1. MATEMÁTICA
RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRA DE TRÊS E
PORCENTAGEM
Enquanto o tempo aumenta, a distância percor-
1. RAZÃO
rida também aumenta. Dizemos então, que o tempo e
Sejam dados dois números a e b (b ≠ 0 ) , cha- a distância são grandezas diretamente proporcionais.
mamos de razão entre estes dois números ao quocien- Grandezas inversamente proprocionais
te indicado entre eles. Duas grandezas são inversamente proporcio-
a nais quando, aumentando uma delas, a outra diminui
A razão também pode ser escrita a:b (que se
b na mesma razão da primeira.
lê a está para b. Os números a e b, que são os ter- Exemplo:
mos da razão, são denominados respectivamente de Um veículo faz um percurso em:
antecedente e conseqüente. 1 hora com velocidade de 120km/h.
Como exemplos, vamos indicar a razão entre 2 horas com velocidade de 60km/h.
os números abaixo: 3 horas com velocidade de 40km/h.
a) 3 e 7 por
3
ou 3:7; Enquanto o tempo aumenta, a velocidade di-
7 minui. Dizemos, então, que o tempo e a velocidade
b) 9 e 5 por
9
ou 9:5. são grandezas inversamente proporcionais.
5
4. REGRA DE TRÊS SIMPLES
2. PROPORÇÃO
É uma regra prática, que facilita o cálculo de
Proporção é uma igualdade entre duas razões. problemas que envolvem duas grandezas diretamente
Dizemos que os números a,b,c,d com b ≠ 0 e ou inversamente proporcionais.
d ≠ 0 estão em proporção, na ordem dada, se, e se- Regra de três direta
mente, a razão entre a e b for igual à razão entre c e Apresenta grandezas diretamente proporcio-
d. Indicamos esta proporção por: nais.
a c
= ou a:b::c:d que se lê: Exemplos:
b d
a está para b, assim como c está para d. a) um pacote contém 35 chocolates. Qual é o
total de chocolates contidos em 4 pacotes?
Propriedade fundamental das propor- Dispositivo prático:
ções
Em toda proporção, o produto dos extremos é pacotes chocolates
igual ao produto dos meios. 1 35
4 x
a c
= ⇒ a⋅d = b⋅c
b d
As grandezas são diretamente proporcionais,
Aplicando esta propriedade, podemos determi- pois aumentando-se a quantidade de pacotes o núme-
nar o valor de uma incógnita na proporção. ro de chocolates também aumenta.
Quando as grandezas são diretamente propor-
3. REGRA DE RÊS cionais, as flechas têm o mesmo sentido. Montando a
Grandezas Diretamente proporcionais proporção, temos:
1 35
Duas grandezas são diretamente proporcionais =
4 x
quando, aumentando uma delas, a outra aumenta na
x = 4 ⋅ 35 propriedade fundamental das pro-
mesma razão da primeira.
x = 140
Exemplo:
porções
Um veículo que percorre:
Resposta: o total é 140 chocolates.
80km em 1 hora.
160km em 2 horas.
b) Certa máquina produz 90 peças, trabalhando
240km em 3 horas.
durante 50 minutos. Quantas peças produzirá em
1h20min?
Dispositivo prático:
Editora Exato 12

2. produção tempo
Cálculo da porcentagem
90 peças 50 min Exemplo: achar 16% de 300.
x 80mi - 1h20min = 80min Resolução:
16% é o valor que eu tenho que achar (x)
300 é 100%
As grandezas são diretamente proporcionais,
montando uma regra de três.
pois aumentando o tempo a produção também au-
16 − 100 300 ⋅ 16
menta. x = ⇒ x = 48
x − 300  100
Montando a proporção, temos:
90 50
= EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
x 80
50 ⋅ x = 90 ⋅ 80
1 (PUC-SP) Um motorista de táxi, trabalhando 6
50x = 7.200 horas por dia durante 10 dias, gasta R$ 1.026.00.
x=
7.200 Qual será o seu gasto mensal, se trabalhar 4 horas
50 por dia?
x = 144 Resolução:
Resposta: em 1h20min a máquina produzirá
144 peças. Horas Valor R$
Regra de três inversa
6 1.026,00
Apresenta grandezas inversamente proporcio-
nais. 4 X
5. REGRA DE TRÊS COMPOSTA 6.x = 4.1026, 00
4.1026
A regra de três composta é um processo práti- x = = 684
6
co para resolver problemas que envolvem mais de
R$ 684,00 em dez dias, conforme enunciado.
duas grandezas diretamente ou inversamente propor-
Gasto mensal:
cionais.
Gasto em dez (10) dias x 3 (30 dias) = 2052
6. PORCENTAGEM R$ 2.052,00.
Uma razão de conseqüente 100 é denominada
taxa de porcentagem, ou taxa porcentual, ou ainda 2 Calcular o termo desconhecido na proporção:
“tantos por cento”. 7
=
21
13 x
antecedente Resolução:
x
Usando a propriedade fundamental, temos:
100
21⋅ 13
7x = 21⋅ 13 ⇒ x = ⇒ x = 39 .
conseqüente 7
20
Assim, (vinte centésimos) lê-se “20 por 3 Um carro percorreu uma estrada em 5 horas, à
100
cento” e representa-se pelo símbolo 20%. velocidade média de 100km/h. Com qual veloci-
Significado da taxa de porcentagem dade o carro faria o mesmo percurso em 4 horas?
Resolução:
Vamos interpretar determinadas frases que ou-
Dispositivo prático:
vimos ou lemos, quase que diariamente:
a) “Para sermos aprovados pelo Vestibular de velocidade tempo
uma grande faculdade, devemos acertar no mínimo
100 5
50% das questões”. x 4
Significa que sobre cada 100 questões, deve-
mos acertar no mínimo 50.
b) “Liquidação com desconto de 40%”. As grandezas são inversamente proporcionais,
Significa que sobre cada R$ 100,00 do preço pois, à medida que diminui o tempo da viagem, é ne-
de uma determinada mercadoria, há um desconto de cessário que a velocidade do carro aumente, para que
R$ 40,00. o carro percorra o mesmo percurso.
c) “Certo candidato está com 30% da preferên-
cia popular”. Quando as grandezas são inversamente pro-
Significa que sobre cada 100 pessoas, 30 gos- porcionais, as flechas têm sentidos contrários.
tam do candidato. Montando a proporção, temos:
Editora Exato 13

3. x 5 3 (FUCC-SP) Quanto é 32% de R$25.000,00?
= ⇒ uma das grandezas se inverte
100 4 a) R$5.500,00.
4 ⋅ x = 100 ⋅ 5 b) R$7.500,00.
4x = 500 c) R$8.000,00.
500 d) R$10.000,00.
x=
4
x = 125
4 (PUC-SP) 15000 candidatos inscreveram-se na
125 km/h.
PUC e foram aprovados 9600. Qual a
porcentagem de reprovação?
4 Vinte homens fazem um certo trabalho em 6 dias, a) 24.
trabalhando 8 horas por dia. Para fazer o mesmo b) 30.
trabalho, quantos dias levarão 12 homens, traba- c) 32.
lhando 5 horas por dia? d) 36.
Resolução: e) Nenhuma.
homens dias horas/dias
5 (CEF) Num grupo de 400 pessoas, 70% são do
20 6 8
12
sexo masculino. Se nesse grupo 10% dos homens
x 5
são casados e 20% das mulheres são casadas.
Então, o número de pessoas casadas é:
Então: a) 50.
6 12 5 6 60
= ⋅ ⇒ = ⇒ b) 46.
x 20 8 x 160
c) 52.
6 3
= ⇒ 3⋅x = 6⋅8 ⇒ d) 48.
x 8
e) 54.
48
3 ⋅ x = 48 ⇒ x = ⇒ x = 16
3
2
6 Se de um trabalho foram feitos em 10 dias por
5
EXERCÍCIOS 24 operários que trabalhavam em 7 horas por dia;
então, quantos dias serão necessários para
1 (MACK-SP) Uma engrenagem de 36 dentes terminar o trabalho, sabendo que 4 operários
movimenta outra de 48 dentes. Quantas voltas dá foram dispensados e que o restante agora trabalha
a maior, enquanto a menor dá 100 voltas? 6 horas por dia?
a) 133. a) 18.
b) 86. b) 19.
c) 75. c) 20.
d) 65. d) 21.
e) 22.
2 (SANTA CASA-SP) Sabe-se que 4 máquinas
operando 4 horas por dia, durante 4 dias,
produzem 4 toneladas de certo produto. Quantas GABARITO
toneladas do mesmo produto seriam produzidas
1 C
por 6 máquinas daquele tipo, operando 6 horas
por dia, durante 6 dias? 2 D
a) 8.
3 C
b) 15.
c) 10,5. 4 D
d) 13,5. 5 C
6 D
Editora Exato 14