Matematica2 7

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Matemática 2
Aula 7
Integrais indefinidas - antiderivada

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  1. 1. Profª Débora Bastos
  2. 2. Antiderivadas Todas as operações básicas possuem as chamadas operações inversas: Adição Subtração3 + 2 = 5 5 − 2 = 3 Multiplicação Divisão2x3 = 6 6 ÷ 3 = 2 Potenciação Radiciação 32 = 9 9 =3 Potenciação Logaritmação 32= 9 log39=2
  3. 3. Antiderivadas Se considerarmos a derivada como um operador sobre as funções, a operação inversa será chamada de antiderivada. Definição 1: Uma função F será chamada de função primitiva ou antiderivada de uma função f, num intervalo I se F’(x)=f(x) para todo x ∈ I. Exemplo:Encontre a antiderivada da função f(x)= 4x3 F1(x)=x4  F1’(x)=4x3 F2(x)=x4+1  F2’(x)=4x3 F3(x)=x4+200  F3’(x)=4x3
  4. 4. Antiderivada Observação: Se foi informada apenas a função f, a antiderivada não é única, pois qualquer constante acrescentada a derivada será a mesma. Exemplo: Encontre a função primitiva de f(x)=4x3:F(x)= x4 + k, k constante k∈ lR. Observação: Dizemos que a antiderivada de f é uma família de funções, pois temos infinitas possibilidades para k.
  5. 5. Antiderivadas Exemplo: Encontre a antiderivada F da função real f tal que f(x)= 4x3, sabendo que F(1)=3. F(x)= x4 + k 1+ k =3 F(1)= 1 + k K = 2 F(x)= x4 + 2
  6. 6. Interpretação Geométrica Exemplo: Encontre a família de funções primitivas da função real tal que f(x)=2x. F(x)=x2+k Fixado qualquer valor de x, as retas tangentes a família F em x são paralelas.
  7. 7. Antidiferenciação Definição 2: Antidiferenciação é o processo de encontrar o conjunto de todas as antiderivadas de uma dada função. Notação: Integral Indefinida Família de antiderivadas ∫ f(x)dx = F(x)+ k Função Integrando Diferencial da Sinal de variável de integração integração
  8. 8. Integral Indefinida Observação: A notação da integral indefinida (antidiferenciação), usa o conceito de diferencial (introduzido por Leibniz), pois além de estar de acordo com a definição de antiderivada auxilia em dispositivos práticos para obter a antiderivada. Seja F a função primitiva de f, ou seja, F’(x)=f(x) para todo x ∈ D(f). dy Y=F(x) = F = f(x) (x) dx dy ∫ f(x)dx = ∫ dx ∫ .dx = dy = y
  9. 9. Teoremas sobre integrais indefinidas Sendo k uma constante real: ∫1 − dx = x + k d(x) = 1 dx d(au) du2− ∫ ∫ af(x)dx = a f(x)dx dx = a dxa constante real3 − ∫ [f(x) + g(x)]dx = ∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx d(u + v) du dv = + dx dx dx xn + 1 ∫ 4 − x n dx = n + 1 + k d(x n ) dx = nx n − 1 para n ≠ 1
  10. 10.  Observação: Para verificar se a integral indefinida foi obtida corretamente, podemos derivar o resultado e verificar se a resposta é o integrando da integral indefinida. xn + 1 ∫ 4 − x n dx = n + 1 + k para n ≠ 1  xn + 1  d  n + 1   = 1 d x n + 1) ( n + 1 ⋅ = ⋅ xn + 1 − 1 = xn dx n + 1 dx n + 1
  11. 11. Exemplos: Determine:1 −∫ x2dx 4 − ∫ (3x + 5)dx 1 5 − ∫ (5x4 - 8x3 + 9x2 - 2x + 7)dx2− ∫ dx 2 x  x3 + 2x2 − 7x 3 − ∫ 3 x dx 6 − ∫    x dx  
  12. 12. Mais fórmulas básicas vn + 1 d(v n ) n − 1 dv5 − ∫ v n dv = n + 1 + k dx = nv dx dv d(lnv) 1 dv6 − ∫ v = ln v + k dx = v ⋅ dx av d(a v )7 − ∫ a v dv = ln a + k dx v = a . ln a ⋅ dv dx d(ev )8 − ∫ ev dv = ev + k dx v = e ⋅ dv dx
  13. 13. Exemplos: 6 − ∫ cotgxdx ∫ ( 2x + 5) dx 21 − x2 − ∫  x 5x2 − 3 dx     7 − ∫ 1 − 4x2 dx ∫ dx 2x dx3 − ∫ 1 − 5x 8− x3 9 − ∫ 3tg4x sec24xdx4 − ∫ 4 + 2 dx x 10 − ∫ e3xdx5 − ∫ tgxdx ∫e x2 11 − xdx

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