função quadrática

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função quadrática

  1. 1. Função Quadrática<br />A função do 2º grau<br />
  2. 2. Uma quadra esportiva tem a forma retangular, com 40m de comprimento e 20m de largura. O clube pretende ampliá-la. Para isso, vai construir em volta dela uma faixa de largura constante.<br />Sua área é função de x.<br />A = (40 + 2x) . (20 + 2x)<br />A = 800 + 80x + 40x + 4x2<br />A = f(x) = 4x2 + 120x + 800<br />Função quadrática ou função do 2º grau é toda função real do tipo<br />y = f(x) = ax2 + bx + c<br />Sendo a, b e c constantes reais, com a ≠ 0<br />
  3. 3. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.<br />Quando a &gt; 0, a parábola é côncava para cima. <br />Quando a &lt; 0, a parábola é côncava para baixo.<br />
  4. 4. O logotipo de uma empresa foi criado a partir de um quadrado dividido em 8 partes iguais, conforme indica a figura. A área de cada parte é função do lado do quadrado; portanto, a área pintada de vermelho é função do lado do quadrado. <br />Fórmula e gráfico da função do 2º grau<br />Representando por x a medida do lado do quadrado e por y a área da parte vermelha, temos a fórmula: <br />
  5. 5. Vamos obter alguns pontos do gráfico atribuindo valores para x.<br />Observe, abaixo, o gráfico de<br /> y = 0,25 x2, para x ≥ 0<br />
  6. 6. Vamos considerar que a função seja válida para todo x real. Atribuindo valores simétricos aos da tabela anterior, obtemos:<br />
  7. 7. Contextualizando<br /> Os formandos do ensino fundamental reuniram-se e planejaram uma viagem para comemorar a formatura. A agência de turismo oferece o seguinte pacote promocional: o preço p para cada um será: <br /> p = 180 – 0,6x reais.<br />Quanto a agência vai receber para promover a viagem?<br />Se x alunos aderirem, cada um pagando p reais, a receita (R) será x.p; logo, x.(180 – 0,6x).<br />A receita é função do número x de aluno que viajarem. R(x) = - 0,6x + 180x<br />A agência terá receita máxima se forem 150 alunos.<br />
  8. 8. Vértice da parábola<br />É o ponto em que o eixo de simetria corta a parábola.<br />Em y = - 0,6x2 +180x , v é o ponto de coordenadas (150,13500)<br />V = (150 , 13500)<br />O valor máximo de y é 13500, que será a receita máxima da agência.<br />Vamos representar por xv a abscissa do vértice eyva ordenada do vértice.<br />V = (xv , yv)<br />Os zeros da função quadrática (raízes da função)<br />Zeros de uma função f são os valores de x para os quais f(x) = 0<br />
  9. 9. Os sinais da função quadrática<br />Observemos o gráfico da função y = x2 – 4x + 3.<br />Os zeros de f , 1 e 3 , são as abscissas dos pontos em que a parábola corta o eixo x.<br />Para todos os valores de x menores que 1, temos f(x) &gt; 0<br />Para x = 1 ou x = 3, temos f(x) = 0.<br />Para os valores de x entre 1 e 3 , temos f(x) &lt; 0<br />Para todos os valores de x maiores que 3 , temos f(x) &gt; 0<br />f(x) &gt; 0, para x &lt; 1 ou x &gt; 3<br />f(x) = 0, para x = 1 ou x = 0<br />f(x) &lt; 0, para 1 &lt; x &lt; 3 <br />
  10. 10. Construção de uma parábola<br />Sendo a função f(x) = x2 – 2x + 2<br />1º passo:<br />Determinar as raízes<br />3º passo: <br />Determinar onde a parábola corta o eixo ordenado(termo independente da função = c) e o seu simétrico em relação ao eixo de simetria.<br />x2 – 2x + 2 = 0<br />∆= b2 – 4ac<br />∆= - 4<br />x = <br />s= { } (não existe raiz real)<br />4º passo:<br />Marcar os pontos no gráfico e traçar a curva<br />2º passo: <br />Determinar xv e yv.<br />
  11. 11. Bibliografia<br />PanadésRubió, Angel; Freitas, Luciana Tenuda de. Matemática e sua tecnologias: ensino médio. Vol. 1. ed.1 – São Paulo: IBEP, 2005<br />Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Machado, Antônio. Matemática e Realidade: 9º Ano 6ª ed.São Paulo: Atual, 2009<br />

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