Função afim 2013-2014

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Função afim 2013-2014

  1. 1. Exemplo: A empresa “Limpopó” aluga máquinas para a limpeza de alcatifas. O aluguer de cada máquina tem um preço, por hora, de 4€, acrescido de uma taxa fixa de 3€ , isto é, a partir do momento em que a pessoa aluga a máquina tem de pagar 3€.
  2. 2. Função: y = kx + b 1 Tempo Preço 2 7 4+3 4 1+3 k x 4 11 8+3 4 3 15 12 + 3 4 3+3 19 16 + 3 4 4+3 2+3 5 6 23 27 24 + 3 20 + 3 4 5+3 4 6+3 b Em todos os casos, a primeira parcela varia com o tempo e a segunda é fixa (3€).
  3. 3. Qual é a expressão algébrica desta função? f ( x) Declive da reta 4x 3 ou f ( x) 3 4x Ordenada na origem Uma função cuja expressão algébrica é do tipo y =kx +b (em que k e b são números quaisquer) designa-se por função afim.
  4. 4. Representação gráfica: Para representar graficamente, marca-se os pontos dados na tabela num referencial. y = 4x + 3 1 2 3 4 5 6 Custo c (euros) Custo (euros) Tempo t (horas) 7 11 15 19 23 27 Tempo (horas) A reta intersecta o eixo vertical (eixo OY) no ponto de coordenadas (0,3) e não na origem do referencial.
  5. 5. Exemplo: Considera as seguintes funções do tipo y = kx + b. h(x) = 2x , i (x) = 2x + 3, j(x) = 2x - 5 - Num mesmo referencial, representa graficamente as três funções. - Qual é a posição relativa das retas que representam as funções? - Indica as coordenadas dos pontos de interseção de cada uma das retas com o eixo das ordenadas. Conclusão: - Funções afins cujas expressões algébricas tenham o mesmo declive são representadas graficamente por retas paralelas.
  6. 6. Exemplo: Conclusão: - O gráfico de uma função afim y = kx + b é uma reta cuja representação gráfica pode ser obtida a partir da deslocação da representação gráfica de y = kx paralelamente a si própria para cima ou para baixo dependendo do sinal de b.
  7. 7. Qual é a influência da variação do parâmetros k e b na reta que representa a função afim y=kx +b. Parâmetro k : declive da reta
  8. 8. Nota: - Qualquer ponto do eixo Ox (eixo das abcissas) tem ordenada zero. Logo, as coordenadas são do tipo (x,0). - Qualquer ponto do eixo Oy (eixo das ordenadas) tem abcissa zero. Logo, as coordenadas são do tipo (0,y).
  9. 9. Exemplo: Considera as seguintes funções do tipo y = kx + b. h(x) = x + 3 , i(x) = -3x + 3, j(x) = 2x + 3 - Num mesmo referencial, representa graficamente as três funções. - Qual é a posição relativa das retas que representam as funções? - Indica as coordenadas dos pontos de interseção de cada uma das retas com o eixo das ordenadas. Conclusão: As funções afins, y = kx + b, com a mesma ordenada na origem correspondem a retas que têm um ponto comum: o ponto de coordenadas (0,b).
  10. 10. Qual é a influência da variação do parâmetros k e b na reta que representa a função afim y=kx +b. Parâmetro b : ordenada na origem - O parâmetro b na expressão y = kx + b chama- se ordenada na origem e é a ordenada do ponto de interseção da reta com o eixo das ordenadas. - O gráfico da função y =kx + b é uma reta que interseta o eixo das ordenadas no ponto de coordenadas ( 0, b).
  11. 11. Função: y = kx + b f(x) = 2x f(x) = 2x – 1 f(x) = 2x + 2 As funções: f(x) = 2x f(x) = 2x + 2 f(x) = 2x – 1 são crescentes porque k= 2, isto é, o declive é maior que zero ( k 0). As retas são paralelas porque têm o mesmo declive (k).
  12. 12. Função: y = kx + b f(x) = 2x f(x) = 2x – 1 A função: f(x) = 2x tem por gráfico uma reta que passa pela origem, logo é de proporcionalidade direta. f(x) = 2x + 2 As funções: f(x) = 2x + 2 f(x) = 2x – 1 têm por gráfico uma reta que não passa pela origem, logo não são de proporcionalidade direta.
  13. 13. Função: y = kx + b f(x) = 2x Para passar da função: f(x) = 2x para a função: f(x) = 2x + 2 f(x) = 2x + 2 basta deslocar o gráfico da função: f(x) = 2x paralelamente a si próprio, até ao ponto de coordenadas (0,2).
  14. 14. Função: y = kx + b f(x) = 2x Para passar da função: f(x) = 2x – 1 f(x) = 2x para a função: f(x) = 2x -1 basta deslocar o gráfico da função: f(x) = 2x paralelamente a si próprio, até ao ponto de coordenadas (0,-1).
  15. 15. Função: y = kx + b f(x) = 2x + 2 A reta que define a função: f(x) = 2x + 2 intersecta o eixo das ordenadas (eixo vertical) no ponto de coordenadas (0,2), 2 é a ordenada na origem.
  16. 16. Função: y = kx + b f(x) = 2x – 1 A recta que define a função: f(x) = 2x - 1 intersecta o eixo das ordenadas (eixo vertical) no ponto de coordenadas (0,-1), -1 é a ordenada na origem.
  17. 17. Função: y = kx + b As funções: f(x) = -0,5x f(x) = -0,5x + 3 f(x) = -0,5x f(x) = -0,5x – 2 f(x) = -0,5x + 3 f(x) = -0,5x – 2 são decrescentes porque k=-0,5, isto é, o declive é menor que zero (k 0). As retas são paralelas porque têm o mesmo declive (k).
  18. 18. Função: y = kx + b A função: f(x) = -0,5x f(x) = -0,5x f(x) = -0,5x + 3 tem por gráfico uma reta que passa pela origem, logo é de proporcionalidade direta. As funções: f(x) = -0,5x + 3 f(x) = -0,5x – 2 f(x) = -0,5x – 2 têm por gráfico uma reta que não passa pela origem, logo não são de proporcionalidade direta.
  19. 19. Função: y = kx + b Para passar da função: f(x) = -0,5x f(x) = -0,5x + 3 f(x) = -0,5x para a função: f(x) = -0,5x + 3 basta deslocar o gráfico da função: f(x) = -0,5x paralelamente a si próprio, até ao ponto de coordenadas (0,3).
  20. 20. Função: y = kx + b Para passar da função: f(x) = -0,5x para a função: f(x) = -0,5x f(x) = -0,5x - 2 basta deslocar o gráfico da função: f(x) = -0,5x – 2 f(x) = -0,5x paralelamente a si próprio, até ao ponto de coordenadas (0,-2).
  21. 21. Função: y = kx + b A recta que define a função: f(x) = -0,5x + 3 f(x) = -0,5x + 3 intersecta o eixo das ordenadas (eixo vertical) no ponto de coordenadas (0,3), 3 é a ordenada na origem.
  22. 22. Função: y = kx + b A reta que define a função: f(x) = -0,5x - 2 f(x) = -0,5x – 2 intersecta o eixo das ordenadas (eixo vertical) no ponto de coordenadas (0,-2) e -2 é a ordenada na origem.
  23. 23. Gráficos das funções do tipo y = kx+b - A representação gráfica duma função do tipo y = kx + b, com k e b constantes, é uma reta que interseta o eixo das ordenadas em (0,b) e é paralela à reta que representa a função y = kx. - O gráfico da função y=kx+b sofre um deslocamento de b unidades, no eixo das ordenadas, relativamente ao gráfico de y=kx, a função de proporcionalidade direta.
  24. 24. Determinação do declive de uma reta
  25. 25. Função constante Uma função definida por uma expressão algébrica do tipo y= b, sendo b uma constante, é uma função constante. O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo das abcissas que corta o eixo das ordenadas no ponto (0, b). Exemplo:
  26. 26. Nota: - Uma função do tipo y = b, chama-se função constante porque qualquer que seja o objeto, a sua imagem é sempre a mesma. - Numa reta horizontal, que corresponde a uma função constante (y=b), o declive é zero.
  27. 27. Casos particulares da função afim - Todas as funções lineares (do tipo y = kx) são funções afins, em que b = 0. Representa uma situação de proporcionalidade direta e tem por gráfico uma reta que contém a origem do referencial. - Todas as funções constantes (do tipo y = b) são funções afins, em que k = 0, cujo gráfico é uma reta horizontal que contém o ponto (0,b). - O gráfico de uma função afim não linear e não constante é uma reta que não passa pela origem do referencial e não é horizontal.

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