Equações Exatas exercicios

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Equações Exatas exercicios

  1. 1. PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 4115T-04 Equações Diferenciais e Transformadas Integrais Trabalho 1 - Equações Diferenciais Exatas Estude em casa o conteúdo abaixo e resolva os exercícios propostos. No dia do trabalho 1, você deverá resolver, em aula e em grupo, problemas de equações diferenciais exatas. Introdução: Resolva a equação diferencial 0dyxy2dx)yx2( 2 =++ . Note que essa equação não é homogênea nem separável, logo os métodos apropriados para esses tipos de equação não são aplicáveis. No entanto, observe que existe a função 22 xyx)y,x(U += com a propriedade 2 yx2 x U += ∂ ∂ e xy2 y U = ∂ ∂ . Podemos escrever a equação diferencial como 0dy y )y,x(U dx x )y,x(U = ∂ ∂ + ∂ ∂ , isto é 0)y,x(Ud = . Portanto sua solução é C)y,x(U = . Definição: Uma equação diferencial da forma 0dy)y,x(Ndx)y,x(M =+ é chamada exata se a expressão do lado esquerdo é uma diferencial exata. Ou seja, existe uma função U(x, y) tal que a diferencial total de U(x, y) é dy)y,x(Ndx)y,x(M + . Nesse caso, a solução da equação é U(x, y) = C. Exemplo 1: Mostre que a equação diferencial 0dyyxdxyx 2332 =+ é exata. Solução: Existe a função 3 yx )y,x(U 33 = tal que 32 yx x U = ∂ ∂ e 23 yx y U = ∂ ∂ , ou seja, esta EDO é exata e sua solução é C 3 yx 33 = ou, melhor, Cyx 33 = . Observação 1: A questão central aqui reside em como encontrar esta função U(x,y). Para tanto, basta resolver as duas equações diferenciais )y,x(M x U = ∂ ∂ e )y,x(N y U = ∂ ∂ . Vejamos este processo para o nosso exemplo 1: )y(K 3 yx dxyx)y,x(Uyx x U 33 3232 +==⇒= ∂ ∂ ∫ . Observe que quando integramos na variável x, o y é considerado constante e, em conseqüência, a constante arbitrária K depende de y. Para encontrarmos K(y), substituímos a expressão obtida para U(x,y) na segunda EDO: K)y(K0)y(Kyx)y(Kyxyx)y(K 3 yx y yx y U 232323 33 23 =⇒=′⇒=′+⇒= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ ⇒= ∂ ∂ , ou seja, K 3 yx )y,x(U 33 += , onde K pode ser considerado nulo.
  2. 2. Observação 2: Se a EDO não for exata, este processo não funcionará e teremos perdido tempo durante o mesmo. O teorema a seguir fornece um método sistemático de determinar se uma equação diferencial dada é exata, evitando perda de tempo. Teorema: Sejam M(x, y) e N(x, y) funções contínuas com derivadas parciais contínuas numa região retangular do plano xy. Então, uma condição necessária e suficiente para que 0dy)y,x(Ndx)y,x(M =+ seja uma equação diferencial exata é x )y,x(N y )y,x(M ∂ ∂ = ∂ ∂ . No exemplo 1: [ ] [ ] x yx x )y,x(N yx3 y yx y )y,x(M 23 22 32 ∂ ∂ = ∂ ∂ == ∂ ∂ = ∂ ∂ . Exemplo 2: Resolva a equação diferencial .0'y)1exsenx()xe2xcosy( y2y =−+++ Solução: Primeiramente, observe que esta EDO não é homogênea nem separável e ela pode ser rescrita como .0dy)1exsenx(dx)xe2xcosy( y2y =−+++ Assim: [ ] [ ] x 1exsenx x )y,x(N xe2xcos y xe2xcosy y )y,x(M y2 y y ∂ −+∂ = ∂ ∂ =+= ∂ +∂ = ∂ ∂ , ou seja, a EDO é exata. Desta forma, vamos aplicar o processo exposto na observação 1: ( ) )y(Kexysenxdxxe2xcosy)y,x(Uxe2xcosy)y,x(M x U y2yy ++=+=⇒+== ∂ ∂ ∫ . Para encontrarmos K(y), substituímos a expressão obtida para U(x,y) na segunda EDO: ( ) ,Ky)y(K1)y(K1exsenx)y(Kexsenx 1exsenx)y(Kexysenx y 1exsenx)y,x(N y U y2y2 y2y2y2 +−=⇒−=′⇒−+=′++⇒ −+=++ ∂ ∂ ⇒−+== ∂ ∂ ou seja, Kyexysenx)y,x(U y2 +−+= . Portanto, a solução do problema será C)y,x(U = , isto é, Cyexysenx y2 =−+ . Exemplo 3: Resolva a equação diferencial xy4x4 dx dy )y2x21( 32 +=−− . Solução: Esta EDO é rescrita como ( ) 0dy)y2x21(dxxy4x4 23 =−−++− Assim: ( )[ ] [ ] x y2x21 x )y,x(N x4 y xy4x4 y )y,x(M 23 ∂ −−∂ = ∂ ∂ =−= ∂ +−∂ = ∂ ∂ , ou seja, a EDO é exata. Desta forma, vamos aplicar o processo exposto na observação 1: ( ) ( ) ( ) )y(Kyx2xdxxy4x4)y,x(Uxy4x4)y,x(M x U 2433 ++−=+−=⇒+−== ∂ ∂ ∫ . Para encontrarmos K(y), substituímos a expressão obtida para U(x,y) na segunda EDO: ( )( ) ,Kyy)y(Ky21)y(Ky2x21)y(Kx2 y2x21)y(Kyx2x y y2x21)y,x(N y U 222 2242 +−=⇒−=′⇒−−=′+−⇒ −−=++− ∂ ∂ ⇒−−== ∂ ∂
  3. 3. ou seja, ( ) Kyyyx2x)y,x(U 224 +−++−= . Portanto, a solução do problema será C)y,x(U = , isto é, ( ) Cyyyx2x 224 =−++− . Observação 3: Algumas vezes é possível transformar uma equação diferencial 0dy)y,x(Ndx)y,x(M =+ que não é exata em uma equação exata multiplicando-se a equação por um fator integrante apropriado )y,x(µ . Este assunto não será tratado aqui, mas o leitor interessado poderá encontrá-lo na literatura indicada. Exemplo 4: Mostre que a equação diferencial 0 dx dy )y1(xyx 232 =++ não é exata e, depois, mostre que 3 xy 1 )y,x( =µ é um fator integrante para esta EDO. Solução: Esta EDO é rescrita como 0dy)y1(xdxyx 232 =++ e não é exata, pois: [ ] [ ] x )y1(x x )y,x(N )y1(yx3 y yx y )y,x(M 2 222 32 ∂ +∂ = ∂ ∂ =+≠= ∂ ∂ = ∂ ∂ . Porém, multiplicando-a pelo fator integrante 3 xy 1 )y,x( =µ , obtemos a EDO exata 0dy)yy(dxx 13 =++ −− , pois [ ] [ ] x yy x )y,x(N 0 y x y )y,x(M 13 ∂ +∂ = ∂ ∂ == ∂ ∂ = ∂ ∂ −− . Exercícios: Nos Problemas seguintes, verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva. 1 0dy)7y3(dx)1x2( =++− . Resposta: Cy7y 2 3 xx 22 =++− . 2 0dy)y8x4(dx)y4x5( 3 =−++ . Resposta: Cy2xy4x 2 5 42 =−+ . 3 0dy)4yx2(dx)3xy2( 22 =++− . Resposta: Cy4x3yx 22 =+− . 4 0dy)y2x(xdx)yx)(yx( =−+−+ . Resposta: não é exata, mas é homogênea. 5 0dy)xcosy2xy3(dx)xsenxyy( 223 =++−− . Resposta: Cx 2 1 xcosyxy 223 =−+ . 6 0dy)ylnxy(dx)eylny( 1xy =++− −− . Resposta: não é exata. 7 2x x6yxe2'xy +−= . Resposta: Cx2e2xe2xy 3xx =−+− . 8 0dy)xy31(dx)yx31( 11 =+−++− −− . Resposta: Cxyln3xyyx =−++ . 9 0dyyxdx) x91 1 yx( 23 2 32 =+ + − . Resposta: C)x3(artgyx 33 =− .

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