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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
FACULDADE DE MATEMÁTICA - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
4115T-04 Equações Diferenciais e Transformadas Integrais
Trabalho 1 - Equações Diferenciais Exatas
Estude em casa o conteúdo abaixo e resolva os exercícios propostos. No dia do trabalho 1, você
deverá resolver, em aula e em grupo, problemas de equações diferenciais exatas.
Introdução: Resolva a equação diferencial 0dyxy2dx)yx2( 2
=++ . Note que essa equação
não é homogênea nem separável, logo os métodos apropriados para esses tipos de equação não
são aplicáveis. No entanto, observe que existe a função 22
xyx)y,x(U += com a propriedade
2
yx2
x
U
+=
∂
∂
e xy2
y
U
=
∂
∂
. Podemos escrever a equação diferencial como
0dy
y
)y,x(U
dx
x
)y,x(U
=
∂
∂
+
∂
∂
, isto é 0)y,x(Ud = . Portanto sua solução é C)y,x(U = .
Definição: Uma equação diferencial da forma 0dy)y,x(Ndx)y,x(M =+ é chamada exata se
a expressão do lado esquerdo é uma diferencial exata. Ou seja, existe uma função U(x, y) tal
que a diferencial total de U(x, y) é dy)y,x(Ndx)y,x(M + . Nesse caso, a solução da equação
é U(x, y) = C.
Exemplo 1: Mostre que a equação diferencial 0dyyxdxyx 2332
=+ é exata.
Solução: Existe a função
3
yx
)y,x(U
33
= tal que 32
yx
x
U
=
∂
∂
e 23
yx
y
U
=
∂
∂
, ou seja, esta
EDO é exata e sua solução é C
3
yx 33
= ou, melhor, Cyx 33
= .
Observação 1: A questão central aqui reside em como encontrar esta função U(x,y). Para
tanto, basta resolver as duas equações diferenciais )y,x(M
x
U
=
∂
∂
e )y,x(N
y
U
=
∂
∂
. Vejamos
este processo para o nosso exemplo 1:
)y(K
3
yx
dxyx)y,x(Uyx
x
U 33
3232
+==⇒=
∂
∂
∫ .
Observe que quando integramos na variável x, o y é considerado constante e, em
conseqüência, a constante arbitrária K depende de y. Para encontrarmos K(y), substituímos a
expressão obtida para U(x,y) na segunda EDO:
K)y(K0)y(Kyx)y(Kyxyx)y(K
3
yx
y
yx
y
U 232323
33
23
=⇒=′⇒=′+⇒=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
∂
∂
⇒=
∂
∂
,
ou seja, K
3
yx
)y,x(U
33
+= , onde K pode ser considerado nulo.
Observação 2: Se a EDO não for exata, este processo não funcionará e teremos perdido
tempo durante o mesmo. O teorema a seguir fornece um método sistemático de determinar se
uma equação diferencial dada é exata, evitando perda de tempo.
Teorema: Sejam M(x, y) e N(x, y) funções contínuas com derivadas parciais contínuas numa
região retangular do plano xy. Então, uma condição necessária e suficiente para que
0dy)y,x(Ndx)y,x(M =+ seja uma equação diferencial exata é
x
)y,x(N
y
)y,x(M
∂
∂
=
∂
∂
.
No exemplo 1:
[ ] [ ]
x
yx
x
)y,x(N
yx3
y
yx
y
)y,x(M 23
22
32
∂
∂
=
∂
∂
==
∂
∂
=
∂
∂
.
Exemplo 2: Resolva a equação diferencial .0'y)1exsenx()xe2xcosy( y2y
=−+++
Solução: Primeiramente, observe que esta EDO não é homogênea nem separável e ela pode
ser rescrita como .0dy)1exsenx(dx)xe2xcosy( y2y
=−+++ Assim:
[ ] [ ]
x
1exsenx
x
)y,x(N
xe2xcos
y
xe2xcosy
y
)y,x(M y2
y
y
∂
−+∂
=
∂
∂
=+=
∂
+∂
=
∂
∂
, ou seja, a
EDO é exata. Desta forma, vamos aplicar o processo exposto na observação 1:
( ) )y(Kexysenxdxxe2xcosy)y,x(Uxe2xcosy)y,x(M
x
U y2yy
++=+=⇒+==
∂
∂
∫ .
Para encontrarmos K(y), substituímos a expressão obtida para U(x,y) na segunda EDO:
( )
,Ky)y(K1)y(K1exsenx)y(Kexsenx
1exsenx)y(Kexysenx
y
1exsenx)y,x(N
y
U
y2y2
y2y2y2
+−=⇒−=′⇒−+=′++⇒
−+=++
∂
∂
⇒−+==
∂
∂
ou seja, Kyexysenx)y,x(U y2
+−+= . Portanto, a solução do problema será C)y,x(U = ,
isto é, Cyexysenx y2
=−+ .
Exemplo 3: Resolva a equação diferencial xy4x4
dx
dy
)y2x21( 32
+=−− .
Solução: Esta EDO é rescrita como ( ) 0dy)y2x21(dxxy4x4 23
=−−++− Assim:
( )[ ] [ ]
x
y2x21
x
)y,x(N
x4
y
xy4x4
y
)y,x(M 23
∂
−−∂
=
∂
∂
=−=
∂
+−∂
=
∂
∂
, ou seja, a EDO é exata.
Desta forma, vamos aplicar o processo exposto na observação 1:
( ) ( ) ( ) )y(Kyx2xdxxy4x4)y,x(Uxy4x4)y,x(M
x
U 2433
++−=+−=⇒+−==
∂
∂
∫ .
Para encontrarmos K(y), substituímos a expressão obtida para U(x,y) na segunda EDO:
( )( )
,Kyy)y(Ky21)y(Ky2x21)y(Kx2
y2x21)y(Kyx2x
y
y2x21)y,x(N
y
U
222
2242
+−=⇒−=′⇒−−=′+−⇒
−−=++−
∂
∂
⇒−−==
∂
∂
ou seja, ( ) Kyyyx2x)y,x(U 224
+−++−= . Portanto, a solução do problema será
C)y,x(U = , isto é, ( ) Cyyyx2x 224
=−++− .
Observação 3: Algumas vezes é possível transformar uma equação diferencial
0dy)y,x(Ndx)y,x(M =+ que não é exata em uma equação exata multiplicando-se a
equação por um fator integrante apropriado )y,x(µ . Este assunto não será tratado aqui, mas o
leitor interessado poderá encontrá-lo na literatura indicada.
Exemplo 4: Mostre que a equação diferencial 0
dx
dy
)y1(xyx 232
=++ não é exata e, depois,
mostre que 3
xy
1
)y,x( =µ é um fator integrante para esta EDO.
Solução: Esta EDO é rescrita como 0dy)y1(xdxyx 232
=++ e não é exata, pois:
[ ] [ ]
x
)y1(x
x
)y,x(N
)y1(yx3
y
yx
y
)y,x(M 2
222
32
∂
+∂
=
∂
∂
=+≠=
∂
∂
=
∂
∂
.
Porém, multiplicando-a pelo fator integrante 3
xy
1
)y,x( =µ , obtemos a EDO exata
0dy)yy(dxx 13
=++ −−
, pois
[ ] [ ]
x
yy
x
)y,x(N
0
y
x
y
)y,x(M 13
∂
+∂
=
∂
∂
==
∂
∂
=
∂
∂ −−
.
Exercícios: Nos Problemas seguintes, verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
1 0dy)7y3(dx)1x2( =++− .
Resposta: Cy7y
2
3
xx 22
=++− .
2 0dy)y8x4(dx)y4x5( 3
=−++ . Resposta: Cy2xy4x
2
5 42
=−+ .
3 0dy)4yx2(dx)3xy2( 22
=++− . Resposta: Cy4x3yx 22
=+− .
4 0dy)y2x(xdx)yx)(yx( =−+−+ . Resposta: não é exata, mas é homogênea.
5 0dy)xcosy2xy3(dx)xsenxyy( 223
=++−− . Resposta: Cx
2
1
xcosyxy 223
=−+ .
6 0dy)ylnxy(dx)eylny( 1xy
=++− −−
. Resposta: não é exata.
7 2x
x6yxe2'xy +−= . Resposta: Cx2e2xe2xy 3xx
=−+− .
8 0dy)xy31(dx)yx31( 11
=+−++− −−
. Resposta: Cxyln3xyyx =−++ .
9
0dyyxdx)
x91
1
yx( 23
2
32
=+
+
− . Resposta: C)x3(artgyx 33
=− .

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Equações Exatas exercicios

  • 1. PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 4115T-04 Equações Diferenciais e Transformadas Integrais Trabalho 1 - Equações Diferenciais Exatas Estude em casa o conteúdo abaixo e resolva os exercícios propostos. No dia do trabalho 1, você deverá resolver, em aula e em grupo, problemas de equações diferenciais exatas. Introdução: Resolva a equação diferencial 0dyxy2dx)yx2( 2 =++ . Note que essa equação não é homogênea nem separável, logo os métodos apropriados para esses tipos de equação não são aplicáveis. No entanto, observe que existe a função 22 xyx)y,x(U += com a propriedade 2 yx2 x U += ∂ ∂ e xy2 y U = ∂ ∂ . Podemos escrever a equação diferencial como 0dy y )y,x(U dx x )y,x(U = ∂ ∂ + ∂ ∂ , isto é 0)y,x(Ud = . Portanto sua solução é C)y,x(U = . Definição: Uma equação diferencial da forma 0dy)y,x(Ndx)y,x(M =+ é chamada exata se a expressão do lado esquerdo é uma diferencial exata. Ou seja, existe uma função U(x, y) tal que a diferencial total de U(x, y) é dy)y,x(Ndx)y,x(M + . Nesse caso, a solução da equação é U(x, y) = C. Exemplo 1: Mostre que a equação diferencial 0dyyxdxyx 2332 =+ é exata. Solução: Existe a função 3 yx )y,x(U 33 = tal que 32 yx x U = ∂ ∂ e 23 yx y U = ∂ ∂ , ou seja, esta EDO é exata e sua solução é C 3 yx 33 = ou, melhor, Cyx 33 = . Observação 1: A questão central aqui reside em como encontrar esta função U(x,y). Para tanto, basta resolver as duas equações diferenciais )y,x(M x U = ∂ ∂ e )y,x(N y U = ∂ ∂ . Vejamos este processo para o nosso exemplo 1: )y(K 3 yx dxyx)y,x(Uyx x U 33 3232 +==⇒= ∂ ∂ ∫ . Observe que quando integramos na variável x, o y é considerado constante e, em conseqüência, a constante arbitrária K depende de y. Para encontrarmos K(y), substituímos a expressão obtida para U(x,y) na segunda EDO: K)y(K0)y(Kyx)y(Kyxyx)y(K 3 yx y yx y U 232323 33 23 =⇒=′⇒=′+⇒= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ ⇒= ∂ ∂ , ou seja, K 3 yx )y,x(U 33 += , onde K pode ser considerado nulo.
  • 2. Observação 2: Se a EDO não for exata, este processo não funcionará e teremos perdido tempo durante o mesmo. O teorema a seguir fornece um método sistemático de determinar se uma equação diferencial dada é exata, evitando perda de tempo. Teorema: Sejam M(x, y) e N(x, y) funções contínuas com derivadas parciais contínuas numa região retangular do plano xy. Então, uma condição necessária e suficiente para que 0dy)y,x(Ndx)y,x(M =+ seja uma equação diferencial exata é x )y,x(N y )y,x(M ∂ ∂ = ∂ ∂ . No exemplo 1: [ ] [ ] x yx x )y,x(N yx3 y yx y )y,x(M 23 22 32 ∂ ∂ = ∂ ∂ == ∂ ∂ = ∂ ∂ . Exemplo 2: Resolva a equação diferencial .0'y)1exsenx()xe2xcosy( y2y =−+++ Solução: Primeiramente, observe que esta EDO não é homogênea nem separável e ela pode ser rescrita como .0dy)1exsenx(dx)xe2xcosy( y2y =−+++ Assim: [ ] [ ] x 1exsenx x )y,x(N xe2xcos y xe2xcosy y )y,x(M y2 y y ∂ −+∂ = ∂ ∂ =+= ∂ +∂ = ∂ ∂ , ou seja, a EDO é exata. Desta forma, vamos aplicar o processo exposto na observação 1: ( ) )y(Kexysenxdxxe2xcosy)y,x(Uxe2xcosy)y,x(M x U y2yy ++=+=⇒+== ∂ ∂ ∫ . Para encontrarmos K(y), substituímos a expressão obtida para U(x,y) na segunda EDO: ( ) ,Ky)y(K1)y(K1exsenx)y(Kexsenx 1exsenx)y(Kexysenx y 1exsenx)y,x(N y U y2y2 y2y2y2 +−=⇒−=′⇒−+=′++⇒ −+=++ ∂ ∂ ⇒−+== ∂ ∂ ou seja, Kyexysenx)y,x(U y2 +−+= . Portanto, a solução do problema será C)y,x(U = , isto é, Cyexysenx y2 =−+ . Exemplo 3: Resolva a equação diferencial xy4x4 dx dy )y2x21( 32 +=−− . Solução: Esta EDO é rescrita como ( ) 0dy)y2x21(dxxy4x4 23 =−−++− Assim: ( )[ ] [ ] x y2x21 x )y,x(N x4 y xy4x4 y )y,x(M 23 ∂ −−∂ = ∂ ∂ =−= ∂ +−∂ = ∂ ∂ , ou seja, a EDO é exata. Desta forma, vamos aplicar o processo exposto na observação 1: ( ) ( ) ( ) )y(Kyx2xdxxy4x4)y,x(Uxy4x4)y,x(M x U 2433 ++−=+−=⇒+−== ∂ ∂ ∫ . Para encontrarmos K(y), substituímos a expressão obtida para U(x,y) na segunda EDO: ( )( ) ,Kyy)y(Ky21)y(Ky2x21)y(Kx2 y2x21)y(Kyx2x y y2x21)y,x(N y U 222 2242 +−=⇒−=′⇒−−=′+−⇒ −−=++− ∂ ∂ ⇒−−== ∂ ∂
  • 3. ou seja, ( ) Kyyyx2x)y,x(U 224 +−++−= . Portanto, a solução do problema será C)y,x(U = , isto é, ( ) Cyyyx2x 224 =−++− . Observação 3: Algumas vezes é possível transformar uma equação diferencial 0dy)y,x(Ndx)y,x(M =+ que não é exata em uma equação exata multiplicando-se a equação por um fator integrante apropriado )y,x(µ . Este assunto não será tratado aqui, mas o leitor interessado poderá encontrá-lo na literatura indicada. Exemplo 4: Mostre que a equação diferencial 0 dx dy )y1(xyx 232 =++ não é exata e, depois, mostre que 3 xy 1 )y,x( =µ é um fator integrante para esta EDO. Solução: Esta EDO é rescrita como 0dy)y1(xdxyx 232 =++ e não é exata, pois: [ ] [ ] x )y1(x x )y,x(N )y1(yx3 y yx y )y,x(M 2 222 32 ∂ +∂ = ∂ ∂ =+≠= ∂ ∂ = ∂ ∂ . Porém, multiplicando-a pelo fator integrante 3 xy 1 )y,x( =µ , obtemos a EDO exata 0dy)yy(dxx 13 =++ −− , pois [ ] [ ] x yy x )y,x(N 0 y x y )y,x(M 13 ∂ +∂ = ∂ ∂ == ∂ ∂ = ∂ ∂ −− . Exercícios: Nos Problemas seguintes, verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva. 1 0dy)7y3(dx)1x2( =++− . Resposta: Cy7y 2 3 xx 22 =++− . 2 0dy)y8x4(dx)y4x5( 3 =−++ . Resposta: Cy2xy4x 2 5 42 =−+ . 3 0dy)4yx2(dx)3xy2( 22 =++− . Resposta: Cy4x3yx 22 =+− . 4 0dy)y2x(xdx)yx)(yx( =−+−+ . Resposta: não é exata, mas é homogênea. 5 0dy)xcosy2xy3(dx)xsenxyy( 223 =++−− . Resposta: Cx 2 1 xcosyxy 223 =−+ . 6 0dy)ylnxy(dx)eylny( 1xy =++− −− . Resposta: não é exata. 7 2x x6yxe2'xy +−= . Resposta: Cx2e2xe2xy 3xx =−+− . 8 0dy)xy31(dx)yx31( 11 =+−++− −− . Resposta: Cxyln3xyyx =−++ . 9 0dyyxdx) x91 1 yx( 23 2 32 =+ + − . Resposta: C)x3(artgyx 33 =− .