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Equações   do 2.º Grau
Entre os vários tipos de equações, encontram-se as equações do 2.º grau com uma  incógnita, com as quais já tomámos contacto no 8.º ano, mas, apenas em algumas das formas que estas equações podem tomar. O que se pretende neste capítulo é estudar a resolução de qualquer tipo de equações do 2.º grau com uma incógnita, escolhendo a maneira  mais adequada  de o fazer.
Problema: O campo de jogos da nossa escola tem 2800 m 2  de área.  Determina as dimensões do campo de futebol.
A equação que permite determinar o comprimento e a largura é
Temos assim uma equação e neste caso, mais exactamente, uma equação do 2.º grau, já que  o maior expoente da incógnita é 2. Chamamos equação do 2.º grau com uma incógnita a toda a expressão que se possa escrever na forma: À forma  ,  chamamos  forma canónica . ,[object Object],[object Object],Uma  equação está escrita na forma canónica  quando: - o 1.º membro é um polinómio reduzido; - o 2.º membro é zero.
Quando a equação está escrita na forma canónica, dizemos que: é o termo  de grau 2 e  a  o seu coeficiente  em x (de grau 1) e  b  o seu coeficiente independente (de grau zero) é o termo  é o termo  Assim, e voltando ao nosso problema, temos que  é uma equação do 2.º grau, em que:    a= 1 coeficiente do termo de grau 2 ou do 2.º grau;    b=30, coeficiente do termo de grau 1;    c=-2800, coeficiente do termo de grau zero ou termo independente.
Exemplos: x 2  - 5x + 6 = 0 , onde  a  = 1,  b  = -5 e  c  = 6.  7x 2  - x = 0 , onde  a   = 7,  b  = -1 e  c  = 0.  - x 2  - 36 = 0 , onde  a  = -1,  b   = 0 e  c  = -36.  Uma equação do 2º grau é  completa  quando  b  e  c  são diferentes de zero (porque para ser do segundo grau o valor de  a  tem de ser sempre diferente de zero).  A equação que dá resposta ao nosso problema  diz-se completa , porque tem os 3 termos (2.º, 1.º e grau 0).
[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]
Raízes de uma Equação do 2º Grau   ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]
Resolução de Equações Incompletas   Equações incompletas do tipo  Exemplos: De uma forma geral a solução deste tipo de equações é zero.
Equações incompletas do tipo  ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Equação possível Equação impossível
Exemplos: Se  x  є  R ,  y  є  R  ,  x²  =  y   x  =  √ y   ou  x  = - √ y
Equações incompletas do tipo  Equações da forma:  ax² +bx = 0, (c = 0) A equação do tipo ax² +bx = 0 tem como soluções: x = 0 e x = - b/a
Exemplos: Primeiro: Forma canónica; Segundo: Factorização  do polinómio; Terceiro: LAP
 
Equações de 2.º grau completas Uma equação do 2º grau é  completa  quando b e c são diferentes de zero.  Denomina-se equação do 2º grau, na incógnita  x , toda equação da forma:  a x 2  +  b x +  c=0 ;  a  ≠ 0. Observa que: a  representa o coeficiente de  x²; b  representa o coeficiente de x; c  representa o termo independente. Exemplos: x 2  - 5x + 6 = 0 ,  onde  a  = 1,  b  = -5 e  c  = 6. 7x 2  – x-10 = 0 , onde  a   = 7,  b  = -1 e  c  =-10.  x 2  - 36 = 0 , onde  a  = 1,  b   = 0 e  c  = -36.  Incompleta Reparem que nas eq. completas b e c são diferentes de zero.
Resolução de Equações Completas Fórmula de Bhaskara ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]
Fórmula de Bhaskara ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]
Fórmula de Bhaskara ,[object Object],[object Object]
Fórmula resolvente das equações do 2.º grau Em que: a  é o coeficiente do  termo de grau 2 . b  é o coeficiente do  termo de grau 1 . c  é o coeficiente do  termo independente .
Nota:  S ó  se pode aplicar a f ó rmula resolvente quanto uma equa ç ão do 2. º  grau est á  na forma can ó nica. Exemplo: 1. º  Colocar a equa ç ão na forma can ó nica (não est á  na forma can ó nica porque o 2. º  membro não  é  zero)
Equa ç ões do 2.º grau em que o 1. º  membro  é  o desenvolvimento do  quadrado de um bin ó mio Se conseguirmos identificar estes casos, não precisamos de aplicar a fórmula resolvente. Repara: Surgiram duas solu ç ões (ou ra í zes) iguais. Diz-se que -3  é  uma  solu ç ão   ou   raiz   dupla .
Equa ç ões em que o 1. º  membro não  é  o desenvolvimento do quadrado de um bin ó mio, como no primeiro caso que resolvemos, encontram-se as raízes, aplicando a fórmula resolvente. Nota:  É possível resolver sempre qualquer equação do 2.º grau , completa ou incompleta , pela fórmula resolvente.
Mas, é muito mais simples, resolver aplicando de imediato, a definição da raiz quadrada: É óbvio que:
Então: e C.A. ,[object Object],56  2 28  2 14  2 7  7 1 Logo:
[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]
NÚMERO DE SOLUÇÕES DE UMA EQUAÇÃO DO 2.º GRAU Resolve, utilizando a f ó rmula resolvente, cada uma das seguintes equa ç ões.   A equação tem duas raízes diferentes. A equação tem uma raiz dupla ou duas raízes iguais. A equação não  tem solução. É impossível em  R .  S={  } Como não há nenhum número real que elevado ao quadrado  dê um número negativo, a ex- pressão  não tem significado em R.
Uma equação do 2.º grau pode portanto, ter  2 soluções diferentes ,  1 solução  (ou duas soluções iguais)  ou  não ter soluções.  Observando a resolução destas equações podemos verificar que o número de soluções depende do  cálculo da raiz. Sem resolver a equação, como podemos saber o número de raízes?  Se pensarmos que na f ó rmula resolvente,  , verificamos que a expressão que determina o número de raízes de uma equação, é: ,[object Object],[object Object]
[object Object],[object Object],[object Object],1º Caso:  Se Δ > 0, a equação tem duas soluções diferentes. 2º Caso:  Se Δ = 0, a equação duas soluções iguais, (raiz dupla). 3º Caso:  Se Δ < 0, a equação não tem raízes.  Equação impossível em R.
Δ > O   Δ = O   Δ < O   O valor de √ Δ é  real  e a equação tem  duas raízes reais  diferentes , assim representadas: O valor de √ Δ  é nulo  e a equação  tem  duas raízes reais  e iguais (solução dupla) , assim representadas: O valor de √ Δ não existe em  IR , não existindo, portanto, raízes reais. Em R a equação é impossível S= As raízes da equação são  número complexos .
Se, dada uma determinada equa ç ão, pretendermos saber apenas o n ú mero de solu ç ões (e não necessariamente quais as solu ç ões), basta determinar o bin ó mio discriminante. Δ = b 2  - 4ac
Gráfico de uma equação do 2.º grau A representa ç ão gr á fica de uma equa ç ão do 2. º  grau  é  uma curva  que se denomina par á bola.
Relações entre os Coeficientes e as Raízes 1ª Relação: Soma das Raízes ( S ) Concretamente:
2ª Relação: Produto das Raízes ( P ) Mas como  , podemos escrever:
Concretamente:
Relações entre os Coeficientes e as Raízes ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]
Composição de uma Equação do 2º Grau, conhecidas as Raízes  ,[object Object],[object Object],Como:  S =-b/a  e   P = c/a, podemos escrever a equação desta maneira: x 2  - Sx + P = 0   Para que serve tudo isto? O conhecimento destas rela ções  permite-nos rapidamente escrever  uma equa ç ão conhecidas as suas solu ç ões e resolver mentalmente  algumas equa ç ões.
Exemplos: Somando (S) as duas soluções vem -8 + 5 =  -3 Fazendo o produto (P) obtemos  Comparemos agora os valores obtidos com a nossa equa ç ão inicial. . S=-b/a P=c/a
Vejamos ainda um  outro exemplo : CS= {-1, 2} S= 1 P=-2 Neste caso verificamos que, Podemos então concluir:  Numa equação do 2.º grau,  temos que a soma das soluções é igual a  e o produto é igual a  .
[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Exercício:
Escreve uma equação cuja: Exercício: a)  solu ç ão seja 5 e 10. S = 15 P = 50 Então,  ,[object Object],S = -11/2 P = -3 Então:
Resolve mentalmente a equa ç ão  S = 0  P = - 9/4 É  necess á rio descobrir dois n ú meros cujo produto dê -9/4 e a soma dê 0. Assim:  S =  Exercício:
Resolu ç ão de problemas  que envolvem equa ç ões do 2. º  grau.
  Existem numerosos e variad í ssimos problemas que se traduzem  matematicamente  por equa ç ões do 2. º  grau, cuja resolu ç ão permite, portanto,  encontrar as respostas procuradas. Chamam-se por isso problemas do 2. º  grau. Recordemos como se equaciona um problema e de que forma se pode resolver. PROBLEMA EQUAÇÃO SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO ANÁLISE DAS SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO NO CONTEXTO DO PROBLEMA SOLUÇÕES DO PROBLEMA
A Rita é três anos mais nova que a sua irmã e o produto das suas idades é 18. Quantos anos tem a Rita? Exemplo 1 Resolução: Traduzindo em linguagem matemática, vem: Idade da Rita-  Idade da irmã da Rita-  ou Idade da Rita-  Idade da irmã da Rita-  Equacionando o problema e resolvendo a equação: A equação tem duas soluções, mas  apenas uma  é solução do problema, atendendo que a idade da Rita só pode ser  3. R.: A Rita tem 3 anos e a irmã tem 6 anos.
Exemplo 2  De um campo de voleibol sabemos que o seu perímetro mede 27 metros e a sua área mede 40,5 metros quadrados. Quais são as dimensões do campo? Resolução: Traduzindo para linguagem matemática, vem: Largura- Comprimento:  y   Perímetro: Área:  R.: As dimensões do camp o de voleibol são 4,5 por 9 metros.
Problema do caderno de actividades página 80. 23. A figura representa a trajectória de um foguete que o Jorge lançou no arraial de S. João. 23.1 Qual foi a altura máxima atingida pelo foguete? 23.2 A que altura se encontrava o foguete decorridos 2 segundos? E 10 segundos? 23.4 Onde se encontrava o foguete nos instantes t=0 e t=12? 23.5 Sabendo que a atura atingida pelo foguete é dada pela expressão  , confirma, analiticamente, o momento de chegada ao solo. 23.3 Qual o valor de h(0)? Explica o significado da afirmação: «h(t)=0 quando t=0.»
30. Num referencial ortonormado  xOy, está representada parte do gráfico da função: No mesmo referencial está também representado um triângulo [ABC], cujos vértices pertencem ao gráfico da função f. Determina a área do triângulo [ABC].
9. Um campeão de saltos de trampolim, decide preparar uma série de saltos para uma competição. A figura mostra um desses saltos cuja trajectória é dada pela expressão (h em metros e t em segundos).  9.1 Determina a altura  do topo da prancha  até ao solo. 9.2 Determina o instante em que o campeão penetra na água. 9.3 A que altura do solo está o atleta ao fim de 2 segundos?
32. A Rita saiu de casa para visitar a avó. A distância d, em quilómetros, que a Rita tem de percorrer para chegar à casa da avó, t horas após ter iniciado a caminhada é dada pela expressão: ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]
31. Um fio encontra-se suspenso entre dois postes. A distância entre ambos é de 18 metros.  Considera a função f definida por: Admite que f(x) é a distância do solo, em metros, do ponto do fio situado a y metros à direita do 1.º poste.  31.1 Mostra que a altura do 1.º poste é 5 metros e a altura do 2.º poste é 14 metros. 31.2 Calcula o valor de y, sabendo que o ponto do fio correspondente está à mesma altura do solo que o primeiro poste.

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Equações de 2o Grau: Resolução e Relações

  • 1. Equações do 2.º Grau
  • 2. Entre os vários tipos de equações, encontram-se as equações do 2.º grau com uma incógnita, com as quais já tomámos contacto no 8.º ano, mas, apenas em algumas das formas que estas equações podem tomar. O que se pretende neste capítulo é estudar a resolução de qualquer tipo de equações do 2.º grau com uma incógnita, escolhendo a maneira mais adequada de o fazer.
  • 3. Problema: O campo de jogos da nossa escola tem 2800 m 2 de área. Determina as dimensões do campo de futebol.
  • 4. A equação que permite determinar o comprimento e a largura é
  • 5.
  • 6. Quando a equação está escrita na forma canónica, dizemos que: é o termo de grau 2 e a o seu coeficiente em x (de grau 1) e b o seu coeficiente independente (de grau zero) é o termo é o termo Assim, e voltando ao nosso problema, temos que é uma equação do 2.º grau, em que:  a= 1 coeficiente do termo de grau 2 ou do 2.º grau;  b=30, coeficiente do termo de grau 1;  c=-2800, coeficiente do termo de grau zero ou termo independente.
  • 7. Exemplos: x 2 - 5x + 6 = 0 , onde a = 1,  b = -5 e  c = 6. 7x 2 - x = 0 , onde a = 7,  b = -1 e  c = 0. - x 2 - 36 = 0 , onde a = -1,  b = 0 e  c = -36. Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero (porque para ser do segundo grau o valor de a tem de ser sempre diferente de zero). A equação que dá resposta ao nosso problema diz-se completa , porque tem os 3 termos (2.º, 1.º e grau 0).
  • 8.
  • 9.
  • 10. Resolução de Equações Incompletas Equações incompletas do tipo Exemplos: De uma forma geral a solução deste tipo de equações é zero.
  • 11.
  • 12. Exemplos: Se x є R , y є R , x² = y x = √ y ou x = - √ y
  • 13. Equações incompletas do tipo Equações da forma: ax² +bx = 0, (c = 0) A equação do tipo ax² +bx = 0 tem como soluções: x = 0 e x = - b/a
  • 14. Exemplos: Primeiro: Forma canónica; Segundo: Factorização do polinómio; Terceiro: LAP
  • 15.  
  • 16. Equações de 2.º grau completas Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero. Denomina-se equação do 2º grau, na incógnita x , toda equação da forma: a x 2 + b x + c=0 ; a ≠ 0. Observa que: a  representa o coeficiente de  x²; b  representa o coeficiente de x; c  representa o termo independente. Exemplos: x 2 - 5x + 6 = 0 , onde a = 1,  b = -5 e  c = 6. 7x 2 – x-10 = 0 , onde a = 7,  b = -1 e  c =-10. x 2 - 36 = 0 , onde a = 1,  b = 0 e  c = -36. Incompleta Reparem que nas eq. completas b e c são diferentes de zero.
  • 17.
  • 18.
  • 19.
  • 20. Fórmula resolvente das equações do 2.º grau Em que: a é o coeficiente do termo de grau 2 . b é o coeficiente do termo de grau 1 . c é o coeficiente do termo independente .
  • 21. Nota: S ó se pode aplicar a f ó rmula resolvente quanto uma equa ç ão do 2. º grau est á na forma can ó nica. Exemplo: 1. º Colocar a equa ç ão na forma can ó nica (não est á na forma can ó nica porque o 2. º membro não é zero)
  • 22. Equa ç ões do 2.º grau em que o 1. º membro é o desenvolvimento do quadrado de um bin ó mio Se conseguirmos identificar estes casos, não precisamos de aplicar a fórmula resolvente. Repara: Surgiram duas solu ç ões (ou ra í zes) iguais. Diz-se que -3 é uma solu ç ão ou raiz dupla .
  • 23. Equa ç ões em que o 1. º membro não é o desenvolvimento do quadrado de um bin ó mio, como no primeiro caso que resolvemos, encontram-se as raízes, aplicando a fórmula resolvente. Nota: É possível resolver sempre qualquer equação do 2.º grau , completa ou incompleta , pela fórmula resolvente.
  • 24. Mas, é muito mais simples, resolver aplicando de imediato, a definição da raiz quadrada: É óbvio que:
  • 25.
  • 26.
  • 27. NÚMERO DE SOLUÇÕES DE UMA EQUAÇÃO DO 2.º GRAU Resolve, utilizando a f ó rmula resolvente, cada uma das seguintes equa ç ões. A equação tem duas raízes diferentes. A equação tem uma raiz dupla ou duas raízes iguais. A equação não tem solução. É impossível em R . S={ } Como não há nenhum número real que elevado ao quadrado dê um número negativo, a ex- pressão não tem significado em R.
  • 28.
  • 29.
  • 30. Δ > O Δ = O Δ < O O valor de √ Δ é real e a equação tem duas raízes reais diferentes , assim representadas: O valor de √ Δ é nulo e a equação tem duas raízes reais e iguais (solução dupla) , assim representadas: O valor de √ Δ não existe em IR , não existindo, portanto, raízes reais. Em R a equação é impossível S= As raízes da equação são número complexos .
  • 31. Se, dada uma determinada equa ç ão, pretendermos saber apenas o n ú mero de solu ç ões (e não necessariamente quais as solu ç ões), basta determinar o bin ó mio discriminante. Δ = b 2 - 4ac
  • 32. Gráfico de uma equação do 2.º grau A representa ç ão gr á fica de uma equa ç ão do 2. º grau é uma curva que se denomina par á bola.
  • 33. Relações entre os Coeficientes e as Raízes 1ª Relação: Soma das Raízes ( S ) Concretamente:
  • 34. 2ª Relação: Produto das Raízes ( P ) Mas como , podemos escrever:
  • 36.
  • 37.
  • 38. Exemplos: Somando (S) as duas soluções vem -8 + 5 = -3 Fazendo o produto (P) obtemos Comparemos agora os valores obtidos com a nossa equa ç ão inicial. . S=-b/a P=c/a
  • 39. Vejamos ainda um outro exemplo : CS= {-1, 2} S= 1 P=-2 Neste caso verificamos que, Podemos então concluir: Numa equação do 2.º grau, temos que a soma das soluções é igual a e o produto é igual a .
  • 40.
  • 41.
  • 42. Resolve mentalmente a equa ç ão S = 0 P = - 9/4 É necess á rio descobrir dois n ú meros cujo produto dê -9/4 e a soma dê 0. Assim: S = Exercício:
  • 43. Resolu ç ão de problemas que envolvem equa ç ões do 2. º grau.
  • 44. Existem numerosos e variad í ssimos problemas que se traduzem matematicamente por equa ç ões do 2. º grau, cuja resolu ç ão permite, portanto, encontrar as respostas procuradas. Chamam-se por isso problemas do 2. º grau. Recordemos como se equaciona um problema e de que forma se pode resolver. PROBLEMA EQUAÇÃO SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO ANÁLISE DAS SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO NO CONTEXTO DO PROBLEMA SOLUÇÕES DO PROBLEMA
  • 45. A Rita é três anos mais nova que a sua irmã e o produto das suas idades é 18. Quantos anos tem a Rita? Exemplo 1 Resolução: Traduzindo em linguagem matemática, vem: Idade da Rita- Idade da irmã da Rita- ou Idade da Rita- Idade da irmã da Rita- Equacionando o problema e resolvendo a equação: A equação tem duas soluções, mas apenas uma é solução do problema, atendendo que a idade da Rita só pode ser 3. R.: A Rita tem 3 anos e a irmã tem 6 anos.
  • 46. Exemplo 2 De um campo de voleibol sabemos que o seu perímetro mede 27 metros e a sua área mede 40,5 metros quadrados. Quais são as dimensões do campo? Resolução: Traduzindo para linguagem matemática, vem: Largura- Comprimento: y Perímetro: Área: R.: As dimensões do camp o de voleibol são 4,5 por 9 metros.
  • 47. Problema do caderno de actividades página 80. 23. A figura representa a trajectória de um foguete que o Jorge lançou no arraial de S. João. 23.1 Qual foi a altura máxima atingida pelo foguete? 23.2 A que altura se encontrava o foguete decorridos 2 segundos? E 10 segundos? 23.4 Onde se encontrava o foguete nos instantes t=0 e t=12? 23.5 Sabendo que a atura atingida pelo foguete é dada pela expressão , confirma, analiticamente, o momento de chegada ao solo. 23.3 Qual o valor de h(0)? Explica o significado da afirmação: «h(t)=0 quando t=0.»
  • 48. 30. Num referencial ortonormado xOy, está representada parte do gráfico da função: No mesmo referencial está também representado um triângulo [ABC], cujos vértices pertencem ao gráfico da função f. Determina a área do triângulo [ABC].
  • 49. 9. Um campeão de saltos de trampolim, decide preparar uma série de saltos para uma competição. A figura mostra um desses saltos cuja trajectória é dada pela expressão (h em metros e t em segundos). 9.1 Determina a altura do topo da prancha até ao solo. 9.2 Determina o instante em que o campeão penetra na água. 9.3 A que altura do solo está o atleta ao fim de 2 segundos?
  • 50.
  • 51. 31. Um fio encontra-se suspenso entre dois postes. A distância entre ambos é de 18 metros. Considera a função f definida por: Admite que f(x) é a distância do solo, em metros, do ponto do fio situado a y metros à direita do 1.º poste. 31.1 Mostra que a altura do 1.º poste é 5 metros e a altura do 2.º poste é 14 metros. 31.2 Calcula o valor de y, sabendo que o ponto do fio correspondente está à mesma altura do solo que o primeiro poste.