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Geometria de posição

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  1. 1. Geometria: parte da matemática que estuda as propriedades do espaço. Em sua forma mais elementar, a geometria trata de problemas métricos, como o cálculo da área e do diâmetro de figuras planas e da superfície e volume de corpos sólidos. Outros campos da geometria são a geometria analítica, a descritiva, a topologia, a geometria de espaços com quatro ou mais dimensões, a geometria fractal e a geometria não-euclidiana.
  2. 2. Introdução a GeometriaIntrodução a Geometria Geometria Plana Geometria Espacial
  3. 3. Introdução a GeometriaIntrodução a Geometria EspacialEspacial Conceitos Primitivos: são conceitos adotados sem definição. 1. Ponto P Características: Não possui dimensão Sua representação geométrica é indicada por letra maiúscula Por um ponto passam infinitas retas
  4. 4. Introdução a GeometriaIntrodução a Geometria EspacialEspacial 2. Reta r Características: É unidimensional e tem comprimento infinito Sua representação geométrica é indicada por letra minúscula Em uma reta há infinitos pontos
  5. 5. Introdução a GeometriaIntrodução a Geometria EspacialEspacial 3. Plano β Características: É bidimensional, possui largura e comprimentos infinitos e não possui espessura. Sua representação geométrica é indicada por letra do alfabeto grego. Com 3 pontos distintos e não colineares determina-se um plano
  6. 6. Introdução a GeometriaIntrodução a Geometria EspacialEspacial 4. Espaço: é o conjunto de todos os pontos, retas e planos. É tridimensional.
  7. 7. r s t Conjunto de todos os pontos, é o mundo físico, tridimensional, por admitir três retas perpendiculares duas a duas.
  8. 8. Introdução a GeometriaIntrodução a Geometria EspacialEspacial Postulados ou Axiomas: São definições que relacionam conceitos primitivos e aceitamos sem demonstração. Teoremas: Propriedades que podem ser justificadas com base nos postulados Proposições geométricas  Com base nos conceitos primitivos já estabelecidos, podemos enunciar proposições que podem ser divididas em duas categorias:
  9. 9. PostuladosPostulados Postulado 1 Existe reta, e numa reta, bem como fora dela há infinitos pontos. Existe plano, e num plano, bem como fora dele há infinitos pontos. A C B
  10. 10. PostuladosPostulados Postulado 2 Por dois pontos distintos passam uma única reta. A B
  11. 11. PostuladosPostulados Postulado 3 Dado três pontos não colineares do espaço, existe um, e somente um, plano que os contém.
  12. 12. PostuladosPostulados Teorema 1: Por uma reta e um ponto fora dela Teorema 2: Por duas retas concorrentes
  13. 13. PostuladosPostulados Teorema 3: Por duas retas paralelas distintas
  14. 14. PostuladosPostulados Postulado 4: Se uma reta possui dois de seus pontos em um plano, então ela está contida no plano. Por dois pontos distintos passam uma única reta (postulado 2)
  15. 15. PostuladosPostulados Postulado 5: Se dois planos possuem um ponto em comum, então eles possuem pelo menos mais de um ponto em comum, ou seja, uma reta em comum P
  16. 16. PostuladosPostulados Postulado 6: Por um ponto qualquer, não pertencente a uma reta r dada, passa uma única reta paralela à r. r
  17. 17. r Retas Reversas: duas retas são reversas quando não existe plano que contém ambas.
  18. 18. Posições entre duasPosições entre duas RetasRetas Concorrentes: Duas retas são concorrentes quando têm um único ponto em comum. P r s Psr =
  19. 19. Posições entre duasPosições entre duas RetasRetas Paralelas: Duas retas são paralelas quando não têm ponto em comum e são coplanares. ∅=sr 
  20. 20. Posições entre duasPosições entre duas RetasRetas Coincidentes: Duas retas são coincidentes quando possuem infinitos pontos em comum. r = s sr =
  21. 21. Posições entre duasPosições entre duas RetasRetas Reversas: Duas retas são reversas quando não existe plano que contém ambas. r s Qual a diferença entre retas paralelas e reversas? Paralelas: não tem ponto em comum e são coplanares Reversas: não tem ponto em comum e não são coplanares.
  22. 22. Posição Relativa entrePosição Relativa entre Reta e PlanoReta e Plano Reta contida no plano: uma reta está contida no plano quando, pelo menos, dois de seus pontos pertencem ao plano. r A B α⊂r
  23. 23. Posição Relativa entrePosição Relativa entre Reta e PlanoReta e Plano Reta e plano concorrentes: quando possuem um único ponto em comum. P r Pr =α
  24. 24. Posição Relativa entrePosição Relativa entre Reta e PlanoReta e Plano Reta e plano paralelos: se uma reta é paralela a um plano, essa reta é paralela a pelo menos uma reta desse plano. Em α existem infinitas retas paralelas, reversas ou ortogonais a r. s r α ∅=⇒ αα rr //
  25. 25. Posição Relativa entrePosição Relativa entre PlanosPlanos Planos paralelos: dois planos são paralelos quanto não possuem ponto em comum. No entanto, uma condição necessária para que dois planos sejam paralelos é que um deles contenha 2 retas concorrentes paralelas ao outro plano. ∅=βα 
  26. 26. Posição Relativa entrePosição Relativa entre PlanosPlanos Planos coincidentes: dois planos são coincidentes quando possuem infinitos pontos em comum. βα =
  27. 27. Posição Relativa entrePosição Relativa entre PlanosPlanos Planos concorrentes: dois planos são concorrentes quando sua intersecção é uma reta. α β P r=βα 
  28. 28. PerpendicularismoPerpendicularismo Entre Retas Retas Perpendiculares: São retas que se encontram e formam ângulo de 90°
  29. 29. PerpendicularismoPerpendicularismo Retas Ortogonais: São retas que não se encontram, mas suas projeções formam um ângulo reto.
  30. 30. PerpendicularismoPerpendicularismo Entre Reta e Plano: uma reta concorrente com um plano, num ponto P, é perpendicular ao plano se é perpendicular a todas as retas do plano que passam por P.
  31. 31. PerpendicularismoPerpendicularismo Teorema: Se uma reta r é perpendicular ou ortogonal a um par de retas concorrentes contidas no plano, então r é perpendicular ao plano.
  32. 32. PerpendicularismoPerpendicularismo Entre Planos: dois planos são perpendiculares se, e somente se, um deles contiver uma reta r que é perpendicular ao outro plano.
  33. 33. Projeção OrtogonalProjeção Ortogonal P P’ Projeção ortogonal de um ponto
  34. 34. Projeção OrtogonalProjeção Ortogonal Projeção ortogonal de um segmento A B
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