1.
Equações do 2.º Grau

2.
Entre os vários tipos de equações, encontram-se as equações do 2.º grau com uma incógnita, com as quais já tomámos contacto no 8.º ano, mas, apenas em algumas das formas que estas equações podem tomar. O que se pretende neste capítulo é estudar a resolução de qualquer tipo de equações do 2.º grau com uma incógnita, escolhendo a maneira mais adequada de o fazer.

3.
Problema: O campo de jogos da nossa escola tem 2800 m 2 de área. Determina as dimensões do campo de futebol.

4.
A equação que permite determinar o comprimento e a largura é

5.
Temos assim uma equação e neste caso, mais exactamente, uma equação do 2.º grau, já que o maior expoente da incógnita é 2. Chamamos equação do 2.º grau com uma incógnita a toda a expressão que se possa escrever na forma: À forma , chamamos forma canónica . <ul><ul><li>Nota: </li></ul></ul><ul><ul><li>A maioria das equações do 2.º grau não estão escritas na forma canónica, temos que as colocar utilizando as regras de resolução de equações (parênteses, denominadores,…) </li></ul></ul>Uma equação está escrita na forma canónica quando: - o 1.º membro é um polinómio reduzido; - o 2.º membro é zero.

6.
Quando a equação está escrita na forma canónica, dizemos que: é o termo de grau 2 e a o seu coeficiente em x (de grau 1) e b o seu coeficiente independente (de grau zero) é o termo é o termo Assim, e voltando ao nosso problema, temos que é uma equação do 2.º grau, em que:  a= 1 coeficiente do termo de grau 2 ou do 2.º grau;  b=30, coeficiente do termo de grau 1;  c=-2800, coeficiente do termo de grau zero ou termo independente.

7.
Exemplos: x 2 - 5x + 6 = 0 , onde a = 1, b = -5 e c = 6. 7x 2 - x = 0 , onde a = 7, b = -1 e c = 0. - x 2 - 36 = 0 , onde a = -1, b = 0 e c = -36. Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero (porque para ser do segundo grau o valor de a tem de ser sempre diferente de zero). A equação que dá resposta ao nosso problema diz-se completa , porque tem os 3 termos (2.º, 1.º e grau 0).

8.
<ul><li>Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda, quando ambos são iguais a zero. </li></ul><ul><li>Equações da forma ax² +bx = 0, (c = 0) </li></ul><ul><li>x² - 3x = 0 , onde a = 1, b = -3. </li></ul><ul><li>-2x² + 4x = 0 , onde a = -2, b = 4. </li></ul><ul><li>Equações do tipo ax² +c = 0, (b = 0) </li></ul><ul><li>3x² - 2 = 0 , onde a = 3, c = -2. </li></ul><ul><li>x² + 5 = 0 , onde a = 1, c = 5. </li></ul><ul><li>Equações do tipo ax² = 0, (b=c=0) </li></ul><ul><li>-2x² = 0 , onde a = -2 </li></ul>

9.
Raízes de uma Equação do 2º Grau <ul><li>Resolver uma equação do 2º grau significa determinar as suas raízes ou soluções. </li></ul><ul><li>Raiz ou solução é o número real que, ao substituir a </li></ul><ul><li>incógnita de uma equação, a transforma </li></ul><ul><li>numa proposição verdadeira. </li></ul><ul><li>O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se conjunto-solução . </li></ul>

10.
Resolução de Equações Incompletas Equações incompletas do tipo Exemplos: De uma forma geral a solução deste tipo de equações é zero.

11.
Equações incompletas do tipo <ul><li>Equações da forma: ax² +c = 0, (b = 0) </li></ul><ul><li>No geral, a equação do tipo ax² +c = 0: </li></ul><ul><li>possui duas raízes reais simétricas se: </li></ul><ul><li> - c/a for um nº positivo. </li></ul><ul><li>Zero, se –c/a=0 </li></ul><ul><li>não possui raiz real se: </li></ul><ul><li> - c/a for um nº negativo. </li></ul>Equação possível Equação impossível

12.
Exemplos: Se x є R , y є R , x² = y x = √ y ou x = - √ y

13.
Equações incompletas do tipo Equações da forma: ax² +bx = 0, (c = 0) A equação do tipo ax² +bx = 0 tem como soluções: x = 0 e x = - b/a

14.
Exemplos: Primeiro: Forma canónica; Segundo: Factorização do polinómio; Terceiro: LAP

16.
Equações de 2.º grau completas Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero. Denomina-se equação do 2º grau, na incógnita x , toda equação da forma: a x 2 + b x + c=0 ; a ≠ 0. Observa que: a representa o coeficiente de x²; b representa o coeficiente de x; c representa o termo independente. Exemplos: x 2 - 5x + 6 = 0 , onde a = 1, b = -5 e c = 6. 7x 2 – x-10 = 0 , onde a = 7, b = -1 e c =-10. x 2 - 36 = 0 , onde a = 1, b = 0 e c = -36. Incompleta Reparem que nas eq. completas b e c são diferentes de zero.

17.
Resolução de Equações Completas Fórmula de Bhaskara <ul><li>Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a Fórmula de Bhaskara . </li></ul><ul><li>A partir da equação ax 2 + bx + c = 0 , a ≠ 0, desenvolveremos passo a passo a dedução da Fórmula de Bhaskara . </li></ul><ul><li>1º passo: multiplicaremos ambos os membros por 4a. </li></ul><ul><li>(4a).(ax² + bx + c) = 0.(4a) </li></ul><ul><li>4a²x² + 4abx + 4ac = 0 </li></ul><ul><li>2º passo: passar 4ac para o 2º membro. </li></ul><ul><li>4a²x² + 4abx = - 4ac </li></ul>

18.
Fórmula de Bhaskara <ul><li>3º passo: adicionar b² aos dois membros . </li></ul><ul><li>4a²x² + 4abx + b² = b² - 4ac </li></ul><ul><li>4º passo: factorizar o 1º membro . </li></ul><ul><li>(2ax + b) ² = b² - 4ac </li></ul><ul><li>5º passo: extrair a raiz quadrada dos dois membros . </li></ul><ul><li>6º passo: passar b para o 2º membro . </li></ul>

19.
Fórmula de Bhaskara <ul><li>7º passo: dividir os dois membros por 2a. </li></ul><ul><li>Assim, a fórmula resolvente da equação do 2º grau: </li></ul>

20.
Fórmula resolvente das equações do 2.º grau Em que: a é o coeficiente do termo de grau 2 . b é o coeficiente do termo de grau 1 . c é o coeficiente do termo independente .

21.
Nota: S ó se pode aplicar a f ó rmula resolvente quanto uma equa ç ão do 2. º grau est á na forma can ó nica. Exemplo: 1. º Colocar a equa ç ão na forma can ó nica (não est á na forma can ó nica porque o 2. º membro não é zero)

22.
Equa ç ões do 2.º grau em que o 1. º membro é o desenvolvimento do quadrado de um bin ó mio Se conseguirmos identificar estes casos, não precisamos de aplicar a fórmula resolvente. Repara: Surgiram duas solu ç ões (ou ra í zes) iguais. Diz-se que -3 é uma solu ç ão ou raiz dupla .

23.
Equa ç ões em que o 1. º membro não é o desenvolvimento do quadrado de um bin ó mio, como no primeiro caso que resolvemos, encontram-se as raízes, aplicando a fórmula resolvente. Nota: É possível resolver sempre qualquer equação do 2.º grau , completa ou incompleta , pela fórmula resolvente.

24.
Mas, é muito mais simples, resolver aplicando de imediato, a definição da raiz quadrada: É óbvio que:

25.
Então: e C.A. <ul><ul><li>2 </li></ul></ul>56 2 28 2 14 2 7 7 1 Logo:

26.
<ul><li>Muito Importante: </li></ul><ul><li>Ao resolver uma equa ç ão do 2. º grau, </li></ul><ul><li>deve-se procurar sempre utilizar o processo mais simples: </li></ul><ul><li>Defini ç ão de raiz quadrada. </li></ul><ul><li>Lei do anulamento do produto. </li></ul><ul><li> F ó rmula resolvente. </li></ul>

27.
NÚMERO DE SOLUÇÕES DE UMA EQUAÇÃO DO 2.º GRAU Resolve, utilizando a f ó rmula resolvente, cada uma das seguintes equa ç ões. A equação tem duas raízes diferentes. A equação tem uma raiz dupla ou duas raízes iguais. A equação não tem solução. É impossível em R . S={ } Como não há nenhum número real que elevado ao quadrado dê um número negativo, a ex- pressão não tem significado em R.

28.
Uma equação do 2.º grau pode portanto, ter 2 soluções diferentes , 1 solução (ou duas soluções iguais) ou não ter soluções. Observando a resolução destas equações podemos verificar que o número de soluções depende do cálculo da raiz. Sem resolver a equação, como podemos saber o número de raízes? Se pensarmos que na f ó rmula resolvente, , verificamos que a expressão que determina o número de raízes de uma equação, é: <ul><li>À expressão chama-se BINÓMIO DISCRIMINANTE por discriminar o número de soluções de uma equação do 2.º grau. </li></ul><ul><li>Representa-se por (letra grega que se lê delta). </li></ul>

29.
<ul><li>Δ = b 2 - 4ac </li></ul><ul><li>Podemos agora, escrever a Fórmula de Bhaskara, da seguinte forma: </li></ul><ul><li>De acordo com o binómio discriminnte, temos três casos a considerar: </li></ul>1º Caso: Se Δ > 0, a equação tem duas soluções diferentes. 2º Caso: Se Δ = 0, a equação duas soluções iguais, (raiz dupla). 3º Caso: Se Δ < 0, a equação não tem raízes. Equação impossível em R.

30.
Δ > O Δ = O Δ < O O valor de √ Δ é real e a equação tem duas raízes reais diferentes , assim representadas: O valor de √ Δ é nulo e a equação tem duas raízes reais e iguais (solução dupla) , assim representadas: O valor de √ Δ não existe em IR , não existindo, portanto, raízes reais. Em R a equação é impossível S= As raízes da equação são número complexos .

31.
Se, dada uma determinada equa ç ão, pretendermos saber apenas o n ú mero de solu ç ões (e não necessariamente quais as solu ç ões), basta determinar o bin ó mio discriminante. Δ = b 2 - 4ac

32.
Gráfico de uma equação do 2.º grau A representa ç ão gr á fica de uma equa ç ão do 2. º grau é uma curva que se denomina par á bola.

33.
Relações entre os Coeficientes e as Raízes 1ª Relação: Soma das Raízes ( S ) Concretamente:

34.
2ª Relação: Produto das Raízes ( P ) Mas como , podemos escrever:

35.
Concretamente:

36.
Relações entre os Coeficientes e as Raízes <ul><li>Soma das Raízes : </li></ul><ul><li>É representada pela letra S. </li></ul><ul><li>S =-b/a </li></ul><ul><li>Obviamente, se a=1, </li></ul><ul><li>S=-b </li></ul><ul><li>Produto das Raízes : </li></ul><ul><li>É representado pela letra P. </li></ul><ul><li>P = c/a </li></ul><ul><li>Se a=1, P=c </li></ul>

37.
Composição de uma Equação do 2º Grau, conhecidas as Raízes <ul><li>Considera a equação do 2º grau ax 2 + bx + c = 0. </li></ul><ul><li>Dividindo todos os termos por a , a ≠ 0, obtemos: </li></ul>Como: S =-b/a e P = c/a, podemos escrever a equação desta maneira: x 2 - Sx + P = 0 Para que serve tudo isto? O conhecimento destas rela ções permite-nos rapidamente escrever uma equa ç ão conhecidas as suas solu ç ões e resolver mentalmente algumas equa ç ões.

38.
Exemplos: Somando (S) as duas soluções vem -8 + 5 = -3 Fazendo o produto (P) obtemos Comparemos agora os valores obtidos com a nossa equa ç ão inicial. . S=-b/a P=c/a

39.
Vejamos ainda um outro exemplo : CS= {-1, 2} S= 1 P=-2 Neste caso verificamos que, Podemos então concluir: Numa equação do 2.º grau, temos que a soma das soluções é igual a e o produto é igual a .

40.
<ul><li>Escreve uma equação do 2.º grau cujas raízes são -2 e 7. </li></ul><ul><li> </li></ul><ul><li> </li></ul><ul><li>A soma das raízes corresponde a: </li></ul><ul><li> </li></ul><ul><li>S = -2 + 7 = 5 </li></ul><ul><li> </li></ul><ul><li>O produto das raízes corresponde a: </li></ul><ul><li> </li></ul><ul><li>P = -2 . 7 = -14 </li></ul><ul><li> </li></ul><ul><li>A equação é dada por x 2 - Sx + P = 0 , onde S = 5 e P = -14. </li></ul><ul><li> </li></ul><ul><li>Logo, x 2 - 5x - 14 = 0 é a equação procurada. </li></ul>Exercício:

41.
Escreve uma equação cuja: Exercício: a) solu ç ão seja 5 e 10. S = 15 P = 50 Então, <ul><ul><li>) solução seja e -6. </li></ul></ul>S = -11/2 P = -3 Então:

42.
Resolve mentalmente a equa ç ão S = 0 P = - 9/4 É necess á rio descobrir dois n ú meros cujo produto dê -9/4 e a soma dê 0. Assim: S = Exercício:

43.
Resolu ç ão de problemas que envolvem equa ç ões do 2. º grau.

44.
Existem numerosos e variad í ssimos problemas que se traduzem matematicamente por equa ç ões do 2. º grau, cuja resolu ç ão permite, portanto, encontrar as respostas procuradas. Chamam-se por isso problemas do 2. º grau. Recordemos como se equaciona um problema e de que forma se pode resolver. PROBLEMA EQUAÇÃO SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO ANÁLISE DAS SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO NO CONTEXTO DO PROBLEMA SOLUÇÕES DO PROBLEMA

45.
A Rita é três anos mais nova que a sua irmã e o produto das suas idades é 18. Quantos anos tem a Rita? Exemplo 1 Resolução: Traduzindo em linguagem matemática, vem: Idade da Rita- Idade da irmã da Rita- ou Idade da Rita- Idade da irmã da Rita- Equacionando o problema e resolvendo a equação: A equação tem duas soluções, mas apenas uma é solução do problema, atendendo que a idade da Rita só pode ser 3. R.: A Rita tem 3 anos e a irmã tem 6 anos.

46.
Exemplo 2 De um campo de voleibol sabemos que o seu perímetro mede 27 metros e a sua área mede 40,5 metros quadrados. Quais são as dimensões do campo? Resolução: Traduzindo para linguagem matemática, vem: Largura- Comprimento: y Perímetro: Área: R.: As dimensões do camp o de voleibol são 4,5 por 9 metros.

47.
Problema do caderno de actividades página 80. 23. A figura representa a trajectória de um foguete que o Jorge lançou no arraial de S. João. 23.1 Qual foi a altura máxima atingida pelo foguete? 23.2 A que altura se encontrava o foguete decorridos 2 segundos? E 10 segundos? 23.4 Onde se encontrava o foguete nos instantes t=0 e t=12? 23.5 Sabendo que a atura atingida pelo foguete é dada pela expressão , confirma, analiticamente, o momento de chegada ao solo. 23.3 Qual o valor de h(0)? Explica o significado da afirmação: «h(t)=0 quando t=0.»

48.
30. Num referencial ortonormado xOy, está representada parte do gráfico da função: No mesmo referencial está também representado um triângulo [ABC], cujos vértices pertencem ao gráfico da função f. Determina a área do triângulo [ABC].

49.
9. Um campeão de saltos de trampolim, decide preparar uma série de saltos para uma competição. A figura mostra um desses saltos cuja trajectória é dada pela expressão (h em metros e t em segundos). 9.1 Determina a altura do topo da prancha até ao solo. 9.2 Determina o instante em que o campeão penetra na água. 9.3 A que altura do solo está o atleta ao fim de 2 segundos?

50.
32. A Rita saiu de casa para visitar a avó. A distância d, em quilómetros, que a Rita tem de percorrer para chegar à casa da avó, t horas após ter iniciado a caminhada é dada pela expressão: <ul><li>Numa pequena composição, explica os seguintes aspectos: </li></ul><ul><li>a distância que a Rita percorreu até chegar á casa da avó; </li></ul><ul><li>O tempo que demorou a chegar à casa da avó; </li></ul><ul><li>O valor de d(1), indicando o seu significado no contexto do problema. </li></ul>

51.
31. Um fio encontra-se suspenso entre dois postes. A distância entre ambos é de 18 metros. Considera a função f definida por: Admite que f(x) é a distância do solo, em metros, do ponto do fio situado a y metros à direita do 1.º poste. 31.1 Mostra que a altura do 1.º poste é 5 metros e a altura do 2.º poste é 14 metros. 31.2 Calcula o valor de y, sabendo que o ponto do fio correspondente está à mesma altura do solo que o primeiro poste.