Teste 3 de Análise Matemática Assimptotas Derivadas Primitivas

1. An´lise Matem´tica I
a a Formul´rio Teste 3
a Pedro Dias
Algumas F´rmulas trigonom´tricas:
o e Regras: α × log(x) = log(xα )
Primitiva¸˜o por partes:
ca
1 1
= sec(x) = cot(x) f g = fg − fg
cos(x) tan(x)
1
= csc(x) Regra de Substitui¸˜o:
ca
sin(x) f (g(x)).g (x).dx = f (y).dy |y=g(x)
|dy=g (x)dx
sin2 (x) + cos2 (x) = 1 Primitivas:
cos(x + y) = cos(x). cos(y) − sin(x). sin(y)
cos(x − y) = cos(x). cos(y) + sin(x). sin(y) Fun¸˜o
ca Primitiva
cos(2x) = cos2 (x) − sin2 (x) 1
√ arcsin(x)
1 1 − x2
cos2 (x) = × 1 + cos(2x) 1
2 −√ arccos(x)
1 1 − x2
sin2 (x) = × 1 − cos(2x)
2 1
sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) arctan(x)
1 + x2
1 sin(x) − cos(x)
sin(α + β) = × sin(α − β) + sin(α + β)
2 cos(x) sin(x)
1 + cot2 (x) = csc2 (x)
tan(x) − log(cos(x)
1 + tan2 (x) = sec2 (x)
csc2 (x) − cot(x)
cosh2 (x) − sinh2 (x) = 1
ex + e−x sec(x) log | sec(x) + tan(x)|
cosh(x) =
2 Substitui¸˜es:
co
Quadrado perfeito:
ax2 + bx + c = 0 ⇒ a(x + d)2 + e = 0 com Primitiva Substitui¸˜o
ca
b b2 √
d= e e=c− n
x x = tn
2×a 4×a √ √
m
x, n x x = tm.n
Regra da Cadeia: (f (g(x)) = f (g(x)).g (x)
Derivadas: m ax + b ax + b
= tm
cx + d cx + d
Fun¸˜o
ca Derivada ex t = ex (dx = dt )
t
sin(x) cos(x) √
ax2 + bx + c
√ x = sin(t)?
cos(x) − sin(x) 2
sec(x) sec(x). tan(x) √1 − x x = sin(t)
2−1
tan(x) sec2 (x) √x x = cosh(t) ou x = sec(t)
1 1 + x2 x = sinh(t) ou x = tan(t)
arctan(x) 2+1
x
Primitivas de fun¸˜es racionais:
co
Assimptota n˜o vertical: Seja a ponto de
a P (x) R(x)
dx = Q(x) +
acumul¸˜o,x = a ´ assimptota vertical se (pelo
ca e D(x) D(x)
menos) uma das seguintes: P ≡polin´mio ; D ≡ divisor ; Q ≡quociente
o
limx→a+ f (x) = +∞, limx→a+ f (x) = −∞, R ≡resto
limx→a− f (x) = +∞ ou limx→a− f (x) = −∞ Decomposi¸˜o em factores: Se D(x) tem n
ca
Assimptota ` direita: y = md .x + bd com
a A1 An
ra´ızes reais distintas: + ... +
f (x) x − α1 x − αn
md = lim e bd = lim [f (x) − md .x] Se D(x) tem uma ra´ α com multiplicidade n:
ız
x→+∞ x x→+∞
finitos. A1 A2 An
+ + ... +
Assimptota ` esquerda: y = me .x + be com
a (x − α)n (x − α)n−1 (x − α)
f (x) Ax + B
me = lim e be = lim [f (x) − me .x] Se D(x) tem ra´ ızes complexas:
x→−∞ x x→−∞ (ax2 + bx + c)
finitos. Se D(x) tem ra´ complexa com multiplicade
ız
Defini¸˜o de Continuidade: F cont´
ca ınua em A1 x + B 1 An x + Bn
x0 sse limx→x0 F (x) = F (x0 ) n: 2 + bx + c)n
+ ... +
(ax (ax2 + bx + c)
1

2. An´lise Matem´tica I
a a Formul´rio Teste 3
a Pedro Dias
Teorema Fundamental do C´lculo de
a
b
Integrais: f (x) = F (b) − F (a)
a
Teorema da M´dia:Se f cont´
e ınua em [a, b]
b
ent˜o ∃c ∈ [a, b]tal que
a f (x) = f (c)(b − a)
a
Integrais
+∞ b
Impr´prios:
o f (x) = lim f (x)
a b→+∞ a
sin(x)
Limites not´veis: lim
a =1
x→0 x
2