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UFES - Universidade Federal do Esp´
                                   ırito Santo                                                                      LISTA 2 - 2010-2
 DMAT - Departamento de Matem´tica
                                 a                                                                                 Limite e limites laterais
                                                                                                                              Continuidade

 1. Os gr´ficos de g e h s˜o dados. Ache os limites laterais de f no ponto indicado.
         a               a
                                                                                                               y

                                                           y                                                            h
                                                       5                                                   4
    f (x) = g(x) · h(x)                                4
    e                                                                  g
                                                       3                                                   2
    f (x) = (h ◦ g)(x)                                 2
                                                       1                                                                             x
    ambas no ponto x = 1                                                                        –3 –2 –1            1   2    3   4
                                                                                x
                                              –3 –2 –10        1   2   3    4
                                                     –1                                                –2

                                          {                                                                {
                                              x2 + 3   se      x≤1                                                 x2   se       x≤1
 2. Dadas as fun¸˜es
                co              f (x) =                                                e        g(x) =                               ,
                                              x+1      se      x>1                                                 2    se       x>1

    (i) Esboce o gr´fico de f e g;
                   a                                                       (iii) Dˆ a express˜o da fun¸˜o F (x) = f (x) · g(x)
                                                                                  e          a        ca
    (ii) Calcule lim f (x) e lim g(x);                                              e verifique se existe lim F (x).
                  x→1          x→1                                                                          x→1

 3. Dˆ um exemplo no qual lim |f (x)| existe, mas lim f (x) n˜o existe.
     e                                                       a
                                x→0                            x→0


 4. Se f (x) > 0 para todo x ̸= 2 e f (2) = −3, verifique se as afirmativas abaixo s˜o verdadeiras ou falsas.
                                                                                    a
    Caso seja verdadeira, apresente uma justificativa. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
    (a) lim f (x) n˜o existe
                   a                      (b) lim f (x) = −3                           (c) Se existir, lim f (x) ´ positivo
                                                                                                                 e
       x→2                                      x→2                                                   x→2


 5. Sabe-se que lim f (x) = 5 e f ´ definida em R. Todas as afirmativas abaixo s˜o falsas. Tente desenhar um
                                  e                                           a
                  x→2
    contra-sxemplo para cada uma delas.
    (a) f (x) > 0 para x ∈ (1, 3)                      (b) f (2) = 5                             (c) f (2) ´ positivo
                                                                                                           e

    Nos exerc´ ıcios 6. a 11. calcule o limite, caso exista. Caso n˜o exista, justifique.
                                                                   a
                                                                  √          √        √  √
          2x2 + 5x − 3                                              x+2+ x+6− 6− 2
 6. lim                                                    9. lim
    x→ 1 2x − 5x + 2
             2
       2
                                                              x→0               x
           (       )      (      )                                     √
         3 1 − x2 − 2 1 − x3                                       1− 1−x
                                                                        3

 7. lim                                                   10. lim      √
    x→1      (1 − x3 ) (1 − x2 )                              x→0 1 + 3 3x − 1

         √
           1 − 2x − x2 − (x + 1)                                  x2 − 5x + 4
 8. lim                                                   11. lim
    x→0               x                                       x→1    |x − 1|

    Nos exerc´
             ıcios 12. a 14. verifique se a fun¸˜o dada ´ cont´
                                              ca       e      ınua nos pontos indicados. Justifique a resposta.
             √
             x−1                                                  1       [ ]
                         , x ̸= 1 em x = 1            14. f (x) = (x − 1) |x| , para −2 ≤ x ≤ 2,
             2x − 1
12. f (x) =                                                        2
                                                                [ ]
                         , x=1                            onde |x| = maior inteiro que n˜o supera x.
                                                                                           a
              √                                       Pontos x = 0 e x = 1.
               x2 + 1
13. f (x) = 6          em qualquer x ∈ R              (Sugest˜o: esboce o gr´fico de f )
                                                             a              a
            x + x2 + 2
                                         √
                                         − 2−x          ,    x<1
15. Para a fun¸˜o f definida por f (x) =
              ca                          ax + b         , 1≤x<2
                                         2
                                           x − 7x + 12 ,      x≥2
                                                          ınua em R
    (a) Determine os valores de a e b para que f seja cont´                                      (b) Esboce o gr´fico de f .
                                                                                                                a


16. Dˆ um exemplo com duas fun¸˜es f e g tais que f seja cont´
     e                            co                         ınua em x = 0, g seja descont´
                                                                                          ınua em x = 0 e
    no entanto f · g seja cont´
                              ınua em x = 0.
RESPOSTAS

 1. lim− g(x) · h(x) = 4                                  lim g(x) · h(x) = −6                     lim (h ◦ g)(x) = −2        lim (h ◦ g)(x) = 0
      x→1                                                x→1+                                     x→1−                        x→1+
                                                                         y

                           y                                        4
                  6                                                                  g                   ii) lim− f (x) = 4                    lim g(x) = 1
                                        f                                                                   x→1                                x→1−
                  5                                                 3
                                                                                                              lim f (x) = 2                    lim g(x) = 2
                  4
                                                                    2                                       x→1+      { ( 2    )               x→1+
 2. i)            3                                                                                                      x + 3 x2      , x≤1
                                                                     1                                   iii) F (x) =
                  2                                                                                                     2(x + 1)       , x>1
                  1                                                                                           lim F (x) = 4
                                                               –1 0
                                                                                             x               x→1
                                                     x   –2                  1   2       3
             –2                     2       4
                  –1                                                –1
                   x
 3. f (x) =
                  |x|
                                                                                                   {
                                                                                                       |x − 2| se x ̸= 2
 4. (a) Falso (b) Falso (c) Falso. Contra-exemplo: f (x) =                                                                           lim f (x) = 0
                                                                                                       −3       se x = 2             x→2
                                                                                                          √     √
         7                                       1                                                          6+ 2                           1
 6. −                                       7.                               8. −2                     9.     √                      10.
         3                                       2                                                           4 3                           3
11. f (x) → 3                  se       x → 1−           e         f (x) → −3 se             x → 1+ , portanto o limite n˜o existe
                                                                                                                         a
                                                 1
12. N˜o, pois lim f (x) =
     a                                             ̸= 2 = f (1)
                           x→1                   2
               ınua em R.
13. Sim, ´ cont´
         e
      O denominador nunca se anula pois x6 + x2 ≥ 0 ⇒ x6 + x2 + 2 ≥ 2 > 0. Analogamente, o radicando
                                ınio de f ´ igual a R.
      y = x2 + 1 > 0. Logo o dom´         e
                                    co                                 a    ınuas para todo x ∈ R, pois
      Assim basta verificar se as fun¸˜es do numerador e denominador s˜o cont´
      sabemos que o quociente de fun¸˜es cont´
                                    co       ınuas ´ uma fun¸˜o cont´
                                                   e        ca      ınua.
      Verificando:
      A fun¸˜o do denominador ´ cont´
            ca                    e    ınua em R pois ´ uma fun¸˜o polinomial (qualquer fun¸˜o polinomial ´
                                                      e         ca                           ca               e
          ınua em R). A fun¸˜o do numerador ´ a composi¸˜o de duas fun¸˜es: a fun¸˜o raiz e uma fun¸˜o
      cont´                   ca                 e          ca               co        ca                  ca
      polinomial. Como a fun¸˜o raiz ´ cont´
                               ca      e     ınua em [0, ∞), em particular ´ cont´
                                                                           e     ınua em (0, ∞), isto ´, neste
                                                                                                      e
                                                            √
      caso ∀x ∈ R, y = x2 + 1 > 0 ⇒ ∀x ∈ R, y ∈ (0, ∞) ⇒ y ´ cont´
                                                               e     ınua em (0, ∞) . Como a a composta de
      cont´
          ınuas ´ cont´
                e     ınua, a fun¸˜o do numerador ´ cont´
                                  ca               e     ınua.

                   3
                   2
14.                    1                                             ´ cont´
                                                                     e     ınua em x = 1 e descont´
                                                                                                  ınua em x = 0

      –3 –2 –1                      1   2    3
              –1
                                                                         y
                                                                    3
                                                                    2
15. (a) a = 3 e b = −4                                              1
                                                                    0                        x
                                                              –2             2       4
                                                                   –1
                                                                   –2
                         { x
                                                              , x ̸= 0
16. f (x) = |x| e g(x) =   |x|
                            0                                 , x=0

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Algebra Linear cap 02
 

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  • 1. UFES - Universidade Federal do Esp´ ırito Santo LISTA 2 - 2010-2 DMAT - Departamento de Matem´tica a Limite e limites laterais Continuidade 1. Os gr´ficos de g e h s˜o dados. Ache os limites laterais de f no ponto indicado. a a y y h 5 4 f (x) = g(x) · h(x) 4 e g 3 2 f (x) = (h ◦ g)(x) 2 1 x ambas no ponto x = 1 –3 –2 –1 1 2 3 4 x –3 –2 –10 1 2 3 4 –1 –2 { { x2 + 3 se x≤1 x2 se x≤1 2. Dadas as fun¸˜es co f (x) = e g(x) = , x+1 se x>1 2 se x>1 (i) Esboce o gr´fico de f e g; a (iii) Dˆ a express˜o da fun¸˜o F (x) = f (x) · g(x) e a ca (ii) Calcule lim f (x) e lim g(x); e verifique se existe lim F (x). x→1 x→1 x→1 3. Dˆ um exemplo no qual lim |f (x)| existe, mas lim f (x) n˜o existe. e a x→0 x→0 4. Se f (x) > 0 para todo x ̸= 2 e f (2) = −3, verifique se as afirmativas abaixo s˜o verdadeiras ou falsas. a Caso seja verdadeira, apresente uma justificativa. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo. (a) lim f (x) n˜o existe a (b) lim f (x) = −3 (c) Se existir, lim f (x) ´ positivo e x→2 x→2 x→2 5. Sabe-se que lim f (x) = 5 e f ´ definida em R. Todas as afirmativas abaixo s˜o falsas. Tente desenhar um e a x→2 contra-sxemplo para cada uma delas. (a) f (x) > 0 para x ∈ (1, 3) (b) f (2) = 5 (c) f (2) ´ positivo e Nos exerc´ ıcios 6. a 11. calcule o limite, caso exista. Caso n˜o exista, justifique. a √ √ √ √ 2x2 + 5x − 3 x+2+ x+6− 6− 2 6. lim 9. lim x→ 1 2x − 5x + 2 2 2 x→0 x ( ) ( ) √ 3 1 − x2 − 2 1 − x3 1− 1−x 3 7. lim 10. lim √ x→1 (1 − x3 ) (1 − x2 ) x→0 1 + 3 3x − 1 √ 1 − 2x − x2 − (x + 1) x2 − 5x + 4 8. lim 11. lim x→0 x x→1 |x − 1| Nos exerc´ ıcios 12. a 14. verifique se a fun¸˜o dada ´ cont´ ca e ınua nos pontos indicados. Justifique a resposta.  √  x−1 1 [ ] , x ̸= 1 em x = 1 14. f (x) = (x − 1) |x| , para −2 ≤ x ≤ 2,  2x − 1 12. f (x) = 2 [ ] , x=1 onde |x| = maior inteiro que n˜o supera x. a √ Pontos x = 0 e x = 1. x2 + 1 13. f (x) = 6 em qualquer x ∈ R (Sugest˜o: esboce o gr´fico de f ) a a x + x2 + 2  √  − 2−x , x<1 15. Para a fun¸˜o f definida por f (x) = ca ax + b , 1≤x<2  2 x − 7x + 12 , x≥2 ınua em R (a) Determine os valores de a e b para que f seja cont´ (b) Esboce o gr´fico de f . a 16. Dˆ um exemplo com duas fun¸˜es f e g tais que f seja cont´ e co ınua em x = 0, g seja descont´ ınua em x = 0 e no entanto f · g seja cont´ ınua em x = 0.
  • 2. RESPOSTAS 1. lim− g(x) · h(x) = 4 lim g(x) · h(x) = −6 lim (h ◦ g)(x) = −2 lim (h ◦ g)(x) = 0 x→1 x→1+ x→1− x→1+ y y 4 6 g ii) lim− f (x) = 4 lim g(x) = 1 f x→1 x→1− 5 3 lim f (x) = 2 lim g(x) = 2 4 2 x→1+ { ( 2 ) x→1+ 2. i) 3 x + 3 x2 , x≤1 1 iii) F (x) = 2 2(x + 1) , x>1 1 lim F (x) = 4 –1 0 x x→1 x –2 1 2 3 –2 2 4 –1 –1 x 3. f (x) = |x| { |x − 2| se x ̸= 2 4. (a) Falso (b) Falso (c) Falso. Contra-exemplo: f (x) = lim f (x) = 0 −3 se x = 2 x→2 √ √ 7 1 6+ 2 1 6. − 7. 8. −2 9. √ 10. 3 2 4 3 3 11. f (x) → 3 se x → 1− e f (x) → −3 se x → 1+ , portanto o limite n˜o existe a 1 12. N˜o, pois lim f (x) = a ̸= 2 = f (1) x→1 2 ınua em R. 13. Sim, ´ cont´ e O denominador nunca se anula pois x6 + x2 ≥ 0 ⇒ x6 + x2 + 2 ≥ 2 > 0. Analogamente, o radicando ınio de f ´ igual a R. y = x2 + 1 > 0. Logo o dom´ e co a ınuas para todo x ∈ R, pois Assim basta verificar se as fun¸˜es do numerador e denominador s˜o cont´ sabemos que o quociente de fun¸˜es cont´ co ınuas ´ uma fun¸˜o cont´ e ca ınua. Verificando: A fun¸˜o do denominador ´ cont´ ca e ınua em R pois ´ uma fun¸˜o polinomial (qualquer fun¸˜o polinomial ´ e ca ca e ınua em R). A fun¸˜o do numerador ´ a composi¸˜o de duas fun¸˜es: a fun¸˜o raiz e uma fun¸˜o cont´ ca e ca co ca ca polinomial. Como a fun¸˜o raiz ´ cont´ ca e ınua em [0, ∞), em particular ´ cont´ e ınua em (0, ∞), isto ´, neste e √ caso ∀x ∈ R, y = x2 + 1 > 0 ⇒ ∀x ∈ R, y ∈ (0, ∞) ⇒ y ´ cont´ e ınua em (0, ∞) . Como a a composta de cont´ ınuas ´ cont´ e ınua, a fun¸˜o do numerador ´ cont´ ca e ınua. 3 2 14. 1 ´ cont´ e ınua em x = 1 e descont´ ınua em x = 0 –3 –2 –1 1 2 3 –1 y 3 2 15. (a) a = 3 e b = −4 1 0 x –2 2 4 –1 –2 { x , x ̸= 0 16. f (x) = |x| e g(x) = |x| 0 , x=0