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Profª Débora Bastos
2º Caso) Se o grau do numerador g(x) é
menor que o grau do denominador h(x) ,
                               g x)
                                (
Então transformamos a fração          numa soma de frações:
                               h x)
                                (

d) As raízes do denominador são complexas e algumas repetidas.
Semelhante ao processo usado com raízes reais repetidas, quando
temos raízes complexas repetidas no denominador, temos que admitir
a possibilidade de termos a expressão quadrática que contém as raízes
complexas com todas as potências possíveis nos denominadores das
frações parciais, ou seja, se h(x) = f(x)(x2+px+q)n, com p2 < 4q, as
frações parciais relativas à (x2+px+q)n serão:
         P1x Q1             P2x Q2                       Pnx Qn
                  n                n        1
                                                ...
      (x² px    q)       (x² px  q)                    x² px    q
Exemplos:
        3x4     4x3   16x 2    20x         9
1                                              dx
               (x   2 x2
                     )(       3)2


                                                                                         2
                                    R tA       ln(x              2)   ln(x     3)                    K
                                                                                     x       3

            (x² 1)
                 dx                                              1            1       x 1
    2                                      R ta                                 arctg                k
          (x 2 2x 3)2
                                                      x   2
                                                                 2x   3       2        2




        (2x5    x4   4x3      2x2      3x           1)dx
3
                      (x2     2)3

                                                             1
                                      R ta                            ln(x2     1)   arctgx      k
                                                         2        2
                                                    4x
                                                    (            2)

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Frações parciais com raízes complexas repetidas

  • 2. 2º Caso) Se o grau do numerador g(x) é menor que o grau do denominador h(x) , g x) ( Então transformamos a fração numa soma de frações: h x) ( d) As raízes do denominador são complexas e algumas repetidas. Semelhante ao processo usado com raízes reais repetidas, quando temos raízes complexas repetidas no denominador, temos que admitir a possibilidade de termos a expressão quadrática que contém as raízes complexas com todas as potências possíveis nos denominadores das frações parciais, ou seja, se h(x) = f(x)(x2+px+q)n, com p2 < 4q, as frações parciais relativas à (x2+px+q)n serão: P1x Q1 P2x Q2 Pnx Qn n n 1 ... (x² px q) (x² px q) x² px q
  • 3. Exemplos: 3x4 4x3 16x 2 20x 9 1 dx (x 2 x2 )( 3)2 2 R tA ln(x 2) ln(x 3) K x 3 (x² 1) dx 1 1 x 1 2 R ta arctg k (x 2 2x 3)2 x 2 2x 3 2 2 (2x5 x4 4x3 2x2 3x 1)dx 3 (x2 2)3 1 R ta ln(x2 1) arctgx k 2 2 4x ( 2)