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Profª Débora Bastos
Integração de funções racionais.
 Funções Racionais são funções do tipo
                        g x)
                         (
                 f x)
                  (
                        h x)
                         (
 Onde g(x) e h(x) são polinômios e h(x)      0.
 Temos os seguintes casos:
1º caso) Se o grau do numerador g(x)for
 maior ou igual ao grau do denominador
 h(x), então divide-se o numerador pelo
 denominador e obtém-se:
                  g(x) | h(x)    .
                  R(x)   Q(x)


         g x)
          (     Q x) (x) R x)
                 ( h       (           R x)
                                        (
                                Q x)
                                 (
         h x)
          (           h x)
                       (               h x)
                                        (
Técnica de integrar funções racionais do
1º tipo.
          g x)
           (                        R x)
                                     (
               dx        Q x)
                          ( dx           dx
          h x)
           (                        h x)
                                     (
 Q(x) é um polinômio.
 Agora o grau de R(x) é menor que o de h(x), aumentando
 as chances de recairmos em algo que já está no
 formulário.
Exemplos:
     x4            4x3              6x2        5x       2                  2                       x3         3x2
1                                                                     (x        3x     2 dx
                                                                                        )                                2x       k
                           2                                                                        3          2
                       x            x      1

     x3           2x       1                            1        6x            x2    1       x
2                              dx          xdx                        dx               arctg            3 ln(x2     4)    k
              2                                             2                   2    2       2
          x            4                                x         4


     x3    8x 2                                                                       5x
3               dx                             (x2           x        7 dx
                                                                       )                 dx
          x 1                                                                        x 1
                                                                           x3        x2
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                                                                            3         2

     x5           12x4              40x3         43x2            7x     13
4                                                                              dx
                                    2
                                x         8x        5
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                                          (x            4x            3x        1)dx                                     dx
                                                                                                   2
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                                                            x             ln                              k
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    x3           x2        4x           4
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    x5           5x4       4x3              10x2     10x      5
2                                                                 dx
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  • 2. Integração de funções racionais.  Funções Racionais são funções do tipo g x) ( f x) ( h x) (  Onde g(x) e h(x) são polinômios e h(x) 0.  Temos os seguintes casos: 1º caso) Se o grau do numerador g(x)for maior ou igual ao grau do denominador h(x), então divide-se o numerador pelo denominador e obtém-se: g(x) | h(x) . R(x) Q(x) g x) ( Q x) (x) R x) ( h ( R x) ( Q x) ( h x) ( h x) ( h x) (
  • 3. Técnica de integrar funções racionais do 1º tipo. g x) ( R x) ( dx Q x) ( dx dx h x) ( h x) (  Q(x) é um polinômio.  Agora o grau de R(x) é menor que o de h(x), aumentando as chances de recairmos em algo que já está no formulário.
  • 4. Exemplos: x4 4x3 6x2 5x 2 2 x3 3x2 1 (x 3x 2 dx ) 2x k 2 3 2 x x 1 x3 2x 1 1 6x x2 1 x 2 dx xdx dx arctg 3 ln(x2 4) k 2 2 2 2 2 x 4 x 4 x3 8x 2 5x 3 dx (x2 x 7 dx ) dx x 1 x 1 x3 x2 7x 5 ln(x 1) k 3 2 x5 12x4 40x3 43x2 7x 13 4 dx 2 x 8x 5 3 2 8 (x 4x 3x 1)dx dx 2 x 8x 5 x4 4x3 3x2 4 x 4 11 x ln k 4 3 2 11 x 4 11
  • 5. Exercícios: x3 x2 4x 4 1 dx 2 x 3x 2 x5 5x4 4x3 10x2 10x 5 2 dx 2 x 5x 6 8x4 43x3 8x2 4x 2 3 dx 2 8x 3x 1