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•   No quotidiano temos muitas relações, basta pensares na tua turma.
    Os nomes e os números. Os teus vizinhos, moradas e números de
    porta. Por vezes “ordenamos”. Pensa, o nome dos teus colegas e os
    números na sala de aula, isto significa que um vem antes e outro
    depois. Podíamos estabelecer essa relação.
•   Uma função é uma relação "bem comportada", tal como os
    membros de uma família, uns são mais bem comportados do que
    outros. (Atenção:.. Isto significa que, apesar de todas as funções
    serem relações, nem todas as relações são funções. Quando
    dizemos que a função é "uma relação bem comportada ", significa
    que, dado um ponto de partida, sabemos exactamente para onde ir,
    dado um x(nome), temos um e um só y(número).
Alunos                      Números

                  Ana                              1
                  Artur                            2
                  Carlo                            6
                  João                             23
                  Tiago
                                                   28




Repara que as setas vermelhas saem da lista dos nomes e vão para a lista de números. À lista dos nomes vamos
chamar conjunto de partida ou “domínio” e à lista dos números, conjunto de chegada.
O domínio é onde se começa.

 Agora vamos pensar num espelho.

 Temos um objecto e temos uma só imagem

 Nestes casos temos uma função.




Aqui aparece o termo “imagem”, porque a vemos.
 No caso da relação “Alunos - Números” também podemos dizer que os Alunos são os
objectos e os Números as imagens, e também temos uma função.
Atenção! Nem todas as relações são funções.



               Pais                 Filhos


                                       Ana
              António
                                      Joana
               Maria
                                       Rui
               Josefa
                                      Tiago
              Ramon
                                      Cármen




Repara que à Maria (objecto) correspondem dois filhos (duas imagens
diferentes), logo não existe função.
•   Lembra-te que no espelho cada objecto tem uma e só uma imagem,
    apesar de poderem existir objectos com a mesma imagem.


                      Livros                    Autores




       Vamos a mais informação a partir deste exemplo.
Livros                            Autores




                        Conjunto de partida              Conjunto de chegada
                               Objectos
                               Domínio (D)

D= {A Menina do Mar, O Cavaleiro da Dinamarca, Os Bichos, O Mundo em que Vivi}

Imagens – Contradomínio (D’ ) ={Miguel Torga, Sophia M. Breyner, Ilse Losa}

        Repara que o Conjunto de Chegada tem um elemento (Vergílio Ferreira) a que não corresponde
        qualquer livro, logo não é imagem.
Exemplos.
1. Considera a seguinte correspondência entre os conjuntos A e B.




            A – conjunto de partida                  B – conjunto de chegada

             Df   = {4, 8, 11}                        D ‘f   = {8, 16, 22}
   Em linguagem corrente podemos dizer:

   “ao 4 corresponde o 8”

   escrevendo com símbolos matemáticos:

                  lemos: “       de 4 é igual a 8”

     Se observarmos a correspondência, verificamos que a cada valor do conjunto A corresponde o dobro
     em B. Podemos escrever a expressão analítica do que observamos:
1. A tabela seguinte apresenta a correspondência
entre um número e o seu quadrado

                Número          0   1   2   3    4
           Quadrado do número   0   1   4   9   16

a) Justifica que a tabela representa uma função.
R: A tabela representa uma função porque a cada número corresponde um e
um só quadrado do número.

b) Indica o domínio e o contradomínio da função.
R: D = {0; 1; 2; 3; 4}
  D’ = {0; 1; 4; 9; 16}


c) Qual a imagem de 2? Qual é a imagem de 4?
R: A imagem de 2 é 4.
   A imagem de 4 é 16

d) Qual é o objecto que tem por imagem 9?
R: O objecto que tem por imagem 9 é o 3.
2. A tabela seguinte mostra a distância que um automóvel percorre até se
    imobilizar segundo a velocidade a que seguia
            Velocidade (km/h)       60    90    120    150    180
         Distância de paragem (m)   34.   64.   104.   152.   209.
                                     4     9     2      4      4



a) A tabela representa uma função? Justifica a resposta.
R: Sim, porque a cada velocidade corresponde uma e só uma distância.

b) Qual é a imagem de 90 km/h? E qual é o objecto que tem por imagem 209,4 m?
R: 64,9 m. 180 km/h



c) Para que o automóvel pare antes de bater num obstáculo a 100 m, o condutor pode
circular a 120 km/h?
R: Não, porque necessita de 104,2 m para parar e só tem 100 m.
3. O gráfico representa a temperatura registada de 4 em 4 horas ao longo
   de um dia de Primavera em Tomar.
  a)   A correspondência é uma função?

  R: Sim, porque a cada elemento dos tempos,
   corresponde um e um só elemento do
    conjunto das temperaturas




 b) Indica o Domínio e o contradomínio da função.

 R: D = {4, 8, 12, 16, 20, 24}     D’ = {6, 9, 12, 15, 18}

 c) Quais os objectos cuja imagem é 12?

 R: 8 e 20

 d) Designado por g esta função, completa: g(16) = ? g(?) = 9

 R: Só tens que observar o gráfico para concluir: g(16) = 15    g(24) = 9
4. A energia consumida é calculada conhecendo a potência utilizada e o
    tempo decorrido:
                                  Unidades SI
        E    Energia consumida    joule (J)
             Intervalo de tempo   segundo (s)
         P   Potência             watt (W)


1.1. Calcula a energia consumida por uma máquina e lavar roupa com 2100 W de potência que
funcionou durante uma hora.


 R:          Deves reparar que o intervalo de tempo       está em segundos e o tempo
de funcionamento da máquina foi de 1 hora pelo que tens que reduzir horas a segundos.
1h = 3600 s então:

1.2. Determina a energia consumida durante 30 minutos, por uma lâmpada de 40 w.

 R: 30 min = 1800 s
1.3. Considera agora uma lâmpada economizadora de 5W de potência.
a) Completa a tabela com os consumos dessa lâmpada ao longo de um minuto.

               Tempo de            0    10     20        30        40         50         60
             utilização (s)
           Energia consumida
                   (J)

  R:                P = 5 W basta multiplicar pelos tempos.

              Tempo de         0       10    20     30        40        50         60
            utilização (s)
          Energia consumida    0       50    100    150       200       250        300
                  (J)




   b) Representa graficamente a situação.

   R: Observa a tabela.
c) Quanto tempo esteve a lâmpada acesa para ter um consumo de 900 J?

R: Podes utilizar o gráfico ou a tabela para resolver a questão ou então através
   da fórmula              , mas agora o que se pretende é      ,

então                                   convertendo em minutos teremos

3 min.
Coordenadas de um ponto no plano


•   Consideremos no plano um sistema de eixos coordenados.



•   Qualquer ponto P do plano, pode caracterizar-se pelos números, x e y, que são as
    projecções do ponto sobre os eixos.

•   Então o ponto P, tem coordenadas (x, y), ou seja, x é a abcissa e y é a ordenada.

•   Por exemplo se um ponto P tem como coordenadas (5,3), andamos 5 unidades no eixo
    dos x e 3 unidades no eixo dos y. clicar
FUNÇÃO AFIM
Correspondência que associa cada número x ao número kx + b, com k e b constantes reais.



    X    y = kx + b       ou   f(x) = kx + b   o gráfico é uma recta    y = kx + b
                                                                                     ordenada na
                                                                                         origem
                           imagem de x                                 declive
                                                                       da recta

•   Casos particulares
    Se b = 0,      x           Y = kx      recta que passa na origem O (0,0)



    Se    K = 0       x        y = b     função constante.
                                          Recta paralela ao eixo dos xx e que passa no
                                          ponto (0,b).
Y = kx
y = kx + b
Se: k > 0   a recta é ascendente

   k <0 a recta é descendente



                                   y = b
EXEMPLOS


1. Vamos começar com as funções de proporcionalidade directa, do tipo          , lembra-te que
     as funções de proporcionalidade directa são representadas por rectas que passam na origem
     (0,0)

•   Representa graficamente a função

R: Vamos fazer uma tabela dando valores a x e obter os respectivos valores de y.


                           x                y
                          -2           -3(-2) = 6            agora traçamos o gráfico
                           0            -3(0) = 0
                           1           -3(1) = -3
                           2           -3(2) = -6
8



                               6



                               4



                               2



                               0
-2,5   -2   -1,5   -1   -0,5        0   0,5   1   1,5             2   2,5

                               -2



                               -4



                               -6                       y = -3x



                               -8
2.    Traçar os gráficos das funções:                e



R: Temos que fazer duas tabelas independentes, uma para cada função.
           x                y                   x                y
           -3               -4
                                                -3               6

           -2               -3
                                                -2            5,333333

           0                -1
                                                0                4

           1                0
                                                1             3,333333

           2                1
                                                2             2,666667

           3                2
                                                3                2

           6                5
                                                6                0

           8                7
                                                8             -1,33333

                                                                         gráfico
8




          6




          4




          2

                                        y=x-1
                                        y=4-2/3x

          0
-4   -2        0   2   4   6   8   10



          -2




          -4




          -6
Acabou, por agora!...
Vamos ao trabalho se não
Já sabem o que acontece!…




                                 Janeiro 2011
                       O professor: Carlos Jaime Q. Lopes

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Funções

  • 1.
  • 2. No quotidiano temos muitas relações, basta pensares na tua turma. Os nomes e os números. Os teus vizinhos, moradas e números de porta. Por vezes “ordenamos”. Pensa, o nome dos teus colegas e os números na sala de aula, isto significa que um vem antes e outro depois. Podíamos estabelecer essa relação. • Uma função é uma relação "bem comportada", tal como os membros de uma família, uns são mais bem comportados do que outros. (Atenção:.. Isto significa que, apesar de todas as funções serem relações, nem todas as relações são funções. Quando dizemos que a função é "uma relação bem comportada ", significa que, dado um ponto de partida, sabemos exactamente para onde ir, dado um x(nome), temos um e um só y(número).
  • 3. Alunos Números Ana 1 Artur 2 Carlo 6 João 23 Tiago 28 Repara que as setas vermelhas saem da lista dos nomes e vão para a lista de números. À lista dos nomes vamos chamar conjunto de partida ou “domínio” e à lista dos números, conjunto de chegada.
  • 4. O domínio é onde se começa. Agora vamos pensar num espelho. Temos um objecto e temos uma só imagem Nestes casos temos uma função. Aqui aparece o termo “imagem”, porque a vemos. No caso da relação “Alunos - Números” também podemos dizer que os Alunos são os objectos e os Números as imagens, e também temos uma função.
  • 5. Atenção! Nem todas as relações são funções. Pais Filhos Ana António Joana Maria Rui Josefa Tiago Ramon Cármen Repara que à Maria (objecto) correspondem dois filhos (duas imagens diferentes), logo não existe função.
  • 6. Lembra-te que no espelho cada objecto tem uma e só uma imagem, apesar de poderem existir objectos com a mesma imagem. Livros Autores Vamos a mais informação a partir deste exemplo.
  • 7. Livros Autores Conjunto de partida Conjunto de chegada Objectos Domínio (D) D= {A Menina do Mar, O Cavaleiro da Dinamarca, Os Bichos, O Mundo em que Vivi} Imagens – Contradomínio (D’ ) ={Miguel Torga, Sophia M. Breyner, Ilse Losa} Repara que o Conjunto de Chegada tem um elemento (Vergílio Ferreira) a que não corresponde qualquer livro, logo não é imagem.
  • 8. Exemplos. 1. Considera a seguinte correspondência entre os conjuntos A e B. A – conjunto de partida B – conjunto de chegada Df = {4, 8, 11} D ‘f = {8, 16, 22} Em linguagem corrente podemos dizer: “ao 4 corresponde o 8” escrevendo com símbolos matemáticos: lemos: “ de 4 é igual a 8” Se observarmos a correspondência, verificamos que a cada valor do conjunto A corresponde o dobro em B. Podemos escrever a expressão analítica do que observamos:
  • 9. 1. A tabela seguinte apresenta a correspondência entre um número e o seu quadrado Número 0 1 2 3 4 Quadrado do número 0 1 4 9 16 a) Justifica que a tabela representa uma função. R: A tabela representa uma função porque a cada número corresponde um e um só quadrado do número. b) Indica o domínio e o contradomínio da função. R: D = {0; 1; 2; 3; 4} D’ = {0; 1; 4; 9; 16} c) Qual a imagem de 2? Qual é a imagem de 4? R: A imagem de 2 é 4. A imagem de 4 é 16 d) Qual é o objecto que tem por imagem 9? R: O objecto que tem por imagem 9 é o 3.
  • 10. 2. A tabela seguinte mostra a distância que um automóvel percorre até se imobilizar segundo a velocidade a que seguia Velocidade (km/h) 60 90 120 150 180 Distância de paragem (m) 34. 64. 104. 152. 209. 4 9 2 4 4 a) A tabela representa uma função? Justifica a resposta. R: Sim, porque a cada velocidade corresponde uma e só uma distância. b) Qual é a imagem de 90 km/h? E qual é o objecto que tem por imagem 209,4 m? R: 64,9 m. 180 km/h c) Para que o automóvel pare antes de bater num obstáculo a 100 m, o condutor pode circular a 120 km/h? R: Não, porque necessita de 104,2 m para parar e só tem 100 m.
  • 11. 3. O gráfico representa a temperatura registada de 4 em 4 horas ao longo de um dia de Primavera em Tomar. a) A correspondência é uma função? R: Sim, porque a cada elemento dos tempos, corresponde um e um só elemento do conjunto das temperaturas b) Indica o Domínio e o contradomínio da função. R: D = {4, 8, 12, 16, 20, 24} D’ = {6, 9, 12, 15, 18} c) Quais os objectos cuja imagem é 12? R: 8 e 20 d) Designado por g esta função, completa: g(16) = ? g(?) = 9 R: Só tens que observar o gráfico para concluir: g(16) = 15 g(24) = 9
  • 12. 4. A energia consumida é calculada conhecendo a potência utilizada e o tempo decorrido: Unidades SI E Energia consumida joule (J) Intervalo de tempo segundo (s) P Potência watt (W) 1.1. Calcula a energia consumida por uma máquina e lavar roupa com 2100 W de potência que funcionou durante uma hora. R: Deves reparar que o intervalo de tempo está em segundos e o tempo de funcionamento da máquina foi de 1 hora pelo que tens que reduzir horas a segundos. 1h = 3600 s então: 1.2. Determina a energia consumida durante 30 minutos, por uma lâmpada de 40 w. R: 30 min = 1800 s
  • 13. 1.3. Considera agora uma lâmpada economizadora de 5W de potência. a) Completa a tabela com os consumos dessa lâmpada ao longo de um minuto. Tempo de 0 10 20 30 40 50 60 utilização (s) Energia consumida (J) R: P = 5 W basta multiplicar pelos tempos. Tempo de 0 10 20 30 40 50 60 utilização (s) Energia consumida 0 50 100 150 200 250 300 (J) b) Representa graficamente a situação. R: Observa a tabela.
  • 14. c) Quanto tempo esteve a lâmpada acesa para ter um consumo de 900 J? R: Podes utilizar o gráfico ou a tabela para resolver a questão ou então através da fórmula , mas agora o que se pretende é , então convertendo em minutos teremos 3 min.
  • 15. Coordenadas de um ponto no plano • Consideremos no plano um sistema de eixos coordenados. • Qualquer ponto P do plano, pode caracterizar-se pelos números, x e y, que são as projecções do ponto sobre os eixos. • Então o ponto P, tem coordenadas (x, y), ou seja, x é a abcissa e y é a ordenada. • Por exemplo se um ponto P tem como coordenadas (5,3), andamos 5 unidades no eixo dos x e 3 unidades no eixo dos y. clicar
  • 16.
  • 17. FUNÇÃO AFIM Correspondência que associa cada número x ao número kx + b, com k e b constantes reais. X y = kx + b ou f(x) = kx + b o gráfico é uma recta y = kx + b ordenada na origem imagem de x declive da recta • Casos particulares Se b = 0, x Y = kx recta que passa na origem O (0,0) Se K = 0 x y = b função constante. Recta paralela ao eixo dos xx e que passa no ponto (0,b).
  • 18. Y = kx y = kx + b Se: k > 0 a recta é ascendente k <0 a recta é descendente y = b
  • 19. EXEMPLOS 1. Vamos começar com as funções de proporcionalidade directa, do tipo , lembra-te que as funções de proporcionalidade directa são representadas por rectas que passam na origem (0,0) • Representa graficamente a função R: Vamos fazer uma tabela dando valores a x e obter os respectivos valores de y. x y -2 -3(-2) = 6 agora traçamos o gráfico 0 -3(0) = 0 1 -3(1) = -3 2 -3(2) = -6
  • 20. 8 6 4 2 0 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 -2 -4 -6 y = -3x -8
  • 21. 2. Traçar os gráficos das funções: e R: Temos que fazer duas tabelas independentes, uma para cada função. x y x y -3 -4 -3 6 -2 -3 -2 5,333333 0 -1 0 4 1 0 1 3,333333 2 1 2 2,666667 3 2 3 2 6 5 6 0 8 7 8 -1,33333 gráfico
  • 22. 8 6 4 2 y=x-1 y=4-2/3x 0 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -2 -4 -6
  • 23. Acabou, por agora!... Vamos ao trabalho se não Já sabem o que acontece!… Janeiro 2011 O professor: Carlos Jaime Q. Lopes