O documento discute vetores, translações e isometrias em geometria. Apresenta conceitos como segmentos de reta orientados, vetores e suas propriedades, e translações como deslocamentos ao longo de uma reta que não alteram forma nem tamanho.

1. VETORES,
TRANSLAÇÕES E
ISOMETRIAS
MATEMÁTICA
8º ANO
GEOMETRIA
E MEDIDA
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2. GEOMETRIA E MEDIDA
ÍNDICE
 Reta, semirreta e segmento
de reta
 Segmento de reta orientado
 Vetores
 Translações
 Isometrias
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VETORES, TRANSLAÇÕES E
ISOMETRIAS
MATEMÁTICA
8º ANO
RESUMO | Luis Carrilho

3. Reta, semirreta e segmento de reta
 Reta
 Linha sem princípio nem fim
 Semirreta
 Linha com princípio mas sem fim
 Segmento de reta
 Linha com princípio e fim
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VETORES, TRANSLAÇÕES E
ISOMETRIAS
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A B
C D
E F
Reta 𝐴𝐵
Semirreta 𝐶𝐷
Segmento de reta [𝐸𝐹]

4. Segmento de reta orientado
 Segmento de reta orientado
 Linha com princípio e fim
 Caracteriza-se pelo comprimento, direção e sentido
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G H
Segmento de reta orientado 𝐺, 𝐻
• Direção: horizontal
• Sentido: de 𝐺 para 𝐻
(da esquerda para a direita)
I J
Segmento de reta orientado 𝐽, 𝐼
• Direção: horizontal
• Sentido: de 𝐽 para 𝐼
(da direita para a esquerda)
K
L
Segmento de reta orientado 𝐿, 𝐾
• Direção: vertical
• Sentido: de 𝐿 para 𝐾
(de baixo para cima)
M
N
Segmento de reta orientado 𝑀, 𝑁
• Direção: diagonal
• Sentido: de 𝑀 para 𝑁
(da esquerda para a direita
e de baixo para cima)
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VETORES, TRANSLAÇÕES E
ISOMETRIAS

5. Segmento de reta orientado
 Extremos de um segmento de reta orientado
 O sentido de um segmento de reta orientado é da sua origem para a extremidade
 Segmentos de reta orientados equipolentes
 Segmentos orientados com o mesmo comprimento, direção e sentido
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O P
Q R
W X
S T
U V
Neste caso, os segmentos de reta orientados, 𝑄, 𝑅 , 𝑆, 𝑇 , 𝑈, 𝑉 , 𝑊, 𝑋 são equipolentes
Neste caso, a origem é o ponto O e a extremidade é o ponto P
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VETORES, TRANSLAÇÕES E
ISOMETRIAS

6. Vetores
 Como é representado um vetor
 Um vetor é representado por segmentos orientados equipolentes
 Tal como um segmento orientado, define-se pelo seu comprimento, direção e sentido.
 Representa-se por uma letra minúscula (𝒖) ou por duas letras maiúsculas (𝑨𝑩, se o
vetor for definido por todos os segmentos de reta orientados equipolentes a 𝐴, 𝐵 ).
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Neste caso, os segmentos de reta
orientados 𝐴, 𝐵 , 𝐶, 𝐷 e 𝐸, 𝐹 são
representações do mesmo vetor (𝑢)
A
B
F
E
D
C
𝑢
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7. Vetores
 Vetores colineares
 Vetores que têm a mesma direção
 Vetores simétricos
 Vetores que têm o mesmo comprimento e direção, mas sentido oposto
 Vetor nulo
 Vetor definido por segmentos orientados de extremos iguais
 Representa por 𝟎
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𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
A
Neste caso, o vetor é definido pelo
segmento de reta orientado 𝐴, 𝐴
Neste caso, 𝒅 = −𝒄
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ISOMETRIAS

8. Vetores
 Adição de vetores (regra do triângulo)
 Para adicionar dois vetores podemos seguir os seguintes passos:
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𝑎 𝑏
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9. Vetores
 Adição de vetores (regra do triângulo)
 Para adicionar dois vetores podemos seguir os seguintes passos:
1. Desenhar os dois vetores de tal modo em que a origem do segundo vetor coincida com a extremidade
do primeiro
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𝑎 𝑏
𝑎
𝑏
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10. Vetores
 Adição de vetores (regra do triângulo)
 Para adicionar dois vetores podemos seguir os seguintes passos:
1. Desenhar os dois vetores de tal modo em que a origem do segundo vetor coincida com a extremidade
do primeiro
2. O vetor soma tem a origem do primeiro vetor e a extremidade do segundo
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𝑎 𝑏
𝑎
𝑏
𝑎 + 𝑏
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11.  Soma de um vetor com um ponto
 Para somar um vetor com um ponto devemos seguir os seguintes passos:
Vetores
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A
𝑣
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ISOMETRIAS

12.  Soma de um vetor com um ponto
 Para somar um vetor com um ponto devemos seguir os seguintes passos:
1. Desenhar um segmento orientado que represente o vetor de tal modo que a sua origem coincida com
o ponto dado
Vetores
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A
𝑣
𝐴𝐵A
B
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13.  Soma de um vetor com um ponto
 Para somar um vetor com um ponto devemos seguir os seguintes passos:
1. Desenhar um segmento orientado que represente o vetor de tal modo que a sua origem coincida com
o ponto dado
2. A soma do vetor com o ponto é o ponto que se encontra na extremidade do segmento orientado
desenhado
Vetores
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A
𝑣
𝐴𝐵A
B
Neste caso, 𝐴 + 𝑣 = 𝐵
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14. Translações
 O que é
 Quando uma figura efetua um deslocamento ao longo de uma reta diz-se que efetua um
movimento de translação
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ISOMETRIAS

15. Translações
 O que é
 Quando uma figura efetua um deslocamento ao longo de uma reta diz-se que efetua um
movimento de translação
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ISOMETRIAS

16. Translações
 O que é
 Quando uma figura efetua um deslocamento ao longo de uma reta diz-se que efetua um
movimento de translação
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ISOMETRIAS

17. Translações
 O que é
 Quando uma figura efetua um deslocamento ao longo de uma reta diz-se que efetua um
movimento de translação
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ISOMETRIAS

18. Translações
 O que é
 Quando uma figura efetua um deslocamento ao longo de uma reta diz-se que efetua um
movimento de translação
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ISOMETRIAS

19. Translações
 O que é
 Quando uma figura efetua um deslocamento ao longo de uma reta diz-se que efetua um
movimento de translação
 A translação é uma transformação geométrica que não altera a forma nem o tamanho da
figura.
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20.  Translação associada a um ou mais vetores
 A translação de um ponto associada a um vetor é igual à soma do ponto com o vetor:
𝑻 𝒖 𝑨 = 𝑨 + 𝒖
Translações
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ISOMETRIAS

21.  Translação associada a um ou mais vetores
 A translação de um ponto associada a um vetor é igual à soma do ponto com o vetor:
𝑻 𝒖 𝑨 = 𝑨 + 𝒖
Translações
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A
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ISOMETRIAS

22.  Translação associada a um ou mais vetores
 A translação de um ponto associada a um vetor é igual à soma do ponto com o vetor:
𝑻 𝒖 𝑨 = 𝑨 + 𝒖 𝑢
Translações
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A
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ISOMETRIAS

23.  Translação associada a um ou mais vetores
 A translação de um ponto associada a um vetor é igual à soma do ponto com o vetor:
𝑻 𝒖 𝑨 = 𝑨 + 𝒖 𝑢
Translações
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A
B
Neste caso, 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝐁
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24.  Translação associada a um ou mais vetores
 A translação de um ponto associada a um vetor é igual à soma do ponto com o vetor:
𝑻 𝒖 𝑨 = 𝑨 + 𝒖
 Composição de translações:
𝑻 𝒗 𝝄 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝑨 + (𝒖 + 𝒗)
𝑢
Translações
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A
B
Neste caso, 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝐁
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25.  Translação associada a um ou mais vetores
 A translação de um ponto associada a um vetor é igual à soma do ponto com o vetor:
𝑻 𝒖 𝑨 = 𝑨 + 𝒖
 Composição de translações:
𝑻 𝒗 𝝄 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝑨 + (𝒖 + 𝒗)
𝑢
Translações
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A
B
Neste caso, 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝐁
A
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ISOMETRIAS

26.  Translação associada a um ou mais vetores
 A translação de um ponto associada a um vetor é igual à soma do ponto com o vetor:
𝑻 𝒖 𝑨 = 𝑨 + 𝒖
 Composição de translações:
𝑻 𝒗 𝝄 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝑨 + (𝒖 + 𝒗)
𝑢
Translações
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A
B
Neste caso, 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝐁
𝑢A
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ISOMETRIAS

27.  Translação associada a um ou mais vetores
 A translação de um ponto associada a um vetor é igual à soma do ponto com o vetor:
𝑻 𝒖 𝑨 = 𝑨 + 𝒖
 Composição de translações:
𝑻 𝒗 𝝄 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝑨 + (𝒖 + 𝒗)
𝑢
Translações
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A
B
Neste caso, 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝐁
𝑢A
𝑣
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ISOMETRIAS

28.  Translação associada a um ou mais vetores
 A translação de um ponto associada a um vetor é igual à soma do ponto com o vetor:
𝑻 𝒖 𝑨 = 𝑨 + 𝒖
 Composição de translações:
𝑻 𝒗 𝝄 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝑨 + (𝒖 + 𝒗)
𝑢
Translações
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A
B
Neste caso, 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝐁
𝑢A
𝑣
𝑢 + 𝑣
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29.  Translação associada a um ou mais vetores
 A translação de um ponto associada a um vetor é igual à soma do ponto com o vetor:
𝑻 𝒖 𝑨 = 𝑨 + 𝒖
 Composição de translações:
𝑻 𝒗 𝝄 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝑨 + (𝒖 + 𝒗)
𝑢
Translações
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A
B
Neste caso, 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝐁
𝑢A
𝑣C
Neste caso, 𝑻 𝒗 𝝄 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝐂
𝑢 + 𝑣
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30.  O que é uma isometria
 Uma isometria é uma transformação geométrica do plano que conserva os
comprimentos dos segmentos de reta e as amplitudes dos ângulos
Isometrias
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𝑢
𝑟
C
𝑠
𝑣
Translação
Reflexão deslizanteRotação
Reflexão
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31. GEOMETRIA E MEDIDA
O QUE FOI ESTUDADO:
 Reta, semirreta e segmento
de reta
 Segmento de reta orientado
 Vetores
 Translações
 Isometrias
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8º ANO
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