Regra de Três e Sociedade

PROF.:THIAGO PACÍFICO

Professor Thiago Pacífico – Matemática aulas 01 e 02

REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA

"Agir com sabedoria assegura o sucesso”.

“Sei que não da pra mudar o começo, mas se agente quiser dá pra mudar o final”

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Duas grandezas (A e B) são diretamente proporcionais quando, aumentando-se o valor de uma
delas um certo número de vezes, o valor correspondente da outra também aumenta o mesmo número de
vezes. Em símbolos, temos:

coeficiente de
A ∼ B ⇔ A = k ⋅ B , onde k =
proporcionalidade

Se duas grandezas são diretamente proporcionais, então a razão de dois valores de uma das
grandezas é igual à razão entre os dois valores a eles correspondentes na outra grandeza.

A 1 = k . B 1
 ⇔ A1 = B1
A 2 = k . B 2 A2 B2

GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Duas grandezas (A e B) são inversamente proporcionais quando, aumentando-se uma delas um
certo número de vezes, o valor correspondente na outra diminui o mesmo número de vezes. Em
símbolos, temos:

1 1 coeficient e de
A~ ⇔ A = k ⋅ , onde k =
B B proporcion alidade

Se duas grandezas são inversamente proporcionais, então a razão entre os dois valores de uma
das grandezas é igual ao inverso da razão entre os dois valores a eles correspondentes na outra
grandeza.

 1
A 1 = k ⋅ B 1
 1 A 1 B1 A1 B
1 ⇔ A2 ⇔
 = = 2
A = k ⋅ 1 A2 B1


2
B2 B2

Observação

Se A ~ B e A ~ C , então A ~ B ⋅ C

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REGRA DE TRÊS SIMPLES

É uma regra prática que nos permite comparar duas grandezas proporcionais, A e B, relacionando
dois valores de A e dois valores de B. Nos problemas, haverá um desses quatro valores que será
desconhecido e deverá ser calculado com base nos três valores dados. Daí o nome regra de três.
Dependendo das grandezas A e B, podemos ter:

REGRA DE TRÊS DIRETA
A e B são grandezas diretamente proporcionais.
A1 B
= 1
A2 B2

REGRA DE TRÊS INVERSA
A e B são grandezas inversamente proporcionais.
A1 B
= 2
A2 B1

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

01. Se uma dúzia de ovos custa R$ 1,40, então quanto deve custar uma bandeja com 30 ovos?

Solução:
Faça uma tabela relacionando a quantidade de ovos ao preço, e por meio de setas verifique se
estas grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

Quantidade de ovos Preço (R$)
12 1,40
30 x

As setas têm o mesmo sentido porque as grandezas são diretamente proporcionais, ou seja,
quanto mais ovos se quer comprar, mais dinheiro se tem que gastar.
12 1,40 30 . 1,40
Logo: = ⇒ x = ⇒ x = 3,50
30 x 12
Resposta: Uma bandeja com 30 ovos deve custar R$3,50.

REGRA DE TRÊS COMPOSTA

É uma regra prática utilizada na resolução de problemas que envolvem várias grandezas
proporcionais. A regra de três composta é realizada da seguinte maneira.
→ 1º Passo: Montamos uma tabela colocando em cada coluna, ordenadamente, os valores de cada
grandeza.
→ 2º Passo: Escolhemos uma grandeza para servir de referência.
→ 3º Passo: Comparamos esta grandeza de referência a cada uma das outras grandezas,
isoladamente, identificando se há proporcionalidade direta (seta de mesmo sentido) ou
inversa (setas invertidas).
→ 4º Passo: Colocamos a razão da grandeza de referência isolada no 1º membro e, no 2º membro,
colocamos o produto das razões das outras grandezas, lembrando que se há
proporcionalidade inversa em relação a uma grandeza, devemos inverter os elementos da
respectiva coluna e escrever a razão inversa no produto.




01. Dezoito operários, trabalhando 7 horas por dia durante 12 dias, conseguem realizar um
determinado serviço. Trabalhando 9 horas por dia, 12 operários farão o mesmo serviço em quantos
dias?

Solução 1:

Montando a tabela e tomando a quantidade de dias como referência, temos:

Operários Horas por dia Dias
18 7 12
12 9 x

Logo:
12  12   9 
=   .   ⇒ 18.7 = 9.x ⇒ x = 14 dias
x  18   7 

Resposta: São necessários 14 dias.

Solução 2:

Montando a tabela e tomando o no de operários como referência, temos:

Operários Horas por dia Dias
18 7 12
12 9 x

Logo:
18  9   x 
=   .   ⇒ 18.7 = 9.x ⇒ x = 14 dias
12  7   12 

Resposta: São necessários 14 dias.

REGRA DE SOCIEDADE

É justo que, em uma sociedade, os lucros e os prejuízos sejam distribuídos entre os vários sócios,
proporcionalmente aos capitais empregados e ao tempo durante o qual estiveram empregados na
constituição dessa sociedade.

Lucro ~ Capital  Lucro
⇒ = cte
Lucro ~ Tempo  Capital ⋅ Tempo

É uma aplicação prática da divisão em partes diretamente proporcionais.




01. João e Maria montaram uma lanchonete. João entrou com R$ 20.000,00 e Maria, com R$
30.000,00. Se ao fim de um ano eles obtiveram um lucro de R$ 7.500,00, quanto vai caber a cada
um?

Solução:

Utilizando a regra da sociedade, vemos que:

lucro J M
= =
capital ⋅ tempo 20000 ⋅ 1 30000 ⋅ 1

onde J é o lucro que cabe ao João e M é o lucro que cabe à Maria. Simplificando a proporção, temos:

J M J + M 7500 J = 3000
= = = = 1500 ⇒ 
2 3 2+3 5 M = 4500

Resposta: João lucrou R$ 3.000,00 e Maria lucrou R$ 4.500,00.

02. Três sócios lucraram juntamente R$ 21.500,00 após um certo investimento. Para tanto, o primeiro
entrou com um capital de R$ 7.000,00, durante 1 ano, o segundo com R$ 8.500,00 durante 8 meses e
o terceiro com R$ 9.000,00 durante 7 meses. Quanto lucrou cada um?

Solução:

Utilizando a regra da sociedade, vemos que:

lucro x y z
= = =
capital ⋅ tempo 7000 ⋅ 12 8500 ⋅ 8 9000 ⋅ 7

onde x, y e z são as partes de cada um no lucro.

Simplificando a proporção, temos:

x y z
= = ⇒
70 ⋅ 12 85 ⋅ 8 90 ⋅ 7

x y z x + y + z 21500
= = = = = 10 ⇒
840 680 630 2150 2150

x = 8400

⇒ y = 6800
z = 6300


Resposta: O primeiro lucrou R$ 8.400,00; o segundo, R$ 6.800,00 e o terceiro, R$ 6.300,00.



QUESTÕES DE CONCURSOS

01. Uma máquina, funcionando durante 5 horas, enche 120 vasilhas de detergente. Quantas
vasilhas ela encheria se funcionasse durante 8 horas?

02. Vinte homens fazem um determinado serviço em 10 dias. Para fazer o mesmo trabalho em 8
dias, quantos homens, com a mesma capacidade dos primeiros, seriam necessários?

03. A água do mar contém 2,5 g de sal para cada 100 g de água. Quantos gramas de sal
teremos em 5 kg de água do mar? (Observação: você deve transformar 5 kg em gramas)

04. Usando telha francesa, precisamos de 15 telhas para cobrir 1,5 m² de telhado. Quantas
telhas serão necessárias para cobrir 85 m² de telhado?

05. Sabemos que a carga máxima de um elevador é de 7 adultos com 80 kg cada um. Quantas
crianças, pesando 35 kg cada uma, atingiriam a carga máxima desse elevador?

06. Em uma tecelagem, 12 teares produzem 600 m de tecido em 5 dias. Em quantos dias 15
teares deverão produzir 1200 m do mesmo tecido?



07. Em 3 horas, 4 torneiras despejam 4200 litros de água. Em quantas horas 5 dessas torneiras
despejam 7000 litros de água?

08. Uma pilha de 50 jornais iguais, com 30 páginas cada um, pesa 7,5 kg. Quantos quilogramas
pesaria uma pilha de 100 jornais, com 20 páginas cada um?

09. Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes
para o almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a
quantidade de marmitas já adquiridas seria suficiente para quantos dias?
a) 5
b) 10
c) 15
d) 20
e) 8

10. Se 10 operários trabalhando 6 horas por dia fazem determinado serviço em 20 dias, em
quantos dias 15 operários, trabalhando 8 horas por dia, fazem o mesmo serviço.
a) 6
b) 10
c) 12
d) 15
e) 18

11. Um mecânico regula um automóvel modelo X em 40 minutos, enquanto seu auxiliar realiza
o mesmo trabalho em duas horas. Trabalhando juntos, regularão 3 automóveis do mesmo
modelo X em:
a) 70 minutos
b) 80 minutos
c) 90 minutos
d) 100 minutos



12. Uma torneira enche um tanque em 6 horas, uma segunda torneira enche em 3 horas e uma
válvula de escape seca o tanque em 12 horas. Se as duas torneiras e a válvula forem abertas
no mesmo instante, em quanto tempo o tanque ficará cheio?
a) em 1 hora e 30 minutos
b) em 2 horas
c) em 2 horas e 24 minutos
d) o tanque nunca encherá

13. Para pintar um barco, 12 pessoas levam 8 dias de trabalho. Quantas pessoas, de mesma
capacidade operacional, são necessárias para pintar o mesmo barco em 6 dias?
a) 9
b) 13
c) 15
d) 16
e) 18

14. Um comprador de gado paga por cada animal um valor diretamente proporcional ao peso e
inversamente proporcional à idade. Sabe-se que o valor de um animal de peso P1 e com 7 anos
de idade é R$ 12.000,00. Qual é o valor de um animal com 5 anos de idade e de peso P2, com
P1 3
= ?
P2 5
a) 15.000 reais
b) 18.000 reais
c) 20.000 reais
d) 24.000 reais
e) 28.000 reais

15. Sabe-se que 5 máquinas, todas de igual eficiência, são capazes de produzir 500 peças em 5
dias, se operarem 5 horas por dia. Se 10 máquinas iguais às primeiras operassem 10 horas
por dia durante 10 dias, o número de peças produzidas seria:
a) 1000
b) 2000
c) 4000
d) 5000
e) 8000

16. Uma fábrica produz normalmente 3000 peças em 2,5 dias de trabalho, operando com 6
máquinas de igual capacidade operacional. No momento, porém, com duas das máquinas sem
funcionar, a fábrica deve atender a uma encomenda de 4000 peças. Quantos dias de trabalho
serão necessários?
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9



17. Trabalhando 10 horas, durante 15 dias, 8 pedreiros fizeram uma parede de concreto de
48m2• Se estivessem trabalhando 12 horas diárias e se o número de operários fosse reduzido
de 2, quantos dias levariam para fazer outra parede cuja área fosse o dobro daquela?
a) 33 dias
b) 33 dias e 8 horas.
c) 33 dias e 4 horas.
d) 33 dias e 6 horas.
e) 33 dias e 5 horas.

18. Thiago Pacífico e Rodrigo formaram uma sociedade. Thiago Pacífico fundou a empresa
com o capital social de R$ 600 mil e admitiu Rodrigo, 4 meses depois, com a metade do seu
capital. No fim de um ano de atividade, apurou-se um lucro de R$ 288 mil após o balanço. Que
parte do lucro coube a Thiago Pacífico?
a) 256mil
b) 226mil
c) 216mil
d) 180mil
e) 72mil

19. Dois sócios, ao constituírem uma sociedade, entraram, respectivamente, com os capitais
de R$ 150.000,00 e R$ 120.000,00. Na divisão dos lucros, o primeiro recebeu R$ 54.000,00 a
mais do que o segundo. Quanto recebeu o segundo?
a) 256mil
b) 226mil
c) 216 mil
d) 196 mil

20. Uma firma é constituída por 2 sócios A e B cujos capitais investidos são 200 e 350 mil reais
respectivamente. Todo lucro ou prejuízo é dividido entre os dois, proporcionalmente ao capital
investido. A firma acusou um prejuízo de 121 mil reais.
As parcelas do prejuízo correspondentes a cada sócio são respectivamente:
a) 20 e 101 mil reais.
b) 40 e 70 mil reais.
c) 44 e 77 mil reais.
d) 79 e 72 mil reais.
e) 100 e 21 mil reais.

21. Thiago Pacífico e Igor constituíram uma sociedade comercial, em que Thiago Pacífico
entrou com R$ 2 milhões e Igor com R$ 2,5 milhões. Após 8 meses, Thiago Pacífico aumentou
sua participação para R$ 3,5 milhões e Igor diminuiu seu capital para R$ 1,5 milhão. No fim de
1 ano e 6 meses, houve um lucro de R$ 344 mil. Qual foi a parte de Thiago Pacífico?
a) R$ 140 mil
b) R$ 144 mil
c) R$ 184 mil
d) R$ 204 mil
e) R$ 224 mil



22. O lucro de R$ 14.000,00 da empresa Concursos S/A, será dividido entre seus dois sócios.
Thiago Pacífico aplicou na empresa R$2.000,00 por 6 meses e Rinaldo aplicou R$4.000,00 por
4 meses. Quanto, respectivamente, coube a cada um deles?
a) R$ 4.000,00 e R$ 10.000,00
b) R$ 6.000,00 e R$ 8.000,00
c) R$ 7.000,00 e R$ 7.000,00
d) R$ 9.000,00 e R$ 5.000,00

23. Três sócios lucraram juntamente R$21.500,00. Para tanto, o primeiro entrou com um capital
de R$7.000,00 durante 1 ano, o segundo com R$8.500,00 durante 8 meses e o terceiro com
R$9.000,00 durante 7 meses. Quanto lucrou cada um?
a) R$8400,00 para o 1o , R$6800,00 ao segundo e R$6300,00 ao outro
b) R$9400,00 para o 1o , R$5500,00 ao segundo e R$6600,00 ao terceiro
c) R$7500,00 para o primeiro, R$6500,00 ao segundo e R$7300,00 ao ultimo
d) R$8000,00 para o 1o , R$7800,00 ao 2o e R$5100,00 ao 3o

24. Uma herança de R$ 90.000,00 deverá ser dividida entre os filhos do Sr. Ricardo, de tal
modo que o valor que cada um receba seja diretamente proporcional ao número de netos
dados ao pai e inversamente proporcional a sua idade. Julgue os itens abaixo com relação a
quantia que coube a cada um dos filhos, sabendo que Agnaldo tem 20 anos e 5 filhos, Beto
tem 30 anos e apenas 2 filhos e Carlos tem 40 anos e 4 filhos. Aponte o único item
VERDADEIRO a seguir.
a) A maior quantia coube ao filho mais velho.
b) O filho mais novo recebeu mais que os outros dois juntos.
c) O caçula recebeu 54% da herança.
d) Os valores recebidos formam um progressão aritmética.

25. Suponha que x2 macacos comem x3 bananas em x minutos (onde x é um número natural
dado). Em quanto tempo espera-se que 5 destes macacos comam 90 bananas?
a) 11 minutos
b) 18 minutos
c) 16 minutos
d) 13 minutos
e) 15 minutos

26. Uma máquina que, trabalhando sem interrupção, fazia 90 fotocópias por minuto foi
substituída por outra 50% mais veloz. Suponha que a nova máquina tenha que fazer o mesmo
número de cópias que a antiga, em uma hora de trabalho ininterrupto, fazia.
Para isso, a nova máquina vai gastar um tempo mínimo, em minutos, de:
a) 25
b) 30
c) 35
d) 40



27. Três operários, trabalhando juntos, gastam três dias para executar uma tarefa. O primeiro,
trabalhando sozinho, faz a mesma tarefa em seis dias e o segundo, em dez dias. Supondo-se
que trabalhando em grupo ou individualmente os operários têm o mesmo rendimento, o
tempo, em dias, que o terceiro operário gasta para cumprir a mesma tarefa, trabalhando
sozinho, é:
a) 12
b) 15
c) 16
d) 18

28. A média aritmética das notas dos alunos de uma turma formada por 25 meninas e 5
meninos é igual a 7. Se a média aritmética das notas dos meninos é igual a 6, a média
aritmética das notas das meninas é igual a:
a) 6,5
b) 7,2
c) 7,4
d) 7,8
e) 8,0

29. No Banco Dimdim, em dias normais, na agência central, 10 caixas atendem 900 pessoas
−
trabalhando 6 horas diárias. Em uma segunda−feira chuvosa dois caixas faltaram por conta de
uma virose e o gerente quer uma previsão de quantas pessoas poderão ser atendidas nas 2
horas iniciais, quando o nível de dificuldade é duas vezes maior. Podemos afirmar que o
número de pessoas atendinas nesse intervalo é de aproximadamente:
a) 240
b) 150
c) 120
d) 90
e) 60

30. Para construir uma ponte em 75 dias de 8 horas diárias de trabalho, foram contratados 100
operários. Como se deseja terminar a obra em 40 dias de 10 horas diárias de trabalho,
determine quantos operários a mais devem ser contratados.
a) 150
b) 125
c) 40
d) 50

31. Desenvolvendo uma velocidade média de 18km por hora, um pedestre correu durante 1h
20min. Se tivesse desenvolvido a velocidade média de 15km por hora, teria feito o mesmo
percurso em quanto tempo?
a) 1h 16min
b) 1h 26min
c) 1h 36min
d) 1h 46min
e) 1h 30min



32. Antônio demora 1 hora e 30 min para pintar 10m2 de parede, enquanto seu auxiliar Baltazar
demora 3 horas para executar o mesmo serviço. Quanto tempo os dois juntos pintam 20m2 de
parede?
a) 1 hora
b) 1 hora e 30 min
c) 2 horas
d) 2 horas e 30 min

33. Para remoção das vítimas da enchente de uma cidade foram necessários 480 homens
trabalhando durante 8 dias. Quantos homens seriam necessários para se fazer o mesmo
trabalho em 6 dias?
a) 720
b) 640
c) 580
d) 520

34. O lucro de R$ 14.000,00 da lanchonete WR, será dividido entre seus dois sócios. Wendel
aplicou na empresa R$2.000,00 por 6 meses e Rinaldo aplicou R$4.000,00 por 4 meses.
Quanto, respectivamente, coube a cada um deles?
a) R$ 4.000,00 e R$ 10.000,00
b) R$ 6.000,00 e R$ 8.000,00
c) R$ 7.000,00 e R$ 7.000,00
d) R$ 9.000,00 e R$ 5.000,00

GABARITO
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
192 25 125 850 16 8 4 10 C B C C D E C A B C C C
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
D B A B B D B B C D C C B B



NOÇÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA

“Não se preocupe com a distância entre seus sonhos e a realidade. Se você pode sonhá-
los você pode realizá-los”.
"As únicas pessoas que nunca fracassam são as que nunca tentam”.
“A persistência é o menor caminho do êxito”.

PORCENTAGEM

p
p% =
100
Exemplos:
27% = 27/100 = 0,27 0,5% = 0,5/100 = 0,005
Observação

p
p‰ =
1000
Exemplos:
2 0 00 = 2/1000 = 0,002 29 0 00 = 29/1000 = 0,029 315 0 00 = 315/1000 = 0,315


01. Um fichário tem 25 fichas numeradas, sendo que 52% dessas fichas estão etiquetadas com
número par. Quantas fichas têm a etiqueta com número par?
Solução:

Representando por x o número de fichas que têm etiqueta com número par e lembrando que
52% = 52/100 = 0,52, temos:
x = 52% de 25
x = 0,52 . 25
x = 13

Resposta: Nesse fichário há 13 fichas etiquetadas com número par.

02. No torneio pré-olímpico de basquete, realizado na Argentina em agosto de 1995, a seleção
brasileira disputou 4 partidas na 1ª fase e venceu 3. Qual é a porcentagem de vitórias obtidas pelo
Brasil nessa fase?
Solução 1:

Vamos indicar por x% o número que representa essa porcentagem. O problema pode, então, ser
expresso por:
x% de 4 é igual a 3
Isso resulta na equação:
x
⋅ 4 = 3 ⇒ 4x = 300 ⇒ x = 75
100



Solução 2:

Do Enunciado temos:
3 75
= 0,75 = = 75%
4 100

Resposta: O Brasil venceu 75% dos jogos que disputou nessa fase.

03. Numa indústria trabalham 255 mulheres. Esse número corresponde a 42,5% do total de
empregados. Quantas pessoas trabalham, ao todo, nessa indústria?

Solução:

Vamos representar por x o número total de empregados dessa indústria. Esse problema pode ser
expresso por:
42,5% de x é igual a 255
42,5
Sabendo que 42,5% = = 0,425, podemos formar a equação:
100
0,425 . x = 255
255
x= ⇒ x = 600
0,425

Resposta: Nessa indústria trabalham, ao todo, 600 pessoas.

04. Ao comprar uma mercadoria, obtive um desconto de 8% sobre o preço marcado na etiqueta. Se
paguei R$ 690,00 pela mercadoria, qual o preço original dessa mercadoria?
Solução:

Se obtive 8% de desconto, o preço que paguei representa 100% − 8% = 92% do preço original.
Representando o preço original da mercadoria por x, esse problema pode ser expresso por:

92% de x é igual a 690
92
Sabendo que 92% = = 0,92, podemos formar a equação:
100

0,92 . x = 690 ⇒ 0,92x = 690
690
x= ⇒ x = 750
0,92

Resposta: O preço original da mercadoria era R$ 750,00.

05. 40% de 20% corresponde a quantos por cento?
Solução:

Representando por x% a taxa de porcentagem procurada, o problema se reduz a: 40% de 20% é
igual a x.
Se 40% = 0,40 e 20% = 0,20, temos a equação:
8
0,40 . 0,20 = x ⇒ x = 0,08 ⇒ 0,08 = = 8%
100

Resposta: Assim, 40% de 20% corresponde a 8%.



06. Uma geladeira, cujo preço à vista é de R$ 680,00 tem um acréscimo de 5% no seu preço se for
paga em 3 prestações iguais. Qual é o valor de cada prestação?

Solução:

5% de 680 = 0,05 . 680 = 34 (acréscimo)
680 + 34 = 714 (preço em 3 prestações iguais)
714 : 3 = 238 (valor de cada prestação)

Resposta: Então, o valor de cada prestação é de R$ 238,00.

07. O salário de um trabalhador era de R$ 840,00 e passou a ser de R$ 966,00. Qual foi a
porcentagem de aumento?

Solução 1:

966 – 840 = 126 (aumento em reais)

x% de 840 = 126

126 18 3 15 (aumento em
= = = → 15%
840 120 20 100 porcentage m)

Solução 2:

x% de 840 = 966 (salário anterior mais aumento)

966 138 23 115
= = = → 115% → 100% + 15%
840 120 20 100
↓

aument

Resposta: Logo, a porcentagem de aumento foi de 15%.

08. Paulo gastou 40% do que tinha e ainda ficou com R$ 87,00. Quanto ele tinha e quanto gastou, em
reais?

Solução:

Se ele gastou 40%, a quantia de R$ 87,00 corresponde a 60% do que possuía.

Fazemos então 60% de ? = 87.

60 3
= ⇒ 87 / 3 = 29 ⇒ 29.5 = 145 (quanto ele tinha)
100 5

Quanto ele gastou:

145 – 87 = 58 ou 40% de 145 = 58

Resposta: Paulo tinha R$ 145,00 e gastou R$ 58,00.



09. Laura gastou R$ 900,00 na compra de uma bicicleta, de um aparelho de som e de uma estante. A
bicicleta custou R$ 60,00 a menos que a estante e o preço do aparelho de som corresponde a 80%
do preço da bicicleta. Quanto custou cada uma das mercadorias?

Solução:

Preço da estante: x

Preço da bicicleta: x – 60
4( x − 60 )
Preço do aparelho de som: 80% de ( x − 60) →
5
80 4
=
100 5
4( x − 60 ) 5 040
x + x – 60 + = 900 ⇒ 5x + 5x – 300 + 4x – 240 = 4 500 ⇒ 14x = 5 040 ⇒ x = = 360
5 14
Resposta: Logo, os preços foram:
Estante: R$ 360,00
Bicicleta: R$ 300,00 (360 – 60)
Aparelho de som: R$ 240,00 (80% de 300)

JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTO

CONCEITO
A Matemática Financeira tem por objetivo estudar as diversas formas de evolução do valor do
dinheiro no tempo, bem como as formas de análise e comparação de alternativas para aplicação /
obtenção de recursos financeiros.

CAPITAL
É qualquer valor expresso em moeda (dinheiro ou bens comercializáveis) disponível em
determinada época. Referido montante de dinheiro também é denominado de capital inicial ou principal.

JUROS
É o aluguel que deve ser pago ou recebido pela utilização de um valor em dinheiro durante um
certo tempo; é o rendimento em dinheiro, proporcionado pela utilização de uma quantia monetária, por
um certo período de tempo.

TAXA DE JUROS
É um coeficiente que corresponde à razão entre os juros pagos ou recebidos no fim de um
determinado período de tempo e o capital inicialmente empatado.

Exemplo:
Capital Inicial: $ 100
Juros: $ 150 - $ 100 = $ 50
Taxa de Juros: $ 50 / $ 100 = 0,5 ou 50 % ao período

Observação

A taxa de juros sempre se refere a uma unidade de tempo (dia, mês, ano, etc.) e pode ser
apresentada na forma percentual ou unitária.



→ Taxa de Juros unitária

A taxa de juros expressa na forma unitária é quase que exclusivamente utilizada na aplicação de
fórmulas de resolução de problemas de Matemática Financeira; para conseguirmos a taxa unitária (0.05)
a partir da taxa percentual (5 %), basta dividirmos a taxa percentual por 100:

5 % / 100 = 0.05

MONTANTE

Denominamos Montante ou Capital Final de um financiamento (ou aplicação financeira) a soma do
Capital inicialmente emprestado (ou aplicado) com os juros pagos (ou recebidos).

Capital Inicial = $ 100
+ Juros = $ 50
= Montante = $ 150

REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO

Quando um capital é emprestado ou investido a uma certa taxa por período ou diversos períodos
de tempo, o montante pode ser calculado de acordo com 2 regimes básicos de capitalização de juros:
• Capitalização simples;
• Capitalização composta;

→ Capitalização Simples

Somente o capital inicial rende juros, ou seja, os juros são devidos ou calculados exclusivamente
sobre o principal ao longo dos períodos de capitalização a que se refere a taxa de juros

→ Capitalização Composta

Os juros produzidos ao final de um período são somados ao montante do início do período
seguinte e essa soma passa a render juros no período seguinte e assim sucessivamente.

Observações

• Comparando-se os 2 regimes de capitalização, podemos ver que para o primeiro período
considerado, o montante e os juros são iguais, tanto para o regime de capitalização simples quanto
para o regime de capitalização composto;

• Salvo aviso em contrário, os juros devidos no fim de cada período (juros postecipados) a que se
refere a taxa de juros.

• No regime de capitalização simples, o montante evolui como uma progressão aritmética, ou seja,
linearmente, enquanto que no regime de capitalização composta o montante evolui como uma
progressão geométrica, ou seja, exponencialmente.



JUROS SIMPLES

CONCEITO
É aquele pago unicamente sobre o capital inicial ou principal

J=Cxixn
Onde:
J = juros
C = capital inicial
i = taxa unitária de juros
n = número de períodos que o capital ficou aplicado

Observações

• A taxa i e o número de períodos n devem referir-se à mesma unidade de tempo, isto é, se
a taxa for anual, o tempo deverá ser expresso em anos; se for mensal, o tempo deverá ser expresso
em meses, e assim sucessivamente;

• Em todas as fórmulas matemáticas utiliza-se a taxa de juros na forma unitária (taxa
percentual ou centesimal, dividida por 100).

JURO COMERCIAL
Para operações envolvendo valores elevados e períodos pequenos (1 dia ou alguns dias) pode
haver diferença na escolha do tipo de juros a ser utilizado. O juro Comercial considera o ano comercial
com 360 dias e o mês comercial com 30 dias.

JURO EXATO
No cálculo do juro exato, utiliza-se o ano civil, com 365 dias (ou 366 dias se o ano for bissexto) e
os meses com o número real de dias.

Observação

Sempre que nada for especificado, considera-se a taxa de juros sob o conceito comercial.

TAXA NOMINAL

É a taxa usada na linguagem normal, expressa nos contratos ou informada nos exercícios; a taxa
nominal é uma taxa de juros simples e se refere a um determinado período de capitalização.

MONTANTE

É o CAPITAL acrescido dos seus JUROS.

M = C (1 + i x n)
• A fórmula requer que a taxa i seja expressa na forma unitária;
• A taxa de juros i e o período de aplicação n devem estar expressos na mesma unidade de
tempo;



JUROS COMPOSTOS

CONCEITO

No regime de Juros Compostos, no fim de cada período de tempo a que se refere a taxa de juros
considerada, os juros devidos ao capital inicial são incorporados a este capital. Diz-se que os juros são
capitalizados, passando este montante, capital mais juros, a render novos juros no período seguinte.

JUROS COMPOSTOS

São aqueles em que a taxa de juros incide sempre sobre o capital inicial, acrescidos dos juros
acumulados até o período anterior.

CÁLCULO DO MONTANTE

Vamos supor o cálculo do montante de um capital de $ 1.000, aplicado à taxa de 10 % a.m.,
durante 4 meses.

Capital Juros Montante
(C) (J) (M)

1º Mês 1.000 100 1.100

2º Mês 1.100 110 1.210

3º Mês 1.210 121 1.331

4º Mês 1.331 133 1.464

Pode-se constatar que a cada novo período de incidência de juros, a expressão (1 + i) é elevada à
potência correspondente.

M = C (1 + i)t
Onde:
M = Soma dos Montantes
C = Principal ou Capital Inicial
i = taxa de juros por período
t = nº. de períodos considerados

Observação

A taxa de juros i e o período de aplicação t devem estar expressos na mesma unidade de tempo;




01. Um investidor quer aplicar a quantia de $ 800 por 3 meses, a uma taxa de 8 % a.m., para retirar
no final deste período. Quanto irá retirar?

Solução:

S=?

0 i = 8 % a.m.

$ 800 t=3

Dados:
C = $ 800
t = 3 meses
i = 8 % a.m. = 0.08 a.m.

Pede-se: M = ?
M = P (1 + i) n
M = 800 x (1 + 0.08) 3
M = 800 x (1.08) 3
M = $ 800 x 1.08 x 1.08 x 1.08
M = $ 1.007,79

VALOR ATUAL

Considere-se que se deseja determinar a quantia C que deve ser investida à taxa de juros i para
que se tenha o montante M, após t períodos, ou seja, calcular o valor atual de M.
Basta aplicarmos a fórmula do Montante, ou Soma dos Montantes, para encontrarmos o valor atual.

C = M / (1 + i)t
Onde:
M = Soma dos Montantes
C = Principal (VALOR ATUAL)
i = taxa de juros
t = nº de períodos considerados



QUESTÕES DE CONCURSOS

01. O preço de um aparelho elétrico com um desconto de 40% é igual a R$ 36,00. Calcule, em
reais, o preço deste aparelho elétrico, sem este desconto.

02. Uma pessoa pagou 18 dólares, de entrada, na compra de um rádio, restando pagar 75% do
preço combinado. Determine, em dólares, o preço do rádio.

03. Se o salário de um metalúrgico sofre uma redução de 20%, de quanto deverá ser o
aumento, em percentual, para ele readquirir exatamente o salário original?

04. Um produto sofreu um aumento de 25%. Em seguida, devido a variações no mercado, seu
preço teve que ser reduzido também em 25%, passando a custar R$ 225,00. O preço desse
produto, antes do aumento, era, em reais:
a) 225,00
b) 240,00
c) 260,00
d) 300,00

05. José e João possuem uma empresa cujo capital é de R$ 150.000,00. José tem 40% de
participação na sociedade e deseja aumentar a sua participação para 55%. Se João não deseja
alterar o valor, em reais, de sua participação, o valor que José deve empregar na empresa é:
a) R$ 110.000,00
b) R$ 170.000,00
c) R$ 82.500,00
d) R$ 90.000,00
e) R$ 50.000,00



06. Numa competição, cada participante pode responder a um máximo de 1.000 perguntas.
Num determinado momento, um dos participantes alcançou 80% de acerto nas 450 questões
até então respondidas. Se a partir deste momento este participante conseguir acertar todas as
perguntas que lhe forem formuladas e se o seu objetivo for elevar para 90% o índice de
acertos entre as questões respondidas, quantas perguntas ele ainda terá que responder?
a) 150
b) 250
c) 350
d) 450

07. Dos 3840 candidatos inscritos num Concurso, 15% não compareceram à prova (sendo,
portanto, eliminados) e 1728 dos que compareceram foram reprovados. O percentual, com
relação ao número de inscritos, dos candidatos aprovados foi:
a) 35%
b) 40%
c) 45%
d) 50%

08. Numa sala há 100 pessoas, das quais 97 são homens. Para que os homens representem
96% das pessoas contidas na sala, deverá sair que número de homens?
a) 2
b) 5
c) 10
d) 15
e) 25

09. Das 1200 pessoas entrevistadas numa pesquisa eleitoral, 55% eram mulheres. Das
mulheres, 35% eram casadas. O número de mulheres casadas participantes da pesquisa foi:
a) 132
b) 231
c) 312
d) 321

10. Em uma sala de aula de 80 alunos, o número de mulheres é o triplo do número de homens.
A seguir, aponte a única alternativa ERRADA.
a) as mulheres representam mais 70% da sala.
b) os homens representam 25% do total de alunos.
c) o número de mulheres é 200% maior que o número de homens.
d) o número de homens representa 25% do número de mulheres.

11. A razão entre a terça parte de 0,27 e o dobro de 0,2, nessa ordem, é x%, então calcule o
valor de 2x.
a) 40
b) 45
c) 50
d) 55



12. Uma pessoa gasta 15% do seu salário com aluguel. Se o aluguel aumenta 26% e o salário
5%, que percentagem do salário esta pessoa passará a gastar com aluguel?
a) 15%
b) 16%
c) 18%
d) 20%

13. Descontos sucessivos de 20% e 30% são equivalentes a um único desconto de:
a) 26%
b) 44%
c) 56%
d) 50%

14. Dona Menina investiu 20% de suas economias comprando Euro e o restante comprando
Dólar. Sabendo que o Euro valorizou 10% em 6 meses e o Dólar caiu 20% ao final do mesmo
período, determine o que aconteceu com o investimento que ela fez.
a) rendeu 10%
b) reduziu 10%
c) rendeu 14%
d) reduziu 14%

15. Um comerciante resolve aumentar em 20% o preço de todos os produtos de sua loja, para
em seguida, anunciar uma liquidação de 20% em todos os produtos dessa loja. Podemos
afirmar que o novo em relação ao preço antes do aumento:
a) sofre um aumento de 4%.
b) sofre uma redução de 4%.
c) dependerá do preço de cada produto.
d) não sofreu alteração, portanto ele não ganha nem perde com isso.

13
16. Numa festa, a razão entre o número de moças e o de rapazes é A porcentagem de
12
rapazes na festa é:
a) 44 %
b) 45 %
c) 40 %
d) 48 %
e) 46 %

17. Numa loja, o preço de um produto tem um desconto de 15% se for pago à vista ou um
acréscimo de 5% se for pago com cartão de crédito. Tendo optado pelo cartão, uma pessoa
pagou R$ 80,00 de acréscimo em relação ao que pagaria, com desconto, à vista. Então a soma
dos preços do produto à vista com desconto e no cartão é:
a) R$ 700,00
b) R$ 740,00
c) R$ 760,00
d) R$ 720,00
e) R$ 780,00



18. Em um grupo de pessoas, 70% não possuem curso superior e 30% possuem. O salário dos
que não possuem curso superior é de R$ 500,00 e o salário dos que possuem é de R$
1.500,00. O salário médio do grupo é de:
a) R$ 800,00
b) R$ 866,00
c) R$ 900,00
d) R$ 1.000,00
e) R$ 1.200,00

19. Um comerciante deu um desconto de 20% sobre o preço de venda de uma mercadoria e,
mesmo assim, conseguiu um lucro de 20% sobre o preço que pagou pela mesma. Se o
desconto não fosse dado, seu lucro, em porcentagem, seria:
a) 40%
b) 45%
c) 50%
d) 55%
e) 60%

20. Thiago Pacífico comprou um carro que a vista custaria R$ 10.000,00, e combinou com o
vendedor de pagar 40% de entrada e o restante em duas prestações. Cada prestação foi
calculada da seguinte forma: juros de 2% ao mês sobre o saldo devedor e este saldo corrigido
foi dividido pelo número de prestações a pagar. No total, a pessoa que comprou o carro pagou
(desprezando centavos):
a) R$ 10.159,00
b) R$ 10.202,00
c) R$ 10.194,00
d) R$ 10.058,00
e) R$ 10.181,00

21. Se o seu salário subiu 56%, e os preços subiram 30%, de quanto aumentou o seu poder de
compra?
a) 20%
b) 21%
c) 23%
d) 25%
e) 26%

22. João recebeu um aumento salarial de 15% no início do mês de março e, no último dia do
mesmo mês, recebeu um outro aumento de 20% sobre seu novo salário. Qual o percentual
total de aumento que João recebeu em março?
a) 32%
b) 35%
c) 38 %
d) 135%



23. Joãozinho gastou a metade do dinheiro que tinha com um presente que comprou para a
sua mãe. Em seguida, gastou 30% do que lhe restou, na compra de um jogo, e ainda ficou com
R$ 63,00. Quantos reais tinha Joãozinho antes das compras?
a) 120
b) 150
c) 180
d) 200
e) 420

24. Um produto custava, em certa loja, R$ 200,00. Após dois aumentos consecutivos de 10%,
foi colocado em promoção com 20% de desconto. Qual o novo preço do produto (em R$)?
a) 176,00
b) 192,00
c) 193,60
d) 200,00
e) Nenhuma das respostas anteriores

25. Um vendedor ambulante vende seus produtos com um lucro de 50% sobre o preço de
venda. Então, qual o seu lucro, sobre o preço de custo?
a) 50%
b) 75%
c) 100%
d) 150%

26. O imposto sobre a venda de determinado bem é de 5%. Se o bem foi adquirido por 900
reais e teve um lucro de 10% sobre o preço de venda, qual o valor pago de imposto?
a) 45 reais
b) 50 reais
c) 70 reais
d) 90 reais

27. O preço de um aparelho é P reais. Como eu só possuo X reais, que correspondem a 70% de
P, mesmo que me fosse concedido um abatimento de 12% no preço, ainda faltariam R$ 54,00
reais para que eu pudesse comprar esse aparelho. Nessas condições, a quantia que possuo:
a) 210,00
b) 230,00
c) 250,00
d) 270,00

28. Thiago atrasou o pagamento de um boleto bancário de R$ 120,00, que venceu dia 12 de
janeiro de 2007. Em caso de atraso será cobrada multa de 4% de juros simples de 3% a.m..
Quanto seria o total pago por ele no dia 21 de junho do mesmo ano?
a) 139,20
b) 144,00
c) 153,00
d) 162,40



29. Em determinada data, uma pessoa aplica R$ 10.000,00 à taxa de juros simples de 2% ao
mês. Decorridos 2 meses, outra pessoa aplica R$ 8.000,00 à taxa de juros simples de 4% ao
mês. No momento em que o montante referente ao valor aplicado pela primeira pessoa for
igual ao montante referente ao valor aplicado pela segunda pessoa, o total dos juros
correspondente à aplicação da primeira pessoa será de:
a) R$ 4.400,00
b) R$ 4.000,00
c) R$ 3.600,00
d) R$ 3.200,00
e) R$ 2.800,00

30. Determinado capital aplicado a juros simples durante 18 meses rendeu R$ 7.200,00. Sabe-
se que, se o dobro deste capital fosse aplicado a juros simples com a mesma taxa anterior,
geraria, ao final de dois anos, o montante de R$ 40.000,00. O valor do capital aplicado na
primeira situação foi:
a) R$ 24.000,00
b) R$ 20.800,00
c) R$ 15.200,00
d) R$ 12.500,00
e) R$ 10.400,00

31. Fátima aplicou R$ 1.000,00 a uma taxa de juros compostos de 10% ao mês e por um prazo
de 1 trimestre. Tendo sido as capitalizações mensais, qual será o valor de resgate?
a) R$ 1.331,00
b) R$ 1.300,00
c) R$ 331,00
d) R$ 300,00
e) R$ 1.000,00

32. O preço de certa mercadoria sofre anualmente um acréscimo de 100%. Supondo que o
preço atual seja R$ 100,00, daqui a 3 anos o preço será:
a) R$ 300,00
b) R$ 400,00
c) R$ 600,00
d) R$ 800,00

33. O capital que quadruplica em 2 meses, ao se utilizar de capitalização composta, deve estar
vinculado a uma taxa mensal de:
a) 50%
b) 100%
c) 150%
d) 200%



34. Uma aplicação de R$ 3.000,00 rendeu R$ 2.370,00 em 10 meses. Qual a taxa mensal
composta de juros dessa operação?
a) 2%
b) 4%
c) 6%
d) 8%

35. Por quanto tempo deve ser aplicado um capital de R$ 5.000,00, em regime de juros
compostos e taxa de 6% a.t., para gerar um montante de R$ 7.518,00?
a) 7 anos
b) 2 anos e 1 mês
c) 1 ano e 9 meses
d) 1 ano e 3 meses

36. Carlos recebeu R$240 000,00 pela venda de um imóvel. Gastou metade dessa quantia na
compra de um apartamento no litoral e investiu o dinheiro que restou em fundos de
investimentos de três instituições financeiras: 40% no Banco A, 30% no Banco B e 30% no
Banco C. Após um ano, vendeu o apartamento do litoral por R$144 000,00 e resgatou as
aplicações, cujos rendimentos anuais foram de +20%, −10% e +30%, respectivamente, nos
Bancos A, B e C. É correto afirmar que, em um ano, Carlos aumentou o capital de R$240
000,00, recebido inicialmente, em:
a) 80%
b) 36%
c) 20%
d) 18,50%
e) 17%

37. O preço à vista de uma mercadoria é de R$ 130,00. O comprador pode pagar 20% de
entrada no ato da compra e o restante em uma única parcela de R$ 128,96, vencível em 3
meses. Admitindo-se o regime de juros simples comerciais, a taxa de juros anual cobrada na
venda a prazo é de:
a) 94%
b) 96%
c) 98%
d) 100%

38. Thiago Pacífico devia, em seu cartão de crédito, R$ 1.000,00. Como não conseguiu pagar,
em dois meses essa dívida aumentou para R$ 1.440,00. Nesse caso, qual foi a taxa de juros
simples cobrada mensalmente pelo cartão de crédito?
a) 7,2%
b) 14,4%
c) 20%
d) 22%
e) 44%



39. José emprestou R$ 500,00 a João por 5 meses, no sistema de juros simples, a uma taxa de
juros fixa e mensal. Se no final dos 5 meses José recebeu um total de R$ 600,00, então a taxa
fixa mensal aplicada foi de:
a) 0,2%.
b) 0,4%.
c) 2%.
d) 4%.
e) 6%.

40. Nas compras à vista, um comerciante oferece 10% de desconto sobre o preço de etiqueta e,
a prazo, divide o preço de etiqueta em dois pagamentos iguais sem acréscimo: uma entrada e
um pagamento em 30 dias. Na verdade, o comerciante está embutindo nessa transação uma
taxa mensal de juros de:
a) 10%
b) 15%
c) 20%
d) 25%
e) 30%

41. O dono de um supermercado comprou de seu fornecedor um produto por x reais (preço de
custo) e passou a revende-lo com um lucro de 50%. Ao fazer um dia de promoções, ele deu
aos clientes do supermercado um desconto de 20% sobre o preço de venda deste produto.
Pode-se afirmar que, no dia de promoções, o dono do supermercado teve, sobre o preço de
custo,
a) prejuízo de 10%
b) prejuízo de 5%
c) lucro de 20%
d) lucro de 25%

42. Certa pessoa tomou um empréstimo de R$12 000,00 a juros compostos de 5% ao mês. Dois
meses depois, pagou R$7 230,00 desse empréstimo e, dois meses após esse primeiro
pagamento, liquidou todo seu débito. O valor desse segundo pagamento, em reais, foi:
a) 5000,40
b) 5200,00
c) 6208,80
d) 6615,00

43. Um certo capital foi aplicado por 5 meses. Ao fim desse prazo, só de juros simples, o
aplicador recebeu o triplo do dinheiro. Qual é a taxa mensal dessa aplicação?
a) 0,72%.
b) 72%.
c) 0,6%.
d) 60%.



44. Uma estranha clínica veterinária atende apenas cães e gatos. Dos cães hospedados, 90%
agem como cães e 10% como gatos. Do mesmo modo, dos gatos hospedados 90% agem
como gatos e 10% agem como cães. Observou-se que 20% de todos os animais hospedados
nessa estranha clínica agem como gatos e que os 80% restantes agem como cães. Sabendo-
se que na clínica veterinária estão hospedados 10 gatos, o número de cães hospedados nessa
estranha clínica é:
a) 50
b) 10
c) 20
d) 40
e) 70

GABARITO
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
60 72 25% B E D B E B D B C B D B D C A C E A C
23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
C C C B A B A E A D B C C E B D D D C D D E

FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL ÚNICO (1 + i)n

ni 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12%
1 1,0100 1,0200 1,0300 1,0400 1,0500 1,0600 1,0700 1,0800 1,0900 1,1000 1,1100 1,1200
2 1,0201 1,0404 1,0609 1,0816 1,1025 1,1236 1,1449 1,1664 1,1881 1,2100 1,2321 1,2544
3 1,0303 1,0612 1,0927 1,1249 1,1576 1,1910 1,2250 1,2597 1,2950 1,3310 1,3676 1,4049
4 1,0406 1,0824 1,1255 1,1699 1,2155 1,2625 1,3108 1,3605 1,4116 1,4641 1,5181 1,5735
5 1,0510 1,1041 1,1593 1,2167 1,2763 1,3382 1,4026 1,4693 1,5386 1,6105 1,6851 1,7623
6 1,0615 1,1262 1,1941 1,2653 1,3401 1,4185 1,5007 1,5869 1,6771 1,7716 1,8704 1,9738
7 1,0721 1,1487 1,2299 1,3159 1,4071 1,5036 1,6058 1,7138 1,8280 1,9487 2,0762 2,2107
8 1,0829 1,1717 1,2668 1,3686 1,4775 1,5938 1,7182 1,8509 1,9926 2,1436 2,3045 2,4760
9 1,0937 1,1951 1,3048 1,4233 1,5513 1,6895 1,8385 1,9990 2,1719 2,3579 2,5580 2,7731
10 1,1046 1,2190 1,3439 1,4802 1,6289 1,7908 1,9672 2,1589 2,3674 2,5937 2,8394 3,1058
11 1,1157 1,2434 1,3842 1,5395 1,7103 1,8983 2,1049 2,3316 2,5804 2,8531 3,1518 3,4785
12 1,1268 1,2682 1,4258 1,6010 1,7959 2,0122 2,2522 2,5182 2,8127 3,1384 3,4985 3,8960
13 1,1381 1,2936 1,4685 1,6651 1,8856 2,1329 2,4098 2,7196 3,0658 3,4523 3,8833 4,3635
14 1,1495 1,3195 1,5126 1,7317 1,9799 2,2609 2,5785 2,9372 3,3417 3,7975 4,3104 4,8871
15 1,1610 1,3459 1,5580 1,8009 2,0789 2,3966 2,7590 3,1722 3,6425 4,1772 4,7846 5,4736
16 1,1726 1,3728 1,6047 1,8730 2,1829 2,5404 2,9522 3,4259 3,9703 4,5950 5,3109 6,1304
17 1,1843 1,4002 1,6528 1,9479 2,2920 2,6928 3,1588 3,7000 4,3276 5,0545 5,8951 6,8660
18 1,1961 1,4282 1,7024 2,0258 2,4066 2,8543 3,3799 3,9960 4,7171 5,5599 6,5436 7,6900


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