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SEMELHANÇA

             •   Noção de semelhança
             •   Ampliação e redução de um polígono
             •   Polígonos semelhantes
 Unidade 7




             •   Semelhança de triângulos




                       ProfªHelena Borralho/2012-13
ProfªHelena Borralho/2012-13
FIGURAS SEMELHANTES
Quando duas figuras são semelhantes, as suas dimensões estão em proporção.


                                Duas figuras que têm a mesma forma dizem-
                                 se semelhantes.
       Figuras semelhantes




                                 Duas figuras têm a mesma forma se uma for
                                 ampliação da outra ou se forem
                                 geometricamente iguais.
                                        ProfªHelena Borralho/2012-13
AMPLIAÇÃO E REDUÇÃO DE FIGURAS

                           A figura 1 e a figura 2 embora
                           tenham dimensões diferentes têm
                           a mesma forma.

                           Numa ampliação ou numa redução,
           Figura 2        as figuras conservam a mesma
Figura 1                   forma




                 ProfªHelena Borralho/2012-13
FIGURAS SEMELHANTES

Duas figuras que são semelhantes, ou são geometricamente iguais, ou
ampliação ou redução uma da outra.




                                                             Ampliação




                                                            Redução


                          ProfªHelena Borralho/2012-13
Em várias situações do dia a dia recorremos a ampliações e a reduções


  -
  Utilizamos o microscópio para ampliar;         Apresentamos uma maqueta de um
                                                empreendimento como uma redução




                                ProfªHelena Borralho/2012-13
Construção de figuras semelhantes: ampliação de uma figura por dois
    processos:




http://mat7anofs.no.sapo.pt/cap3_7ano_act1_1_arealed_pag88.html   http://mat7anofs.no.sapo.pt/const_fig_sem_homotetia2.html

http://mat7anofs.no.sapo.pt/cap3_7ano_act1_2_arealed_pag88.html


                                             O pantógrafo é um
                                              instrumento que
                                                permite obter               Este processo corresponde a
                                            figuras semelhantes                  uma transformação
                                               utilizando uma                   geométrica chamada
                                                 homotetia.                          homotetia.
                                                 ProfªHelena Borralho/2012-13
Dois polígonos semelhantes relacionam-se com o símbolo ~




                   ProfªHelena Borralho/2012-13
D'           10       C'

                                         D       5       C

                                                               6
                                         3
POLÍGONOS SEMELHANTES                    A                B
                                                               A'                     B'



Dois polígonos são semelhantes                Os retângulos são semelhantes, pois têm
quando os ângulos correspondentes             os ângulos correspondentes iguais
são geometricamente iguais e os               (todos de 90º) e os lados proporcionais,
lados correspondentes diretamente                         10                 6
proporcionais.                                             5
                                                                     2   e
                                                                             3
                                                                                  2


                                              A razão de semelhança é 2.



 Nota: A definição de polígonos semelhantes só é válida quando ambas as condições são
 satisfeitas: ângulos correspondentes geometricamente iguais e lados correspondentes
 diretamente proporcionais. Apenas uma das condições não é suficiente para indicar a
 semelhança entre polígonos.
                                ProfªHelena Borralho/2012-13
Duas figuras são semelhantes quando uma é a ampliação
da outra.




      A figura mostra dois quadriláteros semelhantes.




                      ProfªHelena Borralho/2012-13
Dois polígonos são semelhantes se e só se há uma
correspondência entre os seus vértices de tal modo que os
lados correspondentes dos polígonos são proporcionais e
os ângulos correspondentes são geometricamente iguais.




                     ProfªHelena Borralho/2012-13
Os dois quadrados representados ao lado são semelhantes.

          Repara que o quadrado B é uma ampliação do quadrado A.

                            A medida dos lados do
 Razão de                   quadrado B é o dobro da
semelhança                  medida dos lados do quadrado
    É uma constante         A.
equivalente à razão entre
os comprimentos de dois
       segmentos              Se dividirmos o comprimento do lado
correspondentes de duas
  figuras semelhantes.
                              do quadrado B pelo comprimento do
                              lado do quadrado A, teremos:




                              ProfªHelena Borralho/2012-13
        Para representar a          razão      de
    semelhança usa-se a letra r

         Para o caso anterior, podemos dizer
    que a razão de semelhança na ampliação do
    quadrado A para o quadrado B é:

                      k=2

        Pode ainda dizer-se que o quadrado B
    é uma ampliação do quadrado A na escala
    2:1.


      Se r > 1 temos uma Ampliação
      Se r = 1 temos que as figuras são Geometricamente iguais
      Se r < 1 temos uma redução

                            ProfªHelena Borralho/2012-13
Observa os retângulos A e B da figura.
O retângulo B é uma redução do
retângulo A.
Repara que os lados do retângulo B
têm ambos metade do comprimento
dos lados do retângulo A.
Para calcular a razão de semelhança
na redução teremos que dividir o
comprimento do lado do retângulo
menor pelo lado correspondente do
maior.

   A razão de semelhança é: r= 0,5.




                          ProfªHelena Borralho/2012-13
Semelhança de Polígonos

Considere os polígonos ABCD e A'B'C'D', nas figuras

                                   os    ângulos         correspondentes   são
                                   congruentes:


                                    Observa que:

                            os lados correspondentes (ou homólogos) são
                            proporcionais:




                          ProfªHelena Borralho/2012-13
Critérios de Semelhança de Triângulos

Situações em que podemos garantir que dois triângulos são semelhantes




                      ProfªHelena Borralho/2012-13
Critério AA: Dois triângulos são semelhantes quando têm dois ângulos
correspondentes geometricamente iguais ( o 3º também será igual).




 Critério LAL: Dois triângulos são semelhantes quando têm dois lados
 correspondentes directamente proporcionais e o ângulo por eles formado
 geometricamente igual.




                           ProfªHelena Borralho/2012-13
Critério LLL: Dois triângulos são semelhantes quando têm os três
lados correspondentes directamente proporcionais.




                       Critérios de Semelhança de Triângulos
 Dois triângulos são semelhantes se:
  Têm, de um para o outro, dois ângulos geometricamente iguais – AA
  Têm, de um para o outro, os três lados directamente proporcionais – LLL
  Têm de um para o outro, dois lados directamente proporcionais e o ângulo por
   eles formado geometricamente igual – LAL
                             Profª Helena Borralho/2012-13

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Semelhança unidade 7

  • 1. SEMELHANÇA • Noção de semelhança • Ampliação e redução de um polígono • Polígonos semelhantes Unidade 7 • Semelhança de triângulos ProfªHelena Borralho/2012-13
  • 3. FIGURAS SEMELHANTES Quando duas figuras são semelhantes, as suas dimensões estão em proporção.  Duas figuras que têm a mesma forma dizem- se semelhantes. Figuras semelhantes Duas figuras têm a mesma forma se uma for ampliação da outra ou se forem geometricamente iguais. ProfªHelena Borralho/2012-13
  • 4. AMPLIAÇÃO E REDUÇÃO DE FIGURAS A figura 1 e a figura 2 embora tenham dimensões diferentes têm a mesma forma. Numa ampliação ou numa redução, Figura 2 as figuras conservam a mesma Figura 1 forma ProfªHelena Borralho/2012-13
  • 5. FIGURAS SEMELHANTES Duas figuras que são semelhantes, ou são geometricamente iguais, ou ampliação ou redução uma da outra. Ampliação Redução ProfªHelena Borralho/2012-13
  • 6. Em várias situações do dia a dia recorremos a ampliações e a reduções - Utilizamos o microscópio para ampliar; Apresentamos uma maqueta de um empreendimento como uma redução ProfªHelena Borralho/2012-13
  • 7. Construção de figuras semelhantes: ampliação de uma figura por dois processos: http://mat7anofs.no.sapo.pt/cap3_7ano_act1_1_arealed_pag88.html http://mat7anofs.no.sapo.pt/const_fig_sem_homotetia2.html http://mat7anofs.no.sapo.pt/cap3_7ano_act1_2_arealed_pag88.html O pantógrafo é um instrumento que permite obter Este processo corresponde a figuras semelhantes uma transformação utilizando uma geométrica chamada homotetia. homotetia. ProfªHelena Borralho/2012-13
  • 8. Dois polígonos semelhantes relacionam-se com o símbolo ~ ProfªHelena Borralho/2012-13
  • 9. D' 10 C' D 5 C 6 3 POLÍGONOS SEMELHANTES A B A' B' Dois polígonos são semelhantes Os retângulos são semelhantes, pois têm quando os ângulos correspondentes os ângulos correspondentes iguais são geometricamente iguais e os (todos de 90º) e os lados proporcionais, lados correspondentes diretamente 10 6 proporcionais. 5 2 e 3 2 A razão de semelhança é 2. Nota: A definição de polígonos semelhantes só é válida quando ambas as condições são satisfeitas: ângulos correspondentes geometricamente iguais e lados correspondentes diretamente proporcionais. Apenas uma das condições não é suficiente para indicar a semelhança entre polígonos. ProfªHelena Borralho/2012-13
  • 10. Duas figuras são semelhantes quando uma é a ampliação da outra. A figura mostra dois quadriláteros semelhantes. ProfªHelena Borralho/2012-13
  • 11. Dois polígonos são semelhantes se e só se há uma correspondência entre os seus vértices de tal modo que os lados correspondentes dos polígonos são proporcionais e os ângulos correspondentes são geometricamente iguais. ProfªHelena Borralho/2012-13
  • 12. Os dois quadrados representados ao lado são semelhantes. Repara que o quadrado B é uma ampliação do quadrado A. A medida dos lados do Razão de quadrado B é o dobro da semelhança medida dos lados do quadrado É uma constante A. equivalente à razão entre os comprimentos de dois segmentos Se dividirmos o comprimento do lado correspondentes de duas figuras semelhantes. do quadrado B pelo comprimento do lado do quadrado A, teremos: ProfªHelena Borralho/2012-13
  • 13. Para representar a razão de semelhança usa-se a letra r  Para o caso anterior, podemos dizer que a razão de semelhança na ampliação do quadrado A para o quadrado B é: k=2  Pode ainda dizer-se que o quadrado B é uma ampliação do quadrado A na escala 2:1. Se r > 1 temos uma Ampliação Se r = 1 temos que as figuras são Geometricamente iguais Se r < 1 temos uma redução ProfªHelena Borralho/2012-13
  • 14. Observa os retângulos A e B da figura. O retângulo B é uma redução do retângulo A. Repara que os lados do retângulo B têm ambos metade do comprimento dos lados do retângulo A. Para calcular a razão de semelhança na redução teremos que dividir o comprimento do lado do retângulo menor pelo lado correspondente do maior. A razão de semelhança é: r= 0,5. ProfªHelena Borralho/2012-13
  • 15. Semelhança de Polígonos Considere os polígonos ABCD e A'B'C'D', nas figuras os ângulos correspondentes são congruentes: Observa que: os lados correspondentes (ou homólogos) são proporcionais: ProfªHelena Borralho/2012-13
  • 16. Critérios de Semelhança de Triângulos Situações em que podemos garantir que dois triângulos são semelhantes ProfªHelena Borralho/2012-13
  • 17. Critério AA: Dois triângulos são semelhantes quando têm dois ângulos correspondentes geometricamente iguais ( o 3º também será igual). Critério LAL: Dois triângulos são semelhantes quando têm dois lados correspondentes directamente proporcionais e o ângulo por eles formado geometricamente igual. ProfªHelena Borralho/2012-13
  • 18. Critério LLL: Dois triângulos são semelhantes quando têm os três lados correspondentes directamente proporcionais. Critérios de Semelhança de Triângulos Dois triângulos são semelhantes se:  Têm, de um para o outro, dois ângulos geometricamente iguais – AA  Têm, de um para o outro, os três lados directamente proporcionais – LLL  Têm de um para o outro, dois lados directamente proporcionais e o ângulo por eles formado geometricamente igual – LAL Profª Helena Borralho/2012-13