a sua área mede 40,5 metros quadrados. Quais são as dimensões do campo? Resolução: Traduzindo para linguagem matemática, vem: Largura- Comprimento: y Perímetro: Área: R.: As dimensões do camp o de voleibol são 4,5 por 9 metros.

47. Problema do caderno de actividades página 80. 23. A figura representa a trajectória de um foguete que o Jorge lançou no arraial de S. João. 23.1 Qual foi a altura máxima atingida pelo foguete? 23.2 A que altura se encontrava o foguete decorridos 2 segundos? E 10 segundos? 23.4 Onde se encontrava o foguete nos instantes t=0 e t=12? 23.5 Sabendo que a atura atingida pelo foguete é dada pela expressão , confirma, analiticamente, o momento de chegada ao solo. 23.3 Qual o valor de h(0)? Explica o significado da afirmação: «h(t)=0 quando t=0.»

48. 30. Num referencial ortonormado xOy, está representada parte do gráfico da função: No mesmo referencial está também representado um triângulo [ABC], cujos vértices pertencem ao gráfico da função f. Determina a área do triângulo [ABC].

49. 9. Um campeão de saltos de trampolim, decide preparar uma série de saltos para uma competição. A figura mostra um desses saltos cuja trajectória é dada pela expressão (h em metros e t em segundos). 9.1 Determina a altura do topo da prancha até ao solo. 9.2 Determina o instante em que o campeão penetra na água. 9.3 A que altura do solo está o atleta ao fim de 2 segundos?

51. 31. Um fio encontra-se suspenso entre dois postes. A distância entre ambos é de 18 metros. Considera a função f definida por: Admite que f(x) é a distância do solo, em metros, do ponto do fio situado a y metros à direita do 1.º poste. 31.1 Mostra que a altura do 1.º poste é 5 metros e a altura do 2.º poste é 14 metros. 31.2 Calcula o valor de y, sabendo que o ponto do fio correspondente está à mesma altura do solo que o primeiro poste.