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Profª Débora Bastos
Antiderivadas
 Todas as operações básicas possuem as
  chamadas operações inversas:
 Adição           Subtração
3 + 2 = 5          5 − 2 = 3
 Multiplicação    Divisão
2x3 = 6            6 ÷ 3 = 2
 Potenciação      Radiciação
  32 = 9            9 =3
 Potenciação      Logaritmação
  32= 9            log39=2
Antiderivadas
 Se considerarmos a derivada como um
  operador sobre as funções, a operação
  inversa será chamada de antiderivada.
 Definição 1: Uma função F será chamada de
  função primitiva ou antiderivada de uma
  função f, num intervalo I se F’(x)=f(x)
  para todo x ∈ I.
 Exemplo:Encontre a antiderivada da função
  f(x)= 4x3
 F1(x)=x4     F1’(x)=4x3
 F2(x)=x4+1    F2’(x)=4x3
 F3(x)=x4+200  F3’(x)=4x3
Antiderivada
 Observação: Se foi informada apenas a
 função f, a antiderivada não é única, pois
 qualquer constante acrescentada a derivada
 será a mesma.

 Exemplo: Encontre a função primitiva de
 f(x)=4x3:
F(x)= x4 + k, k constante k∈ lR.

 Observação: Dizemos que a antiderivada de
 f é uma família de funções, pois temos
 infinitas possibilidades para k.
Antiderivadas
 Exemplo: Encontre a antiderivada F da
  função real f tal que f(x)= 4x3, sabendo
  que F(1)=3.
 F(x)= x4 + k    1+ k =3
 F(1)= 1 + k     K = 2


 F(x)= x4 + 2
Interpretação Geométrica
 Exemplo: Encontre a
  família de funções
  primitivas da função
  real tal que
  f(x)=2x.
 F(x)=x2+k
 Fixado qualquer
  valor de x, as retas
  tangentes a família
  F em x são
  paralelas.
Antidiferenciação
 Definição 2: Antidiferenciação é o
  processo de encontrar o conjunto de todas
  as antiderivadas de uma dada função.
 Notação:   Integral
                 Indefinida    Família de
                               antiderivadas


                 ∫ f(x)dx = F(x)+ k
                  Função
                  Integrando
                                    Diferencial da
    Sinal de                           variável de
    integração                          integração
Integral Indefinida
 Observação: A notação da integral
  indefinida (antidiferenciação), usa o
  conceito de diferencial (introduzido por
  Leibniz), pois além de estar de acordo com
  a definição de antiderivada auxilia em
  dispositivos práticos para obter a
  antiderivada.
 Seja F a função primitiva de f, ou seja,
  F’(x)=f(x) para todo x ∈ D(f).
          dy
 Y=F(x)     = F' = f(x)
                (x)
                dx
                    dy
 ∫   f(x)dx =   ∫   dx      ∫
                       .dx = dy = y
Teoremas sobre integrais indefinidas
 Sendo k uma constante real:

      ∫
1 − dx = x + k           d(x)
                              = 1
                          dx
                                  d(au)     du
2−    ∫             ∫
          af(x)dx = a f(x)dx
                                   dx
                                        = a
                                            dx
a constante real

3 −   ∫ [f(x) + g(x)]dx = ∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx
                                  d(u + v)   du   dv
                                           =    +
                                     dx      dx   dx
              xn + 1
          ∫
 4 − x n dx =
              n + 1
                     + k           d(x n )
                                    dx
                                           = nx n − 1
 para n ≠ 1
 Observação: Para verificar se a integral
 indefinida foi obtida corretamente,
 podemos derivar o resultado e verificar se
 a resposta é o integrando da integral
 indefinida.
               xn + 1
     ∫
  4 − x n dx =
               n + 1
                      + k

  para n ≠ 1
   xn + 1 
 d        
  n + 1
           =   1     d x n + 1)
                        (           n + 1
                     ⋅            =       ⋅ xn + 1 − 1 = xn
    dx         n + 1      dx        n + 1
Exemplos:                                      Determine:


1 −∫      x2dx         4 − ∫ (3x + 5)dx
           1           5 − ∫ (5x4 - 8x3 + 9x2 - 2x + 7)dx
2− ∫              dx
              2
          x                       x3 + 2x2 − 7x 
3 −   ∫   3 x dx       6 −   ∫   
                                 
                                        x
                                                 dx
                                                 
                                                 
Mais fórmulas básicas
                    vn + 1         d(v n )      n − 1 dv
5 −   ∫   v n dv =
                   n + 1
                           + k
                                     dx
                                           = nv
                                                      dx
           dv                      d(lnv)     1      dv
6 −   ∫     v
                = ln v + k
                                     dx
                                           =
                                              v
                                                  ⋅
                                                     dx
                    av           d(a v )
7 −   ∫   a v dv =
                   ln a
                        + k
                                  dx
                                            v
                                         = a . ln a ⋅
                                                      dv
                                                      dx
                                  d(ev )
8 −   ∫   ev dv = ev + k
                                   dx
                                              v
                                          = e ⋅
                                                  dv
                                                  dx
Exemplos:
                          6 −    ∫ cotgxdx
    ∫ ( 2x + 5) dx   2
1 −
                                             x
2 − ∫  x 5x2 − 3 dx
      
      
                   
                   
                           7 −   ∫     1 − 4x2
                                                 dx


                              ∫
            dx                       2x dx
3 −   ∫   1 − 5x
                          8−

              x3          9 − ∫ 3tg4x sec24xdx
4 −   ∫    4
               + 2
                     dx
          x               10 − ∫ e3xdx
5 −   ∫ tgxdx
                                 ∫e
                                      x2
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Antiderivadas e integrais indefinidas

  • 2. Antiderivadas  Todas as operações básicas possuem as chamadas operações inversas:  Adição Subtração 3 + 2 = 5 5 − 2 = 3  Multiplicação Divisão 2x3 = 6 6 ÷ 3 = 2  Potenciação Radiciação 32 = 9 9 =3  Potenciação Logaritmação 32= 9 log39=2
  • 3. Antiderivadas  Se considerarmos a derivada como um operador sobre as funções, a operação inversa será chamada de antiderivada.  Definição 1: Uma função F será chamada de função primitiva ou antiderivada de uma função f, num intervalo I se F’(x)=f(x) para todo x ∈ I.  Exemplo:Encontre a antiderivada da função f(x)= 4x3  F1(x)=x4  F1’(x)=4x3  F2(x)=x4+1  F2’(x)=4x3  F3(x)=x4+200  F3’(x)=4x3
  • 4. Antiderivada  Observação: Se foi informada apenas a função f, a antiderivada não é única, pois qualquer constante acrescentada a derivada será a mesma.  Exemplo: Encontre a função primitiva de f(x)=4x3: F(x)= x4 + k, k constante k∈ lR.  Observação: Dizemos que a antiderivada de f é uma família de funções, pois temos infinitas possibilidades para k.
  • 5. Antiderivadas  Exemplo: Encontre a antiderivada F da função real f tal que f(x)= 4x3, sabendo que F(1)=3.  F(x)= x4 + k 1+ k =3  F(1)= 1 + k K = 2  F(x)= x4 + 2
  • 6. Interpretação Geométrica  Exemplo: Encontre a família de funções primitivas da função real tal que f(x)=2x.  F(x)=x2+k  Fixado qualquer valor de x, as retas tangentes a família F em x são paralelas.
  • 7. Antidiferenciação  Definição 2: Antidiferenciação é o processo de encontrar o conjunto de todas as antiderivadas de uma dada função.  Notação: Integral Indefinida Família de antiderivadas ∫ f(x)dx = F(x)+ k Função Integrando Diferencial da Sinal de variável de integração integração
  • 8. Integral Indefinida  Observação: A notação da integral indefinida (antidiferenciação), usa o conceito de diferencial (introduzido por Leibniz), pois além de estar de acordo com a definição de antiderivada auxilia em dispositivos práticos para obter a antiderivada.  Seja F a função primitiva de f, ou seja, F’(x)=f(x) para todo x ∈ D(f). dy  Y=F(x) = F' = f(x) (x) dx dy ∫ f(x)dx = ∫ dx ∫ .dx = dy = y
  • 9. Teoremas sobre integrais indefinidas  Sendo k uma constante real: ∫ 1 − dx = x + k d(x) = 1 dx d(au) du 2− ∫ ∫ af(x)dx = a f(x)dx dx = a dx a constante real 3 − ∫ [f(x) + g(x)]dx = ∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx d(u + v) du dv = + dx dx dx xn + 1 ∫ 4 − x n dx = n + 1 + k d(x n ) dx = nx n − 1 para n ≠ 1
  • 10.  Observação: Para verificar se a integral indefinida foi obtida corretamente, podemos derivar o resultado e verificar se a resposta é o integrando da integral indefinida. xn + 1 ∫ 4 − x n dx = n + 1 + k para n ≠ 1  xn + 1  d  n + 1   = 1 d x n + 1) ( n + 1 ⋅ = ⋅ xn + 1 − 1 = xn dx n + 1 dx n + 1
  • 11. Exemplos: Determine: 1 −∫ x2dx 4 − ∫ (3x + 5)dx 1 5 − ∫ (5x4 - 8x3 + 9x2 - 2x + 7)dx 2− ∫ dx 2 x  x3 + 2x2 − 7x  3 − ∫ 3 x dx 6 − ∫    x dx  
  • 12. Mais fórmulas básicas vn + 1 d(v n ) n − 1 dv 5 − ∫ v n dv = n + 1 + k dx = nv dx dv d(lnv) 1 dv 6 − ∫ v = ln v + k dx = v ⋅ dx av d(a v ) 7 − ∫ a v dv = ln a + k dx v = a . ln a ⋅ dv dx d(ev ) 8 − ∫ ev dv = ev + k dx v = e ⋅ dv dx
  • 13. Exemplos: 6 − ∫ cotgxdx ∫ ( 2x + 5) dx 2 1 − x 2 − ∫  x 5x2 − 3 dx     7 − ∫ 1 − 4x2 dx ∫ dx 2x dx 3 − ∫ 1 − 5x 8− x3 9 − ∫ 3tg4x sec24xdx 4 − ∫ 4 + 2 dx x 10 − ∫ e3xdx 5 − ∫ tgxdx ∫e x2 11 − xdx